精品解析：辽宁省铁岭市实验学校2026-2027年上学期八年级10月学情自测数学学科试题

2026-2027学年度（上）随堂练习 八年级数学 （本试卷共三部分，卷面总分120分） 一、单选题（共10题；共30分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A. 2，3，6 B. 4，4，7 C. 5，8，13 D. 3，4，8 2. 如图，用一根钢条将一扇打开的玻璃窗支撑起来，这样风就不容易吹动窗户，这里所用的原理是（ ） A. 平行四边形的不稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 三角形的稳定性 3. 如图，的边上的高是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△DEF的是（ ） A. AB=DE B. AC=DF C. ∠A=∠D D. BF=EC 7. 如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，且，于，于．若，，，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 10. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 4 D. 8 二、填空题（共5题；共15分） 11. 在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是______________． 12. 若，且的周长为12，若___． 13. 如图，、均为等边三角形，连接交于点O，与交于点P，则的度数是______． 14. 如图，是△的中线，，，则的取值范围是________． 15. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为________时，与全等． 三、解答题（共8题；共75分） 16. 如图，已知点C在的边上，利用尺规作图． （1）在内作，使得点D在射线上，且．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在内作的角平分线，交射线于点E．（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，若，求． 17. 如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F． （1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF=120°，求∠BAD的度数； （2）如图2，若∠ABC=α，∠BDA=β，求∠FAD十∠C的度数（用含α和β的代数式表示）． 18. 如图，平分交于点，平分交于点，与相交于点，如果，，求的度数． 19. 已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD． 20. 在四边形中， 点E、F分别在边上，且平分． （1）求证：平分； （2）若，求的面积． 21. 如图，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 22. （1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 23. 问题情境如图1，，，直线是经过点的直线，于，于，则． （1）类比训练如图2，中，，，直线是经过点的任一直线，于，于，证明：． （2）情境更换如图3，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限且使其横、纵坐标始终相等． ①若另一顶点落在第四象限，求的值； ②直接写出顶点的横、纵坐标的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度（上）随堂练习 八年级数学 （本试卷共三部分，卷面总分120分） 一、单选题（共10题；共30分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A. 2，3，6 B. 4，4，7 C. 5，8，13 D. 3，4，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，“三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”．根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：A、， 长为2，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； B、， 长为4，4，7的三条线段能组成三角形，本选项符合题意； C、， 长为5，8，13的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； D、， 长为3、4、8的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，用一根钢条将一扇打开的玻璃窗支撑起来，这样风就不容易吹动窗户，这里所用的原理是（ ） A. 平行四边形的不稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性的特性解答即可． 【详解】解：用一根钢条将一扇打开的玻璃窗支撑起来，这样风就不易吹动窗户，这里所运用的原理是三角形的稳定性． 故选：D 3. 如图，的边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义，进行判断即可. 【详解】解：由题意和图可知，， ∴的边上的高是. 4. 将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和，则，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 故选：B． 5. 如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，垂直定义，先由角平分线定义得出，再根据垂直定义得出，求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△DEF的是（ ） A. AB=DE B. AC=DF C. ∠A=∠D D. BF=EC 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选不符合题意； 选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意； 选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC△DEF，故本选项符合题意； 选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意． 故选C． 7. 如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，过点P作，垂足为点K，证明，，利用全等三角形的性质即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为点K，     ∵为的平分线， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确，符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的共有4个， 故选：A． 8. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，证明得出，求出，再由三角形内角和定理计算即可得解. 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 9. 如图，，且，于，于．若，，，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用证明，则 ，那么，再由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中，， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴S△EDF=S△GDH，设面积为S， 同理Rt△ADF≌Rt△ADH， ∴S△ADF=S△ADH， 即38+S=50-S， 解得S=6． 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质． 二、填空题（共5题；共15分） 11. 在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分情况讨论当为锐角三角形时，利用同角的余角相等推出，根据对顶角相等和已知条件求出度数，即可求出度数；当为钝角三角形时，根据垂直定义，利用同角的余角相等求证，从而求出度数，最后结合邻补角定义即可求出度数． 【详解】解：当为锐角三角形时，即为锐角，如图所示， ，， ，， ， ， ． 当为钝角三角形时，即为钝角，如图所示， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了三角形的高，对顶角的性质以及余角和邻补角，解题的关键在于考虑三角形的形状以及熟练掌握相关性质定理． 12. 若，且的周长为12，若___． 【答案】3 【解析】 【详解】试题解析：∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF=4， ∵△ABC的周长为12，AB=5， ∴AC=12-5-4=3． 13. 如图，、均为等边三角形，连接交于点O，与交于点P，则的度数是______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，由等边三角形的性质可得，再证明得出，结合即可得出． 【详解】解：、均为等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，是△的中线，，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用．延长至H，使，连接，证明，推出，再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， ， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，点Q的运动速度为________时，与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度是，则有，，，分两种情况：当，时，当，时，分别求解即可得解． 【详解】解：设点的运动速度是，则有，，， ∵， ∴与全等有两种情况： 当，时，， 解得：， ∴， 解得：，即点的运动速度是； 当，时，，， 解得：，，即点的运动速度是； 综上所述，点Q的运动速度为或时，与全等， 故答案为：或． 三、解答题（共8题；共75分） 16. 如图，已知点C在的边上，利用尺规作图． （1）在内作，使得点D在射线上，且．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在内作的角平分线，交射线于点E．（不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，若，求． 【答案】（1） 点D即为所求： （2）如图，点E即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图——复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）作线段的垂直平分线交于点，可得，连接，根据等边对等角可知，即点即为所求． （2）根据作已知角的平分线作法解答即可； （3）设，则，根据角平分线的定义可得，从而得到，在中，利用三角形内角和定理，列出关于x的方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）得：， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， 即． 17. 如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F． （1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF=120°，求∠BAD的度数； （2）如图2，若∠ABC=α，∠BDA=β，求∠FAD十∠C的度数（用含α和β的代数式表示）． 【答案】（1）60°；（2）β-α． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义可得∠EBC=60°，∠AEF=60°，根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，再根据三角形内角和定理可求∠BAD的度数； （2）过点A作AG∥BC，则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，依此即可求解． 【详解】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF=120°， ∴∠EBC=60°，∠AEF=60°， 又∵BD平分∠EBC， ∴∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°， 又∵∠BDA=90°， ∴∠EDA=60°， ∴∠BAD=60°； （2）如图2，过点A作AG∥BC， 则∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β， 则∠FAD+∠C=β-∠DBC=β-∠ABC=β-α． 【点睛】考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键． 18. 如图，平分交于点，平分交于点，与相交于点，如果，，求的度数． 【答案】 解：∵平分平分， ， ，， ∴， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟记性质并理解“8字形”的等式是解决此题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角的性质列出等式整理即可得解． 【详解】略 19. 已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD． 【答案】 证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线， ∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP． ∴∠AOB=∠COD． 在△AOB和△COD中，， ∴△AOB≌△COD． ∴AB=CD． 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得出∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，从而推出∠AOB=∠COD，再利用SAS判定其全等从而得到AB=CD． 【详解】略 20. 在四边形中， 点E、F分别在边上，且平分． （1）求证：平分； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图，过点A作于H， 由题意得：， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理以及全等的性质和HL综合（），作出辅助线是解题关键． （1）过点A作于H， 推出，进而得，证即可； （2）由（1）可得计算 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得 ∵ ∴ 21. 如图，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）先由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ，， ∵，， ，， ． 22. （1）问题发现：如图1，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段、之间的数量关系为______． （2）拓展探究：如图2，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②； （2），，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，为中边上的高， ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴ ∴，， ∴，． ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由全等三角形的性质得出，，由角的和差关系即可求出．由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； ② ∵， ∴； （2）略 （3）∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 同（1）可得：， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴． 23. 问题情境如图1，，，直线是经过点的直线，于，于，则． （1）类比训练如图2，中，，，直线是经过点的任一直线，于，于，证明：． （2）情境更换如图3，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点在轴正半轴上，顶点在第一象限且使其横、纵坐标始终相等． ①若另一顶点落在第四象限，求的值； ②直接写出顶点的横、纵坐标的关系． 【答案】（1）证明： ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）① ②K的横纵坐标互为相反数 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得，，可得结论； （2）①由“”可证，可得，，列出等式可求解； ②由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点作轴于，过点作轴于， 设， ， ， ， 又， ， ，， 顶点在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，顶点落在第四象限， ，，， ，， ， ． ②设， 由①得，，， ，， ， ， 横纵坐标互为相反数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $