第06讲 函数的概念及其表示 讲义-2027届高考数学一轮复习

第06讲 函数的概念及其表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考函数概念与表示的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 函数知识结构图、三组易混辨析与定义域优先意识 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 函数的概念与三要素 全国一卷 T3（5 分） 新课标Ⅰ卷 T2（5 分） 北京卷 T3（5 分） 函数的定义域 新课标Ⅱ卷 T4（5 分） 天津卷 T3（5 分） 全国甲卷 T4（5 分） 函数的解析式 全国甲卷 T5（5 分） 浙江卷 T4（5 分） 新课标Ⅱ卷 T5（5 分） 分段函数 新课标Ⅰ卷 T8（5 分） 全国乙卷 T9（5 分） 天津卷 T6（5 分） 函数的值域与图象 北京卷 T6（5 分） 上海卷 T5（5 分） 浙江卷 T7（5 分） 函数概念题通常是一道 5 分小题，考定义域、同一函数判断或分段求值，位置靠前，讲究一次做对。 定义域是“让式子有意义”的交集，对数真数、偶次根号、分母三处最容易漏，写答案前逐项过一遍。 分段函数考先判后算，值域问题则要一段一段求再取并，别忘了每段的自变量范围。 备考建议：做任何函数题，第一句话先写定义域；判断同一函数，先比定义域再比化简结果；求解析式时换元必标新元范围；分段函数解方程，解出的值一定要回到所在段检验。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一个概念、三要素、四种求法、两类图象”。先看整体脉络： 图 1　函数知识结构图 学习时抓住两条主线：定义域优先（一切讨论都在定义域内进行）与对应关系（解析式、表格、图象三种表示可以互相转化）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 定义域与值域 定义域是自变量的取值集合，值域是函数值的集合；值域由定义域与对应关系共同确定，集合 不一定是值域，只能确定值域是 的子集 同一函数与函数值相等 判断同一函数要看定义域与对应关系是否都相同；仅仅某个函数值相等，或者化简后式子相同，都不足以说明是同一函数 分段函数与几个函数 分段函数是一个函数，定义域是各段的并集，值域是各段值域的并集；不能把它拆成几个互不相干的函数 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　函数的概念与三要素 一、函数的定义 设 ， 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 与之对应，就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，。 其中 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。由定义可知，值域是 的子集，不一定等于 。 二、三要素与同一函数 定义域、对应关系、值域称为函数的三要素。定义域与对应关系一经确定，值域随之确定，因此判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域与对应关系是否分别相同。 判断时先看定义域，再比较化简后的解析式；函数与自变量所用字母无关，（）与 （）是同一函数。 注意： 1．“任意”与“唯一”是定义的两个关键词：定义域中每个 都要有象，且象只能有一个。 2．值域不是 ，只有当 中每个元素都被取到时才有值域等于 。 3．判断同一函数不能只看化简结果，如 与 化简后相同，但 的定义域不含 ，二者不是同一函数。 【自主检测】判断 与 是否为同一函数． 【答案】不是同一函数 【分析】先比较定义域，再比较对应关系． 【详解】 的定义域为 ； 　　　 的定义域为 ． 　　　两个函数的定义域不同，所以不是同一函数． ▶ 知识点2　函数的定义域 一、具体函数的定义域 1．分式：分母不为零。 2．偶次根式：被开方数不小于零；奇次根式的被开方数可以是任意实数。 3．对数：真数大于零，底数大于零且不等于 。 4．零次幂：底数不为零，如 要求 。 若解析式由几部分组成，定义域是各部分取值范围的交集；实际问题还要使实际意义成立，如长度为正、人数为正整数。 二、抽象函数的定义域 已知 的定义域为 ，求 的定义域，就是解不等式 ，解集即为所求。 已知 的定义域为 ，求 的定义域，就是求 在 上的值域。定义域始终指自变量 的取值集合，而不是 的取值集合。 注意： 1．求定义域必须对原式列条件，先化简再求定义域会漏掉限制。 2．多个条件同时存在时取交集，不要写成并集。 3．结果写成集合或区间，端点能否取到要与原条件逐一核对。 【自主检测】求函数 的定义域． 【答案】 【分析】被开方数非负，分母不为零，两个条件取交集． 【详解】由 得 ； 　　　由 得 ． 　　　取交集得 且 ， 　　　所以定义域为 ． ▶ 知识点3　函数的解析式 一、待定系数法 已知函数类型时，先设出含参数的形式：一次函数设为 （），二次函数设为 （），再代入条件列方程求参数。 二、换元法与配凑法 已知 的表达式，可令 ，反解出 后代入右端，得到 ，再把 换成 。换元后必须注明 的取值范围，它就是 的值域。 若右端容易配成关于 的式子，也可直接配凑，如由 得 ，从而 。 三、方程组法 已知 与 、 的关系式，用 或 代换原式中的 ，得到第二个方程，与原式联立消元即可求出 。 注意： 1．换元后忘记写新元的范围，是求解析式最常见的失分点。 2．配凑时要保证变形前后相等，不能只改形式。 3．求出解析式后应注明定义域；用方程组法时，代换后的式子与原式必须对同一个 成立。 【自主检测】已知 ，求 ． 【答案】 【分析】把右端配成关于 的式子． 【详解】因为 ， 　　　所以 ， 　　　即 ． ▶ 知识点4　分段函数 一、分段函数的含义 在定义域的不同子集上，对应关系分别用不同式子表示的函数叫做分段函数。分段函数是一个函数，不是几个函数，它的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段值域的并集。 二、求值与解方程 求 时由内到外：先算 ，再判断所得值落在哪一段，代入该段的表达式。解方程 时，按 所在的段分类，每类解出的结果都要回到该类范围中检验，不合范围的舍去。 三、图象 分段函数的图象由各段图象拼接而成。画图时先标出每段的定义区间，再画对应图象，端点处取到用实心点、取不到用空心点，最后检查各段是否首尾衔接。 注意： 1．分段函数是一个函数，不能把各段看成互不相干的几个函数。 2．求 的顺序是由内到外，先算内层，再代入外层。 3．解方程后必须检验，把不在本段范围内的解舍去。 【自主检测】已知 （），（），（），求 ． 【答案】 【分析】先算内层 ，再判断结果所在的段． 【详解】因为 ，所以 ； 　　　因为 ，所以 ． 　　　故 ． ▶ 知识点5　函数的值域与图象 一、基本初等函数的值域 一次函数 （）的值域是 ；二次函数 （）当 时值域为 ，当 时为 。 反比例函数 （）的值域是 ；指数函数 （，）的值域是 ；对数函数 （，）的值域是 。 二、求值域的常用方法 配方法（二次型）、换元法（含根式）、分离常数法（分式型）、单调性法、基本不等式法。换元后先确定新元的取值范围，再在这个范围内求值域。 三、图象变换初步 平移：（）的图象由 的图象向右平移 个单位得到，（）向上平移 个单位。对称： 与 分别与 的图象关于 轴、 轴对称。 翻折： 把 轴下方的部分翻到上方，其余部分不变； 保留 轴右侧的部分，再把它对称到左侧。 注意： 1．值域要写成区间或集合，不能只写一个不等式。 2．用单调性求值域，必须先说明函数在区间上的单调性。 3．作翻折变换时先画原图象，再处理绝对值，顺序颠倒容易出错。 【自主检测】求函数 在 上的值域． 【答案】 【分析】配方后比较顶点与两个端点的函数值． 【详解】，对称轴为 ，且 ， 　　　所以最小值为 ． 　　　又 ，，所以最大值为 ， 　　　故值域为 ． ▶　题型破译　◀ 下面按“概念—定义域—解析式—分段—值域图象”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 函数概念与同一函数的判断 例1-1（2024·北京卷·T3 改编）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】逐项比较定义域与化简后的对应关系． 【详解】A 中 的定义域为 ，与 不同，不是同一函数； 　　　B 中两函数的对应关系不同，不是同一函数； 　　　C 中两函数的定义域均为 ，且 ，是同一函数； 　　　D 中 的定义域为 ，与 不同，不是同一函数． 　　　故选 C． 【方法技巧】 1．判断同一函数，第一步看定义域，第二步看化简后的解析式，两者都相同才是同一函数。 2．常见陷阱： 但定义域缩为 ； 但要求 。 3．与自变量字母无关， 与 是同一函数。 【易错分析】 1．只看化简结果相同就下结论，忽略定义域。 2．把值域相同当作同一函数的判据。 3．忽视 中底数不为零的限制。 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·一模）下列函数中，与 表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，且定义域为 ． 【详解】A 中定义域为 ，不是； 　　　B 中 ，定义域为 ，是； 　　　C 中定义域为 ，不是； 　　　D 中 ，对应关系不同，不是．故选 B． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·二模）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】定义域与对应关系同时比较． 【详解】A 中 要求 ， 要求 或 ，定义域不同； 　　　B 中 的定义域不含 ，定义域不同； 　　　C 中两函数定义域均为 ，对应关系相同，是同一函数； 　　　D 中 与 的对应关系不同．故选 C． 【变式训练1-3】（2026·河南郑州·三模）已知 ，，判断 与 是否为同一函数． 【答案】不是同一函数 【分析】求出 的解析式，再比较对应关系． 【详解】． 　　　两个函数的定义域均为 ，但对应关系不同， 　　　所以 与 不是同一函数． ▶ 题型2 求定义域 例2-1（2024·天津卷·T4 改编）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】被开方数非负、真数为正，两个条件取交集． 【详解】由 得 ； 　　　由 得 ． 　　　取交集得 ，即定义域为 ．故选 B． 【方法技巧】 1．按“分母、根式、对数、零次幂”的顺序逐条列条件，再取交集。 2．偶次根式的被开方数可以为零，对数的真数必须严格大于零，两者不要混。 3．答案写成区间或集合，端点开闭与原条件对应。 【易错分析】 1．把对数真数的“大于零”写成“不小于零”，多算了端点。 2．各部分条件的交集写成并集。 3．先化简解析式再求定义域，漏掉使原式无意义的点。 【变式训练2-1】（2026·河北石家庄·二模）函数 的定义域为________． 【答案】 【分析】被开方数为正（在分母上），不能取等号． 【详解】由题意 ，解得 ， 　　　所以定义域为 ． 【变式训练2-2】（2026·湖北武汉·一模）函数 的定义域为________． 【答案】 【分析】解一元二次不等式，被开方数非负． 【详解】由 得 ， 　　　解得 或 ， 　　　所以定义域为 ． 【变式训练2-3】（2025·四川成都·三模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________． 【答案】 【分析】由 解出 的范围． 【详解】由题意 ， 　　　即 ，解得 ， 　　　所以 的定义域为 ． ▶ 题型3 求解析式 例3-1（2026·湖南长沙·一模）已知 对任意 成立，求 的解析式． 【答案】 【分析】用 代换 得第二个方程，联立消去 ． 【详解】将 换成 ，得 ． 　　　原式两边乘 得 ， 　　　两式相减得 ， 　　　所以 ． 【方法技巧】 1．已知函数类型用待定系数法，先设形式再代条件。 2．已知 用换元法或配凑法，换元后标清新元范围。 3．出现 与 、 的关系式用方程组法。 【易错分析】 1．换元后没有写出新元的取值范围，解析式不完整。 2．方程组法代换后符号出错，消元时把两个方程相加当成相减。 3．待定系数法设形式时漏写 、 的限制。 【变式训练3-1】（2026·安徽合肥·二模）已知 是二次函数，且 ，，求 ． 【答案】 【分析】设 ，代入比较系数． 【详解】设 （），由 得 ． 　　　， 　　　由题意 ，，解得 ，． 　　　所以 ． 【变式训练3-2】（2026·江西南昌·三模）已知 ，求 ． 【答案】（） 【分析】令 ，注意 ． 【详解】令 ，则 ，且 ，． 　　　代入得 ． 　　　所以 （）． 【变式训练3-3】（2025·辽宁大连·二模）已知 （），求 ． 【答案】（） 【分析】用 代换 ，联立消去 ． 【详解】将 换成 ，得 ． 　　　由原式得 ，代入上式得 　　　， 　　　即 ． 　　　所以 （）． ▶ 题型4 分段函数 例4-1（2024·天津卷·T6 改编）已知 （），（）．（1）求 ；（2）解方程 ． 【答案】（1）；（2） 【分析】求值由内到外；解方程按 的范围分两段，解后检验． 【详解】（1）因为 ，所以 ； 　　　又 ，所以 ，故 ． 　　　（2）当 时，由 得 或 ，其中 ，舍去，得 ； 　　　当 时，由 得 ，不满足 ，舍去． 　　　综上，方程的解为 ． 【方法技巧】 1．求 由内到外，每算一步都要重新判断所在区间。 2．解方程先分段，再在每段内求解，最后回到该段范围检验。 3．分段函数是一个函数，定义域是各段的并集，作答时可用“综上”汇总。 【易错分析】 1．把 算成 的平方，顺序颠倒。 2．解方程后不检验，把不在本段范围内的解保留下来。 3．分段处端点归属混乱，导致同一值被重复计算或漏算。 【变式训练4-1】（2026·山东青岛·一模）已知 （），（），求 ． 【答案】 【分析】先算 ，再判断结果所在区间． 【详解】因为 ，所以 ； 　　　因为 ，所以 ． 　　　故 ． 【变式训练4-2】（2026·福建厦门·二模）已知 （），（），（），若 ，求 的值． 【答案】 【分析】按 所在的三段分别解方程并检验． 【详解】当 时，由 得 ，不满足 ，舍去； 　　　当 时，由 得 或 ，均不在该范围内，舍去； 　　　当 时，由 得 ，满足 ． 　　　综上，． 【变式训练4-3】（2025·陕西西安·三模）已知 （），（），求 的值域． 【答案】 【分析】分别求两段的值域，再取并集． 【详解】当 时，，该段值域为 ； 　　　当 时，，该段值域为 ． 　　　取并集得 ，故 的值域为 ． ▶ 题型5 值域与图象应用 例5-1（2025·江苏南京·三模）求函数 的值域． 【答案】 【分析】令 ，把函数化为关于 的二次函数，注意 ． 【详解】令 ，则 ，且 ． 　　　于是 ． 　　　因为 ，所以当 时取最大值 ，无最小值， 　　　故值域为 ． 【方法技巧】 1．含根式的函数优先换元，换元后立即写出新元的范围。 2．分式型可用分离常数法，化为 后借助 的范围求值域。 3．二次型在给定区间上求值域，比较顶点与端点的函数值即可。 【易错分析】 1．换元后忽略 ，把抛物线另一侧的值也算进值域。 2．分离常数时符号出错，把 写成 。 3．求闭区间上的值域只算顶点，不比较端点。 【变式训练5-1】（2026·北京·模拟预测）求函数 （）的值域． 【答案】 【分析】分离常数得 ，再由 定范围． 【详解】． 　　　因为 ，所以 ，从而 ， 　　　故 ，值域为 ． 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值． 【答案】 【分析】对称轴 ，按 、、 三类讨论． 【详解】，对称轴为 ． 　　　当 时， 在 上单调递增，最小值为 ，得 ，不满足 ，舍去； 　　　当 时，最小值为 ，得 ，只有 符合； 　　　当 时， 在 上单调递减，最小值为 ，得 ，不满足 ，舍去． 　　　综上，． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）把函数 的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，写出所得图象对应的函数解析式，并求其值域． 【答案】，值域为 【分析】“左加右减”作用于 ，“上加下减”作用于整体． 【详解】向右平移 个单位得 ， 　　　再向上平移 个单位得 ． 　　　因为 ，所以 ， 　　　故所求值域为 ． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅰ卷·T3 改编）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】被开方数非负，分母不为零． 【详解】由 得 ；由 得 ． 　　　取交集得 且 ， 　　　即定义域为 ．故选 A． 2．（2022·全国乙卷·T4 改编）下列函数中，与 表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先看定义域，再看化简结果． 【详解】A 中定义域为 ，不是； 　　　B 中 ，定义域为 ，是； 　　　C 中 ，对应关系不同，不是； 　　　D 中定义域为 ，不是．故选 B． 3．（2023·天津卷·T6 改编）已知 （），（），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由内到外，先算 ． 【详解】因为 ，所以 ； 　　　因为 ，所以 ． 　　　故 ．故选 C． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·T8 改编）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】配方为 ，由 求值域． 【详解】． 　　　因为 ，所以当 时取最小值 ，无最大值， 　　　故值域为 ．故选 A． 二、填空题 5．（2024·全国甲卷·T13 改编）已知 ，则 ________． 【答案】 【分析】令 ，反解 后代入． 【详解】令 ，则 ， 　　　， 　　　所以 ． 三、解答题 6．（2025·全国·模拟预测）已知 （），（）．（1）求 ；（2）若 ，求 的值． 【答案】（1）；（2） 或 【分析】求值由内到外；解方程按 的范围分两段，解后检验． 【详解】（1）因为 ，所以 ； 　　　又 ，所以 ，故 ． 　　　（2）当 时，由 得 或 ，其中 ，舍去，得 ； 　　　当 时，由 得 ，满足 ． 　　　综上， 或 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P64 练习 改编）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个被开方数都要非负，取交集． 【详解】由 得 ；由 得 ． 　　　取交集得 ， 　　　所以定义域为 ．故选 A． 2．（人教A版必修第一册 P67 习题 3.1 改编）已知 （），（），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先算内层，再判断所在区间． 【详解】因为 ，所以 ； 　　　因为 ，所以 ． 　　　故 ．故选 B． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P65 例题 改编）求函数 在区间 上的值域． 【答案】 【分析】配方后比较顶点与两个端点的函数值． 【详解】，对称轴为 ，且 ， 　　　所以最小值为 ． 　　　又 ，，所以最大值为 ， 　　　故值域为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 函数的概念及其表示 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考函数概念与表示的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 函数知识结构图、三组易混辨析与定义域优先意识 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 函数的概念与三要素 全国一卷 T3（5 分） 新课标Ⅰ卷 T2（5 分） 北京卷 T3（5 分） 函数的定义域 新课标Ⅱ卷 T4（5 分） 天津卷 T3（5 分） 全国甲卷 T4（5 分） 函数的解析式 全国甲卷 T5（5 分） 浙江卷 T4（5 分） 新课标Ⅱ卷 T5（5 分） 分段函数 新课标Ⅰ卷 T8（5 分） 全国乙卷 T9（5 分） 天津卷 T6（5 分） 函数的值域与图象 北京卷 T6（5 分） 上海卷 T5（5 分） 浙江卷 T7（5 分） 函数概念题通常是一道 5 分小题，考定义域、同一函数判断或分段求值，位置靠前，讲究一次做对。 定义域是“让式子有意义”的交集，对数真数、偶次根号、分母三处最容易漏，写答案前逐项过一遍。 分段函数考先判后算，值域问题则要一段一段求再取并，别忘了每段的自变量范围。 备考建议：做任何函数题，第一句话先写定义域；判断同一函数，先比定义域再比化简结果；求解析式时换元必标新元范围；分段函数解方程，解出的值一定要回到所在段检验。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一个概念、三要素、四种求法、两类图象”。先看整体脉络： 图 1　函数知识结构图 学习时抓住两条主线：定义域优先（一切讨论都在定义域内进行）与对应关系（解析式、表格、图象三种表示可以互相转化）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 定义域与值域 定义域是自变量的取值集合，值域是函数值的集合；值域由定义域与对应关系共同确定，集合 不一定是值域，只能确定值域是 的子集 同一函数与函数值相等 判断同一函数要看定义域与对应关系是否都相同；仅仅某个函数值相等，或者化简后式子相同，都不足以说明是同一函数 分段函数与几个函数 分段函数是一个函数，定义域是各段的并集，值域是各段值域的并集；不能把它拆成几个互不相干的函数 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　函数的概念与三要素 一、函数的定义 设 ， 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 与之对应，就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，。 其中 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。由定义可知，值域是 的子集，不一定等于 。 二、三要素与同一函数 定义域、对应关系、值域称为函数的三要素。定义域与对应关系一经确定，值域随之确定，因此判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域与对应关系是否分别相同。 判断时先看定义域，再比较化简后的解析式；函数与自变量所用字母无关，（）与 （）是同一函数。 注意： 1．“任意”与“唯一”是定义的两个关键词：定义域中每个 都要有象，且象只能有一个。 2．值域不是 ，只有当 中每个元素都被取到时才有值域等于 。 3．判断同一函数不能只看化简结果，如 与 化简后相同，但 的定义域不含 ，二者不是同一函数。 【自主检测】判断 与 是否为同一函数． ▶ 知识点2　函数的定义域 一、具体函数的定义域 1．分式：分母不为零。 2．偶次根式：被开方数不小于零；奇次根式的被开方数可以是任意实数。 3．对数：真数大于零，底数大于零且不等于 。 4．零次幂：底数不为零，如 要求 。 若解析式由几部分组成，定义域是各部分取值范围的交集；实际问题还要使实际意义成立，如长度为正、人数为正整数。 二、抽象函数的定义域 已知 的定义域为 ，求 的定义域，就是解不等式 ，解集即为所求。 已知 的定义域为 ，求 的定义域，就是求 在 上的值域。定义域始终指自变量 的取值集合，而不是 的取值集合。 注意： 1．求定义域必须对原式列条件，先化简再求定义域会漏掉限制。 2．多个条件同时存在时取交集，不要写成并集。 3．结果写成集合或区间，端点能否取到要与原条件逐一核对。 【自主检测】求函数 的定义域． ▶ 知识点3　函数的解析式 一、待定系数法 已知函数类型时，先设出含参数的形式：一次函数设为 （），二次函数设为 （），再代入条件列方程求参数。 二、换元法与配凑法 已知 的表达式，可令 ，反解出 后代入右端，得到 ，再把 换成 。换元后必须注明 的取值范围，它就是 的值域。 若右端容易配成关于 的式子，也可直接配凑，如由 得 ，从而 。 三、方程组法 已知 与 、 的关系式，用 或 代换原式中的 ，得到第二个方程，与原式联立消元即可求出 。 注意： 1．换元后忘记写新元的范围，是求解析式最常见的失分点。 2．配凑时要保证变形前后相等，不能只改形式。 3．求出解析式后应注明定义域；用方程组法时，代换后的式子与原式必须对同一个 成立。 【自主检测】已知 ，求 ． ▶ 知识点4　分段函数 一、分段函数的含义 在定义域的不同子集上，对应关系分别用不同式子表示的函数叫做分段函数。分段函数是一个函数，不是几个函数，它的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段值域的并集。 二、求值与解方程 求 时由内到外：先算 ，再判断所得值落在哪一段，代入该段的表达式。解方程 时，按 所在的段分类，每类解出的结果都要回到该类范围中检验，不合范围的舍去。 三、图象 分段函数的图象由各段图象拼接而成。画图时先标出每段的定义区间，再画对应图象，端点处取到用实心点、取不到用空心点，最后检查各段是否首尾衔接。 注意： 1．分段函数是一个函数，不能把各段看成互不相干的几个函数。 2．求 的顺序是由内到外，先算内层，再代入外层。 3．解方程后必须检验，把不在本段范围内的解舍去。 【自主检测】已知 （），（），（），求 ． ▶ 知识点5　函数的值域与图象 一、基本初等函数的值域 一次函数 （）的值域是 ；二次函数 （）当 时值域为 ，当 时为 。 反比例函数 （）的值域是 ；指数函数 （，）的值域是 ；对数函数 （，）的值域是 。 二、求值域的常用方法 配方法（二次型）、换元法（含根式）、分离常数法（分式型）、单调性法、基本不等式法。换元后先确定新元的取值范围，再在这个范围内求值域。 三、图象变换初步 平移：（）的图象由 的图象向右平移 个单位得到，（）向上平移 个单位。对称： 与 分别与 的图象关于 轴、 轴对称。 翻折： 把 轴下方的部分翻到上方，其余部分不变； 保留 轴右侧的部分，再把它对称到左侧。 注意： 1．值域要写成区间或集合，不能只写一个不等式。 2．用单调性求值域，必须先说明函数在区间上的单调性。 3．作翻折变换时先画原图象，再处理绝对值，顺序颠倒容易出错。 【自主检测】求函数 在 上的值域． ▶　题型破译　◀ 下面按“概念—定义域—解析式—分段—值域图象”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 函数概念与同一函数的判断 例1-1（2024·北京卷·T3 改编）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·一模）下列函数中，与 表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·二模）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式训练1-3】（2026·河南郑州·三模）已知 ，，判断 与 是否为同一函数． ▶ 题型2 求定义域 例2-1（2024·天津卷·T4 改编）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2026·河北石家庄·二模）函数 的定义域为________． 【变式训练2-2】（2026·湖北武汉·一模）函数 的定义域为________． 【变式训练2-3】（2025·四川成都·三模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________． ▶ 题型3 求解析式 例3-1（2026·湖南长沙·一模）已知 对任意 成立，求 的解析式． 【变式训练3-1】（2026·安徽合肥·二模）已知 是二次函数，且 ，，求 ． 【变式训练3-2】（2026·江西南昌·三模）已知 ，求 ． 【变式训练3-3】（2025·辽宁大连·二模）已知 （），求 ． ▶ 题型4 分段函数 例4-1（2024·天津卷·T6 改编）已知 （），（）．（1）求 ；（2）解方程 ． 【变式训练4-1】（2026·山东青岛·一模）已知 （），（），求 ． 【变式训练4-2】（2026·福建厦门·二模）已知 （），（），（），若 ，求 的值． 【变式训练4-3】（2025·陕西西安·三模）已知 （），（），求 的值域． ▶ 题型5 值域与图象应用 例5-1（2025·江苏南京·三模）求函数 的值域． 【变式训练5-1】（2026·北京·模拟预测）求函数 （）的值域． 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）把函数 的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位，写出所得图象对应的函数解析式，并求其值域． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅰ卷·T3 改编）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．（2022·全国乙卷·T4 改编）下列函数中，与 表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·天津卷·T6 改编）已知 （），（），则 （　　） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·T8 改编）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·全国甲卷·T13 改编）已知 ，则 ________． 三、解答题 6．（2025·全国·模拟预测）已知 （），（）．（1）求 ；（2）若 ，求 的值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P64 练习 改编）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．（人教A版必修第一册 P67 习题 3.1 改编）已知 （），（），则 （　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P65 例题 改编）求函数 在区间 上的值域． / 学科网（北京）股份有限公司 $