第三章 第6节 三角函数的值域与最值、零点 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的值域与最值、零点核心考点，以有界性、图像性质、换元转化等为逻辑主线，构建“知识要点梳理-典例方法指导-分层练习巩固”教学流程，系统覆盖定义域值域、区间最值、参数求解、零点交点等高考常见题型，帮助学生建立问题解决框架。 讲义采用分层递进设计，基础题与提高题结合，通过“整体换元转化二次函数”等策略培养数学思维，如典例3将三角函数转化为二次函数求最值，强化逻辑推理与模型意识。设置真题情境训练，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准教学资源。

第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第6节 三角函数的值域与最值、零点 一、知识要点： 1．有界性：≤， ≤． 2．特殊角的三角函数值 二、应用举例 1．利用三角函数的有界性求定义域和值域（或最值） 【典例1】（1）已知函数． ①求的定义域；②求的值域及取最大值时取值的集合． （2）求函数的最值． 【针对练习1-1】求函数的定义域． 【针对练习1-2】（提高）求函数的值域． 2．求利用三角函数的图像求解定义在某区间上的值域或最值问题 【典例2】（1）函数，的值域为（ ） A． B． C． D． （2）已知函数，求在区间上的值域． 【感悟提升】形如的三角函数值域或最值问题，先将原函数化为的形式，再利用基本图像整体求解． 【针对练习2-1】函数，的值域为 ． 【针对练习2-2】函数是（　 ） A．偶函数，且最小值为 B．偶函数，且最大值为 C．周期函数，且在上单调递减 D．非周期函数，且在上单调递减 【针对练习2-3】若将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在上的最小值为（     ） A． B． C． D．2 【针对练习2-4】函数的最大值为（　 ） A．1 B．2 C． D．3 【针对练习2-5】已知函数，如果存在实数，使得对任意实数，都有，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【针对练习2-6】已知．若的最小正周期为． （1）求的递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值． 【针对练习2-7】已知函数的图像经过点，且相邻两对称轴之间的距离是． （1）求的解析式；（2）求在上的值域． 【针对练习2-8】已知函数，若，则在区间上的值域为（     ） A． B． C． D． 【针对练习2-9】设函数，函数的最小值为，且为函数的一个零点． （1）求函数的单调递增区间； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．运用整体换元思想转化为二次函数求值域或最值 【典例3】（1）求函数在上的最值； （2）求函数上的值域； （3）已知函数，求的最值及相应的x值； （4）（提高）求函数的最大值． 【感悟提升】（1）形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数求值域(最值)； （2）形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数求值域（最值）． 【变式3-1】函数取最大值时的值为（ ） A． B． C． D．0 【变式3-2】（提高）函数的最大值为（ ） A． B．3 C． D．4 4．根据最值求解参数问题 【典例4】（1）（提高）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是 ． （2）（提高）已知函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【针对练习4-1】若在区间上的最大值是，则 ． 【针对练习4-2】已知函数的定义域为，的最大值为，最小值为，求的值． 【针对练习4-3】已知函数，当时，的最大值为，求实数的值． 【针对练习4-4】已知函数（）图象的两相邻对称轴间的距离为． （1）求值；（2）若在区间上的最小值为，求的值． 【针对练习4-5】已知函数（）的最大值为，其图象相邻两个对称中心之间的距离为． （1）求的解析式；（2）设，其中，求的值． 【针对练习4-6】（提高）已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（　 ） A． B． C． D． 【针对练习4-7】（提高）若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（　 ） A． B． C． D． 【针对练习4-8】（提高）已知函数在区间内有极大值，但无极小值，则的取值范围是（　 ） A． B． C． D．    【针对练习4-9】（提高）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【针对练习4-10】（提高）已知函数，当时，函数的值域是，则实数的取值范围是 ． 5．函数的零点、方程的实根与函数图象的交点 【例5】（提高）函数零点的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【针对练习5-1】（提高）设函数．若在区间上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是___________． 【针对练习5-2】（提高）设函数在区间恰有2个零点，2个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对练习5-3】（提高）已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【针对练习5-4】（提高）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【针对练习5-5】（提高）函数零点的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【针对练习5-6】已知，当关于的方程有实数解时，则实数的取值范围是 ． 【针对练习5-7】（提高）设常数使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数的值为_________． 【针对练习5-8】（提高）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围为 ． 【针对练习5-9】已知函数的图像如图． （1）根据图像，求的对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围． 【针对练习5-10】（提高）已知函数在一个周期的图像上有相邻的最高点和最低点． （1）求，，的值； （2）设函数，当时，总存在两个零点，求实数的取值范围． 6．三角函数性质的综合应用 【例6】（多选）（提高）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的最小正周期为，则 B．若，则函数在上的最小值为 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数在上恰有两个零点，则 【针对练习6-1】已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（　 ） A．函数图象关于对称 B．函数图象在内有3个极值点 C．函数在上单调递增 D．函数图象关于中心对称 【针对练习6-2】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．对于下列四种说法，正确的是（     ） ①函数的图象关于点成中心对称 ②的图象关于对称 ③函数在区间上的最大值为，最小值为 ④函数在区间上单调递增 A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【针对练习6-3】（提高）已知函数，下列选项中错误的是（　 ） A．函数在上为严格增函数 B．对任意，都有 C．函数在上的值域是 D．若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围为 【针对练习6-4】（提高）已知函数．若在内单调且有唯一零点，则的取值范围是 ． 【针对练习6-5】（提高）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对练习6-6】已知函数，若时，的最小值为，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．当时，函数的值域为 C．函数在区间上的零点个数共有6个 D．函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 【针对练习6-7】（提高）已知函数，有下列命题： ①为函数图象的一条对称轴； ②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为； ③在上有3个零点，则实数的取值范围是； ④函数在上单调递减．其中错误的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【针对练习6-8】（提高）已知函数在区间上的图象有且仅有条对称轴，给出下列四个结论． ①在区间上有且仅有个零点；②的最小正周期可能是； ③的取值范围是； ④在区间上单调递增． 其中正确结论的序号是 ． A．①④ B．②③ C．②④ D．②③ ④ 【针对练习6-9】（多选）（提高）已知函数（其中），则下列结论中正确的是（    ） A．若，则是的一条对称轴 B．若，且的最小值为，则 C．若在上单调，则的取值范围为 D．若在上有且仅有2个零点，则的取值范围是 7．实际应用（提高） 【例7】已知扇形OAB的半径为1，，P是圆弧上一点（不与A，B重合），过P作，M，N为垂足． （1）若，求PN的长； （2）设，PM，PN的线段之和为y，求y的取值范围． 【针对练习7-1】（提高）建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系． （1）求的表达式； （2）根据（1）的结论，求该商场中央空调在一天内开启的时长． 【针对练习7-2】（提高）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处． （1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及2023min时点P距离地面的高度； （2）当点P距离地面m及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第6节 三角函数的值域与最值、零点 一、知识要点： 1．有界性：≤， ≤． 2．特殊角的三角函数值 二、应用举例 1．利用三角函数的有界性求定义域和值域（或最值） 【典例1】（1）已知函数． ①求的定义域；②求的值域及取最大值时取值的集合． 【解析】①由，得，由函数的图像知，的定义域为． ②由，得，又，所以 ，所以，故的值域为，当时，，此时． （2）求函数的最值． 【解析】（换元法）由题得，设，因为在上是增函数，所以，． （利用有界性）令，得，整理得，由得．故函数的最大值是，最小值是． 【针对练习1-1】求函数的定义域． 【解析】由，得，由函数的图像知，原函数的定义域． 【针对练习1-2】（提高）求函数的值域． 【解析】由去分母，得，引入辅助角得，可得，由于，即，解得，故函数的值域为． 2．求利用三角函数的图像求解定义在某区间上的值域或最值问题 【典例2】（1）函数，的值域为（ ） A． B． C． D． （2）已知函数，求在区间上的值域． 【解析】（1）由题设，故．故选D． （2） ，因为，所以，．即函数在区间上的值域为． 【感悟提升】形如的三角函数值域或最值问题，先将原函数化为的形式，再利用基本图像整体求解． 【针对练习2-1】函数，的值域为 ． 【解析】设，因为，得．因为正切函数在上的值域为，故函数在的值域为． 【针对练习2-2】函数是（　 ） A．偶函数，且最小值为 B．偶函数，且最大值为 C．周期函数，且在上单调递减 D．非周期函数，且在上单调递减 【答案】C 【解析】因为的定义域为，因为，，所以，即函数不是偶函数，AB选项都错； 因为， 故函数是周期函数，因为，当时，令，，因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为减函数，由复合函数单调性知，函数在上为减函数，C对D错．故选C． 【针对练习2-3】若将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在上的最小值为（     ） A． B． C． D．2 【解析】因为，又因为，所以，．故选C． 【针对练习2-4】函数的最大值为（　 ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】 ，当，即时，，所以的最大值为．故选B． 【针对练习2-5】已知函数，如果存在实数，使得对任意实数，都有，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为的周期，又由题意可知为的最小值，为的最大值，所以的最小值为．故选B． 【针对练习2-6】已知．若的最小正周期为． （1）求的递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值． 【解析】（1）由，得 ，由，得，故，令，，得，，所以的递增区间为． （2）因为，所以，所以，即，所以当时，函数取最大值，最大值为，当时，函数取最小值，最小值为． 【针对练习2-7】已知函数的图像经过点，且相邻两对称轴之间的距离是． （1）求的解析式；（2）求在上的值域． 【解析】（1）由题意可得，即，解得．因为的图像经过点，所以，解得．因为，所以. 故． （2）由，得，当即时，， 当即时，，故在上的值域为． 【针对练习2-8】已知函数，若，则在区间上的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由，得，得，则 ，由，得，得，得，得函数的值域为．故选D． 【针对练习2-9】设函数，函数的最小值为，且为函数的一个零点． （1）求函数的单调递增区间； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，即，因为为的一个零点，，解得，又，所以，所以．令，解得，即的递增区间为. （2）当时，，所以，所以；因为对任意的，恒成立，所以，解得；即实数的取值范围为． 3．运用整体换元思想转化为二次函数求值域或最值 【典例3】（1）求函数在上的最值； （2）求函数上的值域； （3）已知函数，求的最值及相应的x值； （4）（提高）求函数的最大值． 【解析】（1）.设，因为，所以．则，二次函数在区间上单调递增，所以当时取取最小值，当时取取最大值5，即函数在上的最小值为，最大值为5． （2）令，，显然在上单调递增，因此，，则原函数化为，在上单调递增．当，即时，，当，即时，，所以的值域为． （3），因为， 所以当，即，时，；当，即或，时，． （4），令，则，所以，从而原函数化为，，对称轴为，所以当时，取得最大值为，即的最大值为． 【感悟提升】（1）形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数求值域(最值)； （2）形如的三角函数，可先设，化为关于的二次函数求值域（最值）． 【变式3-1】函数取最大值时的值为（ ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】因为，由得，所以当时，，此时．故选B． 【变式3-2】（提高）函数的最大值为（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】根据题意，设，则， 则原函数可化为，，所以当时，函数取最大值．故选C． 4．根据最值求解参数问题 【典例4】（1）（提高）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是 ． （2）（提高）已知函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解析】（1）若，当时，，因函数在区间的最小值为，所以，解得；若，当时，，因函数在区间的最小值为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． （2）令，因为，所以，问题转化为函数在时恰有两个最小值点，所以有，因为，所以． 故选A． 【针对练习4-1】若在区间上的最大值是，则 ． 【解析】由题意，得在上递增，所以，即，所以，得． 【针对练习4-2】已知函数的定义域为，的最大值为，最小值为，求的值． 【解析】由，得，所以，，即即，解得 【针对练习4-3】已知函数，当时，的最大值为，求实数的值． 【解析】由，得，所以当即时，得 ，即． 【针对练习4-4】已知函数（）图象的两相邻对称轴间的距离为． （1）求值；（2）若在区间上的最小值为，求的值． 【解析】（1）由题意，得，所以． （2），由，得，当即时，，即． 【针对练习4-5】已知函数（）的最大值为，其图象相邻两个对称中心之间的距离为． （1）求的解析式；（2）设，其中，求的值． 【解析】（1）由题意，得，所以，，得，故． （2）由，得，所以，又，所以，得． 【针对练习4-6】（提高）已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（　 ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】，，关于直线对称，，结合，解得：，当时，，在上有最大值，，解得；当时，取得最小值．故选C． 【针对练习4-7】（提高）若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 .由，令， 则在上恰有唯一极值点，即在有唯一极值点， 因为区间右端点是，故极值点只可能为，则，即，得，解得．故选C． 【针对练习4-8】（提高）已知函数在区间内有极大值，但无极小值，则的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以当时，则有，因为在区间内有极大值，但无极小值，结合正弦函数的图象， 得，解得．故选D．    【针对练习4-9】（提高）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】当时，，因为函数在区间上的值域为，所以，解得．故选A． 【针对练习4-10】（提高）已知函数，当时，函数的值域是，则实数的取值范围是 ． 【解析】方法1：函数的图象如图1所示． 因为，，由图可知．因为函数在区间上单调递减，所以的最大值应该在内使得函数值为．令，解得，所以实数的取值范围． 方法2：设，则．因为函数的值域是，所以的值域是．令，取，，如图2所示． 当即时，；当即时，，可见；当即时，，所以．故实数的取值范围． 5．函数的零点、方程的实根与函数图象的交点 【例5】（提高）函数零点的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】画出函数和的图象，其中，如图： 由图可知：当时，，两函数图象没有交点； 当时，两函数图象有个交点； 当时，，两函数图象没有交点． 综上，函数和的图象有个交点，所以函数零点的个数为．故选C． 【针对练习5-1】（提高）设函数．若在区间上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是___________． 【答案】 【解析】，取，得满足条件，由，得，有且仅有两个零点，则，解得即的取值范围是． 【针对练习5-2】（提高）设函数在区间恰有2个零点，2个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，因为函数在区间恰有2个零点，2个极值点，所以，解得．故选C． 【针对练习5-3】（提高）已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，设，在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点，即在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点．作出的图象如图． 由在区间上有且仅有个零点，得①；又在区间上有且仅有个最大值点，得②；依题意需同时满足①②式，于是得，即，解得，故的取值范围是． 故选A． 【针对练习5-4】（提高）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【解析】函数，定义域为，令，， 函数的零点个数即函数与的图像在区间上的交点个数， 作出函数与的图像，如图所示， ，，，，，，函数与的图像在区间上有3个交点，即函数的零点有3个．故选B． 【针对练习5-5】（提高）函数零点的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】画出函数和的图象，其中，如图： 由图可知，当时，，两函数图象没有交点； 当时，两函数图象有个交点；当时，，两函数图象没有交点． 综上，函数和的图象有个交点，所以函数零点的个数为．故选C． 【针对练习5-6】已知，当关于的方程有实数解时，则实数的取值范围是 ． 【解析】由，得，令，则，且 ，由二次函数的图像知，得，． 【针对练习5-7】（提高）设常数使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数的值为_________． 【解析】∵，∴方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点的横坐标，∵， ∴，令，画出函数在上的图象，如下： 由图象可知当且仅当时，直线与三角函数图象恰有三个交点． 【针对练习5-8】（提高）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围为 ． 【解析】因为关于的方程在内有解，所以在内有解，令，，，因为，所以，所以，所以，所以，得，即实数的取值范围为． 【针对练习5-9】已知函数的图像如图． （1）根据图像，求的对称中心； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围． 【解析】1）根据函数的图象，可得， ，所以，，由， 得，又，所以，故， 令，得，，所以对称中心为，； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C：的图象，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，由在上有解，即在上有解，因为，，所以，所以m的取值范围为． 【针对练习5-10】（提高）已知函数在一个周期的图像上有相邻的最高点和最低点． （1）求，，的值； （2）设函数，当时，总存在两个零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）由函数在一个周期的图象上有相邻的最高点和最低点．知，，所以，．∴，∵在函数上，∴，∴.∵，∴，∴，，． （2）由（1）得，∴， ∴，∵，∴．设，所以，，∵时有两解，∴，∴，∴实数m取值范围为． 6．三角函数性质的综合应用 【例6】（多选）（提高）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若函数的最小正周期为，则 B．若，则函数在上的最小值为 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数在上恰有两个零点，则 【答案】AC【解析】， 对A：，解得，故A正确； 对B：若，则，当时，， 则，故B错误； 对C：当时，，则有，结合，可得，故C正确； 对D：当时，，则有，解得，故D错误．故选AC． 【针对练习6-1】已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（　 ） A．函数图象关于对称 B．函数图象在内有3个极值点 C．函数在上单调递增 D．函数图象关于中心对称 【答案】C【解析】由题意得，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得的图象，所以 ．当时 或，所以不是对称轴，选项A错误． 令,解得，当时， ；当时， ； 所以函数图象在内有2个极值点，选项B错误． 当时，，在内单调递增，选项C正确． 当时，，所以是对称中心,图象关于中心对称，选项D错误． 故选C． 【针对练习6-2】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．对于下列四种说法，正确的是（     ） ①函数的图象关于点成中心对称 ②的图象关于对称 ③函数在区间上的最大值为，最小值为 ④函数在区间上单调递增 A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【解析】由， 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象． 对于①，因为，所以函数的图象不关于点成中心对称，故①错误； 对于②，因为，所以的图象关于对称，故②正确； 对于③，当时，，则，即，所以的最大值为，最小值为，故③正确； 对于④，当时，，因为函数在上不单调，所以函数在区间上不单调，故④错误．故选B． 【针对练习6-3】（提高）已知函数，下列选项中错误的是（　 ） A．函数在上为严格增函数 B．对任意，都有 C．函数在上的值域是 D．若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围为 【答案】D 【解析】对于A，因为函数，当时，，根据正弦函数的图象可知，此时函数是严格增函数，所以A正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以根据正弦函数的图象和性质可得，其值域为，所以C正确； 对于D，令，则，解得. 当时，；当时，；当时，；若函数在上恰有2个零点，则，所以D错误．故选D． 【针对练习6-4】（提高）已知函数．若在内单调且有唯一零点，则的取值范围是 ． 【解析】在内单调，则，又，解得．因为，所以，又 在上单调且有唯一零点，所以且，解得． 【针对练习6-5】（提高）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，函数在上仅有一个零点，所以，所以，令，得，即．若第一个正零点，则（矛盾）， 因为函数在上仅有一个零点，所以，解得．故选A． 【针对练习6-6】已知函数，若时，的最小值为，则下列命题正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．当时，函数的值域为 C．函数在区间上的零点个数共有6个 D．函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为奇函数 【答案】C 【解析】若时，的最小值为，可得，解得， 所以，解得，所以，故A不正确； 当时，可得，所以，所以函数的值域为，故B错误； 令，可得，所以，解得，可得时，，所以函数在区间上的零点个数共有6个，故C正确； 的图象向左平移个单位长度，得函数 的图像，所以为偶函数，故D错误．故选C． 【针对练习6-7】（提高）已知函数，有下列命题： ①为函数图象的一条对称轴； ②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为； ③在上有3个零点，则实数的取值范围是； ④函数在上单调递减．其中错误的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由 ． 对于①，，则为函数图象的一条对称轴，故①正确； 对于②，，当时，，由于在上的最大值为，所以，则， 所以的最大值为，故②正确； 对于③，当时，，因为在上有3个零点，所以，解得，故③错误； 对于④，当时，，因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故④正确．故选A． 【针对练习6-8】（提高）已知函数在区间上的图象有且仅有条对称轴，给出下列四个结论． ①在区间上有且仅有个零点；②的最小正周期可能是； ③的取值范围是； ④在区间上单调递增． 其中正确结论的序号是 ． A．①④ B．②③ C．②④ D．②③ ④ 【解析】由，得，因为函数在区间上的图象有且仅有条对称轴，所以，得，且在区间上有且仅有或个零点，故③对，①错； 又，所以，故②对； 由，得，由，得，当时，在区间上无单调性，故④错． 综上，正确结论的序号是②③．故选B． 【针对练习6-9】（多选）（提高）已知函数（其中），则下列结论中正确的是（    ） A．若，则是的一条对称轴 B．若，且的最小值为，则 C．若在上单调，则的取值范围为 D．若在上有且仅有2个零点，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】由 ． 对于A选项：若，则， 所以，则是的一条对称轴，故A正确； 对于B选项：若，则分别是函数的最大值点，最小值点（或者最小值点和最大值点），若的最小值为，则，即，则，故B正确； 对于C选项：当时，，若在上单调，则，所以，故C正确； 对于D选项：当时，，若在仅有2个零点，则，所以，故D错误． 故选ABC． 7．实际应用（提高） 【例7】已知扇形OAB的半径为1，，P是圆弧上一点（不与A，B重合），过P作，M，N为垂足． （1）若，求PN的长； （2）设，PM，PN的线段之和为y，求y的取值范围． 【解析】（1）在中，，则，显然， 则，从而，在中，，所以． （2）依题意， ， 因此，显然，于是，所以y的取值范围是． 【针对练习7-1】（提高）建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系． （1）求的表达式； （2）根据（1）的结论，求该商场中央空调在一天内开启的时长． 【解析】（1）因为图像上 最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，所以，所以，又，所以，所以． （2）由（1）得，即，所以，解得，又因为，当时，，当时，，所以或,所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时． 【针对练习7-2】（提高）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处． （1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及2023min时点P距离地面的高度； （2）当点P距离地面m及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？ 【解析】（1）依题意，，，，则，所以， 由，得，，因为，所以．故在时刻t时点P距离地面的离度．因此，故2023min时点P距离地面的高度为70m． （2）由（1）知，其中．令，即，所以，得，，则，，由，可知转一圈中有0.5min时间可以看到公园全貌． 1 学科网（北京）股份有限公司 $