第5讲 一元二次方程、不等式教案 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

该高中数学高考复习教案聚焦一元二次方程与不等式核心考点，涵盖实根判断、函数零点关系、不等式求解及分式绝对值不等式等内容，以“三个二次”关系为纽带构建知识网络。通过基础知识网络化梳理、基础实战自测、题型系统化归纳、综合应用训练的教学流程，帮助学生突破含参讨论、恒成立问题等难点，体现复习的系统性与针对性。 教案突出数学思维与模型观念培养，创新采用“图像辅助理解+分类讨论训练”策略，如在含参不等式求解中，通过对比二次项系数正负及根的大小关系引导学生逻辑推理。设置基础判断、定义域求解、综合恒成立等分层练习，配合即时反馈与方法总结，有效提升学生解题效率，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

备课时间 第（ ）周星期（ ） 授课时间 第（ ）周星期（ ）1.5 一元二次方程、不等式 课 题 总第 课时 教学 目标 1.判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式. 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 课 型 复习课 关键内容 & 内容提要 T 方法&策略 反思&评价 1、 基础知识复习，知识网络化 一元二次方程、不等式 2、 基础实战自测，题型基础化 1．判断题(对的打“√”或错的打“×”) (1)≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[-,].(　　) (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(　　) (5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) 2．(必修一P55 T2改编)函数y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________． 3.(北师大必修一P41T1改编)若不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则a+b=　　　　.  4.(苏教必修一P69T11(2)改编)若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是　　　　.  3、 题型归纳剖析，考点系统化 考点一　解一元二次不等式 角度1　不含参 例1 (1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 角度2　含参 例2 (1)(2)已知函数f(x)=ax2+3x+2.若a>0,解关于x的不等式f(x)>-ax-1. (2)解关于x的不等式x2-ax+1<0,a∈R. 考点二　三个二次之间的关系 例2 (多选)(2026·泉州月考)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1},则(　　) A.b>0且c<0 B.4a+2b+c=0 C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>2} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为 训练2 (多选)已知关于x的不等式a(x+1)·(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1x2<-3 C.-1<x1<x2<3 D.x2-x1>4 考点三　一元二次不等式恒（能）成立问题 角度1：在实数集R上恒成立 例3 (2026·山东部分学校联考)已知不等式x2-mx+4<0的解集为空集,则m的取值范围为(　　) A.(-4,4) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.[-4,4] 角度2　在给定区间上恒成立 例4设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 角度3　给定参数范围的恒成立 例5 若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是　　　　.  训练3 已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1). (1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立,并说明理由; (2)若不等式对于x∈(1,+∞)恒成立,求m的取值范围; (3)若不等式对于m∈[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围. 4、 课堂归纳总结，作业精细化 板书设计 1.5 一元二次方程、不等式 一、基础知识复习，知识网络化 一元二次方程：标准式、解法、判别式、韦达定理 一元二次不等式：标准形式、图像解法 二、基础自测摸底，习题实战化 易错点：二次项系数正负、含参分类讨论遗漏 三、题型归纳剖析，考点系统化 解方程（不等式）、根的分布、恒成立问题 四、课堂梳理总结，任务条理化 反思&评价 本节课整合一元二次方程与不等式考点开展复习，借助函数图像帮助学生理解解集规律。多数学生能掌握基础解法，但处理含参数问题时，分类讨论意识薄弱，易忽略二次项系数不为零的前提。根的分布、恒成立类综合题解题思路不清晰。后续将强化分类训练，结合图像拆解题型，总结解题套路，提升学生综合解题能力。 参考答案 5、 基础知识复习，知识网络化 一元二次方程、不等式 6、 基础实战自测，题型基础化 1．判断题(对的打“√”或错的打“×”) (1)≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[-,].(　　) (4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(　　) (5)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) 【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× （5）× 2．(必修一P55 T2改编)函数y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________． 【答案】∪. 【解析】由题意，得3x2－2x－2>0， 令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝， ∴3x2－2x－2>0的解集为∪. 3.(北师大必修一P41T1改编)若不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞),则a+b=　　　　.  【答案】　-3 【解析】　由题意可得-a=-1+2,b=(-1)×2, 即a=-1,b=-2,故a+b=-3. 4.(苏教必修一P69T11(2)改编)若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是　　　　.  【答案】　(-3,0) 【解析】　由题意知 解得-3<k<0. 7、 题型归纳剖析，考点系统化 考点一　解一元二次不等式 角度1　不含参 例1 (1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2} C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件 【答案】　ABD 【解析】　因为方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2, 所以不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1},故A正确; 因为 -1≤0,即≤0, 即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0), 解得-3≤x<2, 所以不等式的解集为{x|-3≤x<2},故B正确; 由|x-2|≥1,可得x-2≤-1或x-2≥1, 解得x≤1或x≥3,所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3},故C错误; 由|x-1|<1,可得-1<x-1<1, 解得0<x<2,由<0,可得-4<x<5, 因此,“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件,故D正确. 角度2　含参 例2 (1)(2)已知函数f(x)=ax2+3x+2.若a>0,解关于x的不等式f(x)>-ax-1. 【解析】不等式f(x)>-ax-1可化为ax2+(a+3)x+3>0,即(ax+3)(x+1)>0. 因为a>0, 所以当-<-1,即0<a<3时,原不等式的解集为; 当-=-1,即a=3时,原不等式的解集为 {x|x≠-1}; 当->-1,即a>3时,原不等式的解集为. (2)解关于x的不等式x2-ax+1<0,a∈R. 【解析】当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式的解集为⌀, 当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时, 方程x2-ax+1=0的两根为 x1=,x2=, 原不等式的解集为 . 综上可知,当-2≤a≤2时,原不等式的解集为⌀, 当a>2或a<-2时,原不等式的解集为 . 考点二　三个二次之间的关系 例2 (多选)(2026·泉州月考)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥1},则(　　) A.b>0且c<0 B.4a+2b+c=0 C.不等式bx+c>0的解集为{x|x>2} D.不等式cx2-bx+a<0的解集为 【答案】　AC 【解析】　由题意可知 则所以b>0且c<0,故A正确; 4a+2b+c=4a+2a-2a=4a>0,故B错误; 不等式bx+c>0,即ax-2a>0,解得x>2,故C正确; 不等式cx2-bx+a<0,即-2ax2-ax+a<0, 即-a(2x-1)(x+1)<0,又a>0, 可得(2x-1)(x+1)>0,所以x>或x<-1,故D错误.故选AC. 训练2 (多选)已知关于x的不等式a(x+1)·(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1x2<-3 C.-1<x1<x2<3 D.x2-x1>4 【答案】　ABD 【解析】　由题意得a<0,且x1,x2是一元二次方程a(x+1)(x-3)+1=0,即ax2-2ax+1-3a=0的两根, 所以x1+x2=-=2,故A正确; x1x2==-3<-3,故B正确; x2-x1= ==2>4,故D正确; 由x2-x1>4,可得-1<x1<x2<3是错误的,故C错误. 考点三　一元二次不等式恒（能）成立问题 角度1：在实数集R上恒成立 例3 (2026·山东部分学校联考)已知不等式x2-mx+4<0的解集为空集,则m的取值范围为(　　) A.(-4,4) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.[-4,4] 【答案】　D 【解析】　∵不等式x2-mx+4<0的解集为空集, ∴不等式x2-mx+4≥0在R上恒成立, ∴m2-4×1×4≤0,∴-4≤m≤4, 即m的取值范围是[-4,4]. 故选D. 角度2　在给定区间上恒成立 例4设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 【解析】要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立， 则mx2－mx＋m－6＜0， 即m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立． 有以下两种方法： 解法一：令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]． 当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0， 所以m＜，则0＜m＜； 当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，即m＜0. 综上所述，m的取值范围是(－∞，0)∪. 解法二：因为x2－x＋1＝＋＞0， 又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜. 因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为， 所以只需m＜即可． 因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪. 角度3　给定参数范围的恒成立 例5 若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是　　　　.  【答案】　(-∞,-1)∪(3,+∞) 【解析】　不等式x2+px>4x+p-3, 可化为(x-1)p+x2-4x+3>0, 由已知可得[(x-1)p+x2-4x+3]min>0(0≤p≤4), 令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3(0≤p≤4), 可得 解得x<-1或x>3. 训练3 已知关于x的不等式2x-1>m(x2-1). (1)是否存在实数m,使不等式对任意x∈R恒成立,并说明理由; (2)若不等式对于x∈(1,+∞)恒成立,求m的取值范围; (3)若不等式对于m∈[-2,2]恒成立,求实数x的取值范围. 【解析】　(1)原不等式等价于mx2-2x+(1-m)<0, 当m=0时,-2x+1<0不恒成立; 当m≠0时,若不等式对于任意实数x恒成立, 则需m<0且Δ=4-4m(1-m)<0,无解, 所以不存在实数m,使不等式恒成立. (2)因为x>1,所以m<. 设2x-1=t(t>1),x2-1=, 所以m<=. 设g(t)=t-+2,t∈(1,+∞), 显然g(t)在(1,+∞)上单调递增. 当t→+∞时,t-+2→+∞,→0, 所以m≤0. 所以m的取值范围是(-∞,0]. (3)设f(m)=(x2-1)m-(2x-1), 当m∈[-2,2]时,f(m)<0恒成立. 当且仅当 即 由①得<x<. 由②得x<或x>. 取交集,得<x<. 所以x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $