2026-2027学年人教版数学七年级上册期中模拟试卷

2026-2027学年人教版数学 七年级上学期 期中模拟试卷 内容：包含七上前四章（有理数、有理数的运算、代数式、整式的加减） 一、单选题（每题4分） 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组的两个量成反比例关系的是（   ） A．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系． B．等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长． C．三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高． D．圆的周长与它的半径． 4．下列说法正确的是（   ） A．精确到十分位 B．是五次三项式，常数项是 C．的系数是，次数是6 D．由四舍五入得近似数43.0，精确到个位 5．已知，则代数式的值为（   ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 6．新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活． 如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形． 其中第一个图形中一共有4个圆圈，第二个图形中一共有8个圆圈，第三个图形中一共有 13个圆圈． ．．．．按此规律排列下去，请问第7个图形中圆圈的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 7．下列说法正确的是（    ） A．有理数都可以化成有限小数 B．在任何一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 C．在数轴上表示数的点离原点越远，这个数越大 D．两个数中，较大的那个数的绝对值较大 8．纸杯是一种常见的饮品容器，它的出现极大地方便了人们的生活．如图所示是某款纸杯1个和5个叠放在一起的示意图，其中1个纸杯的高度为，5个纸杯叠放在一起的总高度为，则个这样的纸杯以同样方式叠放在一起的总高度是（    ） A． B． C． D． 9．已知m，n为有理数，若代数式的值与x的取值无关．则的值为（    ） A． B． C． D． 10．将多项式中的项的符号改为“”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对操作”，例如：当时，对多项式进行“绝对操作”后得到代数式：．化简后则得到“绝对操作”的最终结果．下列关于对多项式的“绝对操作”的最终结果说法： ①所有最终结果的乘积非负； ②当时，若“绝对操作”的最终结果有部分为0，则一定有； ③若，则共有15种不同的最终结果．正确的有几项（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每题4分） 11．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破2218000000元．这个数据用科学记数法可以表示为________． 12．比较大小：________（用“或或”填空）． 13．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，n为最大的负整数，m是绝对值最小的有理数，则代数式__________． 14．中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，将分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经将这四个数填入了圆圈，则______． 15．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．我们最熟悉的，最常用的就是十进制中的数，如十进制中的数2025就可写成，如二进制中的数101就可以写成，可以转换成十进制中的5，可见一个数可以表示成各数位上的数字与基数乘方的乘积之和的形式，从而转换成十进制数．（十进制一般不标注基数，其它常在数的右下角标明基数） （1）按此方式将二进制数转换成十进制的结果是________； （2）计算：________．（结果用十进制数表示） 16．在一场数字游戏活动中，主办方设定了一种特殊的数字规则：一个四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和为，百位上的数字与十位上的数字之和也为，则称为“幸运九数”．例如：四位正整数，因为，，所以是“幸运九数”． 活动第一环节：寻找最小的“幸运九数”．答案是：__________． 活动升级环节：为了增加挑战性，主办方宣布，在“幸运九数”中，若该数还能被整除，将获得特别奖励．那么在以内的所有“幸运九数”中，能获得特别奖励的的最大值与最小值之差为__________． 三、解答题（第17-18题各8分，其余每题10分） 17．计算：(1)； (2)． 18．计算：（1） （2） 19．先化简再求值：求的值，其中与是同类项． 20．根据题目条件，解答下列各题： (1)若，满足，求的相反数． (2)已知：、、，且，，求的值． 21．某儿童玩具厂计划七天共生产1400套玩具火车，平均每天生产200套，由于个别工人请假，实际每天的生产量与计划生产量有出入，下表是一周七天的实际生产情况（超产为正，减产为负，单位：套）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +6 3 -5 +13 -10 +19 -12 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______套； (2)七天共生产玩具火车_______套; (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一套玩具火车可得70元，若超额完成任务，则超过部分每套另奖25元，少生产部分每套扣16元，那么这一周该厂支给工人的工资总额是多少元？ 22．某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍 30元副 元副 乒乓球 1元个 元个 某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球． (1)该乒乓球队共需花费________元（结果用含，的式子表示）； (2)今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案： 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球； 方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍． ①按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示） ②当，时，请你为该乒乓球队设计一个省钱的购买方案，计算并说明理由． 23．我们把从1开始到的个连续自然数的立方和记作，那么有： … 观察上面式子的规律，完成下面各题： (1)根据规律，直接写出[ ]²= ； (2)猜想： （用n表示）； (3)根据规律，求的值． 24．【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，数与形是有联系的，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合．数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． 我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数到原点的距离．借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】 (1)①若，则的值为__________．②数轴上数表示的点和的距离可以表示为__________． (2)的最小值是__________，此时可以取整数的和为__________． (3)当_____时，的值最小，最小值为__________． (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区和市民广场，居民区分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民1000人，居民区有居民2000人，居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为5元/（千份・千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少元？ 25．定义：数轴上的三点，如果其中一点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两点的“k倍分点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足点B与点A的距离恰好是点B与点C距离的，则称此时点B是点A，C的“2倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点______________是点M，N的“2倍分点”；点C是点B，N的“______________倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“2倍分点”， 则点D对应的数分别是______________ (3)点A向左运动4个单位长度，点C向右运动1个单位长度，点M，N在数轴上开始运动，动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点M到点A的距离永远等于点M到点P的距离．设运动时间为秒，点C、N、Q在数轴上依次向右排列，且点C是点N，Q的“3倍分点”，当点M、C、N三点中的任意一点到另外两点的距离相等时，求出t的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版数学 七年级上学期 期中模拟试卷 内容：包含七上前四章（有理数、有理数的运算、代数式、整式的加减） 一、单选题（每题4分） 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2．已知，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方运算、求一个数的绝对值，即可一一判定． 【详解】解：， ，， 与 大小不能确定，， 故A、C、D不成立，B成立， 故选：B． 【点睛】本题考查了乘方运算、求一个数的绝对值，熟练掌握和运用乘方运算的符号问题及求一个数的绝对值法则是解决本题的关键． 3．下列各组的两个量成反比例关系的是（   ） A．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系． B．等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长． C．三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高． D．圆的周长与它的半径． 【答案】C 【分析】本题考查反比例关系，解题的关键是掌握两个变量的乘积一定时，这两个变量成反比例关系； 根据成反比关系的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，故不符合题意； B．等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长不成反比例关系，故不符合题意； C．三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高成反比例关系，故符合题意； D．圆的周长与它的半径成正比例关系，故不符合题意； 故选：C． 4．下列说法正确的是（   ） A．精确到十分位 B．是五次三项式，常数项是 C．的系数是，次数是6 D．由四舍五入得近似数43.0，精确到个位 【答案】C 【分析】此题考查的是近似数的判断、单项式系数和次数的判断和多项式项数的判断，根据有理数定义、单项式次数的及项数的定义、多项式次数的定义、精确度的定义逐一判断即可． 【详解】A．精确到千位，本选项错误； B．是三次三项式，常数项是，故本选项错误； C．的系数是，次数是6，故本选项正确； D．由四舍五入得近似数43.0，精确到十分位，故本选项错误． 故选：C． 5．已知，则代数式的值为（   ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 【答案】A 【分析】此题主要考查由已知代数式求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 首先将已知代数式转换形式，然后代入所求代数式，即可得解． 【详解】解：由已知，得 ∴ 故选：A． 6．新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活． 如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形． 其中第一个图形中一共有4个圆圈，第二个图形中一共有8个圆圈，第三个图形中一共有 13个圆圈． ．．．．按此规律排列下去，请问第7个图形中圆圈的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】C 【分析】本题考查了规律探究，解题关键是发现规律，根据题意得到规律是第n个图形有个圆圈，进而求解即可． 【详解】解：第1个图形中一共有个圆圈； 第2个图形中一共有个圆圈； 第3个图形中一共有个圆圈； … 第7个图形中一共有个圆圈． 故选：C． 7．下列说法正确的是（    ） A．有理数都可以化成有限小数 B．在任何一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 C．在数轴上表示数的点离原点越远，这个数越大 D．两个数中，较大的那个数的绝对值较大 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，相反数，数轴，绝对值的概念，根据有理数，相反数，数轴，绝对值的定义进行排除即可，正确理解有理数，相反数，数轴，绝对值的 定义是解题的关键． 【详解】解：、有理数都可以化成有限小数或无限循环小数，原选项说法错误，不符合题意； 、在任何一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，原选项说法正确，符合题意； 、若在原点左边时，数轴上表示数的点离原点越远，这个数越小，若在原点右边时，数轴上表示数的点离原点越远，这个数越大，原选项说法错误，不符合题意； 、两个正数中，较大的那个数的绝对值较大，两个负数中，较大的那个数的绝对值较小，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 8．纸杯是一种常见的饮品容器，它的出现极大地方便了人们的生活．如图所示是某款纸杯1个和5个叠放在一起的示意图，其中1个纸杯的高度为，5个纸杯叠放在一起的总高度为，则个这样的纸杯以同样方式叠放在一起的总高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，求出每增加一个杯子增加的高度，然后求解即可． 【详解】解：增加一个杯子增加的高度为：， ∴个这样的纸杯以同样方式叠放在一起的总高度是． 故选：B． 9．已知m，n为有理数，若代数式的值与x的取值无关．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减运算以及代数式与字母取值无关的条件，熟练掌握“代数式与某字母取值无关时，该字母对应项的系数为0”是解题的关键．先化简代数式，根据“代数式的值与的取值无关”可知和的系数为0，进而求出、的值，最后计算． 【详解】解： ， ∵代数式的值与的取值无关， ∴且， ∴，， ∴． 故选：B． 10．将多项式中的项的符号改为“”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对操作”，例如：当时，对多项式进行“绝对操作”后得到代数式：．化简后则得到“绝对操作”的最终结果．下列关于对多项式的“绝对操作”的最终结果说法： ①所有最终结果的乘积非负； ②当时，若“绝对操作”的最终结果有部分为0，则一定有； ③若，则共有15种不同的最终结果．正确的有几项（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据“绝对操作”的定义，对多项式进行“绝对操作”逐项判断即可． 【详解】解：①由绝对值的非负性可知，对多项式进行“绝对操作”后得到的代数式都是非负，故所有最终结果的乘积非负，原说法正确； ②当时，操作的结果有，，，，，， 若，则，故； 若，则，故； 若，则，故； 若，则，故； 若，则，故； 若，则，故； ∴不一定有，原说法错误； 当时，操作的结果有，， ， ； 当时，操作的结果有，， ， ， ， ， 当时，操作的结果有， ， ， 当时，操作的结果为， 即与的结果相同，的6种结果中有3对相同，去重后实际共有种不同的最终结果， ∴一共有8种不同的最终结果，原说法错误； 综上所述，正确的只有1个． 二、填空题（每题4分） 11．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破2218000000元．这个数据用科学记数法可以表示为________． 【答案】 【详解】解：． 12．比较大小：________（用“或或”填空）． 【答案】 【详解】解：∵，，且，，， ∴． 13．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，n为最大的负整数，m是绝对值最小的有理数，则代数式__________． 【答案】 【分析】根据相反数、倒数的定义，以及特殊数的性质，得到相关代数式和字母的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，为最大的负整数，是绝对值最小的有理数， ∴，，，， ∴ ． 14．中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，将分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经将这四个数填入了圆圈，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元一次方程的应用，根据题意得到，解方程得到，进而求出，，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：7． 15．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．我们最熟悉的，最常用的就是十进制中的数，如十进制中的数2025就可写成，如二进制中的数101就可以写成，可以转换成十进制中的5，可见一个数可以表示成各数位上的数字与基数乘方的乘积之和的形式，从而转换成十进制数．（十进制一般不标注基数，其它常在数的右下角标明基数） （1）按此方式将二进制数转换成十进制的结果是________； （2）计算：________．（结果用十进制数表示） 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算； （1）根据二进制转化成十进制，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据二进制转化成十进制，进行有理数混合运算，即可求解； 理解二进制是解题的关键． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ， ， 故答案为：． 16．在一场数字游戏活动中，主办方设定了一种特殊的数字规则：一个四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和为，百位上的数字与十位上的数字之和也为，则称为“幸运九数”．例如：四位正整数，因为，，所以是“幸运九数”． 活动第一环节：寻找最小的“幸运九数”．答案是：__________． 活动升级环节：为了增加挑战性，主办方宣布，在“幸运九数”中，若该数还能被整除，将获得特别奖励．那么在以内的所有“幸运九数”中，能获得特别奖励的的最大值与最小值之差为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数的整除特征、代数式的推导与取值范围分析，熟练掌握“幸运九数”的定义、和的整除判定规则是解题的关键． 第一环节：要找到最小的“幸运九数”，需让千位数字尽可能小（千位不能为），再让百位数字尽可能小，最后根据定义确定十位和个位数字． 第二环节：先明确“幸运九数”的数字和为，满足被整除的条件，因此只需满足被整除的条件；再结合“幸运九数”的定义推导出千位与百位数字相等，最后在以内的范围内找出符合条件的最大数和最小数，计算差值． 【详解】解：设四位正整数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为 第一环节： ∵千位数字，要使最小， ∴， ∵， ∴， ∵要使最小，百位数字取最小可能值， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 第二环节： ∵是“幸运九数”， ∴，， ∴， ∵，且能被整除， ∴能被整除，只需满足被整除的条件， ∴被整除的条件为是的倍数， ∵， ∴， ∵，， ∴，可得， ∵是的倍数， ∴在此范围内的值只能是， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得， ∵为至的整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∵最大值为，最小值为， ∴差值为， 故答案为：①；② 三、解答题（第17-18题各8分，其余每题10分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算，最后算加减法； （2）先算乘方与绝对值，再算括号内的除法与减法，最后算括号外的乘法与加减． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）合并同类项，即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项，即可求解． 【详解】解：（1）原式= =； （2）原式= = =． 【点睛】本题主要考查整式的加减运算，掌握去括号，再合并同类项是解题的关键． 19．先化简再求值：求的值，其中与是同类项． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，同类项的定义．先根据同类项的定义得到，再对所求式子去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵是同类项， ∴， ∴， ， 当，时，原式． 20．根据题目条件，解答下列各题： (1)若，满足，求的相反数． (2)已知：、、，且，，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出x，y的值，再求出，即可求解； （2）根据绝对值的定义，并结合，得到a，b，c的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，． ∴， ∵4的相反数是， ∴的相反数是． （2）解：、、， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴，，， 当时，； 当时，． 综上所述，的值是或． 21．某儿童玩具厂计划七天共生产1400套玩具火车，平均每天生产200套，由于个别工人请假，实际每天的生产量与计划生产量有出入，下表是一周七天的实际生产情况（超产为正，减产为负，单位：套）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +6 3 -5 +13 -10 +19 -12 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______套； (2)七天共生产玩具火车_______套; (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一套玩具火车可得70元，若超额完成任务，则超过部分每套另奖25元，少生产部分每套扣16元，那么这一周该厂支给工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1) (2) (3) 这一周该厂支给工人的工资总额是元. 【分析】（1）从表格增减量中找最大值与最小值，计算差值； （2）计算七天增减量的总和，与计划总产量相加得实际总产量； （3）分别计算基础工资、超产奖金、减产扣款，求和得到工资总额． 【详解】（1）解：由表格得，增减量最大值为，最小值为 产量差为（套）； （2）解：七天增减量总和为 （套） 实际总产量为（套）； （3）解：一周超产总套数为（套） 一周减产总套数为（套） 基础工资为（元） 超产奖金为（元） 减产扣款为（元） 工资总额为（元） 答：这一周该厂支给工人的工资总额是元． 22．某体育用品商店出售的乒乓球拍和乒乓球进价、售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍 30元副 元副 乒乓球 1元个 元个 某乒乓球队打算购买15副乒乓球拍，120个乒乓球． (1)该乒乓球队共需花费________元（结果用含，的式子表示）； (2)今年“五一”期间该商店开展让利促销活动，提供两种不同的促销方案： 方案一：买一副乒乓球拍送2个乒乓球； 方案二：每购买100个乒乓球赠送1副乒乓球拍． ①按方案一购买要花多少钱？若按方案二购买需要多少钱？（结果用含，的式子表示） ②当，时，请你为该乒乓球队设计一个省钱的购买方案，计算并说明理由． 【答案】(1) (2)① 方案一花费元，方案二花费元； ② 最省钱的购买方案为：用方案二购买100个乒乓球（获赠1副乒乓球拍），用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），总花费610元． 【分析】（1）总费用=球拍费用+球的费用，分别用售价乘以数量即可． （2）①方案一：买15副球拍送30个球，还需另买90个球；方案二：买120个球送副球拍，还需另买14副球拍，据此进行计算即可； ②将，分别代入①中的两个式子，根据规则设计最省钱方案：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球），计算所设计方案的费用并比较即可得． 【详解】（1）解：该乒乓球队共需花费：（元）． （2）①解：方案一： 买一副球拍送个球，买15副球拍送（个）球，还需购买乒乓球：（个）， 所需费用：（元）． 方案二： 每购买100个球赠送副球拍，买120个球可赠送副球拍，还需购买球拍：（副）， 所需费用： （元）． ②解：当，时， 方案一费用：（元）， 方案二费用：（元）． 设计最省钱方案如下：先用方案二购买100个乒乓球（获赠1副球拍），再用方案一购买14副乒乓球拍（获赠28个乒乓球）， 总费用为：（元）， ， 选择方案三一更省钱，需花费610元． 23．我们把从1开始到的个连续自然数的立方和记作，那么有： … 观察上面式子的规律，完成下面各题： (1)根据规律，直接写出； (2)猜想：______（用n表示）； (3)根据规律，求的值． 【答案】(1) ， (2) (3) 14175 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数字类规律的探索，解题的关键是找出题目中所给算式的运算规律，明确有理数混合运算方法． （1）根据规律将其转化为有理数的乘方运算即可得； （2）根据前面式子的特点找出规律即可； （3）将写成，再根据（2）中的规律计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解：∵，，，… ∴， 故答案为：； （3）解：原式 ． 24．【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，数与形是有联系的，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合．数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系． 我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数到原点的距离．借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】 (1)①若，则的值为__________． ②数轴上数表示的点和的距离可以表示为__________． (2)的最小值是__________，此时可以取整数的和为__________． (3)当_____时，的值最小，最小值为__________． (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区和市民广场，居民区分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民1000人，居民区有居民2000人，居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为5元/（千份・千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少元？ 【答案】(1)①；② (2)4， (3)，7 (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输成本最低，最低成本是60元 【分析】（1）根据绝对值的几何意义和两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的几何意义得到时，的值最小为到1的距离； （3）根据绝对值的几何意义，得到当时，和同时取得最小值，此时的值最小，进行计算即可； （4）列出式子，求其最小值即可． 【详解】（1）解：①若，则的值为； ②数轴上数表示的点和的距离可以表示为； （2）解：表示数到数和到数1之间的距离之和， ∴当时，的值最小为到1的距离，即为； 此时可以取整数的和为； （3）解：由绝对值的几何意义和非负性可知，当时，和同时取得最小值， 此时的值最小，为到1的距离，即； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离之和， 由（3）可知，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输成本最低，最低成本是60元． 25．定义：数轴上的三点，如果其中一点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两点的“k倍分点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足点B与点A的距离恰好是点B与点C距离的，则称此时点B是点A，C的“2倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点______________是点M，N的“2倍分点”；点C是点B，N的“______________倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“2倍分点”， 则点D对应的数分别是______________ (3)点A向左运动4个单位长度，点C向右运动1个单位长度，点M，N在数轴上开始运动，动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，点M到点A的距离永远等于点M到点P的距离．设运动时间为秒，点C、N、Q在数轴上依次向右排列，且点C是点N，Q的“3倍分点”，当点M、C、N三点中的任意一点到另外两点的距离相等时，求出t的值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或或 【分析】（1）利用数轴分别算出，再结合“k倍分点”的定义分析求解，即可解题； （2）根据点M是点D，A的“2倍分点”，推出或，利用数轴得到，再分情况结合数轴讨论求解，即可解题； （3）根据题意推出点A对应的数与点C对应的数，再根据运动时间为秒，得到，进而推出，根据点M到点A的距离永远等于点M到点P的距离，分三种情况①当时，②当时，③当时讨论，并结合点C是点N，Q的“3倍分点”，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，， 则， 点是点M，N的“2倍分点”； 由数轴可知，， 则， 点C是点B，N的“2倍分点”； （2）解：点M是点D，A的“2倍分点”， 或， ， 当时，， 则点D对应的数为或， 当时，， 则点D对应的数为或； 综上，点D对应的数分别是或或或； （3）解：点A向左运动4个单位长度，点C向右运动1个单位长度， 点A对应的数为，点C对应的数为， 设运动时间为秒， 由题意得：， 点M到点A的距离永远等于点M到点P的距离， ， 点M、C、N三点中的任意一点到另外两点的距离相等， ①当时， 对应的数为， ， ， 点C是点N，Q的“3倍分点”， ， ， 解得； ②当，点在点左侧时，如图 对应的数为， ， ， ， 点C是点N，Q的“3倍分点”， ， ， 解得； ③当时，点在点左侧时，如图 对应的数为， ， ， 点C是点N，Q的“3倍分点”， ， ， 解得； 综上，t的值为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $