2.1等式性质与不等式性质讲义-2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习 2-1 等式性质与不等式性质 讲义 知识梳理 重点题型分析 题型1 用不等式表示不等关系 【例1-1】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【例1-3】（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（     ） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【例1-4】(多选)（23-24高三上·湖南衡阳·阶段检测）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 【例1-5】（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 变式训练 1.（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·北京房山·开学考试）奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2026·北京·高考真题）为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 4.(多选)（20-21高一上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，4个长为，宽为的长方形，拼成一个正方形，中间围成一个小正方形，则以下说法中正确的是（    ） A． B．当时，，，，四点重合 C． D． 5.（23-24高三上·河南洛阳·阶段检测）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 题型2 用作差法比较大小 【例2-1】（2027高三·全国·专题练习）已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【例2-2】（2026·四川·二模）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【例2-3】（25-26高三上·山东济宁·期中）甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（   ） A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定 【例2-4】(多选)（25-26高三上·海南·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例2-5】（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 作差后一是尽可能因式分解到每个因式容易判断正负，二是要注意条件的应用. 变式训练 1.（2026·湖南株洲·模拟预测）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·河北沧州·开学考试）设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·四川广安·阶段检测）设，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 4.(多选)（25-26高三上·广东·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5.（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设，，则______（填“>”“<”或“=”）． 题型3 用作商法比较大小 【例3-1】（20-21高二下·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【例3-2】（2021新高考数学一轮复习微专题）若a>0，且a≠7，则（    ） A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa与7aa7的大小不确定 【例3-3】（25-26高三·全国·一轮复习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 【例3-4】(多选)（23-24高三上·河南信阳·阶段检测）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例3-5】（21-22高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 变式训练 1.（2020高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 2.（多选）（23-24高三上·湖南长沙·阶段检测）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 3.（多选）（21-22高三上·福建福州·阶段检测）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4.（2026高三·全国·专题练习）已知且，，，则与的大小关系为________________． 5.（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 题型4 由不等式性质比较大小 【例4-1】（2026高三上·广东深圳·专题练习）设为非零实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4-2】（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例4-3】（25-26高三上·云南·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例4-4】(多选)（2025·四川·模拟预测）下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例4-5】（2027高三·全国·专题练习）用不等号“”或“”填空． （1），_________；（2），_________； （3）_________；（4）_________． 变式训练 1．（2026·上海松江·模拟预测）若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高三下·安徽·开学考试）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·重庆·开学考试）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.(多选)（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）下列四个命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，，则 5.（25-26高三·全国·一轮复习）已知，若，则a，b，c从小到大的顺序是_________． 题型5 由不等式性质判断证明不等式 【例5-1】（22-23高三·全国·中职高考）若，且，则是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．正负不确定 【例5-2】（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例5-3】（2026·浙江·一模）对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例5-4】(多选)（21-22高三下·重庆渝中·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【例5-5】（24-25高一上·全国·课后作业）设，使和同时成立的一个充分条件是______． 变式训练 1．（22-23高三上·吉林四平·阶段检测）已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 3.（24-25高三上·山西大同·阶段检测）在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 4.(多选)（21-22高三下·湖南邵阳·阶段检测）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高三上·江西宜春·阶段检测）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是________． 题型6 由的范围，求的取值范围 【例6-1】（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6-3】（25-26高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6-4】(多选)（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知实数x，y满足，则下列说法正确的有（   ） A．x的取值范围为 B．y的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【例6-5】（25-26高三·全国·一轮复习）若变量，满足约束条件，，则的最小值为________． 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 变式训练 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.(多选)（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高三·全国·一轮复习）（1）已知，，则的取值范围是________． （2）已知，，则的取值范围是________． 题型7 糖水不等式及其应用 【例7-1】(2024高三河南阶段练习)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为(    ) A． B． C． D． 【例7-2】(2023四川凉山一模)克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为. 若，则 A． B． C． D． 【例7-3】（2024年全国·阶段检测）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.已知，则（    ） A． B． C． D． 【例7-4】(多选)(2023湖南长沙长郡中学校二模)已知，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【例7-5】(2024高三福建龙岩阶段练习)若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(a>b>0，m>0)数学中常称其为糖水不等式； 依据糖水不等式可判断与的大小：； 试比较 的大小(填”<”或”>”或”=”) 变式训练 1.（20-21高一上·吉林通化·期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高二下·河南郑州·期末）已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3.（多选）（22-23高一上·江苏常州·阶段检测）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 4.（多选）（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 5.(多选)（25-26高一上·江苏苏州·期中）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习 2-1 等式性质与不等式性质 讲义 知识梳理 重点题型分析 题型1 用不等式表示不等关系 【例1-1】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 【例1-2】（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用不等式表示不等关系、利用不等式求值或取值范围、由不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【详解】设选题A的男生有x人，选题A的女生有y人，选题B的男生有m人，选题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 【例1-3】（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（     ） A．青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B．青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C．中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D．青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、用不等式表示不等关系 【分析】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数，将题干条件转化为不等式组：，，，代入特殊值验证，可以判断选项A、B、D；由可得，进而可得，可以判断C. 【详解】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数 选项A：若，满足所有题干条件，此时，不满足“多于三倍”，故A错误； 对选项B：若，，不满足“多于两倍”，故B错误； 对选项C：由可得，又，因此， 即恒成立，故C正确； 对选项D：若，满足，此时， 不满足“多于三倍”，故D错误. 【例1-4】(多选)（23-24高三上·湖南衡阳·阶段检测）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】根据题意直接列不等式即可求解. 【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板， 所以， 因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板， 所以. 故选：BC. 【例1-5】（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】用不等式表示不等关系 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 变式训练 1.（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 2.（26-27高三上·北京房山·开学考试）奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、用不等式表示不等关系 【详解】因为甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，所以， 又乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，即，，故，， 将，代入得，即，故， 又， 即，故，即， 因为，，所以，又，，故. 3.（2026·北京·高考真题）为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 【答案】B 【难度】0.56 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】设出高一、高二选择甲、乙基地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， 高二学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数：，选择甲基地的学生人数：，选择乙基地的学生人数：， ∵高一学生人数多于高二学生人数，选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断. 4.(多选)（20-21高一上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，4个长为，宽为的长方形，拼成一个正方形，中间围成一个小正方形，则以下说法中正确的是（    ） A． B．当时，，，，四点重合 C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】用不等式表示不等关系 【解析】根据图形的构成，结合面积之间的关系即可求出答案. 【详解】由图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有，故A正确； 因为正方形的面积为，结合图形可知，且当α=b时，，，四点重合，故BD正确； 但是正方形的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，因此选项C错误. 故选：ABD 5.（23-24高三上·河南洛阳·阶段检测）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】根据已知条件列出不等式. 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： 题型2 用作差法比较大小 【例2-1】（2027高三·全国·专题练习）已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法，再分类讨论差的符号即可判断. 【详解】作差，即； ①当，时，，即； ②当，时，，即； ③当，中一个小于1，另一个大于1时，，即； ④当，中有一个等于时，，即； 综上，当，或，时，，当，中一个小于1，另一个大于1时，；当，中有一个等于时，. 【例2-2】（2026·四川·二模）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，所以，. 所以，令，且. 则， 当或时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 综上所述：顾客购得的黄金是无法确定的. 【例2-3】（25-26高三上·山东济宁·期中）甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（   ） A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】设两次加油的油价分别为 ，分别计算出甲、乙两人加油的平均单价，再对两者进行比较. 【详解】设两次加油的油价分别为 ，甲每次都将油箱加满，设油箱容量为V，可得甲加油的平均单价为 . 设乙每次加油花费的钱数都为M，则第一次加油的油量 ，第二次加油的油量为，两次加油的花费为2M，总共加的油量为，可得乙加油的平均单价为 因为，所以 ，所以乙比较经济， 故选：C 【例2-4】(多选)（25-26高三上·海南·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】A、D应用特殊值比较大小判断；B由不等式性质判断；C作差法判断. 【详解】A：若，则，故A错； B：由，则，故B对； C：， 由，，故，则，故C对； D：若，则，故D错. 故选：BC 【例2-5】（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、作差法比较代数式的大小 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 作差后一是尽可能因式分解到每个因式容易判断正负，二是要注意条件的应用. 变式训练 1.（2026·湖南株洲·模拟预测）若实数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【详解】已知实数，满足，则，故A正确，B错误； ，，故，即，故C，D错误． 2.（26-27高三上·河北沧州·开学考试）设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【详解】对于选项A，取，，，，则，，所以，此时选项A不成立； 对于选项B，取，，，，则，，所以，此时选项B不成立； 对于选项C，取，，，，则，，所以，此时选项C不成立； 对于选项D，，其中由已知得，，， 故恒成立；故D正确.故选D. 3.（25-26高三上·四川广安·阶段检测）设，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可判断ABD，利用举反例法可判断C. 【详解】对于A，， 因为，所以，， 可知，即，A正确. 对于B，因为，所以，即，B正确. 对于C，当时，，此时，C错误. 对于D，，因为，所以， 可知，即，D正确. 故选：C. 4.(多选)（25-26高三上·广东·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】举反例可判断A；利用不等式的性质直接推导可判断BD；作差比较可判断C. 【详解】对A，取，则，错误； 对B，若，则，所以，即，错误； 对C，因为，所以，即，正确； 对D，因为，所以，所以， 又，所以，正确. 故选：CD 5.（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设，，则______（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可得答案. 【详解】. 因则. ，又，. 则，即. 故答案为： 题型3 用作商法比较大小 【例3-1】（20-21高二下·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y. 故选：C. 【例3-2】（2021新高考数学一轮复习微专题）若a>0，且a≠7，则（    ） A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa与7aa7的大小不确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】作商得到＝77－aaa－7＝，分a>7和0<a<7两种情况结合指数函数的单调性求解. 【详解】＝77－aaa－7＝， 当a>7时，0<<1，7－a<0，则>1，∴77aa>7aa7； 当0<a<7时， >1，7－a>0，则>1，∴77aa>7aa7， 综上，77aa>7aa7. 故选：C 【例3-3】（25-26高三·全国·一轮复习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】作商法比较代数式的大小、作差法比较代数式的大小 【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断； 【详解】方法一（作商法）：因为， 所以，所以． 方法二（作差法）： ，即． 故答案为： 【例3-4】(多选)（23-24高三上·河南信阳·阶段检测）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以， 故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 【例3-5】（21-22高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 变式训练 1.（2020高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则. 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 2.（多选）（23-24高三上·湖南长沙·阶段检测）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 3.（多选）（21-22高三上·福建福州·阶段检测）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】利用不等式的性质可判断A，由基本不等式可判断B，利用指数函数的单调性判断C，由作差法判断D. 【详解】对于A项：因为，所以，又，所以，A错； 对于B项：因为，所以，B对； 对于C项：，因为，，所以，又因为，所以，C对； 对于D项：，所以，D错. 故选：BC． 4.（2026高三·全国·专题练习）已知且，，，则与的大小关系为________________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小、比较对数式的大小 【分析】当时， 当0＜a＜1时，a3+1a2+1，由此能求出结果． 【详解】． 当时，，所以，则； 当时，，所以，则． 综上可知，当且时，，即． 5.（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 题型4 由不等式性质比较大小 【例4-1】（2026高三上·广东深圳·专题练习）设为非零实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、既不充分也不必要条件 【分析】对取特殊值并对充分性、必要性分别判断即可得出结论. 【详解】当时，若取，但此时不成立，即充分性不成立； 当时，若取，但此时不成立，即必要性不成立. 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【例4-2】（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由不等式的性质证明不等式 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 【例4-3】（25-26高三上·云南·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用已知等式先得出字母的正负，再结合基本不等式放缩，可推出，再利用反证法可得，再结合不等式的性质来判断即可. 【详解】因为，所以，又因为，所以， 又由，所以，， 若，此时，与矛盾，所以， 即，所以， 即，所以， 即，所以， 故选：D． 【例4-4】(多选)（2025·四川·模拟预测）下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质，作差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A、，则或， 当时，，故A错误； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，， ，，则，即，故C正确； 对于D，，又，所以， 则，即，故D错误． 故选：BC． 【例4-5】（2027高三·全国·专题练习）用不等号“”或“”填空． （1），_________；（2），_________； （3）_________；（4）_________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】（1）因为，所以，所以. （2）因为，，所以. （3）因为，所以. （4）因为，所以，所以. 变式训练 1．（2026·上海松江·模拟预测）若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对于ABC，当时，满足，此时，， 故A错误，B错误，C错误； 对于D，因为，故D正确. 2.（25-26高三下·安徽·开学考试）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质逐项分析后可得正确的选项. 【详解】对于A，因为，故，故， 故，故A成立； 对于B，因为，故，又，故，故B成立； 对于C，因为，故，又，故，故C成立； 对于D，因为，故，故，故D不成立. 3.（25-26高三上·重庆·开学考试）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A，D，运用作差法计算判断选项B，C. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，， 所以，即，故B错误； 对于C，因为， 若，则，，， 所以，即，故C正确； 对于D，令，，则，，故D错误. 故选：C 4.(多选)（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）下列四个命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，，则 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用反例可说明A是错误的，根据不等式的性质可判断BD的真假，作差法判断C选项. 【详解】对A：当，时，满足，但，故A错误； 对B：当，两边同乘以得，两边同乘以得，所以成立，故B正确； 对C：若，，满足且，但，故C错误； 对D：因为， 又，，所以，故D正确. 故选：BD 5.（25-26高三·全国·一轮复习）已知，若，则a，b，c从小到大的顺序是_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用不等式的性质将原不等式化成，结合条件，进一步化成，即可比较大小. 【详解】由可得， 即， 因，，则有， 故得：， 由可得，由可得， 于是有． 故答案为：. 题型5 由不等式性质判断证明不等式 【例5-1】（22-23高三·全国·中职高考）若，且，则是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．正负不确定 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】根据题意得出的正负，进而可得答案. 【详解】因为，且，所以不确定，所以， 所以， 故选：C. 【例5-2】（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质证明不等式 【分析】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】因为，为实数，当，时，满足，但是， 所以若则是假命题； 而由，当时，得； 当时，得，所以由得， 所以若则是真命题； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【例5-3】（2026·浙江·一模）对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】充分条件、必要条件、由不等式的性质证明不等式 【分析】应用不等式性质结合充分必要条件的定义求解即可. 【详解】对实数，当时，，则， 当时，，则， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 【例5-4】(多选)（21-22高三下·重庆渝中·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】A选项可举出反例；BCD选项，可通过不等式的基本性质进行证明. 【详解】对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误； 对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确； 对选项C：若，则，所以选项C错误； 对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确， 故选：BD． 【例5-5】（24-25高一上·全国·课后作业）设，使和同时成立的一个充分条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】充分条件、由不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】根据不等式的性质可知，当时，和同时成立的， 所以“”是“和同时成立”的充分条件， 即只要满足，就均是“和同时成立”的充分条件， 所以充分条件可以是． 故答案为：（答案不唯一） 变式训练 1．（22-23高三上·吉林四平·阶段检测）已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】由不妨取特殊值将选项A,B,C排除, 关于D,由,即有,取倒数即可证明选项正误. 【详解】由题知, 不妨取则有, 所以,故选项A,B错误; 关于选项C,不妨取 所以,故选项C错误; 关于选项D,, ,故选项D正确. 故选:D 2.（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由不等式的性质证明不等式、利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的基本性质计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 所以，即，所以的最大值为27. 故选：A 3.（24-25高三上·山西大同·阶段检测）在四个数中（    ） A．任意三个数不能同时等于0 B．任意两个数之和不等于另两个数之和 C．至少有一个数不大于3 D．至少有一个数不小于1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质证明不等式、绝对值的三角不等式应用 【分析】利用赋值法判断选项A,B,C，利用不等式的性质判断选项D. 【详解】当时，，A错误； 令，则，， 若，即，则四个数相等，B错误； 不妨取，则，C错误； 记为四个数中最大的数， 当时， 故 ， 当时，，（时的条件不唯一）； 当时，不妨设，则只需考虑且的情况， 此时，故，故当时，， 综上所述，，D正确； 故选：D. 4.(多选)（21-22高三下·湖南邵阳·阶段检测）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的基本性质依次判断选项即可. 【详解】A：由且，可知a>0，c<0，b的值不确定， 故由，不能推出，故A错误； B：由，得，故B正确； C：由于，，得，故C正确； D：由得.所以，故D正确， 故选：BCD. 5.（23-24高三上·江西宜春·阶段检测）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是________． 【答案】②④ 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断. 【详解】对于①∵，∴只有时才成立，∴①不正确； 对于②，；，∴②正确； 对于③，若，如，但，∴③不正确； 对于④，，∴，， 又∵，∴，∴，∴，∴④正确． 故答案为：②④. 题型6 由的范围，求的取值范围 【例6-1】（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 【例6-2】（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 【例6-3】（25-26高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】用表示，根据不等式性质运算求范围. 【详解】令，则，解得. 因为，， 所以，即的取值范围是. 故选：B. 【例6-4】(多选)（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知实数x，y满足，则下列说法正确的有（   ） A．x的取值范围为 B．y的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、求与幂函数有关的复合函数值域、求指数型复合函数的值域、利用不等式求值或取值范围 【分析】对于AB，根据不等式的同向可加性求解即可；对于C，由A知x的取值范围，结合对勾函数的性质可得的取值范围；对于D，根据指数幂的运算性质将展开，根据指数函数的单调性及不等式的同向可加性可得所求范围. 【详解】对于A，因为，则由，可知，即，故A正确； 对于B，因为，则由，可知，即，故B错误； 对于C，由A知，根据对勾函数的性质知在上单调递减，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，因为，又， 所以，所以， 所以的取值范围为，故D正确． 故选：AD. 【例6-5】（25-26高三·全国·一轮复习）若变量，满足约束条件，，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用不等式的基本性质求的取值范围即可. 【详解】设， 故 . 故. 由于，， 所以 所以，即，故最小值为－6． 故答案为：－6 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 变式训练 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】由不等式的同向可加性得到结果. 【详解】因为，得，，所以． 故选：B． 2.（25-26高三上·广东汕头·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据b的范围，可得的范围，根据a的范围，可得的范围，将所求变形，即可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以，则. 故选：C 3.（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】将表示为，利用不等式性质求解. 【详解】， 因为，，所以，， 所以， 故选：D. 4.(多选)（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、利用不等式求值或取值范围 【详解】对于A，因为，， 所以， 所以，故A正确. 对于B，， 所以，，故B错误. 对于C，， 所以，故C正确. 对于D，由，得， 所以， 所以，故D正确. 5.（25-26高三·全国·一轮复习）（1）已知，，则的取值范围是________． （2）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）先根据已知条件判断的符号，然后将等式变形为，代入不等式中求出结果即可. 【详解】（1）因为，所以，因为， 所以，所以的取值范围是. （2）因为，所以. 因为，所以，即，解得. 将代入中得，即， 得，所以，所以的取值范围是. 故答案为：（1）；（2）. 题型7 糖水不等式及其应用 【例7-1】(2024高三河南阶段练习)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】糖水不等式的应用，作差法比较代数式的大小 【分析】在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了，所以糖水变甜了，即糖水浓度变大了。 【详解】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为， 加入糖后糖水浓度变大了，所以；故选：D 【例7-2】(2023四川凉山一模)克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为. 若，则 A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】糖水不等式的应用，作差法比较代数式的大小 【分析】由，得出，，用作差法比较可得答案. 【详解】，，， 由，又， 所以，, 所以，， 因为； 所以，所以，故选：B. 【例7-3】（2024年全国·阶段检测）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、糖水不等式的应用 【分析】方法一：应用对数型糖水不等式计算求解计算判断求解； 方法二：应用普通型糖水不等式计算求解计算判断求解. 【详解】方法一：对数型糖水不等式 因为 , 所以 . 因为函数在上单调递减， 所以，可得 , 且 . 所以 , 即 , 故选 :A. 方法二：普通型糖水不等式：由已知条件 , 可得 .   可以得到 , 即 . 所以 , 即 . ,即 , 所以 , 即 . 综上, , 故选: A. 【例7-4】(多选)(2023湖南长沙长郡中学校二模)已知，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】糖水不等式的应用，作差比较大小 【分析】由糖水不等式的倒数形式：若a>b>0，m>0，则：；判断求解； 【详解】因为，所以有，所以；故A错误； 因为，所以由糖水不等式得：；故B正确； 因为，所以；故C正确； 因为，故D正确； 【例7-5】(2024高三福建龙岩阶段练习)若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(a>b>0，m>0)数学中常称其为糖水不等式； 依据糖水不等式可判断与的大小：； 试比较 的大小(填”<”或”>”或”=”) 【答案】【难度】0.85 【知识点】由已知条件比较大小、 【分析】根据糖水不等式的知识求得正确答案. 【解】依题意； 故答案为： 变式训练 1.（20-21高一上·吉林通化·期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】作差法比较代数式的大小 【解析】根据生活常识可知，糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，即可解出． 【详解】因为糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，，所以． 故选：D． 2.（20-21高二下·河南郑州·期末）已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】利用已知的事实以及作差法、特殊值法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】对于A选项，由题意可知，A选项错误； 对于B选项，作出函数与的图象如下图所示： 由图可知，当时，，，则， 所以，，即，B选项正确； 对于C选项，， 所以，，C选项错误； 对于D选项，取，，则，D选项错误. 故选：B. 3.（多选）（22-23高一上·江苏常州·阶段检测）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】糖水不等式得应用、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D 【详解】对于A，，， ，，故A错误， 对于B，，， ，，故B正确， 对于C，，， ，， ， ，故C正确， 对于D，，， ，， ，故D正确， 故选：BCD 4.（多选）（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据糖水不等式可依次判断ACD；作差法可判断B. 【详解】对于A，由糖水不等式得：，时，，故A错误； 对于B，，， ，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD 5.(多选)（25-26高一上·江苏苏州·期中）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、糖水不等式得应用 【分析】对A，利用作差法比较；对B，举反例说明；对CD，根据糖水不等式可依次判断. 【详解】对于A，， ，即，故A正确； 对于B，当，时，，，故B错误； 对于C，由题，，则， ， 又，所以，故C正确； 对于D，，，， ，故D正确. 故选：ACD. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习2-1等式性质与不等式性质讲义 知识梳理 a-b>0分a>b 作差法(a,b∈R) a-b=0+a=b a-b<0÷a<b 两个实数 ab>1÷a>b(a∈R,b>0) 比较大小 作商法 ab=1÷a=b(a≠0，b≠0) ab<1÷a<b(a∈R,b>0) a=f(m),b=f(n)(m<n),则： 函数性质法： f(x)单调递增台a<b f(x)单调递减÷a>b 对称性：如果a=b,那么b=a 传递性：如果a=b,b=c,那么a=c 等式 性质 可加（减）性：如果a=b,那么a±c=b±c 可乘性：如果a=b,那么ac=bc 可除性：如果a=b,c≠0，那么日=b 等式性质与不等式性质 对称性：a>bb<a 传递性：a>b,b>c→a>c 可加性：a>ba+c>b十c;推论：（移项法则）a+c>b÷a>b-c 不等式 可乘性：a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc 性质 同向可加性：a>b,c>d曰a+c>b+d 同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0→ac>bd 同正可乘方性：a>b>0→a>b(neN,n≥2) 可开方性：a>b>0→a>√b a>b,ab>0 11 a b a<b<0→ 11 a b 两个 倒数 性质 常用 ab>0,0<c<d=0b 不等 c d 式性 质 0<a<x<b或a<x<b<0→ 111 bx a (有关分数的不等式性质)：若a>b>0,m>0,则 糖水不 糖水不等式： b-m bb+m (b-m>0)】 等式 a-m aa+m 糖水不等式的倒数形式： a+m a a-m (b-m>0) b+m b b-m 重点题型分析 题型1用不等式表示不等关系 【例1-1】（25-26高三上·辽宁锦州期末)平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以 第1页共11页 水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域.某地平流层是地球表面以上10km(不 含)到50km(不含)的区域，下述不等式中x能表示平流层高度的是() A.x+10|<50 B.x-10l<50 c.1x-201<30 D.x-30l<20 【例1-2】(2024浙江金华.一模)某高中高三(15)班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择， 每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人 数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则() A.选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B.选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C.选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D.选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【例1-3】(26-27高三上·北京门头沟·开学考试)在潭柘寺AI+AR智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数 多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选 项中一定成立的是() A.青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B.青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C.中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D.青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【例1-4】（多选）(2324高三上湖南衡阳·阶段检测)某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、 圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x,y,z(x,y,z∈N*)块.上述问题中不等关系表示正确为() A.5x+3y+10z≥55 B.5x+3y+10z≤55 C.12x+6y+13z≤125 D.12x+6y+13z≥125 【例1-5】(2026高三·全国.专题练习)某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售 100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.己知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应 减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为 第2页共11页 变式训练 1.(25-26高一上·安徽合肥期中)某人元旦回家共225km,准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min, 转汽车时离家还有30km,已知动车的平均速度为300km/h,汽车平均速度为xkm/h,若从坐动车开始能在 1小时内到家，则x应该满足的不等式为() A+1 B.=+10<60 C袋+9+10<60 0.+9+后1 2.(26-27高三上北京房山开学考试)奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为α， b,c,d(a,b,c,d均为正整数且互不相等).已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比 甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则a,b,c,d的大小关系正确的是() A.a>d>b>c B.d>b>c>a C.d>b>a>c D.a>b>d>c 3.(2026北京·高考真题)为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个 红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加.已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选 择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则() A.选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B.选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C.选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D.选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 4.(多选)(20-21高一上·湖北武汉·阶段检测)如图所示，4个长为a,宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD, 中间围成一个小正方形A1B1C1D1,则以下说法中正确的是() A.(a+b)2≥4ab B.当a=b时，A1,B1,C1,D1四点重合 c.(a-b)2≤4ab D.(a+b)2>(a-b)2 D C B C D 5.（23-24高三上河南洛阳阶段检测)某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若 单价每提高01元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收 入仍不低于20万元为 第3页共11页 题型2用作差法比较大小 【例2-1】(2027高三·全国.专题练习)己知M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是() A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 【例2-2】(2026·四川·二模)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金， 售货员先将4g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡：再将6g的砝码放在天平 右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄 金是() A.大于10g B.等于10g C.小于10g D.无法确定 【例2-3】(25-26高三上·山东济宁·期中)甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次 都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式 比较经济？() A.甲比较经济 B.甲和乙一样经济 C.乙比较经济 D.不能确定 【例2-4】（多选）（25-26高三上海南·阶段检测)己知b<a<0,则() 1 1 A.3a+8>3h+8 B.Va2+3<Vb2+3 C.a+b2>a2+b D.六+a>克+b 【例2-5】（23-24高三上天津和平开学考试)已知a是实数，则“a>1"是a+>2"的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 温方法提炼思维升华 作差后一是尽可能因式分解到每个因式容易判断正负，二是要注意条件的应用. 变式训练 1.(2026湖南株洲模拟预测)若实数a,b满足a>b,则() A.a+1>b+1 B.a+1<b+1 C.3a<3b D.a-b<0 2.(26-27高三上河北沧州开学考试)设a>b>0>c>d,则下列不等式恒成立的是() A.a-b<c-d B.ac<bd C.a>ba D.d+s<a+s a 第4页共11页 3.（25-26高三上四川广安阶段检测)设0<a<b,则下列选项中不正确的是() Ab-言a-日 B.aa C.a D.a2+b2 2ab 4.(多选)(25-26高三上广东阶段检测)下列命题为真命题的是() A.若a>b,则lna2<lnb2 B.若a<b<0,则片<月 C.若0<a<b,则<号 D.若c>a>b>0,则a>b c-a c-b 5.(25-26高三全国-轮复习)已知a>b>0,c<d<0,e<0,设X=aY=6则x e Y(填“>“<” 或“=”). 题型3用作商法比较大小 【例3-1】(20-21高二下江西赣州期中)已知c>1,且x=Vc+1-Vc,y=√-Vc-1,则x,y之间的大 小关系是() A.x>yB.x=yC.x<yD.x,y的关系随c而定 【例3-2】（2021新高考数学一轮复习微专题)若a>0,且a≠7，则() A.77a<7a7 B.77a=7°a7C.77a>7a7D.7a°与7a7的大小不确定 【例33】(2526高三全国一轮复习)若a=g,b=号，则a与b的大小关系是 .（用“>"连接) 【例3-4】（多选）（23-24高三上河南信阳·阶段检测)若a>b>0,那么下列不等式一定成立的是() A>月 B.8 C.a>vab>b D.a+片b+月 【例3-5】(21-22高二上江西九江阶段检测)若0<x<1,则x、三V斥、x2中最小的是 变式训练 1.(2020高三.上海专题练习)设p=(a2+a+1)1,q=a2-a+1,则(). A.p>q B.p<q C.p≥q D.p≤q 2.（多选)(23-24高三上·湖南长沙阶段检测)对于实数a,b,c,下列选项正确的是() 第5页共11页 A.若a>b,则a>a+>b B.若a>b>0,则a>Vab>b C.若日>行则a>0,b<0 D.若a>b>0,c>0,则+> a+c a 3.（多选)(21-22高三上福建福州阶段检测)已知a>b>0,c<0,则下列不等式一定成立的是() A.<8 B.号+8>2 C.ac<be D.+< a+l a 4.(2026高三·全国.专题练习)已知a>0且a≠1，P=1oga(a3+1),Q=loga(a2+1),则P与Q的大小关系 为 5.(25-26高三·全国.一轮复习)设a>0,b>0,且a≠b,则aba和ab的大小关系是 题型4由不等式性质比较大小 【例4-1】（2026高三上广东深圳专题练习)设a,b为非零实数，则1>b"是“a<”的() a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例4-2】(2026北京三模)已知a<b<0<c<d,则下列不等式一定成立的是() A.ac<bd B.ac>bd C.ad<bc D.ad>bc 【例4-3】(25-26高三上·云南阶段检测)已知a>0,后+吉=忌，bc>a2,则（) ab A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 【例4-4】（多选）（2025四川模拟预测)下列命题中正确的是() A.若ab>0,则+号>0 B.若a>b,则ac2≥bc2 C.若a>b>0,c>0,则>8 atc D.若a<b<0,则片+a>+b 【例4-5】（2027高三·全国.专题练习)用不等号“>”或“<"填空， (1)a>b,c<d→a-cb-d;(2)a>b>0,c<d<0→ac bd; (3)a>b>0→a Vb;(4)a>b>0→之 —b2 第6页共11页 变式训练 1.（2026上海松江·模拟预测)若实数a、b满足a2>b2,则下列不等式恒成立的是(（) A.a>b>0 B.a>0>b C.a>bl D.al>bl 2.(25-26高三下·安徽开学考试)已知a<b<0,c>d>0,则下列结论不成立的是() A.ac<bd B.a2c>b2d c.1+c>1+d D.a-c>b-d 3.(25-26高三上，重庆·开学考试)若a,b,c∈R,则下列命题正确的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a<b<c<0,则2>+9 aa+c C若a>b>c,则片<点 D.若a>b,则a2>b2 4.(多选)（25-26高三上山东潍坊·阶段检测)下列四个命题中正确的是() A.若a>b,则la>b B.若a<b<0,则b2<ab<a2 c.若ab≠0且a>b,则片<分 0.若b>a>0,m>0,则< 52526高三全国一轮复习)已知a,6ce0,+m),若6<品。<。则ab,c从小到大的顺序是 题型5由不等式性质判断证明不等式 【例5-1】（22-23高三·全国.中职高考)若a>b>c,且a+b+c=0,则b2-4ac是() A.负数 B.零 C.正数 D.正负不确定 【例5-2】（2025全国模拟预测)已知x,y为实数，p:x<y,q:x<y,则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例5-3】(2026浙江一模)对实数x,y,则"x>y"是“x2|x>y2y"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例5-4】（多选）（21-22高三下·重庆渝中.阶段检测)下列命题正确的是() A.若>台则a<b B.若a<b且ab>0,则片>号 第7页共11页 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a>b>0,c<d<0,则ac<bd 【例55】(24-25高一上全国课后作业)设yER,使后>言利>铜时成立的一个充分条件是 变式训练 1.(22-23高三上·吉林四平阶段检测)己知实数a,b,c,若a>b>c,则下列不等式一定成立的是() A.a-b>b-c B.ac>b2 C.a(a-c)>b(b-c)D.a 1 2.(2024江苏南通模拟预测)设x,y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤号≤9，则的最大值为() A.27 B.24 C.12 D.32 3.(24-25高三上山西大同阶段检测)在x+y儿，x-y儿，x-z引，y+z-31四个数中() A.任意三个数不能同时等于0B.任意两个数之和不等于另两个数之和 C.至少有一个数不大于3 D.至少有一个数不小于1 4.(多选)（21-22高三下湖南邵阳·阶段检测)已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论正确的是() A.ab>b2 B.ac<bc c.> 0.8>1 5.(23-24高三上·江西宜春.阶段检测)对于实数a,b,c,给出下列命题： ①若a>b,则ac2>bc2;②若a<b<0,则a2>ab>b2; 国若a>b,则a2>b2,④若a<b<0,则哈> 其中正确命题的序号是 题型6由x,y的范围，求mx+ny的取值范围 【例6-1】(2025山西临汾.二模)若3≤a≤5，-2≤b≤1，则2a-b的范围是() A.[8,9] B.[4,8] C.[5,8] D.[5,12] 【例6-2】(25-26高三下山西阶段检测)已知2<x<4,-3<y<-1,则，的取值范围是（) A.品<x< B.<x<2C.<x<1D.<x<} 【例6-3】(25-26高三上·内蒙古赤峰阶段检测)若-5<2a+b<4,-3<a-2b<6,则3a+4b的取值 第8页共11页 范围是() A.(-7,2) B.(-16,11) C.(-7,11) D.(-16,-7) 【例6-4】（多选）(25-26高三上·湖南-阶段检测)已知实数x,y满足1≤x+y≤3,0≤x-y≤1，则下列说 法正确的有() A.x的取值范围为，2 B.y的取值范围为[0,1] C.x+的取值范围为[2,5] D.ex(ey-e)的取值范围为[0，e3-1] 【例6-5】(25-26高三·全国.一轮复习)若变量x,y满足约束条件3≤2x+y≤9,6≤x-y≤9，则z=x+2y 的最小值为 温方法提炼思维升华 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质. (②)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的 整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 变式训练 1.(2025河北沧州模拟预测)已知2<a≤4，-1<b≤0，则2a-b的取值范围() A.[4,9) B.(4,9) C.(5,8] D.(5,8) 2.(25-26高三上广东汕头期末)己知1<a<3,4<b<则的取值范围是(） A.(5,7) B.(5,14) C.(3,13) D. 3.(25-26高三上陕西商洛·阶段检测)若0<a+b<1,-1<a-b<2,则2a+4b的取值范围为() A.（-3,1) B.（-42) C.(-1,3) D.(-2,4) 4.(多选)(26-27高三上·湖南·阶段检测)己知a∈(2,3)，b∈(-2，-1)，则下列结论正确的是() A.a+2b∈(-2,1) B.ab∈(-4，-3) C.a-b∈(3,5) D.e(-3,-1) 5.(25-26高三·全国.一轮复习)(1)已知2<a<3,-2<b<-1,则2a+b的取值范围是 第9页共11页 (2)已知a>b>c,2a+b+c=0,则的取值范围是 题型7糖水不等式及其应用 【例7-1】(2024高三河南阶段练习)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m(m>0)克糖（假设全部 溶解)，糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为) A.bm>am B.b+m>a+m c.>0.8>8 【例7-2】(2023四川凉山一模)a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为号，这个质量比决定了糖水 的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为>(a>b>0,m>0). 若x1=10g32,x2=l0g1510,x3=10g4520,则 A.X1<x2<X3B.x1<X3<x2C.X3<x1<x2D.X3<X2<x1 【例7-3】(2024年全国阶段检测)若克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为2，这个质量分数决 定了糖水的甜度如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 >a>b>0,m>0)数学中常称其为糖水不等式已知9=10，a=10m-11,b=80-9,则（） atm A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 【例7-4】（多选）2023湖南长沙长郡中学校二模)已知0<a<b<c,则下列说法正确的是() A> 1 C.ate a)) D.ab+c2>ac+bc 【例7-5】(2024高三福建龙岩阶段练习)若α克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为决定了糖水的甜 度.如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式<+m心b>0,心0) a atm 数学中常称其为糖水不等式： 依据辖水不等式可判断1og2与logs10的大小：log32-器<+需-器-1ogs10: 试比较log43 logs4的大小（填”<”或">”或”="） 变式训练 1.(20-21高一上·吉林通化·期末)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶 解)，下列不等式中表示糖水变甜的是() A> a+m C.台> 第10页共11页 2.（20-21高二下·河南郑州·期末)己知bg糖水中含有ag糖(b>a>0),若再添加mg糖完全溶解在其中，则 糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，下列不等式中一定成立的是() A含 8.< C.(a+2m)b+m)<(a+m)(b+2m) D.32> 1 3.（多选)(22-23高一上江苏常州阶段检测)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b), 若再添加c克糖(c>0)后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：>。趣称之为“糖水不等式”.根据生活经 a+c a 验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是() A.若a>b>0,m>0,则4m与的大小关系随m的变化而变化 a+m a B.若b>a>0,m>0,则>+m aa+m C.若a>b>0,c>d>0,则<+e atd arc D.若a>0,b>0,则一定有48t十+<品+6 4.(多选)(25-26高一上河北邯郸-阶段检测)生活经验告诉我们：a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b), 若再添加m克糖(m>0)后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：<细趣称之为”糖水不等式”根据“糖水 atm 不等式”判断下列命题一定正确的是() A.若a>b>0,m<0,则< B.若b>a>0,m>0,则g>8细 C.若a,b,c为△ABC三条边长，则品+品6> D.若a,b,为△ABC三条边长，则1<+品+<2 5.(多选)(25-26高一上江苏苏州期中)生活经验告诉我们：a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b), 若再添加m克糖(m>0)后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：。<+m根据“糖水不等式"等知识判断， 下列命题一定正确的是() A.若b>a>0,m>0,则2>+m a+m B.若a>b>0,m<0且b+m>0,a+m>0,则2<+m aa+m C.若a,b,c为△ABC三条边长，则a+b>c 1+a1+b1+c D.若a,b,c为△ABC三条边长，则++。<2 第11页共11页2027届高考数学一轮复习2-1等式性质与不等式性质讲义 知识梳理 a-b>0分a>b 作差法(a,b∈R) a-b=0+a=b a-b<0÷a<b 两个实数 ab>1÷a>b(a∈R,b>0) 比较大小 作商法 ab=1÷a=b(a≠0，b≠0) ab<1÷a<b(a∈R,b>0) a=f(m),b=f(n)(m<n),则： 函数性质法： f(x)单调递增台a<b f(x)单调递减÷a>b 对称性：如果a=b,那么b=a 传递性：如果a=b,b=c,那么a=c 等式 性质 可加（减）性：如果a=b,那么a±c=b±c 可乘性：如果a=b,那么ac=bc 可除性：如果a=b,c≠0，那么日=b 等式性质与不等式性质 对称性：a>bb<a 传递性：a>b,b>c→a>c 可加性：a>ba+c>b十c;推论：（移项法则）a+c>b÷a>b-c 不等式 可乘性：a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc 性质 同向可加性：a>b,c>d曰a+c>b+d 同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0→ac>bd 同正可乘方性：a>b>0→a>b(neN,n≥2) 可开方性：a>b>0→a>√b a>b,ab>0 11 a b a<b<0→ 11 a b 两个 倒数 性质 常用 ab>0,0<c<d=0b 不等 c d 式性 质 0<a<x<b或a<x<b<0→ 111 bx a (有关分数的不等式性质)：若a>b>0,m>0,则 糖水不 糖水不等式： b-m bb+m (b-m>0)】 等式 a-m aa+m 糖水不等式的倒数形式： a+m a a-m (b-m>0) b+m b b-m 重点题型分析 题型1用不等式表示不等关系 【例1-1】（25-26高三上·辽宁锦州期末)平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以 第1页共33页 水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域.某地平流层是地球表面以上10km(不 含)到50km(不含)的区域，下述不等式中x能表示平流层高度的是() A.x+10|<50 B.x-10|<50 c.1x-201<30 D.1x-301<20 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A:由lx+10<50,得-50<x+10<50,解得-60<x<40,不满足题意，故A不正确： 对于B:由|x-101<50,得-50<x-10<50,解得-40<x<60,不满足题意，故B不正确： 对于C:由x-20|<30,得-30<x-20<30,解得-10<x<50,不满足题意，故C不正确： 对于D:由lx-30<20,得-20<x-30<20,解得10<x<50,满足题意，故D正确. 故选：D. 【例1-2】(2024浙江金华.一模)某高中高三(15)班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择， 每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人 数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则() A.选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B.选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C.选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D.选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用不等式表示不等关系、利用不等式求值或取值范围、由不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【详解】设选题A的男生有x人，选题A的女生有y人，选题B的男生有m人，选题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即y+n>x+m:又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即x+y> m+n. 将这两个不等式相加得到：2y+x+n>2m+x+n,两边同时消去x+n得到2y>2m,即y>m. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 故选：A 【例1-3】(26-27高三上·北京门头沟·开学考试)在潭柘寺AI+AR智慧文旅体验活动中，己知青年游客人数 多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选 项中一定成立的是() 第2页共33页 A.青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B.青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C.中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D.青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、用不等式表示不等关系 【分析】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数x,y,z,将题干条件转化为不等式组：x>y,y>z,2z>x, 代入特殊值验证，可以判断选项A、B、D:由y>z可得y+z>2z,进而可得y+z>2z>x,可以判断C. 【详解】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数x,y,z 选项A:若z=3,y=4,x=5,满足所有题干条件，此时x+y=9=3z,不满足“多于三倍”，故A错误； 对选项B:若z=3,y=4,x=5,X+z=8=2y,不满足“多于两倍”，故B错误： 对选项C:由y>z可得y+z>z+z=2z,又x<2z,因此y+z>2z>x, 即y+z>x恒成立，故C正确： 对选项D:若z=4,y=6,x=7,满足4<6<7<8，此时2x+z=18=3y, 不满足“多于三倍”，故D错误 【例1-4】（多选）(23-24高三上湖南衡阳·阶段检测)某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、 圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x,y,z(x,y,z∈N*)块.上述问题中不等关系表示正确为() A.5x+3y+10z≥55 B.5x+3y+10z≤55 C.12x+6y+13z≤125 D.12x+6y+13z≥125 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】根据题意直接列不等式即可求解. 【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板， 且共有55张A薄板， 所以5x+3y+10z≤55， 第3页共33页 因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有 125张B薄板， 所以12x+6y+13z≤125. 故选：BC 【例1-5】（2026高三·全国专题练习)某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售 100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.己知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应 减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为 【答案】x2-28x+190≤0(10≤x≤20) 【难度】0.75 【知识点】用不等式表示不等关系 【详解】提价后商品的售价为x(x≥10)元，则提高了(x-10)元，销售量减少了10(x-10)件， 则利润为(x-8)[100-10(x-10)]元(x≤20)， 则(x-8)[100-10(x-10)]≥300，化简得x2-28x+190≤0. 销售量为非负，结合提价要求得10≤x≤20， 故x2-28x+190≤0(10≤x≤20). 变式训练 1.(25-26高一上·安徽合肥·期中)某人元旦回家共225km,准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min, 转汽车时离家还有30km,已知动车的平均速度为300km/h,汽车平均速度为xkm/h,若从坐动车开始能在 1小时内到家，则x应该满足的不等式为() A+日1 B.52+10<60 c.s+0+10<60 D.8++<1 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 览++1 故选：D. 2.(26-27高三上北京房山开学考试)奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为α， b,c,d(a,b,c,d均为正整数且互不相等).己知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比 甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则a,b,c,d的大小关系正确的是() A.a>d>b>c B.d>b>c>a 第4页共33页 C.d>b>a>c D.a>b>d>c 【答案】c 【难度】0.75 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、用不等式表示不等关系 【详解】因为甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，所以a+b=c+d, 又乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，即b=a+2,d=c+8,故b>a,d>c, 将b=a+2,d=c+8代入a+b=c+d得2a+2=2c+8,即a=c+3,故a>c, 又d=c+8,即d=a+5,故d>a,即d>a>c, 因为b=a+2,d=a+5,所以d>b,又b>a,d>a>c,故d>b>a>c. 3.(2026北京，高考真题)为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个 红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加.已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选 择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则() A.选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B.选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C.选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D.选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 【答案】B 【难度】0.56 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】设出高一、高二选择甲、乙基地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生选择甲基地的人数为A,选择乙基地的人数为B, 高二学生选择甲基地的人数为C,选择乙基地的人数为D, ∴高一总人数：A+B,高二总人数：C+D,选择甲基地的学生人数：A+C,选择乙基地的学生人数：B+D, ,高一学生人数多于高二学生人数，选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数， :低二≥日十8由不等式的性预，两侧分别相加并化商得A>D, ∴选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数，故B正确，A,C,D均无法判断 4.(多选)(20-21高一上·湖北武汉·阶段检测)如图所示，4个长为a,宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD, 中间围成一个小正方形A1B1C1D1,则以下说法中正确的是() D D 第5页共33页 A.(a+b)2≥4ab B.当a=b时，A1,B1,C1,D1四点重合 c.(a-b)2≤4ab D.(a+b)2>(a-b)2 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】用不等式表示不等关系 【解析】根据图形的构成，结合面积之间的关系即可求出答案 【详解】由图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a+b)2≥4ab,故A正确： 因为正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2,结合图形可知(a+b)2>(a-b),且当a=b时A1,B1,C1,D1四点 重合，故BD正确： 但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定，因此选项C错误 故选：ABD 5.(23-24高三上河南洛阳阶段检测)某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若 单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收 入仍不低于20万元为 【答案】(B-品×02)x≥20 【难度】0.85 【知识点】用不等式表示不等关系 【分析】根据已知条件列出不等式. 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为(8-。×0.2)万本， 则提价后销售的总收入为(8-。径×0.2）)x万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： (8-2×02x220, 故答案为：(8-×02)x≥20 题型2用作差法比较大小 【例2-1】(2027高三.全国.专题练习)已知M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是() A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法，再分类讨论差的符号即可判断. 【详解】作差，即M-N=(a1-1)(a2-1): 第6页共33页 ①当a1,a2∈(-o,1)时，(a1-1)(a2-1)>0,即M>N: ②当a1,a2∈(1，+o)时，(a1-1)(a2-1)>0,即M>N: ③当a1,a2中一个小于1，另一个大于1时，(a1-1)(a2-1)<0,即M<N: ④当a1,a2中有一个等于1时，(a1-1)(a2-1)=0,即M=N: 综上，当a1a2∈(-∞，1)或a1,a2∈(1，+o)时，M>N,当a1,a2中一个小于1，另一个大于1时，M<N: 当a1,a2中有一个等于1时，M=N. 【例2-2】(2026四川二模)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金， 售货员先将4g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平 右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄 金是() A.大于10g B.等于10g C.小于10g D.无法确定 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a,右臂长为b,则a≠b, 再设先称得黄金为x,后称得黄金为y,则4如=b,6b=ya,所以x=号y=色 所以x+y=+g令t=8≠1，且t>0. 则x+y-10=4t+-10=2-10t+6=22-3-D, t 当0<t<1或t>时，x+y-10>0,即x+y>10: 当1<t<时，x+y-10<0,即x+y<10: 当t=时，x+y-10=0,即x+y=10: 综上所述：顾客购得的黄金是无法确定的， 【例2-3】(25-26高三上山东济宁·期中)甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次 都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式 比较经济？() A.甲比较经济 B.甲和乙一样经济 C.乙比较经济 D.不能确定 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】设两次加油的油价分别为P,P2(P1≠P2),分别计算出甲、乙两人加油的平均单价，再对两者进行 比较 第7页共33页 【详解】设两次加油的油价分别为P,P2(P1≠P2),甲每次都将油箱加满，设油箱容量为V,可得甲加油的 平均单价为P-B+P2型=+2 2V 2 设乙每次加油花费的钱数都为M,则第一次加油的油量丛，第二次加油的油量为，两次加油的花费为2M, P1 P2 总共加的油量为增+货可得乙加油的平均单价为P反=兴 2M 2P1P2 P1+P2 P1 P2 因为P-P2=是-=>0，所以P>P2,所以乙比较经济。 2P1+P22(P1+P2) 故选：C 【例2-4】（多选）（25-26高三上海南-阶段检测)已知b<a<0,则() A.3a+8>3b+8 B.Va2+3<Vb2+3 C.a+b2>a2+b D.0+a>+b 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】A、D应用特殊值b=-2<a=-1<0比较大小判断；B由不等式性质判断；C作差法判断. 【详解】A:若b=-2<a=-1<0,则a=g=克故A错： B:由b<a<0,则bl>|a>0→b2>a2→b2+3>a2+3→√b2+3>√a2+3,故B对： c:a+b2-a2-b=(a-b)-(a2-b2)=(a-b)-(a-b)a+b)=(a-b)1-a-b), 由a-b>0,1-a-b>0,故(a-b)(1-a-b)>0,则a+b2>a2+b,故C对： D:若b=-2<a=-1<0,则2+a=1<+b=2,故D错. 故选：BC 【例2-5】(23-24高三上天津和平开学考试)已知a是实数，则“a>1“是a+>2"的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、作差法比较代数式的大小 【分析】判断“a>1"和“a+三>2”之间的逻辑推理关系，即得答案 【详解】当a>1时，a+-2=a2-2a+1=a-2>0, a a 故a+>2,即a>1成立，则a+>2成立： 第8页共33页 当a=时，a+后-+2>2，但推不出a>1成立， 故"a>1"是“a+三>2”的充分不必要条件， 故选：A 鲁方法提炼思维升华 作差后一是尽可能因式分解到每个因式容易判断正负，二是要注意条件的应用. 变式训练 1.(2026湖南株洲模拟预测)若实数a,b满足a>b,则（) A.a+1>b+1 B.a+1<b+1 C.3a<3b D.a-b<0 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的 大小 【详解】已知实数a,b满足a>b,则a+1>b+1,故A正确，B错误： a>b,·a-b>0,故3(a-b)>0,即3a>3b,故C,D错误 2.(26-27高三上河北沧州开学考试)设a>b>0>c>d,则下列不等式恒成立的是() A.a-b<c-d B.ac<bd c.a>baD.d+号<a+ 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【详解】对于选项A,取a=10,b=1,c=-1,d=-2,则a-b=9,c-d=1,所以a-b>c-d,此 时选项A不成立： 对于选项B,取a=2,b=1,c=-1,d=-10,则ac=-2,bd=-10,所以ac>bd,此时选项B不成 立： 对于选项C,取a=2,b=1,c=-1,d=-10,则a=,b4=1,所以a<b,此时选项c不成立： 对于选项D,a+后-(d+月=a-d+,其中由已知得a-d>0,b-a<0:品<0. 故a+-(d+)>0恒成立：故D正确，故选D, 3.（25-26高三上四川广安阶段检测)设0<a<b,则下列选项中不正确的是() A.b->a-日 B.ata c.品a> D.a2+b2>2ab 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 第9页共33页 【分析】利用作差法可判断ABD,利用举反例法可判断C. 【详解】对于A,b-片(a-)=b-a+片-=0-四(1+总) 因为0<a<b,所以b-a>0,ab>0,>0, 可知b-(1+)>0,即b->a-A正确， 对于B,岁-a=号因为b-a>0,所以号>0，即生>a,B正确， 对于C当a=1,b=2时，点。=1，日1，此时品。-京c错误 对于D,a2+b2-2ab=(a-b),因为0<a<b,所以a-b<0, 可知(a-b)2>0,即a2+b2>2ab,D正确 故选：C 4.(多选)(25-26高三上广东阶段检测)下列命题为真命题的是() A.若a>b,则lna2<lnb2 B.若a<b<0,则片<分 C.若0<a<b,则哈<号 0.若c>a>b>0,则2。>品 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】举反例可判断A;利用不等式的性质直接推导可判断BD:作差比较可判断C 【详解】对A,取a=2,b=1,则n22>n12,错误； 对，若a<b<0,则品>0，所以a×品<b×品即时<台错误： 对C,因为0<a<b,所以-+=0+)ba+2-2a-D<0,即9<a+ ,正确： bb+2 b(b+2) b(b+2) bb+ 对D,因为c>a>b>0.所以0<c-a<c-b,所以片>点>0 又a>b>0,所以二。>名正确， 故选：CD 5.(25-26高三全国.一轮复习)已知a>b>0,c<d<0,e<0,设x= aY=o动则XY(填，“<” 或“=”). 【答案】> 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可得答案 【详解1X-y-向可 e e(b+a-c-d)(b+c-a-d) (a-c)(b-d)2 第10页共33页 因a>b>0,c<d<0,则b+a>0,-c-d>0→b+a-c-d>0 b-a<0,c-d<0→b+c-a-d<0,又e<0,(a-c)2>0,(b-d2>0 则e0+a=c-d+c=a-d0>0,即X>y. (a-c)2(b-d)2 故答案为：> 题型3用作商法比较大小 【例3-1】(20-21高二下.江西赣州.期中)已知c>1,且x=c+1-V,y=√-Vc-1,则x,y之间的大 小关系是() A.x>y B.x=y C.x<yD.x,y的关系随c而定 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】应用作商法比较，1的大小关系即可。 【详解】由题设，易知x,y>0,又-中=+三<1，x<, yVc-Vc-I√c+1+VE 故选：C 【例3-2】（2021新高考数学一轮复习微专题)若a>0,且a≠7，则() A.77a<7a7 B.77a0=7a7 C.77a>7a7D.77a与7a7的大小不确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】作商得到-7a7=( 了一“，分7和0<a<7两种情况结合指数函数的单调性求解。 【详解】g=7a07=( 74a7 当a>7时，0<<1,7-a<0, >1,∴.77a>7a7: a 当0<0<7时，Z>1,7-a>0, 则( >1,∴.77a>7a7 综上，77a>7a7. 故选：C 【例33】(2526高三全国一轮复习)若a=,b=只，则a与b的大小关系是 ·（用“>”连接) 【答案】a>b 【难度】0.85 【知识点】作商法比较代数式的大小、作差法比较代数式的大小 第11页共33页 【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断： 【详解】方法一（作商法）：因为a=3>0,b=2>0, 3 2 所以好-号×名-器-器-loe9>1,所以a>。. 3 方法二（作差法）：a-b=3_-2=(2n3-3n2)=n9-ln8)>0,即a>b. 326 故答案为：a>b 【例3-4】（多选）(23-24高三上河南信阳·阶段检测)若a>b>0,那么下列不等式一定成立的是() A8生>8 C.a>ab>b D.a+5>b+日 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】作差比较大小可以判断AD;作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A,因为a>b>0,所以牛1-=a巴=之0，故A正确： a+tl a a(a+1) 对于B,号>1>>0，故B错误： a 对于c,a>b≥0，后=普>1，所以a>画，因为受=号>1，所以画>，所以a>V画≥b, 故C正确； 对于D,a+号-b-=(a-)(1+月)>0，故D正确。 故选：ACD 【例3-5】(21-22高二上江西九江阶段检测)若0<x<1,则x、土V反、x2中最小的是 【答案】x2 【难度】0.85 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为0<x<1,所以>1,0<√x<1,0<x2<1 因为培=<1，号=x<1,所以x<,2<x 即2<x<匠< 故答案为：x2 变式训练 1.(2020高三.上海.专题练习)设p=(a2+a+1),q=a2-a+1,则(). A.p>q B.p<q C.p≥q D.p≤q 第12页共33页 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】首先配方判断p、q均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】p=+a+1)'码之0， 1 1 g=a2-at1=(a-)}+>0, 明=o诗=a-a+Dc:+a+)=a+D-a=ey+241≥ 故p≤q,当且仅当a=0时，取等号， 故选：D 2.(多选)(23-24高三上·湖南长沙阶段检测)对于实数a,b,c,下列选项正确的是() A.若a>b,则a>>b B.若a>b>0,则a>√ab>b C.若>后则a>0,b<0 D.若a>b>0,c>0,则+c> a+c a 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对选项A,因为a>b,所以a-a+=a>0,a+-b=a>0, 22 2 所以a>+>b,故A正确： 对选项B.a>b>0,总=号>1，所以a>V画， 因为受=沿>1，所以va>6.即a>画>b:故B正桶： 对选项c,令a=2,b=3,满足>不满足Q>0,b<0,故c错误： 对选项D,因为a>b>0,c>0, 所以+-点=+e-ba+0=ca-月>0，故D正确。 atc a a(a+c) a(a+c) 故选：ABD. 3.(多选)(21-22高三上·福建福州阶段检测)已知a>b>0,c<0,则下列不等式一定成立的是() A.<号 B.8+>2 C.ac<be D.+1< atl a 【答案】BC 【难度】0.85 第13页共33页 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小 【分析】利用不等式的性质可判断A,由基本不等式可判断B,利用指数函数的单调性判断C,由作差法判断 0 【详解】对于A项：因为a>b>0,所以<行又c<0,所以>A错： 对干B项：因龙1，所以+2层=2，B对： 对于c项：等=(，因岁>1，c<0,所以(<1，又因为b>0,所以a<b,C对： 对于D项：出：-=之0.所器>台D错 a+l a a(a+1) a+1 a 故选：BC 4.(2026高三·全国.专题练习)己知a>0且a≠1，P=log(a3+1),Q=1og(a2+1),则P与Q的大小关系 为 【答案】P>Q 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、作商法比较代数式的大小、比较对数式的大小 【分析】当a>1时a3+1>a2+1, 当0<a<1时，a3+1<a2+1,由此能求出结果. 【详解】p-Q=log.(d3+1)-log(a2+1)=log 当a>1时a3+1>a2+1,所以>1，则og出>0： 当0<a<1时，0<a3+1<a2+1,所以0<若<1，则oa出>0 综上可知，当a>0且a≠1时，P-Q>0,即P>Q. 5.(25-26高三.全国.一轮复习)设a>0,b>0,且a≠b,则ab和ab的大小关系是 【答案】aab>aPba 【难度】0.65 【知识点】作商法比较代数式的大小 【分析】由a>0,b>0,且a≠b,得到 答=a0.-a=(月，再分a>b>0b>a>0时论求解 【详解】因为a>0,b>0,且a≠6，所以答=ad-b=(目 当a>b>0时，号>1，a-b>0,可得目1，所以r>a心r 当6>a>0时，由0<×1，a-b<0,可得(（目- >1,所以abb>aba 综上可得，ab>aba. 第14页共33页 故答案为：ab>aba 题型4由不等式性质比较大小 【例4-1】(2026高三上广东深圳专题练习)设a,b为非零实数，则>b是a<的（)） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、既不充分也不必要条件 【分析】对a,b取特殊值并对充分性、必要性分别判断即可得出结论 【详解】当>b时，若取a=1,b=-1,但此时a<不成立，即充分性不成立： 当a<时，若取a=-1,b=1,但此时>b不成立，即必要性不成立. 因此">b是"a<的既不充分也不必要条件. 故选：D 【例4-2】(2026北京三模)已知a<b<0<c<d,则下列不等式一定成立的是() A.ac<bd B.ac>bd C.ad<bc D.ad>bc 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由不等式的性质证明 不等式 【详解】对于A、B,当a=-2,b=-1,c=1,d=2时，ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故A、B均不正确： 对于C、D,因为a<b,d>0,所以ad<bd,又c<d,b<0,所以bc>bd,所以ad<bd<bc,即ad<bc, C正确，D错误： 【例4-3】(25-26高三上云南阶段检测)己知a>0,+是=，bc>a2,则() ah A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用已知等式先得出字母的正负，再结合基本不等式放缩，可推出b≤c,再利用反证法可得0<b<c, 再结合不等式的性质来判断即可. 【详解】因为a>0,品=+>0，所以6>0，又因为bc>a2>0,所以c>0, 又品+≥忌所以ab≤ac,b≤c, 1 第15页共33页 若b=c,此时a=b=c,与bc>a2矛盾，所以0<b<c, 即c2>bc>a2,所以c>a>0, 即略=+<子，所以ab>a2, 即b>a,所以c>b>a, 故选：D 【例4-4】（多选）(2025四川模拟预测)下列命题中正确的是() A.若ab>0,则贴+>0 B.若a>b,则ac2≥bc2 C.若a>b>0,c>0,则+c> a+c D.若a<b<0,则+a>上+b 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质，作差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案 【详解】对于A、ab>0,则a<0,b<0或a>0,b>0, 当a<0,b<0时，十<0，故A错误： 对于B,a>b,c2≥0，则ac2≥bc2,故B正确： 对于C,+-b=a+o)-ba+Q=ca-) a(a+c) a(a+c)' a>b>0,c>0,÷a-b>0,则-=a->0,即>总，故c正确； a+caa(a+c） a+c 对于0，+a-（日+b)=密+a-b=a-(怎+1)又a<b<0,所以a-b<0,>0, 则号+a-(（G+b)=(a-b)(忌+1)<0，即+a<+b,故D错误. 故选：BC 【例4-5】（2027高三.全国.专题练习)用不等号“>"或“<"填空. (1)a>b,c<d→a-c b-d:(2)a>b>0,c<d<0=ac bd: (3)a>b>0→a b:(4)a>b>0→京 —b2 【答案】 <> 【难度】0.94 【知识点】由己知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】(1)因为c<d,所以-c>-d,所以a-c>b-d. (2)因为a>b>0,c<d<0,所以ac<bd (3)因为a>b>0,所以a>b 第16页共33页 (4)因为a>b>0,所以a2>b2>0,所以始<是 变式训练 1.（2026上海松江·模拟预测)若实数a、b满足a2>b2,则下列不等式恒成立的是() A.a>b>0 B.a>0>b C.ab D.lal>bl 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对于ABC,当a=-2,b=-1时，满足a2>b2,此时a<b<0,a<b, 故A错误，B错误，C错误； 对于D,因为a2>b2台|a>1b台|a>bl,故D正确. 2.(25-26高三下.安徽开学考试)已知a<b<0,c>d>0,则下列结论不成立的是() A.ac<bd B.a2c>b2d C.i+czg+d D.a-c>b-d 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质逐项分析后可得正确的选项 【详解】对于A,因为a<b<0,c>d>0,故-a>-b>0,故-a×c>-b×d, 故ac<bd,故A成立： 对于B,因为a<b<0,故a2>b2>0,又c>d>0,故a2c>b2d,故B成立： 对于C,因为a<b<0,故>青又c>d,故站+c>+d,故c成立： 对于D,因为c>d>0,故-c<-d<0,故a-c<b-d,故D不成立. 3.（25-26高三上·重庆开学考试)若a,b,c∈R,则下列命题正确的是() A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a<b<c<0,则2>+s a atc C.若a>b>c,则片< D.若a>b,则a2>b2 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A,D,运用作差法计算判断选项B,C. 【详解】对于A,若a>b,c=0,则ac2=bc2,故A错误； 对于8，因为片票=2= a(a+c) a(a+c) 第17页共33页 若<b<e<0,则[02a+)>0:6后900-0<0 「c<0 所以2-+c=0-<0,即2<，故B错误： a atc a(a+c) aa+c 对于c,因为品点 b-a =(a-cb-c） 若a>b>c则a-c>0,b-c>0,b-a<0, 所以品之。8。<0，即品<六放c正确： 对于D,令a=1,b=-2,则a>b,a2-b2=12-(-2)2=-3<0,故D错误. 故选：C 4.(多选)（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测)下列四个命题中正确的是() A.若a>b,则a>lb B.若a<b<0,则b2<ab<a2 c.若ab≠0且a>b,则片<8 D.若b>a>0,m>0.则号<8 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用反例可说明A是错误的，根据不等式的性质可判断BD的真假，作差法判断C选项. 【详解】对A:当a=1,b=-2时，满足a>b,但1=la<Ibl=2,故A错误： 对B:当a<b<0,两边同乘以a得a2>ab,两边同乘以b得ab>b2,所以b2<ab<a成立，故B正确： 对C:若a-16=-1,满足ab≠0且a>b,但1=甘甘-1，故c错误： 对0：因为-号-a+a0+m-+-m= b(b+m) b(b+m) b(b+m) 又b>a>0,m>0,所以g<tm,故D正确. bb+m 故选：BD 5.(25-26商三全国一轮复习)记知a,bc∈(0，+m)若品<品：<a则a,bc从小到大的顺序是 【答案】c<a<b 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用不等式的性质将原不等式化成站<.<品结合条件，进一步化成a+b>b+c>c+a, 即可比较大小. 【详解】由品<异<可得6+1<异+1<中+1， a+bb+cc+a b+c C十a 银即a+b+c<++s<a+b+c b+c c+a 第18页共33页 因a,bce(0,+o),a+b+c>0,则有0<点<点< 故得：a+b>b+c>c+a, 由a+b>b+c可得a>c,由b+c>c+a可得b>a, 于是有c<a<b. 故答案为：c<a<b. 题型5由不等式性质判断证明不等式 【例5-1】(22-23高三·全国.中职高考)若a>b>c,且a+b+c=0,则b2-4ac是() A.负数 B.零 C.正数 D,正负不确定 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】根据题意得出a,c的正负，进而可得答案. 【详解】因为a+b+c=0,且a>b>c,所以a>0,c<0,b不确定，所以b2≥0，ac<0, 所以b2-4ac>0, 故选：C 【例5-2】(2025全国模拟预测)已知x,y为实数，p:x<y,q:x<y,则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质证明不等式 【分析】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】因为x,y为实数，当x=-2<0,y=1时，满足x<y,但是|x=2>y=1, 所以若p则q是假命题： 而由0≤lx<y,当x≥0时，得x<y 当x<0时，得x<0<y,所以由x<y得x<y, 所以若g则p是真命题： 所以p是q的必要不充分条件. 故选：B 【例5-3】(2026浙江一模)对实数x,y,则x>ly"是“x21x>yy"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第19页共33页 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】充分条件、必要条件、由不等式的性质证明不等式 【分析】应用不等式性质结合充分必要条件的定义求解即可. 【详解】对实数x,y,当x>y时，x3>y3,则x2x>y2y, 当x2x>y2yl时，x3>y,则x>by, 则“|x>y"是“x2|x>y2y"的充要条件. 故选：C 【例5-4】（多选）(21-22高三下·重庆渝中.阶段检测)下列命题正确的是() A.若>则a<b B.若a<b且ab>0,则> C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a>b>0,c<d<0,则ac<bd 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由不等式的性质证明 不等式 【分析】A选项可举出反例：BCD选项，可通过不等式的基本性质进行证明. 【详解】对选项A:可取a=3,b=2,c=-1,则满足>5，但此时a>b,所以选项A错误： 对选项B:因为ab>0,所以若b>a>0,则>若a<b<0,则>片所以选项B正确； a 对选项C:若a<b<0,则a2>ab,所以选项c错误： 对选项D:若c<d<0,所以-c>-d>0:又因为a>b>0,所以由同向同正可乘性得：-ac>-bd,所 以ac<bd,所以选项D正确， 故选：BD 【例55】(24,25高一上·全国课后作业)设xyeR,使号>方利>铜时成立的一个充分条件是 【答案】y>x>1(答案不唯一) 【难度】0.85 【知识点】充分条件、由不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的性质即可得解 【详解】根据不等式的性质可知，当y>x>0时，三>二和>同时成立的， 所以y>x之0是岩>→铜时立的充分条件， 第20页共33页 即只要满足y>x>0,就均是号>二和>同时成立”的充分条件， √Exy 所以充分条件可以是y>x>1. 故答案为：y>x>1(答案不唯一) 变式训练 1.(22-23高三上·吉林四平阶段检测)己知实数a,b,c,若a>b>c,则下列不等式一定成立的是() A.a-b>b-c B.ac b C.a(a-e)b(b-e)D. 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由不等式的性质证明不等式 【分析】由a>b>c不妨取特殊值将选项A,B,C排除， 关于D,由a>b>c,即有a-c>b-c>0,取倒数即可证明选项正误. 【详解】由题知a>b>c, 不妨取a=3,b=2,c=-1,则有a-b=1<b-c=3, 所以ac=-3<b2=4,故选项A,B错误； 关于选项C,不妨取a=-1,b=-2,c=-3, 所以a(a-c)=-2=b(b-c)=-2,故选项C错误； 关于选项D,a>b>C,a-c>b-c>0, 六>六>0，放选项D正确 故选：D 2.(2024江苏南通模拟预测)设x,y为实数，满足3≤xy≤8,4≤号≤9，则的最大值为() 2 A.27 B.24 C.12 D.32 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由不等式的性质证明不等式、利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的基本性质计算即可求解. 【详解】由3≤少2≤8，得立≤号 又4≤号≤9.所以16≤兰≤81， 所以站×16≤位×≤×81，即2≤兰s27,所以的最大值为27. 故选：A 3.(24-25高三上山西大同阶段检测)在x+y儿，x-y,x-z引，y+z-3四个数中() 第21页共33页 A.任意三个数不能同时等于0B.任意两个数之和不等于另两个数之和 C.至少有一个数不大于3 D.至少有一个数不小于1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质证明不等式、绝对值的三角不等式应用 【分析】利用赋值法判断选项A,B,C,利用不等式的性质判断选项D, 【详解】当x=y=z=0时，lx+yl=x-y=x-z=0,A错误； 令y=0,2x=z,则x+y=1x-y川=lx-z=x,y+z-3引=|2x-3, 若x=2x-3,即x=3,则四个数相等，B错误： 不妨取x=6,y=-2,z=1,则1x+y八=4，lx-y川=8，x-z=5,y+z-3引=4，c错误： 记M为四个数中最大的数， 当xy≥0时，lx+y川=lx|+ly川≥lx-y儿， 故M=max{x+儿x-z,y+z-3≥+y+-+-3到≥+y++3-yA=1, 3 3 当x=y=,z=时，M=1,(M=1时的条件不唯一)为 当xy<0时，x+y川<x-y川，不妨设x<0,y>0,则只需考虑0<y<1且z<1的情况， 此时y+z<2,故y+z-3>1,故当xy<0时，M>1, 综上所述，M≥1，D正确： 故选：D. 4.(多选)(21-22高三下·湖南邵阳·阶段检测)已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论正确的是() A.abb2 B.ac<bc c.>月 0.8>1 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小、由不等式的性质证明 不等式 【分析】根据不等式的基本性质依次判断选项即可. 【详解】A:由a>b>c且a+b+c=0,可知>0，c<0,b的值不确定， 故由a>b,不能推出ab>b2,故A错误： B:由a>b,c<0,得ac<bc,故B正确； C:由于a>0,c<0,得>故C正确： D:由a>b>c得a-c>b-c>0.所以>1，故D正确， 第22页共33页 故选：BCD 5.（23-24高三上江西宜春阶段检测)对于实数a,b,c,给出下列命题： ①若a>b,则ac2>bc2;②若a<b<0,则a2>ab>b2: ③若a>b,则a2>b2,④若a<b<0,则>日 其中正确命题的序号是 【答案】②④ 【难度】0.85 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断. 【详解】对于①，c2≥0，.只有c≠0时才成立，.①不正确： 对于②，a<b<0→a2>ab:a<b<0→ab>b2,∴.②正确： 对于③，若0>a>b→a2<b2,如-1>-2，但(-1)2<(-2)2，∴.③不正确： 对于④，a<b<0→-a>-b>0,.(-a2>(-b)2,a2>b2, b>0,品>0,2流>b2品号>名@正确。 ab 故答案为：②④ 题型6由x,y的范围，求mx+ny的取值范围 【例6-1】(2025山西临汾.二模)若3≤a≤5，-2≤b≤1，则2a-b的范围是() A.[8,9] B.[4,8] c.[5,8] D.[5,12] 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由3≤a≤5，-2≤b≤1可得6≤2a≤10，-1≤-b≤2， 故5≤2a-b≤12， 故选：D 【例62】(25-26高三下.山西阶段检测)已知2<x<4,-3<y<-1,则的取值范围是() A.6<x< B.{x<x<2 C.<x<1 D.x<} 【答案】D 【难度】0.85 第23页共33页 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解 【详解】原式的分子和分母同时除以x,得x 1 由条件得2<-2y<6,2<x<4,所以好<-2<乡即时<-兰<3， 4 x 2 所以<1-2型<4， X 所←亭行则则一的度鱼范周是国时长< x-2y 故选：D 【例6-3】(25-26高三上内蒙古赤峰.阶段检测)若-5<2a+b<4,-3<a-2b<6,则3a+4b的取值 范围是() A.(-7,2) B.(-16,11) C.(-7,11) D.(-16,-7) 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】用2a+b,a一2b表示3a+4b,根据不等式性质运算求范围 【详解】令3a+4=m(2a+)+a-20).则双二解得[二2 因为-10<2(2a+b)<8,-6<-(a-2b)<3, 所以-16<3a+4b<11,即3a+4b的取值范围是(-16,11). 故选：B 【例6-4】（多选）(25-26高三上·湖南阶段检测)己知实数x,y满足1≤x+y≤3,0≤x-y≤1，则下列说 法正确的有() A.x的取值范围为，2 B.y的取值范围为[0,1] C.x+的取值范围为[2,5] D.e*(ey-e-)的取值范围为[0，e3-1] 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、求与幂函数有关的复合函数值域、求指数型复合函数的值域、利用不等式求值或 取值范围 【分析】对于AB,根据不等式的同向可加性求解即可；对于C,由A知x的取值范围，结合对勾函数的性质 可得x+的取值范围；对于D,根据指数幂的运算性质将e'(e-e)展开，根据指数函数的单调性及不等式 的同向可加性可得所求范围。 【详解】对于A,因为2x=(x+y)+(x-y),则由1≤x+y≤3,0≤x-y≤1，可知1≤2x≤4，即时≤x≤2， 第24页共33页 故A正确： 对于B,因为2y=(x+y)+【(x-y)],则由1≤x+y≤3，-1≤-(x-y)≤0，可知0≤2y≤3，即0≤y≤ 多故B错误： 对于C,由A≤x≤2，根据对勾函数的性质知y=x+在，2上单调递减，所以x+的取值范围为[4，引， 故C错误； 对于D,因为e(ey-e)=e+y-ex-y,又1≤x+y≤3,0≤x-y≤1， 所以e≤e+y≤e3,1≤e-y≤e,所以-e≤-e-y≤-1， 所以e*(ey-e)的取值范围为[0，e3-1],故D正确. 故选：AD 【例6-5】(25-26高三·全国一轮复习)若变量x,y满足约束条件3≤2x+y≤9,6≤x-y≤9，则z=x+2y 的最小值为 【答案】-6 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用不等式的基本性质求z=x+2y的取值范围即可. 【详解】设z=x+2y=m(2x+y)+n(x-y)=(2m+n)x+(m-n)y, 故[W=÷m二1 n=-11 故z=x+2y=(2x+y)-(x-y) 由于3≤2x+y≤9,6≤x-y≤9， 所以-9≤-(x-y)≤-6 所以3+(-9)≤(2x+y)-(x-y)≤9+(-6)，即-6≤x+2y≤3，故z=x+2y最小值为-6. 故答案为：一6 鲁方法提炼思维升华 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 ()必须严格运用不等式的性质. (②)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的 整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围。 变式训练 1.(2025河北沧州.模拟预测)已知2<a≤4，-1<b≤0，则2a-b的取值范围() A.[4,9) B.(4,9) c.(5,8] D.(5,8) 【答案】B 第25页共33页 【难度】0.94 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】由不等式的同向可加性得到结果. 【详解】因为2<a≤4，-1<b≤0得4<2a≤8,0≤-b<1,所以4<2a-b<9. 故选：B. 2.(25-26高三上广东汕头期末)已知1<a<3,}<b<子，则的取值范围是() A.(5,7) B.(€，14) C.(3,13) 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据b的范围，可得的范围，根据a的范围，可得的范围，将所求变形，即可得答案 【详解】因为<b<所以2<<4， 又1<a<3,所以2<<12，则+=+1e3,13). bb 故选：C 3.(25-26高三上陕西商洛.阶段检测)若0<a+b<1,-1<a-b<2,则2a+4b的取值范围为() A.(-3,1) B.（-4,2) C.（-1,3) D.(-2,4) 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】将2a+4b表示为3(a+b)-(a-b),利用不等式性质求解. 【详解】2a+4b=3(a+b)-(a-b), 因为0<a+b<1,-1<a-b<2,所以0<3(a+b)<3,-2<-(a-b)<1, 所以-2<2a+4b<4, 故选：D. 4.(多选)(26-27高三上·湖南·阶段检测)己知a∈(2,3)，b∈(-2，-1)，则下列结论正确的是() A.a+2b∈(-2,1) B.ab∈(-4-3) C.a-b∈(3,5) D.8e(-3,-1) 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、利用不等式求值或取值范围 第26页共33页 【详解】对于A,因为2<a<3,-2<b<-1, 所以-4<2b<-2, 所以-2<a+2b<1,故A正确. 对于B,1<-b<2, 所以2<-ab<6,-6<ab<-2,故B错误. 对于C,1<-b<2, 所以3<a-b=a+(-b)<5,故C正确. 对于0，由1<-b<2,得<-言<1， 2 所以1<-；=a()<3, 所以-3<号<1，故D正确， 5.(25-26高三全国一轮复习)(1)已知2<a<3,-2<b<-1,则2a+b的取值范围是 (2)已知a>b>c,2a+b+c=0,则的取值范围是 【答案】 (2,5) (1,-) 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】(1)根据不等式的性质进行求解即可： (2)先根据已知条件判断a,c的符号，然后将等式变形为b=-2a-c,代入不等式中求出结果即可. 【详解】(1)因为2<a<3,所以4<2a<6,因为-2<b<-1, 所以2<2a+b<5,所以2a+b的取值范围是(2,5) (2)因为a>b>c,2a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-2a-c. 因为a>b>c,所以-2a-c<a,即3a>-c,解得<- 将b=-2a-c代入b>c中得-2a-c>c,即a<-c, 得>-1，所以-1<：<-子所以的取值范围是(-1，-) 故答案为：(1)(2,5：(2)（1，-) 题型7糖水不等式及其应用 【例7-1】(2024高三河南阶段练习)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m(m>0)克糖（假设全部 溶解)，糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为) A.bm>am B.b+m>a+m c.>g 0.>8 【答案】D【难度】0.94 【知识点】糖水不等式的应用，作差法比较代数式的大小 第27页共33页 【分析】在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了，所以糖水变甜了，即糖水浓度变大了。 【详解】原糖水的浓度为号加入糖后糖水的浓度为把 加入糖后糖水浓度变大了，所以>号故选：D 【例7-2】(2023四川凉山一模)a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为2，这个质量比决定了糖水 的甜度，如果再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为tm>(a>b>0,m>0). 若x1=l0g32,x2=l0g1510,x3=l0g4s20,则 A.X1<X2<X3B.X1<x3<X2C.X3<X1<X2 D.X3<X2<x1 【答案】B【难度】0.85 【知识点】糖水不等式的应用，作差法比较代数式的大小 【分析】由tm>(a>b>0,m>0),得出x2>x1,3>x1,用作差法比较x2x3可得答案 a+m 【详解】器×器-器谣器-治器 _1g2 1m≥(a>b>0,m>0),又g3>lg2>0,lg5> atm 所以g>器等>器-器 所以x2>x1,x3>X1 因为x2一为=03+1g5 ig2+1g5 21g2+1g5 1g5(1g3-1g2) 21g3+1g5 0g3+g5j2g3+1g5>0: 所以，所以x1<x3<x2,故选：B. 【例7-3】(2024年全国阶段检测)若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为号，这个质量分数决 定了糖水的甜度如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 0>a>b>0,m>0)数学中常称其为糖水不等式.己知9=10，a=10m-11,b=8m-9,则(） A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、糖水不等式的应用 【分析】方法一：应用对数型糖水不等式计算求解计算判断求解： 方法二：应用普通型糖水不等式计算求解计算判断求解。 【详解】方法一：对数型糖水不等式 因为9m=10,所以m=log910.因为函数f(x)=1ogx(x+1)在(1，+oo)上单调递减， 所以m=1ogg10>log1o11,可得m=1og10>log1o11=lg11,且m=1og910<log89. 所以a=10m-11>101g11-11=0,b=8m-9<8g89-9=0,即a>0>b, 第28页共33页 故选A 方法二：普通型糖水不等式：由己知条件9m=10,可得m=log910. 可以得到m=g10 1g9 gy-二-gg>g1,即m>e1 ”1g9+1g号 1g10 所以a>101g11-11=0,即a>0. 又m-贵<答-b2g<1ogg即m<1og9,所以b<g-9=0,即b<0. 1g9 1g9+1g号 1g8 综上，a>0>b, 故选：A 【例7-4】（多选）(2023湖南长沙长郡中学校二模)已知0<a<b<c,则下列说法正确的是() 1 B.>+c C.a(c-abe-a) D.ab+c2>ac+bc a a+c 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】糖水不等式的应用，作差比较大小 【分析】由糖水不等式的倒数形式：若a心b0,m0,则：号<台判断求解： 【详解】因为0<a<b<c,所以有c-a>b-a>0,所以号<点放A错误： 因为0<a<b<c,所以由糖水不等式得：<”台>；故B正确： 因为品>0，所以>向故c正确： 因为(ab+c2)-(ac+bc)=a(b-c)+c(c-b)=(c-a)(c-b)>0,故D正确： 【例7-5】(2024高三福建龙岩阶段练习)若α克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为决定了糖水的甜 度.如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式之<+m>b>0,心0) "aa+m 数学中常称其为糖水不等式： 依据禁水不等式可判断1og2与logs10的大小：og32-器<+篇-0器-1ogs10: 试比较log43 logs4的大小（填”<"或”>”或”="） 【答案】<【难度】0.85 【知识点】由己知条件比较大小、 【分析】根据糖水不等式的知识求得正确答案 【解】临题盒Q3出-塔c器ogs中 故答案为：< 第29页共33页 变式训练 1.(20-21高一上·吉林通化·期末)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖m>0)(假设全部溶 解)，下列不等式中表示糖水变甜的是() A台2 B.< C. 0.< 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】作差法比较代数式的大小 【解析】根据生活常识可知，糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，即可解出 【详解】因为船木变甜即代表糖水中鹅的浓度变大，二-台一品>0，所以<需 故选：D 2.（20-21高二下·河南郑州期末)己知bg糖水中含有αg糖(b>a>0),若再添加mg糖完全溶解在其中，则 糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，下列不等式中一定成立的是() A.8>H B.tm 2 C.(a+2m)(b+m)<(a+m)(b+2m) D.3b五>3a可 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由己知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】利用已知的事实以及作差法、特殊值法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】对于A选项，由题意可知哈<A选项错误； 对于B选项，作出函数y=2x与y=x的图象如下图所示： =23 由图可知，当x>0时，2x>x,m>0,则2m>m, 所以，+3-atm-a+2四96ta+m0+22=-0m-2盟>0，即+m<+2, b+2m b+m (b+2m)(b+m) (b+2m)(b+m) b+m<+2mB选项正确： 对于C选项，(a+2m)(b+m)-(a+m)(b+2m)=m(b-a)>0, 所以，(a+2m)(b+m>(a+m)(b+2m),C选项错误： 对于D选项，取a=1,b=2,则号=<1=高，0选项错误。 故选：B 第30页共33页 3.(多选)(22-23高一上江苏常州阶段检测)生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b), 若再添加c克糖(c>0)后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：+>”趣称之为糖水不等式”.根据生活经 atc 验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是() A.若a>b>0,m>0,则4m与的大小关系随m的变化而变化 a+m a B.若b>a>0,m>0,则2>+m a atm C.若a>b>0,c>d>0,则te<+e 'atd a+c 0.若a>0,b>0,则一定有+a+2<+ 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】糖水不等式得应用、由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】由作差法可判断ABC,由不等式的性质可判断D 【详解】对于A,a>b>0,m>0, b+m_。=ma-D>0,btm>点，故A错误， a+m aa(a+m) a+m a 对于B,.b>a>0,m>0, tm-=ma过<0,2>tm,故B正确， atm aa(a+m) aa+m 对于C,a>b>0,c>b>0, ∴.a-b>0,c-d>0, ..btc b+d(b+c)(a+d)-(b+d)(ate)(a-B)(c-d)0 a+c a+d (a+c)(a+d) (a+c)(a+d) +< atc 故C正确， 对于D,.0<1+a<1+a+b,0<1+b<1+a+b, 。>+> a b b “品+异>十a故D正确， b a b 故选：BCD 4.(多选)(25-26高一上河北邯郸阶段检测)生活经验告诉我们：a克糖水中有b克糖(a>0,b>0,且a>b), 若再添加m克糖(m>0)后，糖水会更甜于是得出一个不等式：<趣称之为“糖水不等式根据"糖水 不等式”判断下列命题一定正确的是() A.若a>b>0,m<0,则g< B.若b>a>0,m>0,则2>+m a atm C.若a,b,c为△ABC三条边长，则。+品>品 第31页共33页 D.若a,b,c为△ABC三条边长，则1<+：+。<2 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据糖水不等式可依次判断ACD:作差法可判断B. 【详解】对于A,由糖水不等式得：Q>b>0,m<0时，>tm,故A错误； a atm 对于B,b>a>0,m>0, +m-=ma-D<0,>+m,故B正确： a+m aa(a+m) aa+m 对于C÷+>a+40>故C正确： b a b a+b C 对于D++品>++=1， 品++<+品+=2，放D正确 故选：BCD 5.(多选)(25-26高一上江苏苏州期中)生活经验告诉我们：a克糖水中有b克糖（a>0,b>0,且a>b), 若再添加m克糖(m>0)后，桔水会更甜，于是得出糖水不等式：台<根据糖水不等式”等知识判断。 下列命题一定正确的是() A.若b>a>0,m>0,则2>+m atm B.若a>b>0,m<0且b+m>0,a+m>0,则2<+m a+m C.若a,bc为△ABC三条边长，则+品>品 1+a D.若a,b,c为△ABC三条边长，测则品++a<2 b 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、糖水不等式得应用 【分析】对A,利用作差法比较：对B,举反例说明：对CD,根据糖水不等式可依次判断， 【详解】对于A,b>a>0,m>0, ：-生-a2t->0,即哈>故A正确 a(a+m) a(a+m) 对于B,当0=4b=2,m=-1时，名京二-台故6错误： 对于C,由题，a+b>c,则a+b-c>0, 品+> b a+b 第32页共33页 又益<高所以始+品>京放c正确： 对于D,b+c>a>0,a+c>b>0,a+b>c>0, “品+品+品<++2-2，故D正确 b 2b atb+c 故选：ACD. 第33页共33页