安徽省六安第二中学2026-2027学年高二上学期第一次质量检测数学试题

六安二中教育集团2026—2027学年第一学期高二第一次质量检测 数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．已知直线：与：平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A． B． C． D． 5．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则的长度为（ ） A．5 B．6 C．0 D．-4 6．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是等边三角形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足．则点到直线的最短距离为（ ） A． B． C． D． 7．直线与有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．实数a，b满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．下列说法正确的有（ ） A．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．，，若，则与的夹角为锐角 D．对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 10．在直三棱柱中，，，，D为的中点，则（ ） A． B．平面 C．直线与所成角为 D．平面 11．已知圆：，圆：，直线：，点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B．过点P作圆的两条切线，切点分别为C、D．O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A．直线是圆与圆的公共弦所在直线 B．对于直线上任意一点P，都有 C．当直线与相交时，设交点为Q，则Q点一定在直线上 D．若圆G与圆，均外切，记点G到直线的距离为d，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线：与：互相垂直，则实数的值为________． 13．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则动点C的轨迹方程为________． 14．空间几何体中有很多图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也称作阿基米德多面体，如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它是正方体截去八个一样的四面体得到的，若E为线段上的动点（包含B，C两点)，则异面直线与所成角的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知中，，． （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16．（15分）如图1所示，在等腰梯形中，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 17．（15分）如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． （1）若平面，求的值； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值； 18（17分）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）直线：与圆交于，两点，若的面积为2，求直线的方程． 19．（17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．例如：正四面体在顶点处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安二中教育集团2026—2027学年第一学期高二第一次质量检测 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D A D B C ABD AD 题号 11 答案 BCD 12．或或或 13．或 14． 15．【详解】（1）因为，，所以， 因为是边上的高，所以， 所以高所在直线的方程为； 5分 （2）因为点为边的中点，设点的坐标为 所以， 7分 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 11分 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． 13分 16【详解】（1）为等腰梯形，，， 又∵平面平面，平面平面，平面， 又平面，∴平面平面． 6分 （2），， ∵平面平面，平面平面，，平面， 平面，又，平面， ，，故，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形中，，，，，， ，，，， 则，，， 9分 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，则， 12分 设直线与平面所成角为，则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15分 17．解法一： （1）连接与交于点N，连接，因为平面，且平面平面，平面，所以，则，又因为，所以， 则，所以的值为． 6分 （2）取的中点O，连接，连接，因为是边长为4的等边三角形，所以，且，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又因为，，所以． 因为，所以，，则， 因为，所以四边形是矩形， 以O为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ， 9分 ， 设为平面一个法向量，则， 令，则所以， 12分 平面法向量取，则，， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 15分 解法二： 【详解】（1）取的中点O，连接，连接，因为是边长为4的等边三角形，所以，且，，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为，，所以．因为，所以，，则，因为，所以四边形是矩形， 以O为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 设，因为，所以， 解得，，，则． 3分 设平面的法向量为，则，． 则，即，， 取，解得，， 则平面的一个法向量， 6分 ，因为平面，所以，即， 所以，即，解得． 9分 （2）当时，，平面的法向量， 平面的法向量取，设两面夹角为， 则．所以平面与平面的夹角的余弦值为． 15分 18．【详解】（1）设圆心，半径为， 因为圆与直线相切于点，所以直线，解得， 所以圆心，所以， 所以圆的标准方程为． 5分 （2）当切线斜率存在时，设斜率为，切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径得到，即，解得， 所以切线方程为， 8分 当斜率不存在时直线也是切线． 综上所述，切线方程为或． 10分 （3）由（1）知圆心，半径， 圆心到直线：的距离为， 12分 所以， 14分 因为的面积， 即，解得 16分 所以， 所以直线的方程为． 17分 19．【详解】（1）由离散曲率的定义得： ，， ，， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； 5分 （2）由平面，平面，得， 又，，，平面，则平面， 由平面，得，即， 又，即，解得． 7分 解法1：过点A作于点M， 由平面，平面，得，又，，平面， 则平面，因此点A到平面的距离为线段的长． 在中，， 所以，点A到平面的距离为． 10分 解法2：设点A到平面的距离为d， 则，， 所以，即点A到平面的距离为． 10分 解法3：过A作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，，，，，，， 设平面的法向量，则，即，令，则，，得，所以点A到平面的距离． 10分 （ⅱ）存在．过A作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得： ，，，，， 所以，，，， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 12分 设平面的法向量．则即 令，则，，得， 14分 则，， 整理得，解得， 16分 所以，所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $