2.1等式性质与不等式性质教材深挖讲义（公式可编辑）-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第2章 2.1　等式性质与不等式性质 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　作差比较法的三步：作差、变形、定号 （1）教材出处 必修第一册 第二章 2.1 节正文“基本事实”与例 1；课后习题中比较两个代数式大小的题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 对任意实数 ，有 比较两个实数或代数式的大小，可归结为判断它们的差与 的大小，这就是作差比较法。操作分三步：作差、变形、定号，最后据符号下结论。 （3）推导证明 实数与数轴上的点一一对应， 的符号表示从 到 的位移方向： 时 在 的右侧，故 ； 时两点重合，故 ； 时 在 的左侧，故 。反之，由 的大小关系也可推出差的符号，因此三者等价。 （4）适用条件与易错提醒 · 作差后必须变形到符号一眼可判：因式分解、配方、通分、分子有理化都是常用手段，不能停在原式。 · 差为 时必须写等号；含参数时要按参数取值分类讨论，不能默认差恒正或恒负。 · 比较两个代数式前先看定义域；定义域不同的式子不能直接作差比较。 · 取两个特殊值只能用于排除选项，不能代替证明。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，考“比较两个代数式的大小”“证明简单不等式”“由差的符号反求参数范围”；解答题中常作证明不等式的第一步。常与指数、对数、函数的单调性结合。难度：中档。近年真题：2022 全国甲卷·12（比较 与 的大小）。 （6）方法归纳 · 第一步　作差：把要比较的两个式子相减，先确认两式在同一讨论范围内。 · 第二步　变形：因式分解、配方、通分或分子有理化，把差化成几个因式的积、完全平方或明显定号的式子。 · 第三步　定号：结合已知条件判断每个因式的符号，必要时按参数分类讨论。 · 第四步　结论：差正、零、负分别对应大于、等于、小于，并写清取等条件。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 比较 与 的大小。 解析 作差： 故 ，对一切实数 都成立。 例题 2（教材原题改编） 已知 ，且 ，比较 与 的大小。 解析 作差并因式分解： 因为 ，所以 ；又 ，故差为正，即 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2022 全国甲卷·12）已知 ，，，试比较 与 的大小。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知 ，比较 与 的大小。 条目二　不等式性质的传递链与同向可乘的正数前提 （1）教材出处 必修第一册 第二章 2.1 节正文性质 1 至性质 7；习题 2.1 第 8 题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设 均为实数，教材给出以下性质。 性质 1（对称性）　。 性质 2（传递性）　。 性质 3（可加性）　。 性质 4（可乘性）　；。 性质 5（同向可加性）　。 性质 6（同向同正可乘性）　。 性质 7（同正可乘方性）　若 ，则 其中 为不小于 的正整数。 把性质 2 连续使用，得到传递链： （3）推导证明 · 性质 1、2：由 得 ，即 ；由 、 得 ，即 。 · 性质 3：。 · 性质 4：。当 时乘积为正，当 时乘积为负。 · 性质 5：。 · 性质 6：。由 、、、，右边两项均为正，故 。 · 性质 7：由 因 ，第一个因式为正，第二个因式各项均为正，故 。 （4）适用条件与易错提醒 · 同向同正可乘的“同正”不能丢： 才一定有 ；若 为负，结论可能反向。 · 同向不等式不能相减：由 推不出 。反例：，此时 ，。 · 异向不等式不能直接相乘；要相乘必须先化为同向，并逐项检查正负。 · 可乘性中 时只能得 ，不能写严格不等号。 · 传递性可以连续使用，但每一步都要保证中间量相同；若某一步带等号，最后可能取等号。 · 用同向相加求代数式范围时，若几个量相互关联，不能把同一个量拆成多处反复放缩，否则范围会被扩大。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，考“判断不等式命题的真假”“由已知不等式判断选项是否恒成立”“充要条件判断”；也常作为比较大小、证明不等式、求范围的第一步。难度：基础。近年真题：2024 上海春·13（由 判断四个不等式是否恒成立）、2019 全国Ⅱ卷·6（由 判断选项）。 （6）方法归纳 · 第一步　定条件：先看已知不等式的方向、是否含等号、字母的正负与是否为零。 · 第二步　选性质：同向相加用性质 5；同向同正相乘用性质 6；乘方用性质 7；需要移项或变号时先用性质 3、4。 · 第三步　逐项验证：判断命题为真时写出依据，判断为假时举出满足条件的具体反例。 · 第四步　查门槛：重点检查“同向”“同正”“非零”这三个条件是否全部满足。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 下列命题为真命题的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 解析 选 B。 · A 中取 ，则 ，故 A 假。 · B 中由 及性质 7 得 ，故 B 真。 · C 中由 得 ，故 C 假。 · D 中由 得 ，故 D 假。 例题 2（教材原题改编） 已知 ，，求证：。 解析 由 ，两边同乘 得 。又 ，由同向可加性得 即 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2024 上海春·13）已知 为实数，且 ，下列不等式恒成立的是（　　） A. B. C. D. 变式 2-2（优质模拟改编） 已知 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 条目三　倒数性质与开方性质的条件门槛 （1）教材出处 必修第一册 第二章 2.1 节正文性质 4、性质 7 与例 2；课后习题中涉及倒数与开方的不等式题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：高考常用推导结论。以下三式均由教材 2.1 节的性质 4 与性质 7 直接推出。 倒数性质　若 ，且 ，则 即 或 时，取倒数后不等号反向。 开方性质　若 ，则 更一般地， 时 ，其中 为不小于 的正整数。 乘方性质的分情形　若 ，则 ；若 为奇数，则 就足以推出 ；若 为偶数且 异号，则不能直接比较 与 。 （3）推导证明 · 倒数性质：作差 由 得 。若 ，则差为负，故 ；若 ，则差为正，故 。 · 开方性质：当 时， 分母为正，分子为正，故 。对 次方根同理，或由 在非负实数上单调递增得到。 · 乘方性质：由 当 时两个因式都为正。若 为奇数，第二个因式对任意实数 都为正，故结论仍成立；若 为偶数且 异号，第二个因式可能为负，结论不一定成立。 （4）适用条件与易错提醒 · 倒数性质的关键是 ，即 同号；只写 就取倒数，是典型错误。 · 若 ，则 ，仍有 ，与“同号取倒数反向”方向相反，不能混用。 · 开方性质要求 ； 时 在实数范围内无意义。 · 偶次乘方不能只凭 判断：， 时 ，但 。 · 奇次乘方对任意实数都保持不等号方向：。 · 含 时倒数无意义；含 时开方有意义，但取倒数前必须排除零。 （5）考点定位与命题角度 以选择题、填空题为主，考“判断倒数、开方、乘方后不等号是否反向”“比较含根式或倒数的式子”“解抽象不等式”。常与幂函数、指数函数、对数函数的单调性结合。难度：中档。近年真题：2019 全国Ⅱ卷·6（判断 的符号）、2024 上海春·13（含平方项的不等式判断）。 （6）方法归纳 · 第一步　看符号：先判断 是否同号、是否非负、是否含零。 · 第二步　选法则：同号取倒数用倒数性质；非负开方用开方性质；乘方先看指数奇偶。 · 第三步　定方向：同号取倒数反向，非负开方同向，奇次乘方同向，偶次乘方另判。 · 第四步　写门槛：在结论后注明“”“”等条件，防止漏用。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知 ，，求证：。 解析 由 得 ，由倒数性质得 又 ，两边同乘 ，不等号反向，故 例题 2（教材原题改编） 已知 ，比较 与 的大小。 解析 由 及开方性质得 。再由倒数性质得 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） （2019 全国Ⅱ卷·6）若 ，则（　　） A. B. C. D. 变式 3-2（优质模拟改编） 已知 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：（事实上 ）。 解析：由 得 。先证 ，即 。因为 两边同除以正数 ，得 即 ，故 。 再证 ，即 。因为 两边同除以正数 ，得 即 ，故 。 于是 故 。进一步由 得 ，由 得 ，所以 。 变式 1-2 答案与解析 答案：。 解析：设 作差： 因为 且 ，，所以 即 ，故 。 变式 2-1 答案与解析 答案：B。 解析：B 中由 ，两边同加 ，得 ，故 B 恒成立。 A 中取 ，，。此时 ，但 故 ，A 不恒成立。 C 中取 ，，，则 ，但 ，C 不恒成立。 D 中取 ，则 ，D 不恒成立。 变式 2-2 答案与解析 答案：C。 解析：由 且 ，得 ，。 C 中 因为 ，，故 ，C 一定成立。 A 中取 ，，，则 ，A 不一定成立。 B 中 因为 ，，故 ，B 不一定成立。 D 中取 ，，，则 ，D 不一定成立。 变式 3-1 答案与解析 答案：C。 解析：C 中 因为 ，所以 ；又 故 ，C 成立。 A 中取 ，，则 ，但 ，A 不成立。 B 中函数 在实数集上单调递增，由 得 ，B 不成立。 D 中取 ，，则 ，但 ，D 不成立。 变式 3-2 答案与解析 答案：A。 解析：由 知 同号。作差： 因为 ，所以 ；又 ，故差为负，即 ，A 一定成立。 B 中取 ，，则 ，，但 ，B 不一定成立。 C 中当 均为负数时， 在实数范围内无意义，C 不一定成立。 D 中由 及奇次乘方的单调性得 ，D 不成立。 人教A版·必修第一册　第2章 2.1 等式性质与不等式性质　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $