4.4对数函数教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第4章 4.4　对数函数 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　指数函数与对数函数互为反函数及图象对称 （1）教材出处 必修第一册 第四章 4.4 对数函数，4.4.2 对数函数的图象和性质 正文“探究”栏目及旁注；教材对指数函数 与对数函数 的定义域、值域互换和图象关于直线 对称的说明；课后练习中由反函数图象上的点求参数的题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 一般地，函数 （，且 ）叫做对数函数，定义域为 ，值域为一切实数。 · 反函数关系：指数函数 （ 取一切实数，）与对数函数 （， 取一切实数）互为反函数。 · 定义域与值域互换： 的定义域是 的值域， 的值域是 的定义域。 · 图象对称： 与 的图象关于直线 对称。 · 点对应：点 在 的图象上，当且仅当点 在 的图象上。 · 单调性一致： 时，两个函数都单调递增； 时，两个函数都单调递减。 · 特殊对称： 与 （）的图象关于 轴对称，因为 ； 与 的图象关于 轴对称。 · 定点对应： 过定点 ， 过定点 ，这两个点也关于 对称。 （3）推导证明 由指数式与对数式的互化， 可化为 。把自变量记作 、函数值记作 ，即得 ，所以两者互为反函数。 设点 在 的图象上，则 ，化为对数式得 ，所以点 在 的图象上。反过来，若 在 上，则 ，即 ，所以 在 上。点 与 的中点在直线 上，且连线 的斜率为 （当 时），与 垂直，故两点关于 对称。于是两个函数的图象关于 对称。 定义域与值域互换由互化直接看出： 中 可取一切实数、； 中 、 可取一切实数。 单调性： 时， 在一切实数上单调递增，且取遍 内的每个值，所以其反函数 也在 上单调递增； 时同理都单调递减。 关于 轴对称：设 ，由换底公式， 所以同一 对应的两个函数值互为相反数，图象关于 轴对称。 图 1　 与 的图象关于直线 对称 （4）适用条件与易错提醒 · 只有底数相同、且 、 时， 与 才互为反函数；底数不同不是反函数。 · 反函数图象关于直线 对称，不是关于 轴或 轴对称；关于 轴对称的是 与 （）。 · “反函数的图象经过点 ”应翻译为“原函数的图象经过点 ”，横纵坐标要交换，不能直接代入原函数。 · 求反函数时，先由原函数的值域确定反函数的定义域；若原函数有范围限制，反函数的定义域也随之受限。 · 互为反函数的两个函数单调性相同，但奇偶性不一定相同，不能用奇偶性判断反函数。 · 写反函数时要带定义域，例如 的反函数是 （），不能只写解析式。 （5）考点定位与命题角度 选填为主，考“由反函数图象过点求参数”“判断两个函数图象的对称关系”“指对互化求值”，也常与定点、图象变换、单调性结合。难度基础到中档。近年真题中，2024 北京·9 以 图象上两点为载体，用 把点的坐标互化后比较大小；2025 全国Ⅰ·8 先由对数式解出 等指数式，再比较 。更直接的反函数图象题见变式 1-1（2018 上海·4 改编）。 （6）方法归纳 · 第一步　看底数：确认两个函数是否同底，底数是否满足 且 。 · 第二步　互化：由 解出 ，或由 解出 ，再交换字母得到反函数。 · 第三步　用点对应：把反函数图象上的点 换成原函数图象上的点 ，代入求参数。 · 第四步　补定义域并验证：写出反函数的定义域（原函数的值域），再检查单调性与对称关系是否吻合。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 在同一平面直角坐标系中画出函数 与 的图象，说明它们的定义域、值域关系以及图象的对称关系。 解析 列表、描点、连线，画出两个函数的图象。 的定义域为一切实数，值域为 ； 的定义域为 ，值域为一切实数，两者的定义域与值域正好互换。图象上点 与 、 与 分别关于直线 对称，两个函数的图象关于直线 对称，所以它们互为反函数。 例题 2（教材原题改编） 已知函数 ，求它的反函数 ，并求 。 解析 的定义域为 ，值域为一切实数。令 ，则 ，。交换 ，得 所以 。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2018 上海卷·4）已知 为实数，函数 。若 的反函数的图象经过点 ，求 的值。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知函数 （，且 ）的图象与 的图象关于直线 对称，且 ，求 的值。 条目二　对数式比较大小的同底与同真数策略 （1）教材出处 必修第一册 第四章 4.4.2 对数函数的图象和性质 正文例题“比较下列各组数的大小”及课后练习；4.4.3 不同函数增长的差异 中利用图象比较函数值大小的思想。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：例题结论。 设 ，且 ，。 · 同底看单调性： 时，； 时，。 · 同真数看图象：作直线 （），它与各条对数曲线的交点纵坐标就是相应的对数值；在 的一段，同一侧（都大于 或都小于 ）的底数越大，曲线越低；在 的一段则相反。 · 底数互为倒数：若 ，则 ，两条曲线关于 轴对称。 · 与 比较： 的符号与 的符号相同，即同号时为正、异号时为负。 · 与 比较： 当且仅当 ；再结合单调性判断大于或小于 。 · 不同底不同真数：先与 比较，把三个数分成“小于 ”“ 与 之间”“大于 ”三段；同一段内再找中间量（如 、、）或换底作差、作商。 · 换底公式：，可把不同底的对数化成同底，再比较分母的大小。 图 2　同真数比较：不同底数的对数图象高低不同 （3）推导证明 同底情形由对数函数的单调性直接得到： 时 在 上单调递增，所以真数大的对数值大； 时单调递减，不等号方向相反。 同真数情形：设 ，，由换底公式 因为 ，，，所以差为负，即 。也就是说， 时底数越大，对数值越小，图象越低。若 ，则 ，差为正，不等号反向，底数越大对数值越大，图象越高。 底数互为倒数：设 ，由换底公式 与 比较： 的符号由 与 的符号共同决定。 时 ， 时 ，故为正； 时 ， 时 ，故为负。合并即 时为正，反之亦反。 中间量法：若 且 ，则由不等式的传递性得 。中间量 要选得能直接判断两边的大小，常用 等。 （4）适用条件与易错提醒 · 同底才能直接用单调性比较；底数不同时，不能由“真数大”直接推出“对数大”。 · 时函数单调递减，去对数时不等号要反向，这是最常见的失分点。 · 同真数比较大小时，真数必须大于 ；还要分清 与 两段，两段的图象高低关系相反。 · 中间量必须严格位于两个数之间，并且能准确判断；不能凭计算器近似值“看着像”就下结论。 · 底数含参数时要分 与 讨论；题目没有说明 时，不能默认。 · 比较 与 ： 时看 与 的大小； 时看 与 的大小，方向相反。统一记作 。 · 比较 与 ：用 的符号判断，不要只看 是否大于 。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，常以“三个数比较大小”出现；考同底单调性、同真数图象、不同底找中间量、与 和 比较。难度基础到中档，压轴题会用构造函数或放缩。近年真题与本节变式的原型： · 2022 新高考Ⅰ·7：比较 ，，。 · 2024 天津·5：比较 ，，。 · 2025 全国Ⅰ·8：由 比较 。 · 变式 2-1 的原型为 2021 新高考Ⅱ·7：，，。 （6）方法归纳 · 第一步　定底数：把各对数化成同底，或识别底数之间的关系（同底、互为倒数、可换底）。 · 第二步　同底用单调性；同真数作竖直线看图象高低，或换底后作差。 · 第三步　不同底不同真数先与 比较分段，再选 、 等中间量搭桥。 · 第四步　回验：把估计值与中间量代回原式，确认不等号方向；必要时作差、作商或构造函数。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 比较下列各组数的大小： （1） 与 ； （2） 与 。 解析 （1）因为 在 上单调递增，且 ，所以 。 （2）因为 在 上单调递减，且 ，所以 。 例题 2（教材原题改编） 比较 与 的大小。 解析 ，而 ，所以 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2021 新高考Ⅱ卷·7）已知 ，，，判断 的大小关系。 变式 2-2（优质模拟改编） 比较 ，， 的大小。 条目三　对数型复合函数的定义域优先与单调性 （1）教材出处 必修第一册 第四章 4.4.2 对数函数的图象和性质 正文例题（求含对数的函数定义域与单调区间）及课后习题；4.4 节关于“先看定义域”的旁注。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 形如 （，且 ）的函数，称为对数型复合函数。 · 定义域优先：必须满足 ；若函数还含分式、偶次根式等，要把所有限制同时列出，取交集。 · 复合结构：令 （），则 。 · 同增异减： 时，外层 单调递增，复合函数与内层 的单调性相同； 时，外层单调递减，复合函数与内层的单调性相反。 · 单调区间：先求定义域，再在定义域内求内层函数的单调区间，最后按“同增异减”对应到复合函数；单调区间不能超出定义域。 · 值域：先求 在定义域内的取值范围 ，再由 在 上的单调性求值域。 · 最值：结合 的取值范围与外层函数的单调性确定；若 取不到 ，则对数值趋向 （）或 （）。 图 3　 的定义域与单调区间 （3）推导证明 定义域：对数式 有意义的前提是真数 ，所以必须 。若 还出现在分母、偶次根号下等位置，再叠加相应条件。 单调性：设 在某个使 的区间内，且 。若 ，则 在 上单调递增，于是 所以复合函数与 同增同减。若 ，则外层单调递减， 时 ，单调性相反。 以 为例：由 得 ，定义域为 。内层 的对称轴为 ，在 上单调递减，在 上单调递增。与定义域取交集：在 上 递减，外层递增，故 递减；在 上 递增，外层递增，故 递增。所以减区间为 ，增区间为 。 若把底数换成 ，则外层递减，结论正好相反： 在 上递增，在 上递减。 （4）适用条件与易错提醒 · 必须先求定义域，再求单调区间；直接对 配方得到 就下结论，会把不在定义域内的部分也算进去。 · 定义域是 的解集，不是 ；真数等于 时对数无意义。 · 底数 的范围未知时，必须分 与 讨论，不能默认 。 · “同增异减”的前提是真数恒正；内层函数的单调区间必须与定义域取交集后才能使用。 · 单调区间要用区间表示；多个单调区间之间用“和”或逗号隔开，不能写成并集“”，因为函数在不同区间上分别单调，不能合并成一个单调区间。 · 求值域时先求 的范围，再注意外层对数的单调性；不要忽略 的限制。 · 若真数是二次函数，要同时检查开口方向、对称轴与区间端点的位置；已知在给定区间上单调时，往往要同时满足“内层单调”和“真数恒正”两个条件。 （5）考点定位与命题角度 选填与解答均有，考“求定义域”“求单调区间”“由单调性求参数范围”“求值域或最值”。常见设问： · 求 的定义域、单调区间； · 已知 在区间 上单调递增或递减，求参数范围； · 判断对数型复合函数的奇偶性、值域，或解对数不等式。 近年真题：2020 全国Ⅱ·理 7（ 在 上单调递增，求 的范围）、2024 新课标Ⅰ·6（分段函数在全体实数上单调递增，其中一段含 ，求参数范围）、2023 新课标Ⅰ·4（指数型复合函数单调性，判断方法相同）。难度基础到中档。 （6）方法归纳 · 第一步　求定义域：令真数 ，解不等式；有其他限制一并列出，取交集。 · 第二步　拆复合：设 ，，分 与 判断外层单调性。 · 第三步　定区间：求 在定义域内的单调区间，按“同增异减”对应到 。 · 第四步　验端点：单调区间的端点必须在定义域内；含参数时，用“内层单调”与“真数恒正”列不等式组求范围。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求函数 的定义域。 解析 由真数大于 ，得 ，即 ，解得 或 。所以定义域为 。 例题 2（教材原题改编） 求函数 的单调递增区间。 解析 由 得 ，定义域为 。 设 ，其图象开口向上，对称轴为 ，在 上单调递减，在 上单调递增。外层 在 上单调递减。由“同增异减”，复合函数递增当且仅当 递减。与定义域取交集， 在 上递减，所以 的单调递增区间为 。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） （改编自 2020 全国Ⅱ卷·理 7）已知函数 在 上单调递增，求 的取值范围。 变式 3-2（优质模拟改编） 已知函数 （，且 ）在区间 上单调递增，求 的取值范围。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析： 的反函数的图象经过点 ，等价于 的图象经过点 。所以 即 ，解得 。此时 在 处有意义，符合题意。 变式 1-2 答案与解析 答案：。 解析：因为 与 的图象关于直线 对称，所以 是 的反函数。由 ，得 ，即 所以 。又 且 ，故 。 变式 2-1 答案与解析 答案：。 解析：先与 比较。 所以 。又 所以 。因此 。 变式 2-2 答案与解析 答案：。 解析：先比较 与 。因为 两边同取三次方即可，所以 。 再比较 与 。因为 两边同取三次方即可，所以 。综上，。 变式 3-1 答案与解析 答案：。 解析：由真数大于 ，得 ，即 ，定义域为 。 设 ，其图象开口向上，对称轴为 ，在 上单调递增。外层 在 上单调递增，所以 在定义域内与 同增同减。与定义域取交集， 的单调递增区间为 。 要使 在 上单调递增，需要 ，故 。当 时，区间 仍在定义域内，符合题意。 变式 3-2 答案与解析 答案：。 解析：设 ，则 。 （1）当 时，外层 单调递增，要使 在 上单调递增，需要 在 上单调递增，且 在 上恒成立。 的图象开口向上，对称轴为 。 在 上单调递增，所以需要 又 在 上的最小值在 处取得（因为对称轴不超过 ），故 结合 ，得 。 （2）当 时，外层 单调递减，要使 在 上单调递增，需要 在 上单调递减。但 的对称轴 ，所以 在 上单调递增，不可能单调递减，故无解。 综上， 的取值范围为 。 人教A版·必修第一册　第4章 4.4 对数函数　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $