安徽省界首第一中学2026-2027学年高二年级上学期10月月考数学试题

数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A． B． C．2 D． 4．已知两点，，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则和所成角的余弦值等于（ ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，已知点，点，为直线上一动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 7．已知正四棱台，，，，则该正四棱台的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对得的部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．若直线不经过第四象限，则 D．过，两点的所有直线的方程为 10．下列结论正确的是（ ） A．若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B．若圆上有且仅有2个点到直线的距离等于1，则 C．曲线与曲线恰有三条公切线，则 D．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，点为线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积不是定值 C．三棱锥的外接球的体积是 D．当直线与平面所成角最大时，线段长为2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知直线与直线平行，则实数的值为_______． 13．若点在圆外，则实数的取值范围为_______． 14．已知点为直线与直线的交点，点为圆上的动点，则的取值范围_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）边垂直平分线方程； （3）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程． 16．（15分）已知圆过，，三点． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程． 17．（15分）已知和圆． （1）求过点圆的切线方程； （2）是圆上一动点，求的最值． 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，． （1）若平面与平面相交于直线，求证：； （2）求证：； （3）求二面角的余弦值． 19．（17分）已知一动点在圆上移动，它与定点连线的中点为． （1）求点的轨迹； （2）过定点的直线与点的轨迹交于，两点． （I）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （II）若，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D C B C A AC ABC 题号 11 答案 AC 1．A 【详解】由化为，即该直线斜率为，所以其倾斜角为. 2．C 【详解】对于A，若，，直线可以在平面内，不一定满足，因此A错误； 对于B，若，，直线可以在内，可以，不一定满足，因此B错误； 对于C，若，则平面的法向量与平面的法向量垂直；又，，则的方向向量就是的法向量，的方向向量就是的法向量，因此，故C正确； 对于D，若，，，直线和可以相交、异面，不一定平行，因此D错误. 3．A 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即，所以这两条平行直线之间的距离为． 4．D 【详解】直线，即，令，可得直线经过定点， 又，．直线与线段相交， 由图可得，则直线的斜率取值范围是． 5．C 【详解】取的中点，连接，因为为棱的中点，所以，所以（或其补角）为和所成的角，因为三棱柱为正三棱柱，且，所以，，， 在中，由余弦定理可得. 6．B 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以，所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，所以的最小值是. 7．C 【详解】因为，所以结合体积公式，可得正四棱台的高，记上下底面的中心分别为，，所以该正四棱台的外接球球心在直线上， 设，外接球半径为，则则，解得，，所以外接球表面积. 8．A 【详解】设．由，解得 于是所以点的轨迹在以为圆心、为半径的圆上，轨迹如图所示； 由上面的参数式反解得，故除点外，圆上的点均可取得． 取点．由得因此即．于是又，，故线段与圆有唯一交点．该点纵坐标为正，故，可以由某个实数取得； 此时在线段上，等号成立．所以的最小值为． 9．AC 【详解】对于A．直线的斜率，则，即，则，故A正确; 对于B．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故B错误; 对于C，若直线不经过第四象限，则解得，C正确； 对于D．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故D错误， 10．ABC 【详解】对于A，圆的圆心的坐标为，半径 ， 圆的圆心的坐标为，半径 ，因为，所以圆与圆相交，将圆与圆的方程左右分别相减，可得，即为圆与圆的公共弦所在直线的方程，故A正确； 对于B，依题意，需使圆心到直线的距离满足， 解得，故B正确； 对于C， 圆与圆有三条公切线，等价于两圆外切，由可得，知圆心为，半径为1，由可得，知圆心为，半径为，且，依题意，，解得 ，故C正确； 对于D，如图，由切线长定理，可得，要使最小，需使最小，因P为直线上一动点，故当与直线垂直时，取得最小值，此时即圆心到直线的距离为，故，故D错误. 11．AC 【详解】对于A，连接，由题意可得， ，， 所以，所以，由正方体，可得平面，又平面，所以平面平面，又因为，平面平面， 所以平面，又平面，所以，又因为，平面，所以平面，故A正确； 对于B，设到平面的距离为，，因为为的中点，所以为定值，又（定值），所以为定值，故B错误； 对于C，取中点为，连接，因为为的中点，所以四边形为矩形， 又为的中点，所以，又由正方体，可得平面，所以平面，所以四棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的体积是，故C正确； 对于D，连接，因为平面，又平面，所以平面平面， 所以（或其补角）为直线与平面所成角，当与重合时，最大，此时，又，所以为锐角，所以当与重合时，直线与平面所成角最大，此时，故D错误. 12． 【详解】因为与平行，故，整理得，解得或.验证是否重合： 当时，化简为，化简为，两直线重合，不符合要求，舍去； 当时，为，为，两直线斜率相等且截距不同，满足平行条件. 综上，实数的值为. 13． 【详解】方程表示圆，则有，解得，点在圆外，有，解得，所以实数k的取值范围为. 14． 【详解】又变形为，则恒过定点，变形为，则恒过定点，因为，所以，则点P的轨迹是以和为直径端点的圆D（去除点）， 所以圆心，半径，又圆C的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，则两圆相离， 所以的最大值为，因为点不在圆D上， 所以的最小值大于，则的取值范围是. 15．(1) (2) (3) 或 【详解】（1）因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. （3）依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即. 综上，的方程为或； 16．(1)； (2)或 【详解】（1）设圆M的方程为． 把，，三点分别代入方程可得： ，解得，，， 所以圆M的方程为，其标准方程为． （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为．此时到直线l的距离， 弦长，满足题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即． 圆心到直线l的距离．因，弦长公式得， 两边平方解得．所以，两边平方得．展开得，移项可得． 则直线l的方程为，即． 综上所得，直线l的方程为或． 17．(1) (2)最小值是25，最大值是225 【详解】（1）圆的方程可化为，圆心，半径. ∵，∴点在圆上，，切线的斜率， ∴切线方程为，即 （2）如图所示，圆心到定点的距离为， 设圆上的点，则， 当为直线与圆的交点时，此时取最小值， 当为直线与圆的交点时，此时取最大值， ∴，∴，即. 18．【详解】(1)由，平面，平面，得平面， 又平面，且平面与平面相交于直线，所以. (2)在平面内作于H，∵平面平面，平面平面， ∴平面，平面，则，又平面，平面，则， 又且都在平面内，故平面，又平面，则. (3)若是的中点，连接，由（2）知，，，由平面，平面，则，而，平面，于是平面， 又平面，则，过作于，连接，显然，平面，因此平面，而平面，则，即是二面角的平面角， 由，，得，，则，，，所以二面角的余弦值是. 19．(1) (2) （Ⅰ）是，定值为12； （Ⅱ） 【详解】（1）设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是， 且M是线段的中点，所以，，于是，① 因为点A在圆上上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点M的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. （2）（Ⅰ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设， 设，，将代入，并整理，得， ∴，，则， ， ∴ ， 所以为定值，且定值为12； （Ⅱ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设， 设，，将代入，并整理，得， ∴，，∴， ∴或，经检验， 时，此时直线与圆没有两个交点， 即中，所以，所以，直线的方程为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $