2.2基本不等式教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第2章 2.2　基本不等式 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　基本不等式的几何解释与和积互化链 （1）教材出处 必修第一册 第二章 2.2.1 基本不等式 正文，含“重要不等式”与基本不等式的几何解释（以 为直径作圆）；课后习题中“已知和求积的最大值、已知积求和的最小值”的基本题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 · 重要不等式：对任意实数 ，有 · 当且仅当 时取等号。 · 基本不等式：若 ，则 · 当且仅当 时取等号。等价写法为 · 几何解释：以 为直径作半圆， 在 上，，，过 作 交半圆于 。则半径 ，半弦 ，由 即得基本不等式。 · 和积互化链：当 时， · 比值的常用变形：当 同号时，，当且仅当 时取等号。 图 1　基本不等式的几何解释：半径 不小于半弦 （3）推导证明 重要不等式：作差得 故 ，等号成立当且仅当 。 基本不等式：当 时，把 分别看作 ，由 展开得 ，即 ，等号成立当且仅当 ，即 。 几何解释：设 为 的中点，则 ，。在直角三角形 中， 因为直角三角形中斜边不小于直角边，所以 ，即 。当 与 重合，即 时，，取等号。 和积互化链：由 两边平方并整理得 ；由 两边同加 得 ，即 ；又 两边同除以 得 。 （4）适用条件与易错提醒 · 重要不等式对一切实数 成立；基本不等式必须在 时使用。若变量为负，应先换元化为正数；例如 时 ，不能直接套用 。 · 两个不等式的等号条件都是 ；几何解释中对应 为直径中点。 · 不能直接用来求 的最大值，除非 是定值；也不能直接用来求 的最小值，除非 是定值。 · 连续两次使用基本不等式时，两次等号成立的条件必须能同时满足；若不能同时满足，得到的最值不可达。 · 只对 成立，使用时不要漏掉正数前提。 · 与 是同一个不等式的两种写法，不是两个可以叠加的独立条件。 （5）考点定位与命题角度 以选填为主，考“比较大小”“由和积关系求最值”“判断不等式是否恒成立”，也常与函数、解三角形、解析几何结合出现在解答题中。常见设问有：给定 判断 与 的范围；给定正数满足某个和积关系求另一个式子的最值。难度基础到中档。对应 2022 新高考Ⅱ卷·12、2025 北京卷·6 等。 （6）方法归纳 · 第一步　识别结构：看题目给的是和、积、平方和还是倒数和，确定要用哪一条变形。 · 第二步　选链：和定求积用 ；积定求和用 ；平方和用 或 。 · 第三步　定等号：令不等式中的两项相等，联立原约束解出变量，检查解是否在定义域内。 · 第四步　回代：把等号时的变量值代回原式，确认最值确实可以取到，再写结论。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 ，求 的最小值。 解析 由基本不等式， 当且仅当 ，即 时取等号。故最小值为 。 例题 2（教材原题改编） 已知 ，且 ，求 的最小值。 解析 由基本不等式， 当且仅当 时取等号。结合 ，得 ，，，均在正数范围内。故最小值为 。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2022 新高考Ⅱ卷·12）若 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 变式 1-2（优质模拟改编） 已知正数 满足 ，求 的最小值。 条目二　一正二定三相等与取等条件回代 （1）教材出处 必修第一册 第二章 2.2.2 基本不等式的应用 正文“最值定理”与例题；课后习题中“求函数最值并指出取等条件”的题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设 ： · 若 （定值），则 · 当且仅当 时取等号； · 若 （定值），则 · 当且仅当 时取等号。 简记为“和定积最大，积定和最小”。使用前提是“一正、二定、三相等”： · 一正：各项必须为正； · 二定：和或积必须是定值； · 三相等：等号能够取到，且取等时变量在定义域内。 （3）推导证明 若 ，由基本不等式 ，两边平方得 ，等号当且仅当 。 若 ，由基本不等式 ，等号当且仅当 。 “回代”是指求出等号条件后，必须把它与题目的约束联立，解出具体变量值，再代回原式确认最值可达。例如 的等号在 取得；若题目限定 ，则 不在范围内，最小值不能写成 。 （4）适用条件与易错提醒 · 变量为负时不能直接套用基本不等式。例如 时，，此时取得的是最大值 ，不是最小值。 · 和或积不是定值时，基本不等式只能给出一个含变量的界，不能直接得到最值。 · 等号取不到时，必须改用对勾函数 （）的单调性：在 上递减，在 上递增。 · 多次使用基本不等式时，各次等号条件必须同时成立；只保证其中一次取等，不能说明整体最值可达。 · 取等条件要回代原约束，不能只写“当且仅当 ”就结束；有时等号解出的变量值为负或不满足范围，此时最小值不存在。 · 题目问“最小值”时，必须确认下界能取到；只能证明“大于等于某个数”而无法取等，只能说下界，不能说最小值。 （5）考点定位与命题角度 选填常考“判断函数最值”“不等式恒成立”“取等条件判断”，解答题中常作为第一问或求最值步骤。常见设问：给定 判断四个不等式哪个恒成立；求 型函数在给定区间上的最值；由恒成立反求参数范围。难度基础到中档。对应 2025 北京卷·6、2021 全国乙卷·8 等。 （6）方法归纳 · 第一步　看正负：先判断变量取值范围，负项先换元或提负号变为正项。 · 第二步　凑定值：通过配凑、拆项、乘 等手法，使和或积为定值。 · 第三步　用不等式：写出不等号方向，得到目标式的界。 · 第四步　验等号：解等号方程并与约束联立，确认解在定义域内，再代回原式。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 ，求 的最小值。 解析 由基本不等式， 当且仅当 ，即 时取等号。故最小值为 。 例题 2（教材原题改编） 已知 ，求 的最小值。 解析 因为 ，所以 。于是 当且仅当 ，即 ， 时取等号。故最小值为 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （2025 北京卷·6）设 ，则（ ） A. B. C. D. 变式 2-2（优质模拟改编） 已知 ，求 的最小值。 条目三　“1”的代换：乘1法求倒数和最小值 （1）教材出处 必修第一册 第二章 2.2.2 基本不等式的应用 课后习题中“已知 ，求 的最小值”一类题；本方法由基本不等式直接推导，属于常用代换。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：高考常用推导结论。 · 若 ，且 ，则 · 当且仅当 时取等号。 · 更一般地，若 ，且 ，则对 ， · 当且仅当 时取等号。 · 常用特例： （3）推导证明 当 时，把目标式乘以 ： 等号当且仅当 ，即 。 一般情形：由 ， 等号当且仅当 ，即 。 （4）适用条件与易错提醒 · 只有当约束能化为“两个正数的一次式等于 ”时，才能直接乘 ；若和为 ，应先除以 ，构造 。 · 目标式的分子、分母都必须为正；若分母是 、 这类整体，应先把整体看作新的变量，并重新计算和。 · 展开后必须出现“乘积为定值”的两项，否则公式不能直接套用。 · 不要漏掉常数项 ；常见错误是只写 。 · 等号条件要回代原约束；若解出的变量为负或不满足范围，说明最小值取不到。 · 若题目要求的是 ，而条件是 ，可以反向使用同一恒等式，把 乘以条件式。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，主要考“已知和为定值，求倒数和的最小值”“已知倒数和为定值，求和的最小值”，也常与解三角形、解析几何中的边角关系结合。常见设问：，求 的最小值；，求 的最小值。难度中档。对应 2020 天津卷·14、2025 上海卷·8 等。 （6）方法归纳 · 第一步　化 ：把约束化为 ；若给的是 ，先除以 。 · 第二步　相乘：把目标式乘以 （即 ），展开成四项。 · 第三步　分组：把 与 放在一起，其余两项用基本不等式。 · 第四步　验等：令两项相等，联立约束解出 ，回代确认。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 ，且 ，求 的最小值。 解析 由“乘 法”， 当且仅当 时取等号。故最小值为 。 例题 2（教材原题改编） 已知 ，且 ，求 的最小值。 解析 把 乘以条件式： 当且仅当 ，即 时取等号。代入 ，得 ，，。故最小值为 。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） （2020 天津卷·14）已知 ，且 ，求 的最小值。 变式 3-2（优质模拟改编） 已知 ，且 ，求 的最小值。 条目四　配凑、拆项与定值构造 （1）教材出处 必修第一册 第二章 2.2.2 基本不等式的应用 正文例题与课后习题；本条目把教材中“配凑成定值”的做法集中成方法链。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：高考常用推导结论。 · 基本模型：若 ，则 · 当且仅当 时取等号。 · 平移模型：若 ，则 · 当且仅当 时取等号。 · 和定积最大：若 ，则 · 当且仅当 时取等号。 · 分式模型：若 ，则 · 平方和模型：对任意实数 ， （3）推导证明 · 基本模型：由 ，，用基本不等式得 ，等号当且仅当 ，即 。 · 平移模型：因为 ，所以 ，把 拆成 ，再对 与 用基本不等式。 · 和定积最大：由 ，，等号当且仅当 ，即 。 · 分式模型： 等价于 ，即 ；，再用基本模型。 · 平方和模型：由 得 ，两边同加 得 。 （4）适用条件与易错提醒 · 配凑后各项必须为正；若 ，应先提负号，把负项转化为正项，否则不等号方向会出错。 · 拆项、添项必须恒等，不能改变原式的值；例如 在 时成立。 · 定值必须与变量无关；含参数时要讨论参数的正负和范围。 · 等号条件必须落在定义域内；若等号点不在给定区间，应改用对勾函数的单调性求端点值。 · 分式型先分离常数，再配凑；不要对分子、分母分别用基本不等式。 · 多次使用基本不等式时，各次等号条件要能同时成立。 （5）考点定位与命题角度 选填常考“求分式函数最值”“求二次式在区间上的最值”“判断函数最小值是否为某值”，也常作为解答题中的化简步骤。常见设问：求 、、 的最值；判断四个函数中最小值是否为 。难度中档。对应 2021 全国乙卷·8 等。 （6）方法归纳 · 第一步　观察结构：分清一次项、倒数项、分式、二次式，确定配凑方向。 · 第二步　分离与配凑：分式先分离常数，再凑成 的形式。 · 第三步　造定值：通过拆项、添项、乘 把和或积凑成常数。 · 第四步　验等号：解等号方程，检查是否在区间内；取不到时改用单调性。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 ，求 的最大值。 解析 因为 ，，由基本不等式， 当且仅当 ，即 时取等号。故最大值为 。 例题 2（教材原题改编） 已知 ，求 的最小值。 解析 因为 ，所以 。把 拆成 ： 当且仅当 ，即 ， 时取等号。故最小值为 。 （8）变式训练 变式 4-1（高考真题改编） （2021 全国乙卷·8）下列函数中最小值为 的是（ ） A. B. C. D. 变式 4-2（优质模拟改编） 已知 ，求 的最大值。 条目五　基本不等式在实际最值建模中的应用 （1）教材出处 必修第一册 第二章 2.2.2 基本不等式的应用 正文例题（矩形菜园、无盖长方体贮水池造价）与课后习题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：例题结论。 利用基本不等式解决实际问题，按四步进行： 1. 设变量：设矩形的长、宽（或水池底面的长、宽、深），写明变量的实际取值范围； 1. 建关系：由面积、周长、容积、造价等列出目标函数与约束条件； 1. 用不等式：把目标式化为“定值 基本不等式”的结构； 1. 回代检验：求出等号条件，检查是否符合实际范围，最后回答“当……时，……最小（大）为……”。 两类基本模型： · 面积定，求周长最小：若 ，则 · 当且仅当 时取等号； · 周长定，求面积最大：若 ，则 · 当且仅当 时取等号。 造价模型：无盖长方体水池容积为 ，深为 ，底边长为 ，则底面积 ，侧面积为 。总造价为 其中 为池底单价， 为池壁单价。 图 2　矩形菜园：粗边表示墙，篱笆围另外三边 图 3　无盖长方体贮水池：底边 ，深 （3）推导证明 · 面积定：由 与基本不等式， · 等号当且仅当 。 · 周长定：由 得 ，于是 · 等号当且仅当 。 · 造价模型：把 代入总造价，得 · 等号当且仅当 。 · 教材水池例：，，则 ，，。于是 · 等号当且仅当 。 （4）适用条件与易错提醒 · 变量必须符合实际意义：长度、面积、体积、费用都不能为负；若墙长、材料长度有限制，要把范围写进约束。 · 单位要统一：池底单价按平方米、池壁单价按平方米，深度按米，不能混用。 · 等号点必须落在实际范围内；若不在，应改用函数单调性求端点值。 · 无盖水池只算一个底面和四个侧面；有盖时要再加顶面。 · 总造价中的常数项、系数不能漏；把 化为 后，再对 用基本不等式。 · 最后要写完整答案：设计尺寸、最值、单位，三部分都要有。 （5）考点定位与命题角度 以解答题应用题为主，也可能出现在选填中。常见设问：围菜园、围鸡舍、造水池、购买货物、设计包装盒，求“最短篱笆”“最大面积”“最低造价”“最小总费用”。难度中档。对应 2017 江苏卷·10、2023 天津卷·14（解三角形中的最值）等。 （6）方法归纳 · 第一步　读题设元：设长、宽、高或购买量，写明取值范围。 · 第二步　列函数：写出面积、周长、体积、造价等目标式与约束。 · 第三步　消元：用约束消去一个变量，化为 或 的结构。 · 第四步　用不等式并检验：求等号条件，检查实际范围，写出完整答案。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆是多少？ 解析 设矩形菜园的长为 ，宽为 ，则 ，篱笆总长为 。由基本不等式， 当且仅当 时取等号。故长、宽都为 时，所用篱笆最短，最短篱笆为 。 例题 2（教材原题改编） 某工厂要建造一个无盖长方体贮水池，容积为 ，深为 ，池底每平方米造价为 元，池壁每平方米造价为 元。怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 解析 设池底相邻两边长分别为 。由容积为 、深 ，得底面积 总造价为 由 ，得 当且仅当 时取等号。故池底设计为边长 的正方形时总造价最低，最低总造价为 元。 （8）变式训练 变式 5-1（高考真题改编） （2017 江苏卷·10）某公司一年购买某种货物 吨，每次购买 吨，运费为 万元/次，一年的总存储费用为 万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，求 的值及最小总费用。 变式 5-2（优质模拟改编） 用长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长足够。问矩形的长、宽各为多少时菜园面积最大？最大面积是多少？ 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：BC。 解析：设 ，。由 得 ，即 。 先看 A、B。因为 为实数，所以 ，即 整理得 ，即 ，故 所以 A 错误，B 正确。当 时取 ；当 时取 。 再看 C、D。由 得 因为 ，所以 故 C 正确，D 错误。当 时，，，；当 时，，。 综上，选 BC。 变式 1-2 答案与解析 答案：。 解析：设 。由基本不等式 ，又 ，所以 两边乘 ，得 ，即 。因为 ，所以 。 当 时，，且 ，等号成立。故 的最小值为 。 变式 2-1 答案与解析 答案：C。 解析：对于 A，当 时，，故 A 错误。 对于 B、D，取 ，，则 此时 不成立， 也不成立，故 B、D 错误。 对于 C，由基本不等式 ，又 ，所以 ，从而 故 C 正确。 变式 2-2 答案与解析 答案：。 解析：函数 在 上递减，在 上递增。因为 ，所以 在 上递增，最小值为 注意：基本不等式 的等号在 取得，而 不在区间 内，所以下界 不能作为最小值。 变式 3-1 答案与解析 答案：。 解析：由 ， 令 。因为 ，，所以 。原式化为 当且仅当 ，即 ， 时取等号。此时 是方程 的两个正根，存在且均为正。故最小值为 。 变式 3-2 答案与解析 答案：。 解析：由 ， 当且仅当 ，即 时取等号。代入 ，得 ，，均为正数。故最小值为 。 变式 4-1 答案与解析 答案：C。 解析：对于 A，，最小值为 ，不是 。 对于 B，由基本不等式， 但等号要求 ，这是不可能的，所以 ，最小值取不到 。 对于 C， 当且仅当 ，即 ， 时取等号。故最小值为 。 对于 D，当 时，， 无下界，故最小值不是 。 综上，选 C。 变式 4-2 答案与解析 答案：。 解析：因为 ，分子、分母同除以 ，得 由基本不等式 ，所以 故 当且仅当 ，即 时取等号。故最大值为 。 变式 5-1 答案与解析 答案：，最小总费用为 万元。 解析：一年购买次数为 ，总运费为 万元，总存储费用为 万元。设总费用为 ，则 当且仅当 ，即 ， 时取等号。故每次购买 吨时总费用最小，最小总费用为 万元。 变式 5-2 答案与解析 答案：与墙垂直的边长为 ，与墙平行的边长为 ，最大面积为 。 解析：设与墙垂直的两条边长为 ，与墙平行的边长为 。因为篱笆总长为 ，所以 即 ，且 。菜园面积 由基本不等式， 所以 当且仅当 ，即 时取等号，此时 。故当与墙垂直的边长为 、与墙平行的边长为 时，菜园面积最大，最大面积为 。 人教A版·必修第一册　第2章 2.2 基本不等式　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $