第一章 第11-12节 函数的零点与图象 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕函数零点与方程实根、函数图像两大高考核心考点，通过知识梳理构建概念体系，分考点突破（含零点区间判断、个数求解、参数范围等）并结合真题训练，以考点梳理、方法指导、分层练习、真题演练四环节，帮助学生系统掌握知识内在联系，突破高频难点。 资料以数学思维与数学眼光为导向，创新采用“考点-例题-感悟-分层练习”教学模式，如零点个数判断结合单调性与数形结合方法，函数图像分析利用定义域、奇偶性等性质排除法，设置基础到提高题及真题再现，保障复习效率，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2026-2027学年度高三数学总复习-第一章 第11节 函数的零点与方程的实根 一、知识梳理 1．函数的零点 ①函数零点的概念：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． ②函数的零点与方程的实根、函数图像的关系 方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 注：函数的零点不是函数的图象与轴的交点，而是交点的横坐标，函数的零点不是一个点，而是一个数． 2．函数零点存在定理 ①函数零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根． ②函数零点唯一性定理：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且具有单调性，则“函数在区间内只有一个零点”等价于“”． 二、考点突破 1．函数零点所在区间问题 【例1】在下列区间中，函数的零点所在区间为（ ） A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4） 【感悟提升】判断函数零点所在区间的步骤： 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正且在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点． 【针对练习1-1】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A． B． C． D． 【针对练习1-2】已知函数的零点，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 【针对练习1-3（提高）（2025天津卷）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【针对练习1-4】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习1-5】已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 考点2：求函数的零点 【例2】函数的零点为（ ） A．和 B． C． D． 【感悟提升】令，解方程． 【针对练习2-1】已知函数则函数的零点为 . 3．函数零点个数的判断 【例3】函数的零点个数是（ ） A． B． C． D． 【感悟提升】零点个数的判断方法： 1．直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同解就有几个零点． 2．利用零点存在定理：函数图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3．利用函数图象（数形结合）： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象 与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象（转化思想）：将函数拆成两个函数和的差，根据 ，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 4．性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 【针对练习3-1】函数的零点个数为___________． 【针对练习3-2】已知函数的周期为，当时，．如果，那么的零点个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【针对练习3-3】方程的实根个数为 ． 【针对练习3-4】（提高）已知则函数零点个数为（ ） A． B． C． D． 4．已知零点个数求参数范围 【例4】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对练习4】函数若函数有且仅有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2026-2027学年度高三数学总复习-第一章 第12节 函数的图像 利用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性（对称性）、极值与最值等性质，考虑对特 殊点，零点等性质，利用排除法处理． 1．函数的图像是（ ） 2．下列图形是函数的图像的是（ ） 3．函数，，则的图像只可能是（ ） 4．函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 5．函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 6．函数在的图像大致为（ ） A． B． C． D． 7．函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 8．函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 9．函数的图像大致为（ ） A．B．C． D． 10．（2017年新课标1）函数的部分图像大致为 （ ） A． B． C． D． 11.已知函数则函数的大致图像是（ ） 12．函数的部分图像如图所示，则的解析式可以是（ ） A． B． C． D． 13．（2018年贵州高考题）函数的图像大致为（ ） 14．（2018年新课标1卷）函数的图像大致为（ ） 15．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 16．函数在的图像大致为（ ） 17．函数与的图像关系是（ ） A．关于轴对称　B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 18．函数且的图像恒过的点是（ ） A． B． C D． 19．已知是奇函数，在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 20．函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 21．已知函数的大致图像如下图所示，则的解析式可以是（ ） A． B． C． D． 22．函数的大致图像是（ ） 23．函数的大致图像是 A． B． C． D． 24．（2025年北京）为得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点（ ） A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 25．（2025年北京）已知函数的图像如图，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 26．（2024年甲卷）函数的区间的图像大致为（ ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三数学总复习-第一章 第11节 函数的零点与方程的实根 一、知识梳理 1．函数的零点 ①函数零点的概念：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． ②函数的零点与方程的实根、函数图像的关系 方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 注：函数的零点不是函数的图象与轴的交点，而是交点的横坐标，函数的零点不是一个点，而是一个数． 2．函数零点存在定理 ①函数零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根． ②函数零点唯一性定理：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且具有单调性，则“函数在区间内只有一个零点”等价于“”． 二、考点突破 1．函数零点所在区间问题 【例1】在下列区间中，函数的零点所在区间为（ ） A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4） 【答案】A【解析】由连续函数在定义域上单调递减，，且，故函数的零点所在区间为．故选A． 【感悟提升】判断函数零点所在区间的步骤： 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正且在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点． 【针对练习1-1】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，，所以由根的存在性定理可知，选C. 【针对练习1-2】已知函数的零点，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】和均为单调递增函数，所以在上也为单调增函数，因为，所以函数的零点在区间上，又函数的零点在区间上，所以．故选C． 【针对练习1-3（提高）（2025天津卷）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，，与在上均单调递减，所以在上单调递减，又， ，，由零点存在定理，，使，即函数的零点所在区间为．故选B． 【针对练习1-4】已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知．；设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知，；设函数，易知在上递减，，，因为，由函数单调性可知，，即． 故选A． 【针对练习1-5】已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，的零点分别为，，与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中．故选A． 考点2：求函数的零点 【例2】函数的零点为（ ） A．和 B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，即或，解得或，所以函数的零点为，．故选A. 【感悟提升】令，解方程． 【针对练习2-1】已知函数则函数的零点为 . 【答案】和 【解析】令，得，当时，令，得；当时，，因为都是增函数，所以在区间上单调递增，又，所以，故函数的零点为和． 3．函数零点个数的判断 【例3】函数的零点个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由可得，作出函数与的图象如下图所示： 由图可知，函数与的图象的交点个数为，故函数的零点个数为．故选C． 【感悟提升】零点个数的判断方法： 1．直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同解就有几个零点． 2．利用零点存在定理：函数图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3．利用函数图象（数形结合）： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象 与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象（转化思想）：将函数拆成两个函数和的差，根据 ，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 4．性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 【针对练习3-1】函数的零点个数为___________． 【答案】 【解析】当时，令，解得，，此时有个零点；当时， ，显然单调递增，又，由零点存在定理知此时有个零点，故共有个零点． 【针对练习3-2】已知函数的周期为，当时，．如果，那么的零点个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】函数的零点个数为函数与的图象的交点的个数，因为函数的定义域为，所以当时，函数与的图象没有交点， 当时，，所以当时，，又函数的周期为2，所以． 当时，，所以当时，函数与的图象没有交点，作函数和函数在区间上的图象， 观察图象可得两函数图象有个交点，所以函数的零点个数为．故选C. 【针对练习3-3】方程的实根个数为 ． 【答案】 【解析】令，，分别作出它们的图象 如下图所示，由图可知，有两个交点，所以方程的实根个数为． 【针对练习3-4】（提高）已知则函数零点个数为（ ） A． B． C． D． 【解析】令，即，得或． （1）当时，若，得，即，符合题意； 若，得，不满足，不符合题意． （2）当时，若，得，符合题意； 若，得，符合题意． 所以函数的零点有，，，共个，故选C． 4．已知零点个数求参数范围 【例4】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，其中，可得，因为在区间恰有三个极值点、两个零点，由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为．故选C． 【针对练习4】函数若函数有且仅有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点，当时，单调递增，；当时，在上单调递减，在上单调递增，且，最小值为，得函数的图象，如图所示，    利用的图象知的取值范围是．故选B． 2026-2027学年度高三数学总复习-第一章 第12节 函数的图像 利用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性（对称性）、极值与最值等性质，考虑对特 殊点，零点等性质，利用排除法处理． 1．函数的图像是（ ） 【答案】B 【解析】当时，；当时，． 的图像关于直线对称．故选B． 2．下列图形是函数的图像的是（ ） 【答案】D 【解析】当时，；当时，． 的图像关于原点对称，且在上递增．故选D． 3．函数，，则的图像只可能是（ ） 【答案】C 【解析】因为函数，都为偶函数，所以也为偶函数，所以图像关于轴对称，排除A，D； 由 知，，当时，，排除B．故选C． 4．函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，排除AD； 显然为偶函数，排除B．故选C． 5．函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知， 的图像关于直线对称，排除AD； 当时，，排除C．故选B． 6．函数在的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】显然为奇函数，排除A；又，排除BC． 故选D． 7．函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当时，，，所以，故排除B，C； 当时，，故排除D．故选A． 8．函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，易知，所以该函数是奇函数，排除B； 当时，，当时，，排除D选项； 令，即，得，即时，函数图像与x轴只有一个交点，排除A． 故选C． 9．函数的图像大致为（ ） A．B．C． D． 【答案】B 【解析】由，得或，故排除A、D；由，故排除C．故选B． 10．（2017年新课标1）函数的部分图像大致为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B； 当时，，排除D；当时，，排除A． 故选C． 11.已知函数则函数的大致图像是（ ） 【答案】D 【解析】由题意知，由解析式知其图像为选项D． 12．函数的部分图像如图所示，则的解析式可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知函数的定义域为，排除B，由图知函数是奇函数，排除D，因的图像过点，排除A．故选C． 13．（2018年贵州高考题）函数的图像大致为（ ） 【答案】D 【解析】，由知，故选D． 14．（2018年新课标1卷）函数的图像大致为（ ） 【答案】B 【解析】由知，为奇函数，排除A； 由，排除C、D．故选B． 15．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，作出函数图像如图．由得结合图像知，不等式的解集为．故选C． 16．函数在的图像大致为（ ） 【答案】D 【解析】方法1：∵，是偶函数，又，排除A，B. 设当时，则，又，，∴在内至少存在一个极值点，∴在内至少存在一个极值点，排除C．故选D． 方法2：由，结合图形知，选D正确． 17．函数与的图像关系是（ ） A．关于轴对称　B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【解析】作出与的图像，观察可知其关于轴对称．故选B． 18．函数且的图像恒过的点是（ ） A． B． C D． 【答案】C 【解析】方法1：因为函数的图像恒过点，将该图像向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象，所以的图象恒过点，C正确． 方法2：令，即，得，所以的图像恒过点，故C正确． 19．已知是奇函数，在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】B 【解析】方法1：根据题意作出的简图，由图知，选B． 方法2：当时，，由题意得，即，∴，即在区间上，． 故选B． 20．函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，用换，解析式不变，函数为偶函数，图像关于轴对称，排除D； 取，得，排除A； 当时，，则，令，得，所以函数在上为减函数，排除C．故选B． 21．已知函数的大致图像如下图所示，则的解析式可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图像关于轴对称知，为偶函数，排除AB； 在选项C中，当时，，，当时，；当时，，所以在处有极小值，这与已知图像不符，排除C． 在选项D中，当时，，，当时，；当时，所以，所以在处有极大值，这与已知图像相符合． 故选D． 22．函数的大致图像是（ ） 【答案】C 【解析】由，知，所以为偶函数，其图像关于轴对称，故A错； 当时，，，令，得，即当时，，所以在上为减函数，排除B； 令，得，即图像经过点，取，则， 排除D．故选C． 23．函数的大致图像是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，即，得， ，所以为奇函数，其图像关于原点对称，排除 B、C．又 ，排除D．故选A． 24．（2025年北京）为得到函数的图像，只需把函数的图像上所有点（ ） A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】方法1：因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，故选A． 方法2：抓住特殊点，过，过点，比对上面选项选A． 25．（2025年北京）已知函数的图像如图，则的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 【解析】方法1：由图像知为偶函数，因为A，B选项的函数为奇函数，故排除A， B；因为C，D选项的函数为偶函数，且对于C，，不满足图像，故排除C．故选D． 方法2：由图象可知，图象关于轴对称，排除奇函数． 对于A，由知，为奇函数，其图像关于原点对称，排除A； 对于B，由知，为奇函数，排除B； 对于C，由知，为偶函数，．排除C， 故选D． 26．（2024年甲卷）函数的区间的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方法1：由，得 ，故为偶函数，故A、C错误； ，故D错误，B正确． 故选B． 方法2：函数为偶函数，排除A、C，当时，，因此只有选项B符合题意． 1 学科网（北京）股份有限公司 $