专题29.1 圆的有关概念（6大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题29.1 圆的有关概念 知识点1：圆的定义 　　1.描述性定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆，其固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径。 　　2.集合性定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 　　3.圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作"圆O"。 要素 作用 说明 图例 圆心 确定圆的位置 圆心不同，圆的位置不同 半径 确定圆的大小 半径越大，圆越大 　　1.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 　　2.圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形。 　　3.注意"圆"指圆周（一条封闭曲线），不是圆面。 知识点2：弦、弧、直径、等圆、等弧、圆心角 概念 定义 符号语言 说明 图例 弦 连接圆上任意两点的线段 （AB为弦） 圆中有无数条弦 直径 经过圆心的弦 （CD过圆心） 直径是圆中最长的弦，直径长是半径长的2倍，但弦不一定是直径 弧 圆上任意两点间的部分 以A、B为端点的弧 半圆 直径的两个端点把圆分成的两条弧 （C、D为直径端点） 半圆既不是劣弧也不是优弧 优弧 大于半圆的弧 （三个字母） 用三个字母表示 劣弧 小于半圆的弧 （两个字母） 用两个字母表示 等圆 能够重合的两个圆 半径相等的两个圆是等圆 等弧 同圆或等圆中能够互相重合的弧 （同圆或等圆中） 等弧是全等图形，不仅长度相等 　　1.弦与弧的区别与联系：弦是线段（两个端点在圆上，其他部分在圆内），弧是曲线（所有点都在圆上）；每条弧只对应一条弦，每条弦都对应两条弧。 　　2.直径是最长的弦，但弦不一定是直径；半径不是弦（弦的两个端点必须在圆上，而半径的一个端点是圆心）。 　　3.同圆或等圆的半径相等；等弧只能出现在同圆或等圆中。 知识点3：点与圆的位置关系 　　设⊙O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP=d，则点与圆有三种位置关系： 位置关系 图示 数量关系 图例 点在圆外 点P在圆外 点在圆上 点P在圆上 点在圆内 点P在圆内 　　1.判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离d与半径r的大小。 　　2.符号"⇔"表示"等价于"，从左端可推出右端，从右端也可推出左端。 知识点4：确定圆的条件 　　1.经过一个点可以作无数个圆；经过两个点也可以作无数个圆（圆心在线段AB的垂直平分线上）。 　　2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆：作线段AB、BC的垂直平分线，它们的交点即为圆心，以该点到任一点的距离为半径作圆。 　　3.经过同一条直线上的三个点不能作圆（可用反证法证明）。 　　1.确定圆心的方法：找两条弦的垂直平分线的交点。 　　2.作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。 知识点5：三角形的外接圆与外心 　　1.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，这个三角形叫作圆的内接三角形。 　　2.外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 　　3.外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径。 三角形类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 外心位置 在三角形内部 在斜边的中点处 在三角形外部 　　1.任意三角形有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形。 　　2.求三角形外接圆半径时，常结合等腰三角形的高、勾股定理求解。 知识点6：反证法 　　1.反证法的定义：先提出与命题结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法。 　　2.反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）；（2）从这个假设出发，进行推理，得出矛盾；（3）由矛盾断定假设不正确，从而原命题成立。 　　1.当一个命题从正面不容易证明时，常采用反证法。 　　2.当原命题结论的反面不止一种情况时，必须把所有情况一一否定，才能得出原命题成立。 【基础必考题型】 【题型1】圆的定义与要素判断 1.核心知识点 　　圆的描述性定义与集合性定义；圆心、半径的作用。 2.解题方法技巧 　　（1）圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合，定点是圆心、定长是半径； 　　（2）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小； （3）圆上各点到圆心的距离都等于半径，圆上任意两点和圆心构成等腰三角形。 【例题1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，将一根木棒的一端固定在点，另一端绑一重物．将此重物拉到点后放开，让此重物由点摆动到点．则此重物移动路径的形状为（     ） A．水平直线 B．倾斜直线 C．两条线段组成的折线 D．圆弧 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的半径为______厘米． 【变式题1-2】.（25-26六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）圆的直径决定圆的（ ） A．形状 B．位置 C．大小 【变式题1-3】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知中最大的弦长为4，则圆的半径为______． 【题型2】弦、弧、直径等概念辨析 1.核心知识点 　　弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧的定义与区别。 2.解题方法技巧 　　（1）弦是连接圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦（最长的弦），但弦不一定是直径； 　　（2）弧是圆上两点间的部分，分优弧、劣弧、半圆； （3）半径的两个端点在圆心和圆上，不是弦；半圆既不是优弧也不是劣弧。 【例题2】.（26-27九年级上·吉林·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【变式题2-1】.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【变式题2-2】.（26-27九年级下·全国·单元复习）下列说法错误的是（     ） A．过圆心的线段是直径 B．连接圆上任意两点的线段叫作弦 C．圆有无数条直径 D．能够重合的圆叫作等圆 【变式题2-3】.（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【题型3】等圆与等弧的判断 1.核心知识点 　　等圆、等弧的定义；半径相等、能重合。 2.解题方法技巧 　　（1）等圆：半径相等的两个圆；面积相等的圆也是等圆； 　　（2）等弧：在同圆或等圆中能够互相重合的弧，等弧是全等图形，仅长度相等不一定等弧； （3）判断等弧要同时考虑所在的圆是否同圆或等圆。 【例题3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．长度相等的弧是等弧 D．过圆心的直线是直径 【变式题3-1】.（25-26九年级上·北京·课堂例题）圆的有关概念： (1)圆的两种定义方式： （a）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做　　　　　．线段叫做　　　　． （b）圆是所有点到定点的距离　　　　　　定长的点的集合． (2)弦：连接圆上任意两点的　　　　　　叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）； (3)弧：圆上任意两点间的部分叫　　　　　　（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍） (4)等弧：在同圆与等圆中，能够　　　　　　的弧叫等弧． (5)等圆：能够　　　　　　的两个圆叫等圆，半径　　　　　　的两个圆也叫等圆． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点A，B在上，点C，D在上，判断下列说法是否正确： (1)若，则与是等圆； (2)若，则与是等圆； (3)若，则与是等弧； (4)若，则与是等弧． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是__________．（填序号） ①直径是圆的对称轴；②半径相等的两个圆是等圆；③长度相等的两条弧是等弧；④直径是圆中最长的弦；⑤优弧一定大于劣弧；⑥弧是半圆，半圆是弧；⑦圆上各点到圆心的距离相等． 【培优高频题型】 【题型4】判断点与圆的位置关系 1.核心知识点 　　点到圆心的距离与半径比较；d与r的关系。 2.解题方法技巧 　　（1）先求点到圆心的距离d，再与半径r比较； 　　（2）d>r点在圆外，d=r点在圆上，d<r点在圆内； （3）结合几何图形（如直角三角形斜边中线、矩形对角线）求距离。 【例题4】.（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法判断 【变式题4-1】.（26-27九年级上·陕西·期中）已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知的半径为3，以圆心O为原点建立平面直角坐标系，若点A在内，请写出符合要求的点A的坐标______________．（写出一个即可） 【变式题4-3】.（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【题型5】根据点与圆的位置关系求半径（范围） 1.核心知识点 　　由点与圆的位置关系反求半径的取值范围。 2.解题方法技巧 　　（1）列出各点到圆心的距离； 　　（2）按位置关系列出关于半径的不等式（组）； （3）取各不等式解集的公共部分，确定半径取值范围。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点P在外，，那么的半径r满足______． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 【题型6】确定圆的条件与三角形外接圆 1.核心知识点 　　不在同一直线上的三点确定一个圆；三角形外心。 2.解题方法技巧 　　（1）作两条边的垂直平分线，交点为圆心（外心），到三顶点距离相等； 　　（2）锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部； （3）求外接圆半径常结合等腰三角形底边高与勾股定理。 【例题6】.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知平面直角坐标系中的三个点分别为，，．试判断A，B，C这三个点能否确定一个圆，并说明理由． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（     ） A．3个 B．4个 C．2个 D．0个 【变式题6-2】.（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，弧所在圆的圆心坐标为______________． 【压轴素养题型】 【题型7】与圆的定义相关的证明 1.核心知识点 　　用圆的定义证明多点共圆（到定点距离相等）。 2.解题方法技巧 　　（1）选定一个点为圆心（定点）； 　　（2）判断其他点到这个定点的距离是否相等； 　　（3）若距离相等，则这些点共圆（如矩形对角线交点到四个顶点距离相等）。 【例题7】.（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知：如图，、是的两条直径，、分别是、的中点，连接、．求证：． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）矩形的对角线，相交于点O，点E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：E，F，G，H四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，、是的两条直径，四边形是矩形吗？证明你的结论． 【题型8】反证法与圆的综合应用（素养题） 1.核心知识点 　　反证法的步骤；跨学科（车轮、等宽曲线、年轮等）情境中的圆。 2.解题方法技巧 　　（1）反证法证明：假设结论反面成立→推出矛盾→假设不成立→原命题成立； 　　（2）跨学科情境（车轮、年轮、等宽曲线、最小覆盖圆）题，先抽象出圆与点、弦的关系，再运用概念求解； 　　（3）探究题按"理解情境—抽象圆模型—运用概念—检验"的步骤推进。 【例题8】.（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）用反证法证明“若的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在的内部”时，首先应假设（    ） A． B．点P在内部 C．点P在上 D．点P在上或点P在外部 【变式题8-1】.（25-26九年级上·河南信阳·期中）用反证法证明“若的半径为r，点P到圆心的距离d大于r，则点P在外”．首先应假设（    ）． A． B．点P在外 C． D．点P在上或点P在内 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）用反证法证明命题“经过同一条直线上的三个点不能作圆”，应假设（     ） A．经过不在同一条直线上的三个点能作圆 B．经过同一条直线上的三个点可以作一个圆 C．经过同一条直线上的两个点不能作圆 D．经过同一条直线上的四个点不能作圆 【变式题8-3】.（2026·山西阳泉·二模）阅读与思考 在学习了“圆内接四边形的对角互补”后，数学兴趣小组的同学们研究了它的逆命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”．发现该逆命题是真命题，下面是他们按照“提出问题一分析问题一解决问题”的路径，对该逆命题的探究过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 对“圆内接四边形的对角互补”的逆命题的探究 提出问题： 证明命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”是真命题，即已知：在四边形中，，求证：四边形内接于圆． 分析问题： 我们知道，不在同一条直线上的三个点，确定一个圆，所以一定内接于圆，若证明点也在该圆上，则可得四边形内接于该圆．但是发现直接证明行不通，于是考虑采取反证法来证明． 解决问题： 证明：在四边形中，过点作． 假设点不在上，则点在外或点在内．分以下两种情况讨论： ①当点在外时，如图1．设交于点； 连接，则四边形是的内接四边形， ∴， 是的外角， ∴， ∴， 这与已知“”相矛盾，即点在外不成立． ②当点在内时，如图2． ．．．．．． 任务： (1)下列四边形中，一定内接于圆的是__________．（填序号） A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)将材料中的证明过程补充完整． (3)如图3，已知，求作四边形和，使得四边形内接于，且对角线平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 易错点 1、把直径误当弦的专属名称：直径是经过圆心的弦，是最长的弦，但弦不一定是直径。 2、把半径误当成弦：半径的端点是圆心和圆上一点，不是连接圆上两点的线段。 3、把长度相等的弧误当等弧：等弧必须是在同圆或等圆中能够重合的弧，仅长度相等不一定等弧。 4、判断点与圆的位置关系时，把d>r与d<r的结论弄反。 5、忽略"不在同一条直线上"这一条件，误认为任意三个点都能确定一个圆。 重点 1、掌握圆的定义（描述性与集合性）及圆心、半径、弦、弧、直径、等圆、等弧、圆心角等概念。 2、掌握点与圆的位置关系，会由d与r的大小关系判断位置，或由位置关系求半径范围。 3、掌握确定圆的条件与三角形外接圆、外心的概念及性质。 难点 1、与圆的定义相关的证明与求值（多点共圆、等腰三角形、勾股定理）。 2、同心圆中的计算与证明、点与圆的最值问题。 3、反证法及圆在跨学科情境中的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．弧是半圆 B．直径是弦 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．三点确定一个圆 2．设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（     ） A．5 B．5或4 C． D．5或 3．我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出的圆心，再证明点也在上，在用反证法证明时，假设结论“点在上”不成立，那么点与圆的位置关系是（    ） A．点只能在内 B．点只能在外 C．点在圆心或在外 D．点在内或外 二、填空题 4．已知的半径为5，点P在内，则的长_______5．（填“>”“<”或“=”） 5．圆外点到的最小距离是1，最大距离是7，则半径为_______． 6．如图，三点在上，若，则的度数是__________． 三、解答题 7．作两个等圆，使其中一个圆经过另一个圆的圆心． 8．的半径为10，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和的位置关系： (1)8； (2)10； (3)12． 9．体育课上，李明和王芳的铅球成绩分别是和，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？ 10．如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.1 圆的有关概念 知识点1：圆的定义 　　1.描述性定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆，其固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径。 　　2.集合性定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 　　3.圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作"圆O"。 要素 作用 说明 图例 圆心 确定圆的位置 圆心不同，圆的位置不同 半径 确定圆的大小 半径越大，圆越大 　　1.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 　　2.圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形。 　　3.注意"圆"指圆周（一条封闭曲线），不是圆面。 知识点2：弦、弧、直径、等圆、等弧、圆心角 概念 定义 符号语言 说明 图例 弦 连接圆上任意两点的线段 （AB为弦） 圆中有无数条弦 直径 经过圆心的弦 （CD过圆心） 直径是圆中最长的弦，直径长是半径长的2倍，但弦不一定是直径 弧 圆上任意两点间的部分 以A、B为端点的弧 半圆 直径的两个端点把圆分成的两条弧 （C、D为直径端点） 半圆既不是劣弧也不是优弧 优弧 大于半圆的弧 （三个字母） 用三个字母表示 劣弧 小于半圆的弧 （两个字母） 用两个字母表示 等圆 能够重合的两个圆 半径相等的两个圆是等圆 等弧 同圆或等圆中能够互相重合的弧 （同圆或等圆中） 等弧是全等图形，不仅长度相等 　　1.弦与弧的区别与联系：弦是线段（两个端点在圆上，其他部分在圆内），弧是曲线（所有点都在圆上）；每条弧只对应一条弦，每条弦都对应两条弧。 　　2.直径是最长的弦，但弦不一定是直径；半径不是弦（弦的两个端点必须在圆上，而半径的一个端点是圆心）。 　　3.同圆或等圆的半径相等；等弧只能出现在同圆或等圆中。 知识点3：点与圆的位置关系 　　设⊙O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP=d，则点与圆有三种位置关系： 位置关系 图示 数量关系 图例 点在圆外 点P在圆外 点在圆上 点P在圆上 点在圆内 点P在圆内 　　1.判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离d与半径r的大小。 　　2.符号"⇔"表示"等价于"，从左端可推出右端，从右端也可推出左端。 知识点4：确定圆的条件 　　1.经过一个点可以作无数个圆；经过两个点也可以作无数个圆（圆心在线段AB的垂直平分线上）。 　　2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆：作线段AB、BC的垂直平分线，它们的交点即为圆心，以该点到任一点的距离为半径作圆。 　　3.经过同一条直线上的三个点不能作圆（可用反证法证明）。 　　1.确定圆心的方法：找两条弦的垂直平分线的交点。 　　2.作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小。 知识点5：三角形的外接圆与外心 　　1.三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，这个三角形叫作圆的内接三角形。 　　2.外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 　　3.外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径。 三角形类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 外心位置 在三角形内部 在斜边的中点处 在三角形外部 　　1.任意三角形有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形。 　　2.求三角形外接圆半径时，常结合等腰三角形的高、勾股定理求解。 知识点6：反证法 　　1.反证法的定义：先提出与命题结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法。 　　2.反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）；（2）从这个假设出发，进行推理，得出矛盾；（3）由矛盾断定假设不正确，从而原命题成立。 　　1.当一个命题从正面不容易证明时，常采用反证法。 　　2.当原命题结论的反面不止一种情况时，必须把所有情况一一否定，才能得出原命题成立。 【基础必考题型】 【题型1】圆的定义与要素判断 1.核心知识点 　　圆的描述性定义与集合性定义；圆心、半径的作用。 2.解题方法技巧 　　（1）圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合，定点是圆心、定长是半径； 　　（2）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小； （3）圆上各点到圆心的距离都等于半径，圆上任意两点和圆心构成等腰三角形。 【例题1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，将一根木棒的一端固定在点，另一端绑一重物．将此重物拉到点后放开，让此重物由点摆动到点．则此重物移动路径的形状为（     ） A．水平直线 B．倾斜直线 C．两条线段组成的折线 D．圆弧 【答案】D 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以O为圆心，为半径的一段圆弧． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）把圆规的两脚分开，两脚间的距离是3厘米，再把有针尖的一只脚固定在一点上，把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，则这个圆的半径为______厘米． 【答案】3 【分析】圆规画圆时，两脚间的距离就是所画圆的半径，结合已知条件可直接得到结果． 【详解】解：根据用圆规画圆的规则可知，圆规两脚分开的距离就是所画出圆的半径， 已知题目中两脚间的距离是厘米， 因此这个圆的半径为厘米． 【变式题1-2】.（25-26六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）圆的直径决定圆的（ ） A．形状 B．位置 C．大小 【答案】C 【分析】本题考查了圆的特征，解题的关键是先明确圆的直径，圆心的作用，再逐项分析即可． 【详解】解：所有的圆形状都一样，都是圆形；圆的位置由圆心决定；圆的大小由圆的直径或半径决定，直径大圆就大，直径小圆相对就小， 故选：C． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）已知中最大的弦长为4，则圆的半径为______． 【答案】2 【分析】圆中最大的弦为直径，已知直径长度，利用半径是直径长度的一半计算即可得到结果． 【详解】解：∵圆中最大的弦是直径，中最大的弦长为， ∴的直径为． ∵圆的半径等于直径的， ∴半径为． 【题型2】弦、弧、直径等概念辨析 1.核心知识点 　　弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧的定义与区别。 2.解题方法技巧 　　（1）弦是连接圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦（最长的弦），但弦不一定是直径； 　　（2）弧是圆上两点间的部分，分优弧、劣弧、半圆； （3）半径的两个端点在圆心和圆上，不是弦；半圆既不是优弧也不是劣弧。 【例题2】.（26-27九年级上·吉林·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【答案】D 【详解】解：A、圆中最长的弦为直径，而直径有无数条，原说法错误； B、半圆是弧，原说法错误； C、长度相等的两段弧不一定是等弧，原说法错误； D、圆上各点到圆心的距离相等，原说法正确． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．弦是直径 B．圆上任意两点间的线段叫作圆弧 C．直径是弦 D．过圆心的线段是直径 【答案】C 【分析】根据圆中弦、直径、圆弧的定义逐一判断：弦是圆上两点的线段，直径是经过圆心的弦，所以直径属于弦，但弦不一定是直径；圆弧是圆上两点之间的曲线，不是线段；直径不仅要过圆心，两个端点还必须在圆上，由此判定只有C正确． 【详解】解：A选项，弦不一定过圆心，故弦不一定是直径，错误； B选项，圆弧是圆上两点间的曲线部分，不是线段，故该说法错误； C选项，直径是特殊的弦，故该说法正确； D选项，过圆心的线段端点不一定都在圆上，故不一定是直径，错误． 【变式题2-2】.（26-27九年级下·全国·单元复习）下列说法错误的是（     ） A．过圆心的线段是直径 B．连接圆上任意两点的线段叫作弦 C．圆有无数条直径 D．能够重合的圆叫作等圆 【答案】A 【详解】解：A．过圆心且两端都在圆上的线段才是直径，仅过圆心的线段不一定是直径，该说法错误． B．连接圆上任意两点的线段叫作弦，符合弦的定义，该说法正确． C．过圆心可作无数条两端都在圆上的线段，即圆有无数条直径，该说法正确． D．能够重合的圆叫作等圆，符合等圆的定义，该说法正确． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，运用直径的定义与性质即可判断①③⑤是否正确；运用“比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧” 即可判断②④是否正确；运用“在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧”即可判断⑥⑧是否正确；运用“圆上两点间的部分叫做圆弧”即可判断⑦是否正确．解题的关键是理解命题有题设和结论两部分组成． 【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确； 弧不一定是半圆，故②错误； 直径是线段不是直线，故③错误； 半圆是弧，故④错误； 直径是弦，故⑤错误； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误； 圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误； ⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧， ∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确． ∴正确的命题是①⑧． 故选：A． 【题型3】等圆与等弧的判断 1.核心知识点 　　等圆、等弧的定义；半径相等、能重合。 2.解题方法技巧 　　（1）等圆：半径相等的两个圆；面积相等的圆也是等圆； 　　（2）等弧：在同圆或等圆中能够互相重合的弧，等弧是全等图形，仅长度相等不一定等弧； （3）判断等弧要同时考虑所在的圆是否同圆或等圆。 【例题3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．长度相等的弧是等弧 D．过圆心的直线是直径 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，理解弦、直径、弧、等弧的定义是解题的关键。 根据弦、弧、半圆、直径的定义逐一判断各选项的正确性即可。 【详解】解：A选项错误：弦是连接圆上两点的线段，而直径是过圆心的特殊弦，但并非所有弦都是直径。 B选项正确：半圆是圆上任意一条直径的两个端点分成的弧，属于弧的一种。 C选项错误：等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定为等弧。 D选项错误：直径是过圆心的线段（两端点在圆上），而直线是无限延伸的，不能称为直径。 故选：B 【变式题3-1】.（25-26九年级上·北京·课堂例题）圆的有关概念： (1)圆的两种定义方式： （a）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做　　　　　．线段叫做　　　　． （b）圆是所有点到定点的距离　　　　　　定长的点的集合． (2)弦：连接圆上任意两点的　　　　　　叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）； (3)弧：圆上任意两点间的部分叫　　　　　　（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍） (4)等弧：在同圆与等圆中，能够　　　　　　的弧叫等弧． (5)等圆：能够　　　　　　的两个圆叫等圆，半径　　　　　　的两个圆也叫等圆． 【答案】(1)圆心  半径   等于 (2)线段 (3)弧 (4)完全重合 (5)完全重合  相等 【分析】本题主要考查了圆、弦、弧的定义，牢记相关定义是解答本题的关键． 根据圆、弦、弧、等弧、等圆的定义即可作答． 【详解】（1）解：（）在一个平面内线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心．线段叫做半径； （）圆是所有点到定点的距离等于定长的点的集合； （2）解：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）； （3）解；弧：圆上任意两点间的部分叫弧（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）； （4）解：等弧：在同圆与等圆中，能够完全重合的弧叫等弧； （5）解：等圆：能够完全重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点A，B在上，点C，D在上，判断下列说法是否正确： (1)若，则与是等圆； (2)若，则与是等圆； (3)若，则与是等弧； (4)若，则与是等弧． 【答案】(1) 说法错误 (2) 说法正确 (3) 说法错误 (4) 说法错误 【分析】根据等圆和等弧的定义判断，等圆是半径相等的圆，等弧是能完全重合的弧，只有在同圆或等圆中才能存在等弧． 【详解】（1）解：弦长仅表示弦的长度相等，不同半径的圆中可以存在长度相等的弦，无法推出两圆半径相等，因此该说法错误； （2）解：是的半径，是的半径，且， 两圆半径相等，两圆是等圆，因此该说法正确； （3）解：只有在同圆或等圆中，才能得到等弦对等弧，题目未说明和是等圆， 弦相等不能推出两弧是等弧，因此该说法错误； （4）解：仅给出半径相等，未说明弦与相等，和的长度不一定相等，无法重合， 该说法错误． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是__________．（填序号） ①直径是圆的对称轴；②半径相等的两个圆是等圆；③长度相等的两条弧是等弧；④直径是圆中最长的弦；⑤优弧一定大于劣弧；⑥弧是半圆，半圆是弧；⑦圆上各点到圆心的距离相等． 【答案】②④⑦ 【分析】结合圆的相关基础概念，逐个判断每个说法的正误即可. 【详解】解：①直径所在的直线才是圆的对称轴，原说法错误； ②半径相等的两个圆可以完全重合，符合等圆的定义，原说法正确； ③ 等弧的定义是同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的两条弧不一定能重合，原说法错误； ④直径是圆中最长的弦，原说法正确； ⑤只有在同圆或等圆中优弧才大于劣弧，不同大小的圆中，大圆的劣弧长度可以大于小圆的优弧，原说法错误； ⑥弧包含优弧、劣弧和半圆三类，因此弧不一定是半圆，原说法错误； ⑦圆上各点到圆心的距离相等，原说法正确； 综上所述，正确的有②④⑦． 【培优高频题型】 【题型4】判断点与圆的位置关系 1.核心知识点 　　点到圆心的距离与半径比较；d与r的关系。 2.解题方法技巧 　　（1）先求点到圆心的距离d，再与半径r比较； 　　（2）d>r点在圆外，d=r点在圆上，d<r点在圆内； （3）结合几何图形（如直角三角形斜边中线、矩形对角线）求距离。 【例题4】.（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知的半径为3，若，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵的半径为3，，， ∴点在外. 【变式题4-1】.（26-27九年级上·陕西·期中）已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故A选项不符合题意； B、到圆心的距离为，，点在圆内，故B选项不符合题意； C、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故C选项不符合题意； D、到圆心的距离为，，点在圆外，故D选项符合题意． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）已知的半径为3，以圆心O为原点建立平面直角坐标系，若点A在内，请写出符合要求的点A的坐标______________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】圆心在坐标原点，半径为，点在内，只需点到原点的距离小于，写出一个符合条件的坐标即可． 【详解】解：的圆心为坐标原点，半径为， 点在内的条件是点到原点的距离小于， 取点坐标为，点到原点的距离为， ，满足条件， 符合要求的点的坐标可以为． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点P坐标算出的长度d，设圆的半径为r，，则点在圆上． 【详解】解：， 的半径， ， 在上． 【题型5】根据点与圆的位置关系求半径（范围） 1.核心知识点 　　由点与圆的位置关系反求半径的取值范围。 2.解题方法技巧 　　（1）列出各点到圆心的距离； 　　（2）按位置关系列出关于半径的不等式（组）； （3）取各不等式解集的公共部分，确定半径取值范围。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点P在外，，那么的半径r满足______． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系，点在圆外时，点到圆心的距离大于圆的半径，结合已知条件推导半径的范围． 【详解】解：∵点在外， ∴点到圆心的距离大于的半径， ∵， ∴， 又∵圆的半径为正数，即， ∴可得满足． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出长，再利用等面积法求出高；算出B、D、C三点到圆心的距离，根据“至少一点在圆内，至少一点在圆外”列条件求半径取值范围． 【详解】解：，，， ， ， ． 可得三点到点距离：，，． 要使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外： 当，三点都不在圆内，不符合题意； 当，三点都不在圆外，不符合题意； 当时，，点在内；，点在外，满足条件． 的半径的取值范围为． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 【变式题5-3】.（25-26九年级上·上海静安·阶段检测）在中，，，，以点为圆心作，要使、两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么的半径长的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于圆的半径时点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时点在圆内． 计算点A到点B和点C的距离，再根据一个点在圆内一个点在圆外的条件，结合点与圆的位置关系，确定半径r的取值范围． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得． ∴点C到圆心A的距离为12，点B到圆心A的距离为13， 且． 要使点B和点C中一个在圆外一个在圆内， 须使的半径r的值在12和13之间， ∴的半径长r的取值范围为． 故答案为：． 【题型6】确定圆的条件与三角形外接圆 1.核心知识点 　　不在同一直线上的三点确定一个圆；三角形外心。 2.解题方法技巧 　　（1）作两条边的垂直平分线，交点为圆心（外心），到三顶点距离相等； 　　（2）锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部； （3）求外接圆半径常结合等腰三角形底边高与勾股定理。 【例题6】.（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知平面直角坐标系中的三个点分别为，，．试判断A，B，C这三个点能否确定一个圆，并说明理由． 【答案】解：A，B，C这三个点能确定一个圆， 理由如下： 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 当时，， 所以点不在直线上， 即点A、B、C不在同一条直线上， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆进行判断． 【详解】略 【变式题6-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（     ） A．3个 B．4个 C．2个 D．0个 【答案】A 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，，；，；，加上点可以画出一个圆， ∴共有3个． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：三角形外心是其三边垂直平分线的交点，故由作图方法可知只有C选项符合题意． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，弧所在圆的圆心坐标为______________． 【答案】 【分析】圆心位于弦的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，设出圆心坐标，然后根据圆心到圆上任意一点的距离相等，列出方程，求解方程即可． 【详解】解：由题意知，点，，． 观察点A和点B，它们的纵坐标相同，说明线段平行于x轴，线段的中点为，则其垂直平分线是直线； 设圆心为，由得： 解得 所以，圆心P的坐标为． 【压轴素养题型】 【题型7】与圆的定义相关的证明 1.核心知识点 　　用圆的定义证明多点共圆（到定点距离相等）。 2.解题方法技巧 　　（1）选定一个点为圆心（定点）； 　　（2）判断其他点到这个定点的距离是否相等； 　　（3）若距离相等，则这些点共圆（如矩形对角线交点到四个顶点距离相等）。 【例题7】.（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了圆的半径相等的性质、平行线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线的角的关系结合等腰三角形的等角转化，推导圆心角相等． 由得同位角、内错角相等，结合得等腰三角形的角相等，进而转化得到 【详解】略 【变式题7-1】.（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知：如图，、是的两条直径，、分别是、的中点，连接、．求证：． 【答案】证明：∵、是的两条直径， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】由圆的性质得到，再证明，进一步证明，则可证明． 【详解】略 【变式题7-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）矩形的对角线，相交于点O，点E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：E，F，G，H四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【答案】证明：∵ 四边形是矩形， ∴ ，，， ∴ ． ∵ 点，，，分别是，，，的中点， ∴ ，，，， ∴ ， ∴ ，，，四个点在以点为圆心，为半径的同一个圆上． 【分析】根据矩形的性质，得到，再利用圆的定义，解答即可． 【详解】略 【变式题7-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，、是的两条直径，四边形是矩形吗？证明你的结论． 【答案】四边形是矩形． 证明如下： 、是的两条直径， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 【分析】由题意得，可证四边形是平行四边形，结合，即可得证． 【详解】略 【题型8】反证法与圆的综合应用（素养题） 1.核心知识点 　　反证法的步骤；跨学科（车轮、等宽曲线、年轮等）情境中的圆。 2.解题方法技巧 　　（1）反证法证明：假设结论反面成立→推出矛盾→假设不成立→原命题成立； 　　（2）跨学科情境（车轮、年轮、等宽曲线、最小覆盖圆）题，先抽象出圆与点、弦的关系，再运用概念求解； 　　（3）探究题按"理解情境—抽象圆模型—运用概念—检验"的步骤推进。 【例题8】.（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）用反证法证明“若的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在的内部”时，首先应假设（    ） A． B．点P在内部 C．点P在上 D．点P在上或点P在外部 【答案】D 【分析】本题考查了反证法的定义，反证法需假设原命题结论的否定，原结论为“点P在内部”，其否定为“点P不在内部”，即“点P在上或点P在外部”． 【详解】解：∵反证法首先假设命题结论不成立， ∴应假设“点P不在内部”，即“点P在上或点P在外部”． 故选：D． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·河南信阳·期中）用反证法证明“若的半径为r，点P到圆心的距离d大于r，则点P在外”．首先应假设（    ）． A． B．点P在外 C． D．点P在上或点P在内 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法，否定命题判断的相反判断，从而肯定原来判断的正确性，这种证明法称为反证法． 反证法需假设原命题结论的否定．原命题结论为“点P在外”，其否定为“点P不在外”，即点P在圆上或圆内． 【详解】解∵ 反证法首先假设原命题结论不成立，原命题结论：点P在外， ∴ 其否定为：点P不在外， 又∵ 点与圆的位置关系只有三种：圆外、圆上、圆内， ∴ “点P不在外”等价于“点P在上或点P在内”． 故选D． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）用反证法证明命题“经过同一条直线上的三个点不能作圆”，应假设（     ） A．经过不在同一条直线上的三个点能作圆 B．经过同一条直线上的三个点可以作一个圆 C．经过同一条直线上的两个点不能作圆 D．经过同一条直线上的四个点不能作圆 【答案】B 【分析】用反证法证明，需保留原命题条件，否定原命题结论． 【详解】解：原命题的条件为“经过同一条直线上的三个点”，结论为“不能作圆”， 故用反证法证明时，应假设“经过同一条直线上的三个点可以作一个圆”． 【变式题8-3】.（2026·山西阳泉·二模）阅读与思考 在学习了“圆内接四边形的对角互补”后，数学兴趣小组的同学们研究了它的逆命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”．发现该逆命题是真命题，下面是他们按照“提出问题一分析问题一解决问题”的路径，对该逆命题的探究过程，请你仔细阅读并完成相应的任务． 对“圆内接四边形的对角互补”的逆命题的探究 提出问题： 证明命题“如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形内接于圆”是真命题，即已知：在四边形中，，求证：四边形内接于圆． 分析问题： 我们知道，不在同一条直线上的三个点，确定一个圆，所以一定内接于圆，若证明点也在该圆上，则可得四边形内接于该圆．但是发现直接证明行不通，于是考虑采取反证法来证明． 解决问题： 证明：在四边形中，过点作． 假设点不在上，则点在外或点在内．分以下两种情况讨论： ①当点在外时，如图1．设交于点； 连接，则四边形是的内接四边形， ∴， 是的外角， ∴， ∴， 这与已知“”相矛盾，即点在外不成立． ②当点在内时，如图2． ．．．．．． 任务： (1)下列四边形中，一定内接于圆的是__________．（填序号） A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)将材料中的证明过程补充完整． (3)如图3，已知，求作四边形和，使得四边形内接于，且对角线平分．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)B、D (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）一定内接于圆的四边形，对角一定是互补的，矩形和正方形的对角一定是互补的，而平行四边形与菱形的对角不一定互补； （2）延长交于点，连接，则四边形是的内接四边形，利用是的外角，得出，与已知“”相矛盾，从而证明点在内不成立，从反面证明点在上； （3）作出、的垂直平分线交于点，以点为圆心，以为半径，作，此时在上，作出的角平分线，与交于点，连接、，四边形与即为所求． 【详解】（1）解：∵矩形和正方形四个内角都是， ∴矩形和正方形的对角是互补的， ∴矩形和正方形一定内接于圆， 而平行四边形与菱形的对角只是相等不一定互补， ∴平行四边形与菱形不一定内接于圆． （2）解：当点在内时，如图2，延长交于点，连接，则四边形是的内接四边形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 这与已知“”相矛盾，即点在内不成立． 综上所述，点在上，即四边形内接于． （3）解：如图所示，分别作出、的垂直平分线，、的垂直平分线交于点；以点为圆心，以为半径，作；作出的角平分线，与交于点；连接、，四边形与即为所求． ∵点是、的垂直平分线的交点， ∴为的外接圆，即在上， 又∵的角平分线，与交于点， ∴平分，点也在上， ∴四边形与即为所求． 易错点 1、把直径误当弦的专属名称：直径是经过圆心的弦，是最长的弦，但弦不一定是直径。 2、把半径误当成弦：半径的端点是圆心和圆上一点，不是连接圆上两点的线段。 3、把长度相等的弧误当等弧：等弧必须是在同圆或等圆中能够重合的弧，仅长度相等不一定等弧。 4、判断点与圆的位置关系时，把d>r与d<r的结论弄反。 5、忽略"不在同一条直线上"这一条件，误认为任意三个点都能确定一个圆。 重点 1、掌握圆的定义（描述性与集合性）及圆心、半径、弦、弧、直径、等圆、等弧、圆心角等概念。 2、掌握点与圆的位置关系，会由d与r的大小关系判断位置，或由位置关系求半径范围。 3、掌握确定圆的条件与三角形外接圆、外心的概念及性质。 难点 1、与圆的定义相关的证明与求值（多点共圆、等腰三角形、勾股定理）。 2、同心圆中的计算与证明、点与圆的最值问题。 3、反证法及圆在跨学科情境中的综合应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．弧是半圆 B．直径是弦 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．三点确定一个圆 【答案】B 【详解】解：A选项，弧是圆上任意两点间的部分，半圆是特殊的弧，弧不一定是半圆，该说法错误； B选项，弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，该说法正确； C选项，等弧是能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，该说法错误； D选项，不在同一直线上的三点确定一个圆，共线三点无法确定一个圆，该说法错误． 2．设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（     ） A．5 B．5或4 C． D．5或 【答案】A 【详解】解：∵的两条直角边长分别为6，8． ∴斜边长． ∴外接圆半径． 3．我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出的圆心，再证明点也在上，在用反证法证明时，假设结论“点在上”不成立，那么点与圆的位置关系是（    ） A．点只能在内 B．点只能在外 C．点在圆心或在外 D．点在内或外 【答案】D 【分析】本题考查反证法，点与圆的位置关系．点D不在圆上时，其位置只能在圆内或圆外，因为圆内包括圆心（距离小于半径），圆外距离大于半径，而圆上距离等于半径． 【详解】解：∵ 假设点D不在上， ∴ 点D到圆心O的距离不等于半径， 即点D在内（距离小于半径，包括与圆心重合）或点D在外（距离大于半径）． ∴ 点D与的位置关系是点D在内或外． 故选：D． 二、填空题 4．已知的半径为5，点P在内，则的长_______5．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】已知的半径和点的位置，根据点与圆的位置关系的判定规则即可得到结论． 【详解】解：∵点与圆的位置关系规则为：点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径， ∵的圆心为，半径为，点在内， ∴． 5．圆外点到的最小距离是1，最大距离是7，则半径为_______． 【答案】 【分析】点在外，过点和圆心的直线与相交．两个交点到的距离分别为最小距离和最大距离．二者的差为圆的直径，据此计算半径即可． 【详解】解：∵点是外的点， ∴点到的最大距离与最小距离的差为的直径， ∴的直径为， ∴的半径为． 6．如图，三点在上，若，则的度数是__________． 【答案】/73度 【分析】连接，由圆的半径相等得，由平行线性质得，由等腰三角形性质即得． 【详解】解：连接， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 7．作两个等圆，使其中一个圆经过另一个圆的圆心． 【答案】如图， 【分析】在平面内任意取两点O、A，设线段的长度为r，分别以O为圆心、r为半径作圆，再以A为圆心、r为半径作圆. 所得两个圆为等圆，且每个圆都经过另一个圆的圆心即可． 【详解】略 8．的半径为10，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和的位置关系： (1)8； (2)10； (3)12． 【答案】(1) 点在内 (2) 点在上 (3) 点在外 【分析】 比较点到圆心的距离与半径的大小，即可判定点与圆的位置关系． 【详解】（1）解：∵的半径为10，点P到圆心O的距离为8，且， ∴点在内； （2）解：∵的半径为10，点P到圆心O的距离为10， ∴点在上； （3）解：∵的半径为10，点P到圆心O的距离为12，且， ∴点在外． 9．体育课上，李明和王芳的铅球成绩分别是和，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？ 【答案】李明投出的铅球落在到之间的区域；王芳投出的铅球落在到之间的区域． 【分析】根据李明和王芳的铅球成绩分别是和，找到其所在的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴李明投出的铅球落在到之间的区域， 王芳投出的铅球落在到之间的区域． 【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，关键是根据和分别求出其所在的范围． 10．如图，以的直角顶点为圆心，以的长为半径的圆分别交 于点，交于点，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形两锐角互余求出，再由圆的基本性质得，最后根据等边对等角及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴ ， ∵， ∴是等腰三角形， ， ∴ ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $