1.3集合的基本运算教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第1章 1.3　集合的基本运算 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　交并补的运算律与德摩根律 （1）教材出处 必修第一册第一章 1.3 集合的基本运算：1.3.1 并集、交集 正文给出交、并的定义与运算律；1.3.2 补集 正文给出全集、补集的定义与性质；习题 1.3 第 4 题把交、并、补混合运算放在一起考查。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设全集为 ，且 。并集 由属于 或属于 的所有元素组成；交集 由既属于 又属于 的所有元素组成；补集 由 中不属于 的所有元素组成。 图 1　德摩根律的韦恩图：左、右两图的阴影部分完全重合 · 交换律：，。 · 结合律：，。 · 分配律（交对并）：。 · 分配律（并对交）：。 · 吸收律：，。 · 求补律：，。 · 还原律：。 · 端点情形：，。 · 德摩根律： · 补集反转包含关系： 等价于 。 （3）推导证明 德摩根律用元素归属法证明。先证第一式。由补集定义， 等价于 且 。而 等价于 且 。于是 、、 同时成立，即 且 ，也就是 。以上每一步都可逆，故 第二式同理： 等价于 或 ，把“且”换成“或”，即得 。 分配律也由元素归属法得到。 等价于 且（ 或 ）。由“且”对“或”的分配律，这等价于（ 且 ）或（ 且 ），即 。另一条分配律把“且”“或”互换即可。 补集反转包含关系：设 ，任取 ，则 且 。若 ，由 得 ，与 矛盾，故 ，即 。所以 ；反过来同理。 （4）适用条件与易错提醒 · 德摩根律必须同时做两件事：把“并”与“交”互换，把每个集合换成它的补集。只换集合而不换运算，是最常见的错误。 · 补集依赖全集。题目没有给定全集时，不能凭空写 ；同一个集合在不同全集中补集不同。 · 由 不能推出两个补集也互不相交。 · 实际上 ，它通常不是空集。 · 分配律不能写成 。右边的 没有与 相交，元素 但 时会被错误地算进去。 · 数学中的“或”是“至少一个成立”，可以同时成立。因此 包含同时属于 和 的元素。 · 用描述法表示区间型集合时，端点用 还是 必须与题目一致；交、并、补结果的端点归属随之改变。 · 空集是任何集合的子集，且 ，；不要把 与 混为一谈。 （5）考点定位与命题角度 选择题、填空题的必考内容。常见设问有：离散数集的交并补；连续区间（常以一元二次不等式、绝对值不等式的解集为载体）的交并补；由韦恩图的阴影部分写出集合；判断运算律或德摩根律是否成立；由补集结果反求原集合。这类题常与函数的定义域、方程与不等式的解集交汇。难度以基础为主。对应 2022 全国甲卷·理 3、2020 全国Ⅰ卷·理 2。 （6）方法归纳 · 第一步　定全集、化简集合：解不等式或方程，把每个集合化成最简的列举形式或区间。 · 第二步　画数轴或韦恩图：先算括号内的交、并，再取补集；区间端点用实心点、空心点区分。 · 第三步　按“且”“或”翻译：交集对应“且”，并集对应“或”，补集对应“在全集内且不在该集合内”。 · 第四步　用德摩根律回验：分别计算 与 ，结果应完全相同。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 设 是小于 的正整数组成的集合，，，求 ，。 解析 。在 中去掉 的元素 ，得 。在 中去掉 的元素 ，得 。 例题 2（教材原题改编） 由习题 1.3 第 4 题改编。设全集 为全体实数组成的集合，，，求 ，，，并验证德摩根律。 解析 ，，且 。所以 ，。 又 ，，故 同理 ，德摩根律成立。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 设全集 ，集合 ，，求 。 变式 1-2（优质模拟改编） 设全集 为全体实数组成的集合，，，求 与 ，并判断二者是否相等。 条目二　韦恩图与容斥原理的计数公式 （1）教材出处 必修第一册第一章 1.3 集合的基本运算 后的“阅读与思考　集合中元素的个数”；1.3.1 并集、交集 正文中的韦恩图。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：阅读材料。二集合公式是阅读材料的原文结论；三集合公式由二集合公式递推得到，是阅读材料所提问题的直接延伸。 对有限集合 ，有 等价变形为 若 且 为有限集，则 对三个有限集合 ，有 只属于 的部分（即属于 但不属于 的部分）的计数为 图 2　三集合韦恩图的八个互斥区域：1、2、3 只属于一个集合，4、5、6 只属于两个集合，7 属于三个集合，8 不属于任何集合 （3）推导证明 二集合公式用“不重不漏”的分割证明。把 分成三个互不相交的部分：只属于 的部分、只属于 的部分、同时属于 的部分。于是 化简即得 。 三集合公式连续用两次二集合公式。先看 ： 又 ，再用一次二集合公式： 把两式代入并整理，即得三集合公式。 （4）适用条件与易错提醒 · 公式只对有限集适用。元素个数无限的集合不能直接数出 ，本节的计数公式不能套用。 · 只在 时成立；有公共元素时必须减去一次 。 · “既……又……”对应交集，“至少一个”对应并集，“只属于 ”不是 ，要挖去与 的公共部分。 · 三集合公式中，两两交集减三次，三重交集加一次。漏减或漏加都会使计数偏大或偏小。 · 用百分比计算时，可把总人数设为 或把全集记为 ，算出的仍是比例。 · 算出各区域人数后要核验：每个区域的人数不小于 ，且八个区域人数之和等于全集人数。 （5）考点定位与命题角度 选择题、填空题的常考题型，常以体育比赛、兴趣小组、问卷调查为背景，求“至少参加一项”“两项都参加”“只参加一项”“都不参加”的人数或比例。它也是古典概型中计算样本点个数的基础。难度基础到中档。对应 2020 新高考Ⅰ卷·5。 （6）方法归纳 · 第一步　设集合：把每个类别设为 ，写清 以及已知的 、 等。 · 第二步　画韦恩图：先填三重交集，再填“只属于两两交集”的区域，最后填“只属于一个集合”的区域。 · 第三步　列式：先用容斥公式求并集，再用“总数减并集”求都不参加的部分。 · 第四步　核验：八个区域人数之和等于 ，且每个区域人数不小于 。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 学校先举办了一次田径运动会，某班有 名同学参赛；又举办了一次球类运动会，这个班有 名同学参赛，两次运动会都参赛的有 人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 解析 设 为参加田径运动会的学生组成的集合， 为参加球类运动会的学生组成的集合，则 ，，。由容斥公式， 所以两次运动会中，这个班共有 名同学参赛。 例题 2（教材原题改编） 某班有 名学生，参加数学小组的有 人，参加物理小组的有 人，参加化学小组的有 人；数学、物理都参加的有 人，数学、化学都参加的有 人，物理、化学都参加的有 人，三个小组都参加的有 人。求至少参加一个小组的人数、三个小组都不参加的人数，以及只参加数学小组的人数。 解析 设 分别表示参加数学、物理、化学小组的学生组成的集合。由三集合容斥公式， 所以至少参加一个小组的有 人，三个小组都不参加的有 人。只参加数学小组的人数为 即只参加数学小组的有 人。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中 的学生喜欢足球或游泳， 的学生喜欢足球， 的学生喜欢游泳。求既喜欢足球又喜欢游泳的学生占全校学生总数的比例。 变式 2-2（优质模拟改编） 某调查共涉及 人，其中喜欢 的有 人，喜欢 的有 人，喜欢 的有 人；同时喜欢 的有 人，同时喜欢 的有 人，同时喜欢 的有 人，三种都喜欢的有 人。求至少喜欢一种的人数、三种都不喜欢的人数，以及只喜欢一种的人数。 条目三　含参集合运算的端点开闭校验 （1）教材出处 必修第一册第一章 1.3 集合的基本运算 习题 1.3 中的含参问题，以及 1.2 集合间的基本关系 习题拓广探索第 5 题（2）。教材以数轴为载体，把集合运算转化为集合的包含关系与端点讨论。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：习题结论。 设 为集合。 · 交的包含关系： 等价于 。 · 交的另一种写法： 等价于 。 · 并的包含关系： 等价于 。 · 并的另一种写法： 等价于 。 · 不交关系：在全集 中， 等价于 。 · 闭区间与并集不交：若 ，，且 ，则 等价于 且 。 · 开区间与并集不交：若 ，，且 ，则 等价于 且 。 · 区间包含：若 ，，则 等价于 且 。 端点处理没有统一的口诀，唯一依据是把临界值代回：端点属于集合，就必须满足相应的不等式；端点不属于集合，等号才可以取。做题时先画数轴标出开闭，再对每个临界值单独代入检验。 （3）推导证明 先证 等价于 。若 ，任取 ，则 ，故 ，所以 。反之，若 ，则 既包含 （因为每个 都在 中），又被 包含，故 。其余三条等价关系同理。 再证端点结论。设 ，，。 表示 中没有任何数满足 或 ，也就是 整体落在 内。由于 ，必须有 且 ；反过来，若 且 ，则对任意 都有 ，故 。当 时， 不属于 ，所以 或 时也不会产生公共元素，等号可以取到。 （4）适用条件与易错提醒 · 把 误当成 或 。正确的等价关系是 ，只有 为空集时才是特殊情况。 · 端点取等不检验。以 、 为例： 含端点 或 时不能取等， 不含端点时可以取等。最稳妥的做法是把临界参数代回原集合，直接看交集。 · 漏掉空集。含参集合 在 时为空集；空集满足 ，也满足 ，必须并入解集。 · 求出参数范围后不回代。端点值往往决定答案的开闭，必须把临界值代回题目检验。 · 列举法含参集合要检验元素互异性。例如 中必须有 。 · 使用 等价于 时，前提是 ；在实数范围内讨论时取全集为全体实数。 （5）考点定位与命题角度 选择题、填空题的中档高频题型。常见设问：由 或 求参数范围；由 求参数；由 求参数；已知交集或并集是一个具体区间，反求参数。常与一元二次不等式、绝对值不等式结合。难度基础到中档。对应 2020 全国Ⅰ卷·理 2。 （6）方法归纳 · 第一步　化简定集合：解不等式，把已知集合写成区间或区间的并，标出每个端点的开闭。 · 第二步　翻译条件： 译为 ； 译为 落在 的“空隙”内，或 。 · 第三步　分空集与非空：先判断 能否为空集，空集情形单独并入；非空时画数轴，列端点不等式。 · 第四步　定等号并回代：把临界参数代回原题，逐一判断端点是否属于相应集合，再验证交集或并集是否恰为题目所给集合。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知集合 ，，若 ，求实数 的取值范围。 解析 ，。要使 ，必须让 中的每个数都小于 。由于 可以无限接近 ，故 。当 时，，确实包含 ；当 时，取 满足 ，则 但 ，不合题意。所以 。 例题 2（教材原题改编） 已知集合 ，，若 ，求实数 的取值范围。 解析 是开区间， 是闭区间。要使 ，必须 且 ，即 。端点不能取等：当 时，，而 但 ；当 时，，而 但 。所以 。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） 已知集合 ，。 且 ，求实数 的值。 变式 3-2（优质模拟改编） 已知集合 ，。 （1）若 ，求实数 的取值范围。 （2）若 ，求实数 的取值范围。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：由 得 ，所以 。 于是 。 在 中去掉 ，得 。 变式 1-2 答案与解析 答案：，，二者相等。 解析：，。 所以 ，故 。 又 ，，两者取交集得 。这与 相同，验证了德摩根律。 变式 2-1 答案与解析 答案：。 解析：设喜欢足球的学生组成集合 ，喜欢游泳的学生组成集合 ，全校学生为全集 。由题意 ，，。由容斥公式， 所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生占 。 变式 2-2 答案与解析 答案：至少喜欢一种的有 人，三种都不喜欢的有 人，只喜欢一种的有 人。 解析：由三集合容斥公式， 所以至少喜欢一种的有 人，三种都不喜欢的有 人。 只喜欢 的有 人，同理只喜欢 的也各有 人。 故只喜欢一种的有 人。 变式 3-1 答案与解析 答案：。 解析：由 得 ，故 。由 得 ，故 。因为 ，所以 ，解得 。此时 ，，符合题意。 变式 3-2 答案与解析 答案：（1）；（2） 或 。 解析：集合 。当 ，即 时，；当 时， 为非空闭区间。 （1）若 ： · 当 时，，符合题意。 · 当 时，需 且 ，即 且 。结合 ，得 。 综上，。 （2）若 ： · 当 时，，符合题意。 · 当 时，需 或 。前者化为 ，与 矛盾；后者化为 。 综上， 或 。 人教A版·必修第一册　第1章 1.3 集合的基本运算　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $