第三章 第4节 三角函数的单调性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数单调性这一高考核心考点，涵盖单调区间求解、单调性判断、参数问题及应用等模块，按正余弦、正切函数类型系统梳理知识要点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料采用分层教学与真题导向策略，如已知单调性求参数部分融入2023年全国乙卷真题，培养学生数学思维与推理能力，通过“知识要点-例题精讲-分层练习”流程，引导学生用数学语言精准表达，保障复习效率，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供有力支持。

第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第4节 三角函数的单调性 一、知识要点 1．单调区间的求解 ①函数的单调区间的求解： 增区间：（）； 减区间：（）． ②的单调区间的求解：的增区间由≤≤得到，减区间由≤≤得到． 注：若，或，，由诱导公式将或化为正数，或取反面区间. 2.函数的单调区间的求解 ①函数的单调区间的求解： 增区间：（）； 减区间：（）． ②函数的增区间由≤≤ 得到，减区间由≤≤ 得到． 3．函数的单调区间的求解 ①函数的单调递增区间：（）． ②函数的增区间由得到． 二、应用举例 1．单调性的判断 【例1】下列函数中，周期为，且在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，由知，，由余弦曲线及复合函数的单调性知，原函数在上为增函数； 对于B，，由知，，由正弦曲线及复合函数的单调性知，原函数在上无单调性； 对于C，，由余弦曲线知，函数在上为减函数； 对于D，，由正弦曲线知，函数在上为减函数． 故选A． 【练习1-1】以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，最小正周期为，在上递增，且为奇函数，不满足要求； 对于B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求； 对于C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求; 对于D，在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求． 故选B． 【练习1-2】下列函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的最小正周期是，的最小正周期是，排除，BC两个函数的最小正周期是，时，单调递增，单调递减．故选B． 【练习1-3】已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，但，，所以函数在上不单调递增，不符合题意，故A排除； 对于B，，但，，所以函数在上不单调递增，不符合题意，故B排除； 对于C，，所以函数的周期为， 当时，，因为，函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，同理可得函数在上单调递减，所以函数的最小正周期为，故C符合题意； 对于D，函数的定义域为，，所以函数在单调递增错误，不符合题意，故排除D． 故选C． 【练习1-4】已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．的图像关于直线对称 【答案】C 【解析】由．对A项，的最小正周期为，故A错； 对B项，的最大值为，故B错； 对C项，当时，有，因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，故C正确； 对D项，当时，有，所以不是的对称轴，故D错．故选C． 【练习1-5】（多选）关于函数，正确的命题是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点中心对称 C．的最大值为 D．在上单调递增 【答案】BC 【解析】 ． 对于A，的最小正周期为，所以A错误； 对于B，，所以B正确； 对于C，显然当时，即当时，函数有最大值，所以C正确； 对于D，当时，，显然在 上单调递减，所以D错误． 故选BC． 【练习1-6】将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为； B．是函数图象的一个对称中心； C．函数图象的一个对称轴方程为； D．函数在区间上单调递增． 【答案】D 【解析】由题意， 则，所以. 选项A：函数的最小正周期，故A错误； 选项B：当时，，所以不是函数图象的一个对称中心，故B错误； 选项C：当时，或，所以不是的一个对称轴，故C错误； 选项D：当时，，因为在内，单调递增，所以函数在区间上单调递增，故D正确． 故选D． 【练习1-7】（多选）已知函数（），若将其图象向左平移个单位，所得图象关于原点对称，则以下结论正确的有（   ） A． B．在上的最小值为 C．函数的一个对称中心为 D．的增区间为（） 【答案】BC 【解析】因为 ，将的图象向左平移个单位，得函数.因为的图象关于原点对称，所以，即（）.又，所以必有，.所以. 对A选项，因为，故A错误； 对B选项，因为，所以.余弦函数在上的最小值为，所以函数在的最小值为，当且仅当即时取等号，故B正确； 对C选项，因为 ．因为，所以为函数的一个对称中心，故C正确； 对D选项，由，，.所以函数的增区间为，，故D错误．故选BC． 【练习1-8】（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】对于A，因为的最小正周期为，所以A正确； 对于B，因为，则， 令，又，所以为偶函数，故B正确； 对于C，当时，，由的性质知，在上不单调，所以C错误； 对于D，由，得到，令，得，所以的图象关于直线对称，故D正确．故选ABD． 【练习1-9】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】对于A，由图可知的最小正周期，则，故A正确； 对于B，由，可得，因为，所以，所以，所以，故B错误； 对于C，由对A、B的分析得，则 ，故C正确； 对于D，当时，，又在上单调递增， 故在上单调递增，D正确． 故选ACD． 【练习1-10】函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【答案】B 【解析】由图象可知，，，因为，所以，所以，而，则， 由图可知，所以，所以， 对于A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； 对于B，由，可得，则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； 对于C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； 对于D，由，可得，则函数图象关于点，对称，不正确．故选B． 【练习1-11】（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于y轴对称 C．在上单调递增 D．是的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】由周期得，，可知，A正确； 所以函数为偶函数，所以的图象关于y轴对称，所以B正确； 由，得所以函数的单调递增区间为 ，当时，增区间为，当时，增区间为，所以不是函数的增区间，所以C错误； 因为，所以是的一条对称轴，所以D正确． 故选ABD． 【练习1-12】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递减 【答案】BCD 【解析】因为，所以函数最小正周期，故A错误； ，所以图象关于直线对称，故B正确； ，所以的图象关于点对称，故C正确； 若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确．故选BCD． 【练习1-13】（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．点是图象的一个对称中心 C．为奇函数 D．在上单调递增 【答案】AD 【解析】因为， 因为的最小正周期，故A正确； 因为，故B错； 因为，显然，故C错； 因为，，，故D正确．故选AD． 【练习1-14】（多选）若函数同时满足以下 条件：①是函数的零点，且；②，有，则（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度得到的图象解析式为 C．在上单调递减 D．直线是曲线的一条对称轴 【答案】ABC 【解析】函数的零点，即方程的解，所以，， 由②知是函数的一条对称轴，则有，解得，所以.故A正确； 将的图象向左平移个单位长度得到函数.故B正确； 令，即时函数单调递减，，故C正确； 时，，显然不是函数的对称轴，故D错误． 故选ABC． 2．单调区间 【例2】若曲线的一条对称轴是． （1）求的值；（2）求的单调递增区间． 【解析】（1）由，得，因为，取，得． （2）由（1）知，令，，得，故的单调递增区间为． 【练习2-1】函数的一个单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，得，，取，得，故选C． 【练习2-2】函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得，所以所求函数的增区间为．故选C． 【练习2-3】已知函数的最小正周期为，求的单调递增区间． 【解析】（ ，又，，解得，所以．令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，． 【练习2-4】求函数的单调递减区间． 【解析】令，得，取，得，又，所以，所求函数的单调递减区间为． 【练习2-5】求函数的单调递增区间． 【解析】令，得，取，得，又，所以，所求函数的单调递减区间为． 【练习2-6】函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】．令，得，．故选B． 【练习2-7】函数在上的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】由积化和差公式得 ，令，解得，当时，，则在上的递减区间为. 【练习2-8】已知函数（，）为偶函数，且，当取最小值时，的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为偶函数，则，，又，，，又，函数图象关于点对称，，，其中最小的正数是，即，，由，得，，即减区间为，，是其中一个．故选B． 3．已知单调性求参数 【例3】已知函数，在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【解析】方法1：令，解得，，又在单调，所以当时，，即，解得，所以的最大值为．故选B． 方法2：，在单调，故 ，，所以的最大值为． 【练习3-1】（2023年全国乙卷数学，文理）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则． 故选D． 【练习3-2】已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 ． 【答案】【解析】当时，，函数在上是严格减函数，则，则，解得，所以的最大值为． 【练习3-3】已知函数在上递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，当时，，因为函数在上递增，则，故，解得，故的最大值为．故选D． 【练习3-5】函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】令，故，所以函数的减区间为，因为在上为减函数，故存在，使得，因为，所以，所以，故，则的最大值为．故选B． 【练习3-6】已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，函数在上单调递增，因为函数在上单调递增， 所以，所以，即的最大值为．故选A． 【练习3-7】已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 【答案】C 【解析】由条件可知，，得，当时，，由条件可知，，得，，且． 综上可知，的最小值为13．故选C． 【练习3-8】若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为 ． 【答案】11 【解析】因为直线是一条对称轴，所以，整理得，即，由，得，则函数在上单调递增，因为函数在区间上不单调，所以，解得，因为且，所以的最小值为11． 【练习3-9】已知函数，且对任意，都有恒成立，若函数在单调递减，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件可知，，则，且，所以，所以，当，则，若函数在单调递减，则，得，所以的最大值为．故选B． 【练习3-10】已知函数满足，在上单调，且恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为在区间上单调，所以，得到，所以，得，又，所以，则由图象与性质知，所以，得，所以，当，解得，又，所以． 【练习3-11】将函数（）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【解析】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，因为，所以，因为在上单调递增，所以，即，所以的最大值为． 【练习3-12】若函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以，因为的单调递增区间为，所以，所以，解得，，因为且存在，所以，解得，由，得，所以，即的取值范围是． 【练习3-13】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在区间上单调递增，所以，即，又，所以，解得，由，则，又，所以，所以，解得，即的取值范围是．故选A． 4．单调性的应用 【例4】，，则，，的大小顺序为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， ，又，所以. 当时，正弦函数单调递增，且，所以，即．故选B． 【练习4-1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法1：，，又，所以． 方法2（数形结合）：如图，作出函数在上的图象， ，则的纵坐标分别对应， 则，． 故选C． 【练习4-2】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得：，，． 故选C． 【练习4-3】已知，，，则，，三个数从小到大的顺序是 ． 【答案】 【解析】因为在定义域上单调递增，则，又在上单调递增，所以，又在定义域上单调递增，所以，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第4节 三角函数的单调性 一、知识要点 1．单调区间的求解 ①函数的单调区间的求解： 增区间：（）； 减区间：（）． ②的单调区间的求解：的增区间由≤≤得到，减区间由≤≤得到． 注：若，或，，由诱导公式将或化为正数，或取反面区间. 2.函数的单调区间的求解 ①函数的单调区间的求解： 增区间：（）； 减区间：（）． ②函数的增区间由≤≤ 得到，减区间由≤≤ 得到． 3．函数的单调区间的求解 ①函数的单调递增区间：（）． ②函数的增区间由得到． 二、应用举例 1．单调性的判断 【例1】下列函数中，周期为，且在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【练习1-1】以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（    ） A． B． C． D． 【练习1-2】下列函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【练习1-3】已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（    ） A． B． C． D． 【练习1-4】已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的最大值为 C．在区间上单调递增 D．的图像关于直线对称 【练习1-5】（多选）关于函数，正确的命题是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点中心对称 C．的最大值为 D．在上单调递增 【练习1-6】将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为； B．是函数图象的一个对称中心； C．函数图象的一个对称轴方程为； D．函数在区间上单调递增． 【练习1-7】（多选）已知函数（），若将其图象向左平移个单位，所得图象关于原点对称，则以下结论正确的有（   ） A． B．在上的最小值为 C．函数的一个对称中心为 D．的增区间为（） 【练习1-8】（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 【练习1-9】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．在区间上单调递增 【练习1-10】函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A．函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B．函数在区间上单调递增 C．函数图象关于直线对称 D．函数图象的对称中心为 【练习1-11】（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于y轴对称 C．在上单调递增 D．是的一条对称轴 【练习1-12】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递减 【练习1-13】（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．点是图象的一个对称中心 C．为奇函数 D．在上单调递增 【练习1-14】（多选）若函数同时满足以下 条件：①是函数的零点，且；②，有，则（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度得到的图象解析式为 C．在上单调递减 D．直线是曲线的一条对称轴 2．单调区间 【例2】若曲线的一条对称轴是． （1）求的值；（2）求的单调递增区间． 【练习2-1】函数的一个单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【练习2-2】函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【练习2-3】已知函数的最小正周期为，求的单调递增区间． 【练习2-4】求函数的单调递减区间． 【练习2-5】求函数的单调递增区间． 【练习2-6】函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【练习2-7】函数在上的单调递减区间为 ． 【练习2-8】已知函数（，）为偶函数，且，当取最小值时，的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知单调性求参数 【例3】已知函数，在上单调，则的最大值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【练习3-1】（2023年全国乙卷数学，文理）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【练习3-2】已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 ． 【练习3-3】已知函数在上递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【练习3-5】函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【练习3-6】已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【练习3-7】已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 【练习3-8】若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为 ． 【练习3-9】已知函数，且对任意，都有恒成立，若函数在单调递减，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【练习3-10】已知函数满足，在上单调，且恒成立，则的最大值为 ． 【练习3-11】将函数（）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为 . 【练习3-12】若函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 【练习3-13】已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．单调性的应用 【例4】，，则，，的大小顺序为（　） A． B． C． D． 【练习4-1】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【练习4-2】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【练习4-3】已知，，，则，，三个数从小到大的顺序是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $