1.5全称量词与存在量词教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第1章 1.5　全称量词与存在量词 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　含量词命题的否定：量词与结论同时否定 （1）教材出处 必修第一册 第一章 1.5.1 全称量词与存在量词、1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 正文；含 1.5.2 的例 3、例 4 以及习题 1.5 中的否定练习。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设 是一个给定的集合， 是含变量 的语句。 · 全称量词命题 的否定是 ； · 存在量词命题 的否定是 ； · 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题； · 从集合的角度看， 的取值范围 保持不变，只交换量词并否定结论； · 命题 与它的否定 的真假相反，不能同时为真，也不能同时为假。 常见词语的否定： · “都是”的否定是“不都是”（即至少有一个不是），不是“都不是”； · “大于”的否定是“不大于”，“小于”的否定是“不小于”，“等于”的否定是“不等于”； · “至少有一个”的否定是“一个也没有”；“至多有一个”的否定是“至少有两个”； · “任意的”的否定是“某个”，“所有的”的否定是“某些”。 （3）推导证明 只证全称量词命题的情形，存在量词命题同理。 若 是假命题，则 中至少有一个元素 ，使 不成立，即 成立。因此 是真命题。 反过来，若存在 ，使 成立，则 不成立，所以“对 中任意 ， 都成立”是假命题，即 是假命题。 于是 与 互为否定，即 。同理，。 （4）适用条件与易错提醒 · 量词与结论必须同时否定。只改量词不否结论，如把“”的否定写成“”，是错的；应为“”。 · 只否结论不改量词也是错的。如把“”的否定写成“”，应为“”。 · 不等号的否定要取“反面”： 的否定是 ， 的否定是 ， 的否定是 ；不能把 的否定写成 。 · “都是”的否定是“不都是”，不是“都不是”。例如“所有三角形都是等边三角形”的否定是“存在三角形不是等边三角形”，不是“所有三角形都不是等边三角形”。 · 命题的否定只否定结论（含量词时同时改量词），不是把条件也否定；不要把“命题的否定”与“否命题”混为一谈。 · 注意隐蔽的量词。“若 ，则 ”实际上是对任意 成立的全称量词命题，其否定是“存在 ，使 ”。 · 结论中含“且”或“或”时，否定要同时互换：“且”变“或”，“或”变“且”。例如“ 且 ”的否定是“ 或 ”。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，考查“写出含量词命题的否定”“判断否定后的命题真假”“由否定求真值或参数范围”。常与集合、不等式、函数定义域交汇。难度基础。对应 2024 新课标Ⅱ卷·2（全称量词命题与存在量词命题的真假及否定）。 （6）方法归纳 · 第一步　识别量词：把“所有、任意、每一个”写成 ，把“存在、至少有一个、有些”写成 ；省略量词的命题先补全量词。 · 第二步　改量词：全称量词与存在量词互换，定义域 保持不变。 · 第三步　否结论：对 整体否定，注意不等号反向、“都是”改“不都是”、“且”与“或”互换。 · 第四步　回读检验：否定与原命题的真假必须相反；可用一个特例快速验证。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 写出下列全称量词命题的否定： （1）所有能被 整除的整数都是奇数； （2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； （3）对任意整数 ， 的个位数字不等于 。 解析 （1）否定：存在一个能被 整除的整数不是奇数。因为 能被 整除且 是偶数，所以否定为真，原命题为假。 （2）否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上。非正方形的菱形就是这样的四边形，所以否定为真，原命题为假。 （3）否定：存在整数 ，使 的个位数字等于 。整数的平方的个位数字只能是 ，不可能为 ，所以否定为假，原命题为真。 例题 2（教材原题改编） 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： （1）存在实数 ，使 ； （2）有的三角形是等边三角形； （3）有一个偶数是素数。 解析 （1）否定：对任意实数 ，。取 ，则 ，所以否定为假，原命题为真。 （2）否定：所有三角形都不是等边三角形。等边三角形确实存在，所以否定为假，原命题为真。 （3）否定：所有偶数都不是素数。 是偶数且是素数，所以否定为假，原命题为真。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2024 新课标Ⅱ卷·2）已知命题 ：对任意实数 ，；命题 ：存在 ，使 。写出 与 ，并判断 的真假。 变式 1-2（优质模拟改编） 写出下列命题的否定，并判断真假： （1）所有无理数的平方都是无理数； （2）存在一个实数 ，使 ； （3）对任意 ，。 条目二　恒成立与存在性问题的量词转换 （1）教材出处 必修第一册 第一章 1.5 节正文与习题 1.5 综合运用中由含量词命题真假求参数的题目；第二章 2.3 节二次函数与一元二次方程、不等式中关于“恒成立”的练习，是本节量词转换的直接应用。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：高考常用推导结论。 设函数 在区间 上存在最大值 与最小值 ， 为常数，则 · ； · ； · ； · 。 图 1　“恒成立”看最小值，“有解”看最大值（以 在 上为例） 设 在 上、 在 上均有最值，则 · ； · ； · ； · 。 二次不等式在全体实数上恒成立：对任意实数 ， 恒成立，当 时需 且 ；当 时需 且 。 恒成立的条件把 改为 ， 改为 。 否定视角： 就是 ； 就是 。所以恒成立问题的反面是存在反例，有解问题的反面是恒不成立。 （3）推导证明 以 为例。若 ，则对任意 ，，命题为真。反过来，若命题为真，设 在 处取得最小值，则 。故两者等价。 再证 。若 ，设 在 处取得最大值，则取 即成立。反过来，若存在 使 ，则 。故两者等价。另外两个不等式同理。 双变量情形先固定一个变量。例如 ：对每个固定的 ，存在 使 ，等价于 ；再对任意 成立，等价于 。其余三种组合同样处理。 二次不等式 对任意实数 恒成立： 时退化为一次或常数不等式，需 且 ； 时，抛物线开口向上且与 轴没有交点，故 且 。 的情形同理。 （4）适用条件与易错提醒 · “恒成立”与“有解”不能混用。以 在 上为例：恒成立需 （看最小值），有解需 （看最大值）。把有解当成恒成立，就会把 误当成恒成立的范围。 · 使用最值公式的前提是最值存在。 在 上的值域为 ，没有最小值； 等价于 ，不能机械地写 。 · 二次项系数含参数时先讨论 。例如“对任意实数 ，”中， 时恒成立； 时恒成立； 时不恒成立，所以 。只写 会漏掉 。 · 双变量的量词组合要逐一对应，不能把“任意”当成“存在”。四种常见组合对应不同的最值关系，写不等式前先分清哪个变量是任意、哪个变量是存在。 · 参数分离时，若除以含参数的式子，要先讨论它的符号；不等式两边乘负数时，不等号方向要改变。 · 端点能否取到要单独检查。闭区间上的最值可以直接取；开区间上若端点值取不到，参数范围是否含端点要由不等式是否取等决定。 · “存在 ”与“存在 ，对任意 ”不同，读题时先圈出量词及其顺序。 （5）考点定位与命题角度 选填题中求参数范围的高频题型，也常作解答题第一问。常见设问：已知含量词命题为真或假求参数；恒成立或有解求参数；双变量任意、存在求参数。常与二次函数、不等式、函数值域结合。难度基础到中档。对应 2025 天津卷·15（含参二次不等式在区间上恒成立）、2024 新课标Ⅱ卷·2（命题真假与否定）。 （6）方法归纳 · 第一步　翻译量词：把“对任意”“存在”写成 、，明确变量的取值范围 ；双变量要标清 各自的范围。 · 第二步　选最值：恒成立 用 ，有解 用 ； 的情形反向对应。双变量先固定一个变量，再处理另一个。 · 第三步　求最值：用配方法、单调性或基本不等式求 、；二次函数注意开口方向与对称轴是否在区间内，含参时先讨论二次项系数。 · 第四步　解参数并验端点：解出参数范围后，回代端点或特例，确认最值可取、不等号方向正确。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知命题 ：对任意实数 ， 是真命题，求实数 的取值范围。 解析 。因为 ，所以 的最小值为 。由恒成立条件 ，得 ，即 。 也可用判别式：二次函数开口向上，对任意实数 恒有 ，需 ，同样得 。 例题 2（教材原题改编） 已知命题 ：存在 ，使 是真命题，求实数 的取值范围。 解析 ，。对称轴 在区间内，故 。存在 使 ，等价于 ，即 ，所以 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2025 天津卷·15）已知 为实数。若对任意 ，不等式 恒成立，求 的最小值。 变式 2-2（优质模拟改编） 已知命题 ：对任意实数 ， 是真命题，求实数 的取值范围。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：：存在实数 ，使 ；：对任意 ，。 假， 真， 真， 假。 解析：取 ，则 ，故 为假， 为真。取 ，则 ，故 为真， 为假。 变式 1-2 答案与解析 答案：（1）否定：存在一个无理数，它的平方不是无理数；真。（2）否定：对任意实数 ，；真。（3）否定：存在 ，使 ；假。 解析：（1）取 ，它是无理数， 是有理数，故否定为真。（2），所以对任意实数 都有 ，否定为真。（3）当 时， 且 ，所以 ，不存在使 的 ，否定为假。 变式 2-1 答案与解析 答案：。 解析：令 ，则原不等式为 ，即 对任意 恒成立。设 ，当 时，。 当 时， 恒成立需 ，即 。 当 时， 的最大值为 ，故需 ，即 。 综上，，所以 的最小值为 。 变式 2-2 答案与解析 答案：。 解析：当 时，不等式为 ，对任意实数 恒成立。当 时，，所以 ，对任意实数 恒成立。当 时，取 满足 ，则 ，不恒成立。综上，。 人教A版·必修第一册　第1章 1.5 全称量词与存在量词　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $