5.7三角函数的应用教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第5章 5.7　三角函数的应用 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　简谐运动模型中周期、频率、初相的含义 （1）教材出处 必修第一册 第五章 5.7 三角函数的应用 正文“简谐运动”部分与例 1（由弹簧振子的位移—时间数据求解析式）；课后习题中关于振幅、周期、频率、初相的概念辨析与填空。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用 刻画，各常数的物理意义如下： · 振幅 ：振子离开平衡位置的最大距离，函数的值域为 。 · 周期 ：振子往复运动一次所需的时间，即函数的最小正周期。 · 频率 ：单位时间内往复运动的次数；时间以秒计时，频率的单位为赫兹（）。 · 相位 ：决定振子在某时刻所处的状态； 时的相位 称为初相。 · 角频率 ：由周期唯一确定。 · 若平衡位置不在 处，模型写成 。此时振幅仍是 ，平衡位置为 ，最大值为 ，最小值为 ，于是 图 1　简谐运动 的振幅 、周期 ： 时的相位为初相 ，位移为 （3）推导证明 周期性：对任意 ，有 故 是周期。若正数 也是周期，则 对一切 成立，必须 （ 为正整数），所以最小正周期是 。 振幅：由 得 ；当 时 ，故 恰是离开平衡位置的最大距离。 频率：周期是“往复一次所需的时间”，频率是“单位时间内往复的次数”，二者互为倒数，故 初相： 时的相位为 ，位移为 。若两个简谐运动的 相同、初相分别为 ，则相位差为 ，对应的时间差为 。初相不同只让运动“错开”一段时间，振幅、周期、频率都不变。 平衡位置偏移： 的图象由 向上平移 得到，故振动中心为 ，振幅不变；最大值与最小值的中点是 ，半差是 。 图 2　平衡位置为 时，振幅仍是 ，最大值为 、最小值为 （4）适用条件与易错提醒 · 必须先化成 的标准形式再读参数。例如 应改写为 ，初相是 ，不是 ，周期 。 · 周期公式的分母是 的绝对值：一般地 ；写成 的前提是 。 · 初相不唯一， 与 表示同一运动；题目给定 或 时必须按范围取舍。 · 只用一个零点求 会漏解：图象上升经过零点时 ，下降经过零点时 ，要结合运动方向确定象限。 · 平衡位置偏移时，振幅不是最大值：，而 本身还包含 。 · 频率是 ，不是 ；时间单位换成小时或天时，频率的单位也随之改变。 · 图象上相邻最高点与最低点的横坐标之差是 ；若题目问两点间的“距离”，则是 ，不能用 代替。 · 一个周期内的路程是 ；但四分之一周期内的路程不一定是 ，只有从平衡位置或最大位移处开始计时才等于 。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，考“由图象或数据读出 ”“由振幅、周期、初相写出解析式”“求某时刻的位移或首次到达某位置的时刻”，也常与单调性、最值、图象变换结合，出现在解答题第一问。实际情境多为弹簧振子、单摆、交变电流、潮汐与摩天轮。难度基础到中档。可核实的对应真题：2010 安徽卷·理 9（单位圆上匀速旋转的点，求纵坐标关于时间的单调递增区间）。 （6）方法归纳 · 第一步　定振幅与平衡位置：由最大值 、最小值 求 ，；若已知“离开平衡位置的最大距离”，则 直接给出。 · 第二步　定 ：由周期 得 ；或由相邻最高点的横坐标之差求 ，注意相邻最高点之差是 、最高点与相邻最低点之差是 。 · 第三步　定 ：代入 （或某已知点）的位移，解 ，再由该时刻的运动方向确定象限；也可用最高点满足 直接定 。 · 第四步　回验：检查 与 的范围，再用另一组数据或图象上的点代入验证。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间 （单位：）与位移 （单位：）的对应数据如下。 前 7 组数据为 后 6 组数据为 试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式。 解析 由数据知最大位移为 、最小位移为 ，故振幅 ，平衡位置为 。 与 时位移都是 ，且运动方向相同，故周期 ， 时 ，即 ，，取 。故 回验： 时相位为 ，，与数据 相符（数据为测量值，允许误差）。该运动的频率 。 例题 2（教材原题改编） 某弹簧振子的位移 （单位：）与时间 （单位：）满足 ，其中 ，，。已知振幅为 ，周期为 ， 时振子位于平衡位置上方 处且向上运动。求这个简谐运动的频率、初相与解析式，并求 时的位移和振子第一次到达最高点的时刻。 解析 振幅 。由 得 时 ，故 ，， 或 。因振子向上运动， 附近位移增大，取 。故 时，， 第一次到达最高点时 ，解得 。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 动点 在单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转， 旋转一周。已知 时点 的坐标为 ，设点 的纵坐标为 。求 关于 （单位：）的解析式，并指出这个运动的周期、频率与初相；再求 时 的单调递增区间。 变式 1-2（优质模拟改编） 一个弹簧振子的位移 （单位：）与时间 （单位：）满足 ，其中 ，，。已知 时振子在平衡位置上方 处且向下运动， 时振子第一次到达最低点，最低点位移为 。求这个简谐运动的振幅、周期、频率、初相与解析式，并求 内振子通过的路程。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：，周期 ，频率 ，初相 ；单调递增区间为 和 。 解析： 时点 的坐标为 ，对应旋转角 ，故初相 。 旋转一周，周期 ，角频率 所以 ，频率 。 由 在 上单调递增，令 两边减去 再乘以 ，得（其中 为整数） 取 得 ，取 得 ，故所求单调递增区间为 和 。 变式 1-2 答案与解析 答案：振幅 ，周期 ，频率 ，初相 ，解析式 ； 内通过的路程为 。 解析：由最低点位移为 、平衡位置为 ，得振幅 。 时 ，即 ，，故 或 ；因振子向下运动，取 。 时振子第一次到达最低点，此时相位为 ，故 解得 ，于是 解析式为 。 恰好是一个周期，振子完成一次全振动，通过的路程为 。 人教A版·必修第一册　第5章 5.7 三角函数的应用　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $