5.5三角恒等变换教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第5章 5.5　三角恒等变换 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　两角和与差公式的推导 （1）教材出处 必修第一册 第五章 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 正文；“探究”栏目用单位圆推导两角差的余弦公式；例 1、例 2 及课后习题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 对任意角 ， 其中正切公式要求 都不等于 （ 为整数）。 记忆：余弦“同名积、符号相反”，正弦“异名积、符号相同”；正切公式的分子符号与角一致，分母符号相反。 （3）推导证明 在单位圆上取 ，，，。把 同时旋转 ，分别落到 ，旋转保持距离，故 。两边平方： 展开得 即 记 ，上式就是 ；因 任意，即得两角差的余弦公式。把 换成 ，得两角和的余弦公式。 由 ， 把 换成 得 。最后由 ，分子分母同除以 ，得正切公式。 （4）适用条件与易错提醒 · 正弦、余弦公式对任意角成立；正切公式必须保证 及 都有意义。 · 余弦公式中间是“减号变加号、加号变减号”，正弦公式中间符号与角一致，两者不能混。 · 公式可以逆用：把“同名积之和”看成两角差的余弦，把“异名积之差”看成两角差的正弦。 · 遇到 型的角，不能直接用正切公式，应改用正弦、余弦公式。 · 常见错误：把 写成 ，把 写成 ；这两条都不成立。 · 已知三角函数值求角时，先由平方关系定符号，再由角的范围定角，不能只算出一个值就下结论。 （5）考点定位与命题角度 以给值求值、给值求角、化简证明为主，选填题高频，解答题中常作为解三角形或三角函数性质题的第一步。常见设问：由两角和的余弦值求两角差的余弦值、由正切关系求正弦值、由两个已知角表示所求角。难度基础到中档。近年真题：2024 新课标Ⅰ·4（由 与 求 ）、2024 新课标Ⅱ·13（正切和角公式与弦化切）、2025 全国二卷·8（先用倍角公式化单角，再用差角公式）。 （6）方法归纳 · 第一步　看角：把所求角写成已知角的和或差，如 ，。 · 第二步　定号：由角的范围判断各三角函数值的正负，开方时不可默认取正。 · 第三步　选式：同名积用余弦公式，异名积用正弦公式；含正切时优先化弦，或直接使用正切公式。 · 第四步　回验：检查分母是否为零、角的范围是否被扩大，最后代入原式验算。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 ，，，，求 的值。 解析 由 在第二象限、 在第三象限，得 ，。 于是 例题 2（教材原题改编） 已知 ，，且 ，，求 。 解析 由 ，，得 ，故 。又 在第四象限，。把 拆成 ： （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2024 新课标Ⅰ卷·4）已知 ，，求 （用 表示）。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知 都是锐角，，，求 的值。 条目二　二倍角公式与降幂、升幂变形 （1）教材出处 必修第一册 第五章 5.5.1 二倍角的正弦、余弦、正切公式，由两角和公式令 得到；5.5.2 简单的三角恒等变换 中的半角公式、降幂与升幂变形；例 5、例 6、例 7。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 二倍角公式： 降幂公式： 升幂公式： 半角公式： （3）推导证明 在两角和的正弦、余弦、正切公式中令 ，得 由 ，把 中的 换成 ，得 ；把 换成 ，得 。 由 解出 ；由 解出 ，这就是降幂公式。把两式分别移项，即得升幂公式。 在降幂公式中把 换成 ，得 开方时由 所在象限确定正负，即得半角公式。又 以及 （4）适用条件与易错提醒 · 二倍角的正弦、余弦公式对任意角成立；正切二倍角公式要求 与 都不等于 。 · 有三个等价形式，选择依据是已知 还是 ：已知 用 ，已知 用 ，可避免开方。 · 降幂公式的作用是“角加倍、次数降低”，升幂公式相反；两者都不要漏掉分母 。 · 半角公式开方前必须先确定 所在象限，不能默认取正号。 · 要求 ； 要求 。 · 常见错误：把 写成 ，把 写成 ；把降幂公式写成 （漏掉分母 ）。 （5）考点定位与命题角度 以给值求值、化简、求周期与最值为主，选填题高频，解答题中常作为化简的第一步。常见设问：已知一个角的三角函数值求其二倍角、半角的值；把 化为一次式后求周期与最值；由 反求 或 。难度基础到中档。近年真题：2023 新课标Ⅱ·7（半角公式开方）、2025 全国二卷·8（半角化单角，再用差角公式）。 （6）方法归纳 · 第一步　看角：识别 与 、 的倍半关系，必要时用诱导公式统一角。 · 第二步　看名：统一为正弦、余弦或正切；出现平方项优先降幂。 · 第三步　定号：半角开方前先确定半角所在象限，判断正负。 · 第四步　化简：化为 或单一角的三角函数，再求值、求周期或最值。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 ，，求 ，， 的值。 解析 由 在第二象限，。于是 又 所以 例题 2（教材原题改编） 已知 ，求 与 的值。 解析 由二倍角正切公式， 又 所以 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2023 新课标Ⅱ卷·7）已知 为锐角，，求 。 变式 2-2（优质模拟改编） 已知 ，且 ，求 与 的值。 条目三　辅助角公式的合成与最值 （1）教材出处 必修第一册 第五章 5.5.2 简单的三角恒等变换 正文例 9（求 与 的周期、最大值和最小值）、例 10；课后习题中“求 的最值、周期”类题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设 不同时为零，则 其中 当 时，，且 的终边经过点 。 由此可得： · 值域为 ，最大值为 ，最小值为 ； · 最小正周期为 ；（）的最小正周期为 ； · 叠加常数 后，值域为 。 （3）推导证明 提取公因式 ： 令 ，。因为 所以这样的 存在，且由点 所在象限唯一确定（相差 ）。由正弦的和角公式， 因为 ，所以原式的值域为 ；正弦函数的最小正周期为 ，故原式的最小正周期为 。 （4）适用条件与易错提醒 · 公式只适用于“同角、同次、一正弦一余弦”的一次式 ；出现 或 时，要先用二倍角公式降幂。 · 提取的是 ，不是 ；括号内的两个系数分别是 与 ，顺序不能颠倒。 · 辅助角 由点 所在象限确定，不能只写 而丢掉象限；当 时 不在第一象限。 · 求闭区间上的最值时，先化为 ，再由 的范围求整体相位 的范围，结合正弦函数的取值规律判断最值；不能直接把区间端点代入。 · 若 ，先用诱导公式把 化为正数，再求周期与单调区间。 · 常见错误：把 的最大值写成 ；只由 定角而不看象限；忘记 的符号。 （5）考点定位与命题角度 以选填题为主，考“化简后求最值、周期、单调区间、对称轴或零点”；解答题中常作为三角函数综合题的第一步。常见设问：求 在给定区间上的最值；由最值反求参数；把 的组合式先降幂再合成。难度基础到中档。近年真题：2024 全国甲卷·文 13（ 在 上的最大值）、2023 全国乙卷·理 12（向量数量积最值，化为三角函数后用辅助角公式）。 （6）方法归纳 · 第一步　统一角与次数：用二倍角、降幂公式把函数化成 的形式。 · 第二步　提系数：提取 ，写出 与 。 · 第三步　合角：写成 ，标出振幅、周期与初相。 · 第四步　定区间：由 的范围求整体相位范围，结合正弦函数的取值规律求最值及取到条件。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求函数 的最小正周期、最大值和最小值。 解析 所以最小正周期 ，最大值为 ，最小值为 。 例题 2（教材原题改编） 求函数 在区间 上的最大值和最小值。 解析 其中 ，，。 当 时，。该区间包含 ，故当 时， 取最大值 。 端点处： 时 ； 时 。区间长度为 ，正弦值在端点中的较小者为 ，故最小值为 。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） （改编自 2024 全国甲卷·文 13）求函数 在区间 上的最大值。 变式 3-2（优质模拟改编） 已知函数 ，求 的最小正周期和最大值。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：由 ，得 。又 故 。于是 变式 1-2 答案与解析 答案：。 解析：因为 为锐角，，所以 ，。于是 由 都是锐角，得 ，故 。 变式 2-1 答案与解析 答案：。 解析：由 ，得 因为 为锐角，，所以 ，故 变式 2-2 答案与解析 答案：，。 解析：把 两边平方，得 故 。 由 且 ，得 ，故 。于是 又 ，所以 与 联立，解得 ，。所以 变式 3-1 答案与解析 答案：。 解析： 当 时，，故 从而 。当 ，即 时， 取最大值 。 变式 3-2 答案与解析 答案：最小正周期为 ，最大值为 。 解析： 因此最小正周期 ，最大值为 。 人教A版·必修第一册　第5章 5.5 三角恒等变换　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $