1.4 基本不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

第一编 · U1 集合、逻辑与不等式 1.4基本不等式 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 基本不等式是求最值的“短平快”工具，高考中很少单独成大题，更多嵌在函数、数列、解析几何与实际问题里。本讲只解决三件事：什么时候能用、怎么配成定值、取等是否成立。这三件事决定了后面所有内容的重心。 （一）高考怎么考 先看近几套卷中直接以基本不等式为主体的小题。2024 年可核实的几套卷里没有这样的独立小题；2025 年天津卷第 15 题虽然也求最值，但主体是恒成立，归入 1.5 讲。下表只收直接用到本讲工具的题。 表 1: 高考基本不等式考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 上海卷 7 平方和定值求积：，求 的最大值 2026 天津卷 7 展开后配凑： 的最小值 2026 全国Ⅱ卷 13 指数换元： 有两个零点，求 的范围 2025 上海卷 8 常数代换：，求 的最小值 从表 1 可以看出三条稳定的线索。 第一条是工具性：基本不等式极少单独考大题，更多作为求最值的最后一步，出现在填空、多选或解答题的一问中。题目真正的难点往往在前面的变形，而不在不等式本身。 第二条是先变形：近几套卷中的题，要么给平方和，要么给两个括号的乘积，要么藏在指数式里，都需要先展开、换元或配凑，才能出现“和定”或“积定”的结构。直接套公式的题越来越少。 第三条是取等决定成败：这些题的分差不在公式写没写出来，而在等号能否取到。换元后的新变量范围、实际问题的约束、多次使用基本不等式时的取等点，都是命题人设置的关卡。 （二）必备知识清单 把这一讲要用到的东西一次列全。表 2 的每一行都是后面例题的直接工具，缺一行就会在某道题上卡住。 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 基本不等式 时，，即 ，；当且仅当 时取等 记准条件与取等 重要不等式 时，； 会正用、逆用 常用变形 （）；（）；（） 会识别结构 配凑与代换 拆项、添项、凑系数；条件为定值时整体乘 1；换元后先写新变量范围 会化归为定值 取等校验 一正、二定、三相等；多次使用要同一点取等；定义域限制时回到单调性 每题必查 二、知识梳理：把定义变成可操作的动作 基本不等式本身只有一句话，难的是用它之前的准备和用它之后的检查。本节把“准备”拆成配凑动作，把“检查”拆成三道闸门，最后用半圆给出一个几何解释。 （一）两个不等式，两种适用范围 先看重要不等式：对任意实数 ，都有 理由是 ，展开即得。它不要求 为正，适用范围最宽。 把 分别换成 ，就得到基本不等式：当 时， 等号成立当且仅当 。两边平方，得到最常用的积形式： 这两个式子的分工要清楚：看到平方和与积，用重要不等式；看到正数的和与积，用基本不等式。前者管符号宽松，后者管最值。 （二）四个常用变形 基本不等式很少以原形出现，考场上更常见的是下面四个变形。它们都由原式直接推出，但结构不同，要能一眼认出来。 · （）：把 与 看成两个正数，积为 1。 · （）：上式的特例；若 ，则 。 · （）：展开后是 。 · （）：由 两边加 再除以 2。 配凑的四个动作 拆项：把一项拆成两项，让它们的积为定值。例如 。 添项：乘以或除以一个常数，凑出定和。例如 。 凑系数：让两个因子的系数与条件对齐。例如由 求 ，把 写成 。 乘 1：条件整体等于 1 时，把它乘到目标上。例如 时，把 乘以 。 （三）三道闸门：一正、二定、三相等 每用一次基本不等式，都要过三道闸门。少过一道，答案就可能错。 一正：两个量必须为正。若出现负数，先提负号或分类讨论。例如 时， 最小值不存在，最大值是 −2。 二定：和或积必须有一个是定值。 时， 的积为 4，可以直接用；而 的积不是定值，必须先配凑或换元。 三相等：等号成立的点必须在定义域内。 时， 的最小值不是 2——等号要求 ，而 1 不在定义域内；正确的最小值在 处取得，为 。 三相等最容易被跳过 很多答案写到“由基本不等式，最小值为 2”就停了，既不写等号条件，也不检查等号能否取到。正确做法是：写出等号条件，解出取等点，再把这个点代回原式验证。取等点不在定义域内时，基本不等式给出的只是下界，不是最小值。 （四）几何解释：半圆中的半径与高 基本不等式有一个很直观的几何来源。如图 1，以 为直径作半圆，圆心为 ，在 上取 ，使 ，，过 作 的垂线交上半圆于 。 图 1: 半圆中直径被分成 a 与 b 两段 因为 是直径，所以 。在直角三角形 中， 是斜边上的高。由 与 相似（或直接用射影定理）， 故 。又 是半径， 在直角三角形 中，斜边 不小于直角边 ，所以 当 与 重合，即 时，，等号成立。这个图把“算术平均”与“几何平均”分别对应到半径与高，等号成立就是高与半径重合。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 基本不等式题的难点不在公式，而在判断“该不该用、怎么配”。按题面情境分六个模型，模型定了，动作也就定了。 表 3: 基本不等式问题的六个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 例题 一 · 定值多用 一个定值等式，问几个不同式子的最值 每个目标分别翻译 例 1 二 · 展开配凑 两个括号相乘，展开后出现平方与倒数 展开，凑出定积 例 2 三 · 常数代换 条件和所求交叉成倒数 整体乘条件，展开 例 3 四 · 平方和积 平方和等于定值，问积的最值 凑成平方和形式 例 4 五 · 限域取等 换元后新变量有下限，或题面给定范围 先定范围，再判单调 例 5 六 · 实际建模 围栏、造价、容积等实际背景 建模，写约束，求最值 例 6 （一）模型一：定值多用 题面给出一个定值等式，例如 ，却问几个不同式子的最值。识别标志是“一个条件、多个目标”。标准动作是把每个目标分别翻译成“和”或“积”的关系，再逐个用不等式。易错点是以为所有目标的取等点相同；实际上有的目标取等，有的目标只能判断严格不等。 （二）模型二：展开配凑 题面是两个括号相乘，或整式与分式混合。识别标志是展开后会出现平方项与倒数项。标准动作是先展开、通分，让平方项与倒数项配对，凑出定积。易错点是展开时符号与系数出错，或者两个括号分别用不等式，导致两个等号不能同时成立。 （三）模型三：常数代换 题面的条件与所求“交叉”：已知 ，求 的最小值。识别标志是条件里的项与目标里的项互为倒数。标准动作是把条件整体看成 1，乘到目标上，展开后出现 与 。易错点是条件不是 1 时忘记先除以定值。 （四）模型四：平方和积 题面同时出现 、 与 ，或者给出平方和等于定值。识别标志是“平方和定值，问积”。标准动作是把 看成 ，用 。易错点是忽略 的符号；若 可能为负，要先取绝对值再谈最大值。 （五）模型五：限域取等 题面给定变量的范围，或换元后新变量有下限。识别标志是“等号条件解出的点可能不在范围内”。标准动作是换元后先写新变量的范围，再判断函数在该范围上的单调性；等号取不到时，最值在端点取得。易错点是算出理论下界就交卷，不检查取等点。 （六）模型六：实际建模 题面有围栏、造价、容积、面积等实际背景。识别标志是“求最大面积、最低造价、最大容积”。标准动作是设变量、写约束、把目标写成积或和，再用不等式；最后把取等点代回实际约束检查。易错点是漏写变量范围、漏写单位，或取等点不满足实际限制。 四、例题精讲 六道例题一一对应上面六个模型。每题统一按四步展开：认模型 → 定正与定值 → 配凑转化 → 校验取等。最后一步专管三件事——等号能否取到、取等点是否在定义域内、多次使用时是否同一点取等。 （一）模型一：定值多用 这道题把四个目标放在同一个定值条件下，考的是每个目标各自怎么翻译。 例题 1（模型一·定值多用） 已知 ，，且 ，则（） A.  B.  C.  D.  第 1 步 · 认模型：条件是一个定值等式 ，四个选项是四个不同目标——模型一。每个选项要单独翻译，不能一个公式套到底。 第 2 步 · 定正与定值：由 ，，，得 ，，且 等号在 时成立。 第 3 步 · 配凑转化：逐项处理。 A：由 ，得 A 正确。 B：由 ，，得 。函数 单调递增，故 B 正确。 C：由对数运算， 这说明 的最大值是 −2，而不是“不小于 −2”。取 ，，则 ，。C 错误。 D：由 且 ，得 。D 正确。 第 4 步 · 校验取等：A、D 的等号都在 时成立，此时 ，取等点确实在定义域内。B 是严格不等式， 需要 ，与 矛盾，故不能取等。C 的方向反了，不等式本身不成立。 故正确选项为 A、B、D。 一个定值，不等于一个取等点 四个选项共用 ，但取等条件各不相同。A、D 在 时取等，B 取不到等号，C 的方向反了。做多选题时，要把每个选项的取等条件单独写出来。 （二）模型二：展开配凑 两个括号相乘，先展开，让平方项与倒数项配对。 例题 2（模型二·展开配凑） 的最小值为（） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 第 1 步 · 认模型：两个括号相乘，展开后会出现 与 ——模型二。核心动作是展开后让平方项与倒数项配对。 第 2 步 · 定正与定值：由式子有意义，，故 ，。这两项的积为 是定值，可以直接用基本不等式。 第 3 步 · 配凑转化：先展开： 由 ，， 所以原式不小于 4+5=9。 第 4 步 · 校验取等：等号成立当且仅当 即 ，。两个值都在定义域内，故最小值 9 可以取到。 答案选 B。 两个括号分别用不等式，等号并不同时成立 若对两个括号分别用基本不等式： 会得到“原式不小于 8”。但第一个等号要求 ，第二个等号要求 ，两个条件不能同时成立，所以 8 只是一个下界，不是最小值。正确做法是先展开，把两个括号合成一个整体，让所有项在同一个 处取等。 （三）模型三：常数代换 条件与所求交叉，把条件整体看成 1，乘到目标上。 例题 3（模型三·常数代换） 已知 ，，且 ，求 的最小值。 第 1 步 · 认模型：条件里有 与 ，目标里有 与 ，两者交叉成倒数——模型三。核心动作是把条件整体当成 1 乘到目标上。 第 2 步 · 定正与定值：由 ，，得 。条件 说明 ，。把条件整体记为 1。 第 3 步 · 配凑转化：把目标乘以条件： 展开： 由 ， 所以 第 4 步 · 校验取等：等号成立当且仅当 。联立 与 ，得 ，。代回验证：，，取等成立。 故最小值为 4。 条件不是 1 时，先除以定值 常数代换的关键是“整体等于 1”。若条件是 ，不能直接把 乘上去，而要写成 再把这个式子乘到目标上。漏掉除以定值，展开后的系数会全部错位。 （四）模型四：平方和积 平方和等于定值，问积的最值，把平方和凑成两个正数之和。 例题 4（模型四·平方和积） 已知 ，求 的最大值。 第 1 步 · 认模型：题面给的是平方和 等于定值，问的是积 ——模型四。核心动作是把 看成 ，再用重要不等式。 第 2 步 · 定正与定值：由 ，得 ，。若 ，不可能取到正的最大值；求最大值时只需考虑 的情形，此时 同号。 第 3 步 · 配凑转化：把 写成 ，由重要不等式 因此 当 时，。 第 4 步 · 校验取等：等号成立当且仅当 。结合 ，得 取 ，，两者同号，此时 取等成立，故 的最大值为 。 问最大值时别忘了符号 若题目改问“ 的取值范围”，还要考虑 异号的情形：此时 。所以 的取值范围是 。只问最大值时，取同号即可；只问最小值时，取异号即可。漏掉符号讨论，答案会少一半。 （五）模型五：限域取等 换元后新变量有下限，等号取不到时，要回到单调性。 例题 5（模型五·限域取等） 已知 ，求 的最小值。 第 1 步 · 认模型：根号整体重复出现，先换元；换元后新变量有下限——模型五。核心动作是先写新变量的范围，再判断等号能否取到。 第 2 步 · 定正与定值：令 由 ，得 。且 ，积为定值。 第 3 步 · 配凑转化：原式化为 若直接使用基本不等式，得 ，等号要求 。但 ，等号取不到，所以 2 只是下界，不是最小值。 判断 在 [2,+∞) 上的单调性。设 ，则 因为 ，且 ，所以 ，从而 故 在 [2,+∞) 上单调递增。 第 4 步 · 校验取等：最小值在 处取得，此时 ， 代回原式： 时 ，取等成立。 故最小值为 。 取等落空后的两条路 第一条：判单调。换元后的函数在区间上单调，最值在端点取得，本题就是这条路。 第二条：改配凑。如果函数结构允许，重新拆项，让新的等号点落回定义域。两条路都不通时，再用函数图象或导数。 （六）模型六：实际建模 实际问题先设变量、写约束，再把目标化成积或和。 例题 6（模型六·实际建模） 用长为 16 米的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的一边靠墙，墙长 8 米，墙不需要篱笆。求菜园面积的最大值。 图 2: 一面靠墙的矩形菜园：只有三边需要篱笆 第 1 步 · 认模型：实际围栏问题，三边需要篱笆，一边靠墙——模型六。核心动作是设变量、写约束、把面积写成积。 第 2 步 · 定正与定值：设垂直于墙的两条边长为 米，平行于墙的边长为 米。由题意 菜园面积 第 3 步 · 配凑转化：为了凑出定和，把 写成 由 ，，且 ， 因此 第 4 步 · 校验取等：等号成立当且仅当 。联立 ，得 此时 恰好不超过墙长 8 米，满足实际约束。面积 故菜园面积的最大值为 32 平方米。 实际问题的取等点还要满足约束 若墙长只有 6 米，那么 的取等点就落空了。此时不能直接写 32，而要回到 ，在 上判断单调性，最大值在 处取得，为 30 平方米。代数上的等号与实际约束，必须同时满足。 五、易错点辨析 下面六个错误几乎覆盖了本讲的全部失分。它们都不是“不会公式”，而是少做了一次检查。 表 4: 本讲六个高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 见式就用，不检查正负 忽略“一正” 先判断两个量的符号；出现负数先提负号或分类 和或积不是定值也硬套 忽略“二定” 先拆项、添项、乘 1，配出定值 取等点不在定义域内 忽略“三相等” 换元后先写新变量范围；取等落空改判单调性 两次使用，取等点不同 两个取等条件冲突 检查是否同一点取等；不能同点就换整体配凑 常数代换忘记除以定值 条件不是 1 却直接乘 把条件改写成“某式等于 1”，再整体乘 应用题漏写范围或单位 只做代数，不看实际 设变量时写范围，答句带单位 六、当堂检测 A 组练基本动作，B 组含高考真题与换元，C 组是压轴小问。建议限时：A 组 10 分钟，B 组 15 分钟，C 组 10 分钟。做完后对照第七节，重点看每题的取等条件。 （一）A 组：基础过关 这四题分别练直接型、积定和最小、平方和与积、常数代换。 A1 若 ，求 的最小值。 A2 若 ，，且 ，求 的最小值。 A3 求 的最大值。 A4 已知 ，，且 ，求 的最小值。 （二）B 组：能力提升 这四题难度上一档：一道多选、一道指数换元、一道整体代换、一道实际造价。 B5 已知实数 满足 ，则（） A.  B.  C.  D.  B6 已知函数 有两个零点，求实数 的取值范围。 B7 已知正数 满足 ，求 的最小值。 B8 某工厂建造一个容积为 8 立方米、深 2 米的长方体无盖水池，池底造价为 120 元每平方米，池壁造价为 80 元每平方米。求水池的最低总造价。 （三）C 组：压轴突破 这两题都需要先换元或整体处理，再验证取等。 C9 已知 ，，且 ，求 的最小值。 C10 已知 ，，，且 ，求 的最小值。 七、参考答案与提示 答案只给关键步骤，每题都标出取等条件，便于对照第 4 步。 （一）A 组 A1答案：4。 提示：由 ，，等号在 时成立。易错点：忘记写 ，或把最小值写成 2。 A2答案：6。 提示：由 ，，等号在 时成立。易错点：把 误当成 。 A3答案：。 提示：当 时， 等号在 时成立；当 时原式为负； 时为 0。故最大值为 。易错点：只讨论 ，漏掉 与 的情形。 A4答案：9。 提示：由 ， 等号在 ，即 时成立，结合 得 ，。易错点：常数代换后忘记展开，或把等号条件写成 。 （二）B 组 B5答案：B、C。 提示：令 ，。由 ，得 实数 要求 ，即 解得 。故 ，B 正确，A 错误。又 故 C 正确，D 错误。易错点：只算 的范围，不检验 是否为实数；或把 的最小值误算为 1。 B6答案：(4,+∞)。 提示：令 ，则 等号在 ，即 时成立。当 或 时，，故其值域为 [4,+∞)。直线 与曲线有两个交点，当且仅当 。易错点：把 也算进去，此时只有一个零点。 B7答案：8。 提示：令 。由 ， 两边平方得 ，又 ，故 。等号在 时成立，结合 得 ，。易错点：忘记 ，或把等号条件写成 。 B8答案：1760 元。 提示：设水池底面相邻两边长为 米。由容积 8 立方米、深 2 米，得 池底造价为 元；池壁面积为 ，造价为 元。故总造价 等号在 时成立。易错点：池壁只算两个面，或忘记池底面积固定。 （三）C 组 C9答案：。 提示：展开 令 。由 ，得 ，且 故原式为 对 ，设 ，则 故该式单调递减，最小值在 处取得，为 等号在 时成立。易错点：直接对两个括号分别用基本不等式得到 4，两个等号不能同时成立。 C10答案：。 提示：令 则 ，且 由 得 等号在 时成立，此时 。易错点：把 误算为 1，或忘记验证 为正。 学科网（北京）股份有限公司 $