第三章 第9节 解三角形综合问题 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦解三角形综合问题，系统覆盖周长、面积、范围、中线、角平分线、高线等高考核心考点，按专题模块梳理知识内在联系。通过考点分类讲解、典型例题示范、真题实战训练的教学流程，帮助学生构建解题框架，突破难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出高考真题导向，如融入2023新课标卷真题，采用“问题情境—方法提炼—分层练习”模式，例如角平分线问题整合等面积法、定理应用等多种策略，培养学生数学思维与问题解决能力。分层设计例题与针对练习，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第9节 解三角形综合问题 （周长、面积、范围、中线、角平分线、高线） 一、周长问题 【例1】在中，内角的对边分别为，在①；②这两个条件中任选一个作为已知，并解决下列问题． （1）求；（2）若，求周长的最大值． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【针对练习1-1】在中，角，，的对边分别为，，，且的面积． （1）求的大小；（2）若的外接圆半径为，求周长的取值范围． 二、面积问题 【例2】在中，已知． （1）求角的大小； （2）设为边上一点，且，，求面积的最大值． 【针对练习2-1】在锐角三角形中，已知． （1）求；（2）若的面积为，证明：． 【针对练习2-2】在中，角，，所对的边分别为，，，，． （1）求的取值范围；（2）求面积的最大值． 【针对练习2-3】在中，设角的对边分别为．已知． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 三、中线与分点问题 【例3】（2023年新课标2卷第17题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求；(2)若，求． 【针对练习3-1】在中，已知． （1）求；（2）若，的面积为，求，的值． 【针对练习3-2】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点． （1）若AD平分，求证：； （2）若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长． 【针对练习3-3】在中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为，点D是线段的中点，． （1）若，求CD的长；（2）若，求的值． 四、角平分线问题 【例4】在中，的面积为，角的平分线交边于，且，则为（    ） A． B． C． D． 【感悟提升】三角形角平分线问题的处理方法： ①三点共线定理；②互补两角的余弦值之和为；③面积斥分（等面积法）与面积比； ④张角定理；⑤角平分线定理；⑥斯库顿定理；⑦角平分线长定理． 【针对练习4-1】在中，，是的平分线，，，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习4-2】（2023年贵州高考第16题）已知在中，，，，平分，交于点，则 ． 【针对练习4-3】在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A；（2）线段上一点D满足，，求△的面积． 【针对练习4-4】在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为，若，则的最小值为 （    ） A．6 B． C． D． 【针对练习4-5】（多选）在中，，则（ ） A． B．的面积为8 C． D．的内切圆半径是 【针对练习4-6】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在： ①；②；③这三 个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．若______，且，． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） （1）求B及a的值；（2）若内角B的平分线交AC于点D，求的面积． 【针对练习4-7】在中，设角，，所对的边分别为，，．已知，的周长为，面积为． （1）求的外接圆面积； （2）设是边上一点，在下面条件①、条件②中任选一个，求线段的长． 条件①：是边上的中线；条件②：是的角平分线． 五、高线问题 【例5】在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，． （1）求角；（2）设是的高，求的最大值． 六、范围与最值问题 【例6】（多选）记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（    ） A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 【针对练习6】（多选）在中，内角的对边分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若满足的有两个，则的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第9节 解三角形综合问题 （周长、面积、范围、中线、角平分线、高线） 一、周长问题 【例1】在中，内角的对边分别为，在①；②这两个条件中任选一个作为已知，并解决下列问题． （1）求；（2）若，求周长的最大值． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【解析】（1）若选择条件①：，由正弦定理得， 因为，所以，所以，则 ，整理得．因为，所以，故． 若选择条件②：，由正弦定理得 ，即，因为，所以，所以，则，因为，所以，故． （2），由（1）得，由余弦定理得，即，整理得．因为，所以，即，则，当且仅当“”时取得等号，所以周长的的最大值为． 【针对练习1-1】在中，角，，的对边分别为，，，且的面积． （1）求的大小；（2）若的外接圆半径为，求周长的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，由余弦定理，有，即，所以，因为，所以； （2）因为的外接圆半径为3，所以，，， 又，所以，即，因为，所以，故，所以的周长的取值范围为． 二、面积问题 【例2】在中，已知． （1）求角的大小； （2）设为边上一点，且，，求面积的最大值． 【解析】（1）由，得 ，所以，由正弦定理， 得，由余弦定理，得，所以， 得，又，所以． （2）由，得，所以 ，即，所以，所以的面积，当且仅当即时等号成立，面积的最大值为． 【针对练习2-1】在锐角三角形中，已知． （1）求；（2）若的面积为，证明：． 【解析】（1）因为，所以，即， 因为，所以，所以．因为，所以． （2）由（1）知，所以由余弦定理得，即①，又的面积为，所以②，由①②得，则，所以． 【针对练习2-2】在中，角，，所对的边分别为，，，，． （1）求的取值范围；（2）求面积的最大值． 【解析】（1）由余弦定理，得，因为，，所以，即，所以，当且仅当时取等号，又，所以． （2）由（1）可知，所以 ，因为，所以，而在上单调递增，所以，所以面积的最大值为． 【针对练习2-3】在中，设角的对边分别为．已知． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【解析】（1）由，得，由正弦定理，得，因为，所以，即，化为，又，所以，即． （2）由（1）知，，由正弦定理，得，即，所以，因为为锐角，所以且，所以得，所以，所以，即面积的取值范围是． 三、中线与分点问题 【例3】（2023年新课标2卷第17题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求；(2)若，求． 【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得，在中，，由余弦定理得， 即，解得，则，，所以． 方法2：在中，有 ，解得，在中，由余弦定理，得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以． （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 【针对练习3-1】在中，已知． （1）求；（2）若，的面积为，求，的值． 【解析】（1）由正弦定理及．得 ，即，即，因为，所以，所以，所以． （2） 由题意得的面积，所以①．又，且，所以②．由①②得． （3） 【针对练习3-2】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点． （1）若AD平分，求证：； （2）若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长． 【解析】（1）设，垂足为，在中，，．在中，，因为AD平分，所以，于是有，因此有． （2）因为D为BC上靠近B的三等分点，所以，因为，所以 ． 【针对练习3-3】在中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为，点D是线段的中点，． （1）若，求CD的长；（2）若，求的值． 【解析】（1）由题得，故．又 ，解得． （2），，，即，又，①，又②，由①②得，． 四、角平分线问题 【例4】在中，的面积为，角的平分线交边于，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得，即，又，所以，所以，，由余弦定理，所以，即．故选B． 【针对练习4-1】在中，，是的平分线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，根据正弦定理知，在中，根据正弦定理知，而，，故将上述两个等式相除得，又，所以，则在中，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，则 ．故选A． 【针对练习4-2】（2023年贵州高考第16题）已知在中，，，，平分，交于点，则 ． 【解析】方法1：在中，由余弦定理，得，即，得，由张角定理，得，解得． 方法2：在中，由正弦定理，得， 即，得，又，所以， 所以，所以． 方法3：过作于，则，，又，所以，所以，所以，所以． 【针对练习4-3】在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A；（2）线段上一点D满足，，求△的面积． 【解析】（1）由题设及正弦定理边角关系：，又， 所以，即，又，则，故，即． （2）由题设，令，则，，， 在△中，即，所以，故，所以，即，故， 所以，，则． 综上，． 【针对练习4-4】在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为，若，则的最小值为 （    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 则有，化简得，即，所以，当且仅当即时等号成立，此时取最小值为．故选C． 【针对练习4-5】（多选）在中，，则（ ） A． B．的面积为8 C． D．的内切圆半径是 【答案】ABD 【解析】由余弦定理有， 所以，故A正确； 由，所以，故B正确； 设的内切圆半径为，则有，即 ，故D正确．故选ABD． 【针对练习4-6】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在： ①；②；③这三 个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．若______，且，． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） （1）求B及a的值；（2）若内角B的平分线交AC于点D，求的面积． 【解析】（1）选条件①：因为，所以，代入，解得，所以 因为，所以．               选条件②：对于，由正弦定理得 ，所以，即，在中，因为，所以，即．因为，所以，所以，因为，所以． 选条件③：对于，利用正弦定理得．利用余弦定理得，因为，所以．在中，，，，由余弦定理得，即，解得（舍去）． （2）在中，，，，．由三角形的面积公式，得 ．因为AD为内角B的平分线，所以，，所以，所以． 【针对练习4-7】在中，设角，，所对的边分别为，，．已知，的周长为，面积为． （1）求的外接圆面积； （2）设是边上一点，在下面条件①、条件②中任选一个，求线段的长． 条件①：是边上的中线；条件②：是的角平分线． 【解析】（1）由三角形面积公式，得，所以， 由题意，得，即．由余弦定理，得 ，解得，由正弦定理，得，所以，所以的外接圆面积为． （2）方法1：若选择条件①，由（1）知，及．由， 得 ，所以． 方法2：不妨设，由及，解得，． 在和中，有，由余弦定理，得 ，解得． 若选择条件②，不妨设，由及，解得，． 由，得，解得． 五、高线问题 【例5】在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，． （1）求角；（2）设是的高，求的最大值． 【解析】（1）由及正弦定理，得， 又，所以，因为，所以． （2）由余弦定理，得，即，解得 ，当且仅当时取等号，所以的面积 ，即，故的最大值为． 六、范围与最值问题 【例6】（多选）记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（    ） A．的周长为6 B．，，成等差数列 C．角的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于B，因为，所以，则，，成等差数列，故B正确， 对于A，因为，所以，可得的周长为6，故A正确， 对于C，由余弦定理得，由基本不等式得，当且仅当时取等，得，由余弦函数性质得在上单调递减，而，得到，即角的最大值为，故C错误， 对于D，由三角形面积公式得，得面积的最大值为，故D正确． 故选ABD． 【针对练习6】（多选）在中，内角的对边分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若满足的有两个，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】对于A，由，设，由余弦定理得，而，则，A正确； 对于B，由及正弦定理，得，则，即，整理得，B错误； 对于C，由为锐角三角形，得，即，由正弦函数的单调性，得，因此，C正确； 对于D，由满足的有两个，得，即，D正确． 故选ACD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $