第一章 第7节 函数的单调性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数单调性高考核心考点，涵盖定义理解、单调区间求解、复合函数单调性判断及利用单调性求最值、解不等式等内容，按“考点梳理-方法指导-真题训练”流程，通过典例分析与题组变式帮助学生构建知识体系，突破高考难点。 资料创新采用“方法总结+分层训练”模式，如在复合函数单调性教学中，通过“同增异减”符号法则培养学生数学思维，结合2024新高考真题设计变式练习，提升运用数学语言解决问题的能力。设置基础巩固到综合应用的题组，配合即时反馈，帮助学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2026-2027学年度高三数学总复习 第一章 第7节 函数的单调性 函数单调性是高考的难点，也是必考点．常考查单调性判断，单调区间的求解，利用单调性求最值、解不等式、比较大小等． 一、高考核心考点 1．单调性定义：增函数：，减函数：． 2．利用单调性求函数在闭区间上的最值：先判断函数的单调性，然后利用单调性求解． 3．复合函数的单调性 （1）复合函数：由外函数及内函数构成复合函数； （2）复合函数的单调性建立在基本初等函数的单调性之上，判断方法为：同增异减（或单调性的符号法则）． 二、典例分析 1．单调性判断与单调区间的求解 【例1】函数的单调递增区间是_________． 【感悟提升】（1）定义法判断单调性： ①设，为某区间上任意两个自变量的值，且（或）； ②判断与的大小（利用作差比较法）； 常通过通分或因式分解的方式将差式化简，变形为几个因式（数）相乘除的形式，再利用实数乘除法的符号法则（偶数个负号相乘除，结果为正；奇数个负号相乘除，结果为负）判断差式的符号（将差式与零进行比较）； ③由与的大小判断函数的单调性（下结论）． （2）复合函数单调性满足单调性的符号法则：增函数相当于正号，减函数相当于负号，奇数个负号为减函数，偶数个负号为增函数． （3）①在相同的定义域内，增增增，减减减，增减增，减增减； ②若与的单调相反，若与的单调相反； ③当时，与的单调相同，当时，与的单调相反． （4）可导函数在区间上恒有，则在区间上递增； 可导函数在区间上恒有，则在区间上递减． 可导函数在区间上递增，则（当且仅当孤立的值使）； 可导函数在区间上递减，则（当且仅当孤立的值使）． 【题组变式1】 变式1-1：函数的递减区间是____________． 变式1-2：函数（ ） A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数，在上是增函数 D．无法判断其单调性 变式1-3：函数的递减区间是（　 ） A． B． C． D． 2．已知单调性求参数的取值范围 【例2】若函数在区间上单调递减，则的取值范围为________． 【感悟提升】若在区间上递增，则恒成立；若在区间上递减，则恒成立．注意检验有且只有孤立的使． 【题组变式2】 变式2-1：若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 变式2-2：函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 3．利用单调性定义解决不等式问题 【例3】（1）函数，若实数(且)满足，则的取值范围是________． （2）（2024新高考1卷）（多选）设函数，则（ ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【感悟提升】增函数：，减函数：． 【题组变式3】 变式3-1：（2024年天津卷）若，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 变式3-2：（2023甲卷）已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3：已知定义在上的函数，对任意的，当时，都有成立.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式3-4：已知定义在上的奇函数满足：，其中，是定义域内任意不相等的实数．若，则实数的取值范围是 ． 变式3-5：已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 变式3-6：已知函数． （1）求证：在上是增函数； （2）若实数，满足：，且，求证：． 4．图象法解决分段函数问题 【例4】若函数是上的增函数，则的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 【感悟提升】对于分段函数的单调性问题，不仅要考虑每段的单调性，还要考虑两段在分界处的函数值的大小． 【题组变式4】 变式4-1：（2024新高考1卷）已知函数为在R上单调递增，则a取值的范围是（ ） A． B． C． D． 变式4-2：函数的递减区间是____________． 变式4-3：已知若，则函数的递减区间是_____． 5．利用单调性求最值 【例5】已知函数，求函数在区间上的最小值． 【感悟提升】若在闭区间上为增函数，则，； 若在闭区间上为减函数，则，． 【题组变式5】 变式5-1：设在区间上的最大值和最小值分别为，则（ ） A． B． C． D． 变式5-2：已知函数． （1）证明：在上单调递增； （2）是否存在正实数，使得的定义域和值域都是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三数学总复习 第一章 第7节 函数的单调性 函数单调性是高考的难点，也是必考点．常考查单调性判断，单调区间的求解，利用单调性求最值、解不等式、比较大小等． 一、高考核心考点 1．单调性定义：增函数：，减函数：． 2．利用单调性求函数在闭区间上的最值：先判断函数的单调性，然后利用单调性求解． 3．复合函数的单调性 （1）复合函数：由外函数及内函数构成复合函数； （2）复合函数的单调性建立在基本初等函数的单调性之上，判断方法为：同增异减（或单调性的符号法则）． 二、典例分析 1．单调性判断与单调区间的求解 【例1】函数的单调递增区间是_________． 【答案】 【解析】由，得，或，抛物线的对称轴方程为，该函数中有三个函数：，，，当为减函数时，原函数为增函数，故的递增区间是． 【感悟提升】（1）定义法判断单调性： ①设，为某区间上任意两个自变量的值，且（或）； ②判断与的大小（利用作差比较法）； 常通过通分或因式分解的方式将差式化简，变形为几个因式（数）相乘除的形式，再利用实数乘除法的符号法则（偶数个负号相乘除，结果为正；奇数个负号相乘除，结果为负）判断差式的符号（将差式与零进行比较）； ③由与的大小判断函数的单调性（下结论）． （2）复合函数单调性满足单调性的符号法则：增函数相当于正号，减函数相当于负号，奇数个负号为减函数，偶数个负号为增函数． （3）①在相同的定义域内，增增增，减减减，增减增，减增减； ②若与的单调相反，若与的单调相反； ③当时，与的单调相同，当时，与的单调相反． （4）可导函数在区间上恒有，则在区间上递增； 可导函数在区间上恒有，则在区间上递减． 可导函数在区间上递增，则（当且仅当孤立的值使）； 可导函数在区间上递减，则（当且仅当孤立的值使）． 【题组变式1】 变式1-1：函数的递减区间是____________． 【答案】 【解析】由，得，抛物线开口向下，对称轴方程为，所以的递减区间是． 变式1-2：函数（ ） A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数，在上是增函数 D．无法判断其单调性 【答案】B【解析】由函数在上递增，在上递减知，在上是增函数．故选B． 变式1-3：函数的递减区间是（　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，，抛物线的对称轴方程为，且开口向下，所以函数的递减区间是． 2．已知单调性求参数的取值范围 【例2】若函数在区间上单调递减，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】方法1：在中，，因为在区间上单调递减，所以，解得，当时，，，使，不合题意，故的取值范围为． 方法2：．由反比例函数的单调性知，，即实数的取值范围为． 【感悟提升】若在区间上递增，则恒成立；若在区间上递减，则恒成立．注意检验有且只有孤立的使． 【题组变式2】 变式2-1：若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，得函数在上递增，且在上恒成立，则，且对称轴，解得． 变式2-2：函数在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，在上单调递增，符合题意； 当时，则，且对称轴，解得． 综上知，实数的取值范围是． 3．利用单调性定义解决不等式问题 【例3】（1）函数，若实数(且)满足，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】显然在上递增，且，所以由，得，当时，，所以；当时，，所以． 故的取值范围是． （2）（2024新高考1卷）（多选）设函数，则（ ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对于A，因为函数的定义域为R，而 ，易知当时，，当或时，，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对于B，当时，，所以，由上知，函数在上单调递增，所以，错误； 对于C，当时，，由上知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对于D，当时，， 所以，正确． 故选ACD． 【感悟提升】增函数：，减函数：． 【题组变式3】 变式3-1：（2024年天津卷）若，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上递增，且，所以， 所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以．故选B． 变式3-2：（2023甲卷）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则开口向下，对称轴为，因为 ，而，所以 ，即，由二次函数性质知，因为，而，即，所以． 综上，，又为增函数，故． 变式3-3：已知定义在上的函数，对任意的，当时，都有成立.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得在上递增，又，所以对任意的恒成立，所以，所以，解得实数的取值范围是． 变式3-4：已知定义在上的奇函数满足：，其中，是定义域内任意不相等的实数．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为定义在上的满足：，不妨设，则，所以在上递减，又为奇函数，所以由，得，所以解得，即实数的取值范围是． 变式3-5：已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】（当且仅当时，），故在上递减，所以由，得解得．故选D． 变式3-6：已知函数． （1）求证：在上是增函数； （2）若实数，满足：，且，求证：． 【解析】（1）设，则 ，所以，所以在上是增函数． （2）函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，所以由，得．由（1）知，在上递增，所以在上递增，又因为，所以与同号，所以，即． 4．图象法解决分段函数问题 【例4】若函数是上的增函数，则的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得解得，故选A． 【感悟提升】对于分段函数的单调性问题，不仅要考虑每段的单调性，还要考虑两段在分界处的函数值的大小． 【题组变式4】 变式4-1：（2024新高考1卷）已知函数为在R上单调递增，则a取值的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足解得，即a的范围是．故选B． 变式4-2：函数的递减区间是____________． 【答案】 【解析】作出的图象，由图象知，函数的递减区间是． 变式4-3：已知若，则函数的递减区间是_____． 【答案】 【解析】作出的图象，由图象知，函数的递减区间是． 5．利用单调性求最值 【例5】已知函数，求函数在区间上的最小值． 【解析】易知的对称轴为，则 ①当时，在上单调递增，则． ②当时，在上单调递减，在上单调递增，则． ③当时，在上单调递减，则． 综上 【感悟提升】若在闭区间上为增函数，则，； 若在闭区间上为减函数，则，． 【题组变式5】 变式5-1：设在区间上的最大值和最小值分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，显然在上递减，所以 ，，从而．故选D． 变式5-2：已知函数． （1）证明：在上单调递增； （2）是否存在正实数，使得的定义域和值域都是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设，则 ，所以，所以在上单调递增． （2）假设存在正实数，使得的定义域和值域都是，由（1）知，在上递增，所以即解得，故存在正实数， 使得的定义域和值域都是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $