5.3诱导公式教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第5章 5.3　诱导公式 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　诱导公式的统一口诀与符号判定 （1）教材出处 必修第一册第五章 5.3 节正文“探究”栏目：在单位圆中分别作点 关于原点、 轴、 轴的对称点，得到公式二、公式三、公式四；公式一由 5.2 节终边相同的角引入。本节例 1 与习题 5.3 第 6 题是公式一至公式四的直接应用。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设 为任意角， 为整数，则 角 正弦 余弦 正切 统一口诀：奇变偶不变，符号看象限。这里“奇、偶”指 的奇偶，其中角写成 的形式；“变”指正弦与余弦互换，“不变”指函数名不变；“符号看象限”指把 看成锐角时，原角 所在象限内原函数的符号。 （3）推导证明 设角 的终边与单位圆交于点 ，则 ，。点 关于原点、 轴、 轴的对称点分别为 ，由单位圆上点的坐标直接读出： 对称点 对应角 正弦 余弦 正切 终边相同的角相差 ，单位圆上交点相同，故公式一成立。 把 看成从坐标轴出发的旋转或反射： 为偶数时，终边与 的终边重合或关于原点对称，坐标或不变或同时变号，函数名不变； 为奇数时，终边与 的终边互相垂直，单位圆交点的横、纵坐标互换（可能带符号），正弦与余弦互换。符号由原角所在象限确定。 图 1　单位圆上点 关于原点、 轴、 轴的对称点 （4）适用条件与易错提醒 · 公式对任意使正切有意义的 成立；“把 看成锐角”只是判断符号的口诀，不是要求 真的是锐角。 · 符号取的是“原函数”在“原角”所在象限的符号：判断 的符号，看 所在象限的正弦符号，不能看 的象限。 · ，但 ；正弦不变号，余弦要变号，不能整体一起变或一起不变。 · 正切以 为周期：，但 ，两者不要混淆。 · 公式一中的 必须是整数，不能漏写“ 为整数”；角度制与弧度制不能在同一式子里混用。 · 由已知三角函数值求另一个函数值时，开方的正负由角所在象限决定，不能默认取正。 · 化简时先统一角，再统一函数名；不要跳过“定象限、定符号”这一步。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，常见设问有三类：给角求值（把负角、大角化为锐角）、给值求值（与同角关系联立）、化简或证明。解答题中常作为三角恒等变换、解三角形的第一步。难度基础到中档。 近年真题以“终边对称”与“给值求值”为载体，例如 2024 北京卷·12（两角终边关于原点对称，求余弦的最大值）、2021 北京卷·14（单位圆上两点关于 轴对称，写出一个角）。 （6）方法归纳 · 第一步　负化正：用公式三把负角的三角函数化为正角。 · 第二步　大化小：用公式一减去 ，把角化到 内。 · 第三步　小化锐：用公式二或公式四把大于 的角化为锐角。 · 第四步　锐求值：写出锐角三角函数值，再补回第二步、第三步确定的符号。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求下列各三角函数值： 1. ； 1. ； 1. ； 1. 。 解析 1. 。 1. 。 1. 。 1. 。 例题 2（教材原题改编） 已知 ，且 是第四象限角，计算： 1. ； 1. ； 1. 。 解析 由 ，得 。因为 是第四象限角，所以由平方关系得 ，且 。 1. 。 1. 。 1. 。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于原点对称。若 ，求 的最大值。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知 ，且 是第二象限角，求 的值。 条目二　整体换元下 kπ/2±α 型诱导 （1）教材出处 必修第一册第五章 5.3 节正文“探究”栏目：作点 关于直线 的对称点，得到公式五；再由公式二、公式四推出公式六。本节公式五、六后的例题（证明 型恒等式）与例 5（整体换元求值）。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 公式五： 公式六： 由此可直接推出 型： 统一写法：设 为整数，把 中的 分为奇、偶两类。 为偶数时，函数名不变； 为奇数时，正弦与余弦互换。符号仍按“把 看成锐角，看原角所在象限的原函数符号”确定。 （3）推导证明 图 2　点 与它关于直线 的对称点 设角 的终边与单位圆交于点 ，则 ，。 公式五：作点 关于直线 的对称点 。以 为终边的角是 （相差 的角同名），故 公式六：因为 ，由公式四得 型：因为 ，由公式二得 型：因为 ，由公式一、公式三得 整体换元时，把括号内的角记作 ，先找 与已知角的和差关系，再套公式；公式本身对任意 成立，不要因为 不是锐角而不敢用。 （4）适用条件与易错提醒 · 公式五、六对任意 成立，不要求 是锐角；“把 看成锐角”只是记符号的口诀。 · 整体换元时先定“已知角”与“所求角”的关系：互余（和为 ）、互补（和为 ）、相差 的整数倍，三种关系对应不同的公式。 · 函数名是否改变只看 的系数 的奇偶，不看 的系数。例如 ，而 。 · 公式的符号由公式本身确定；整体换元后不要再用新变量 的象限去重新判断公式的符号。 的象限只在“由已知函数值开方求另一个函数值”时用来定 。 · 已知一个函数值求另一个函数值时，必须结合角的范围确定符号；只给函数值，不能唯一确定开方的正负。 · ，但 ；两个式子不能都写成正号。 · 型中，正弦都化为 ；余弦化为 或 ，要分别记清。 · 角度制与弧度制不能混写；同一题内统一使用一种单位。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，核心是“给值求值”中的凑角：已知一个角的三角函数值，求与它互余、互补或相差 的角的三角函数值；也考化简、证明和三角形内角关系。难度基础到中档。 近年真题以单位圆上的对称点、终边对称、给值求值为载体，例如 2021 北京卷·14（单位圆上两点关于 轴对称，写出一个角）、2024 北京卷·12（两角终边关于原点对称，求余弦的最大值）。 （6）方法归纳 · 第一步　定关系：把已知角和所求角相加、相减，写成 的形式。 · 第二步　定名称：看 的奇偶， 为奇数时正弦与余弦互换， 为偶数时函数名不变。 · 第三步　定符号：把已知角看成锐角，判断原角所在象限，取原函数的符号。 · 第四步　代值：代入已知函数值；若需开方，由角的范围定 ，并回验。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 证明：(1) ； 1. 。 解析 1. 因为 ，由公式二得 1. 同理， 例题 2（教材原题改编） 已知 ，且 ，求 的值。 解析 因为 ，所以 由 ，得 又 ，所以 在第二象限，。于是 故 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，写出一个符合题意的 的值。 变式 2-2（优质模拟改编） 已知 ，求 与 的值。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：因为角 与 的终边关于原点对称，所以 （ 为整数）。于是 由 ，得 ，所以 当 时， 取得最大值 。 变式 1-2 答案与解析 答案：。 解析：由 ，得 。因为 是第二象限角，所以 ，。于是 故 。 变式 2-1 答案与解析 答案：（所有符合题意的角为 ， 为整数，写出其中一个即可）。 解析：点 都在单位圆上，且关于 轴对称，所以它们的对应角之和为 ，即 化简得 ，故 取 ，得 。 变式 2-2 答案与解析 答案：，。 解析：因为 ，所以 又 ，所以 人教A版·必修第一册　第5章 5.3 诱导公式　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $