期中重难点特训之易错压轴专项训练（20易错+6压轴）-2026-2027学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

期中重难点特训之易错压轴专项训练（20易错+6压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、常见的几何体 易错题型二、几何体中的点、棱、面 易错题型三、几何体展开图的认识 易错题型四、用七巧板拼图形 易错题型五、有理数的概念 易错题型六、用数轴上的点表示有理数 易错题型七、绝对值非负性 易错题型八、有理数大小比较 易错题型九、有理数幂的概念理解 易错题型十、代数式的概念 易错题型十一、单项式的系数、次数 易错题型十二、多项式的项、项数或次数 易错题型十三、合并同类项 易错题型十四、求代数式的值 易错题型十五、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 易错题型十六、含乘方的有理数混合运算 易错题型十七、有理数四则混合运算 易错题型十八、列代数式 易错题型十九、去括号、添括号计算题 易错题型二十、整式加减中的无关型问题 压轴题型一、数字、图形类规律探索 压轴题型二、几何体中的点、棱、面综合问题 压轴题型三、绝对值的几何意义综合 压轴题型四、整式加减的应用 压轴题型五、数轴的动点问题 压轴题型六、有理数四则混合运算的实际应用 易错题型一、常见的几何体 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下面立体图形中，是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图所示的图形中为柱体的是__，其中为圆柱的是__，为棱柱的是__．    3．（25-26七年级上·全国·课堂例题）把下列物体与其对应的立体图形连接起来：   易错题型二、几何体中的点、棱、面 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）七棱柱的顶点个数是（   ） A．7个 B．8个 C．14个 D．15个 5．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）一个棱柱共有24个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是________． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图所示,左边是小颖的圆柱形的笔筒,右边是小彬的六棱柱形的笔筒．仔细观察两个笔筒,并回答下面问题．    (1)圆柱、六棱柱各由几个面组成?它们都是平的吗? (2)圆柱的侧面与底面相交成几条线?它们是直的吗? (3)六棱柱有几个顶点?经过每个顶点有几条棱? (4)试写出圆柱与棱柱的相同点与不同点． 易错题型三、几何体展开图的认识 7．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个几何体的展开图，这个几何体是（     ） A．五棱柱 B．四棱柱 C．三棱柱 D．圆锥 8．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的边长是____________． 9．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 易错题型四、用七巧板拼图形 10．（25-26七年级下·广东佛山·期末）七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．数学兴趣小组在综合与实践课上用一张面积为的正方形纸片先制作了一副如图1所示的七巧板，再拼成如图2所示的作品，则图2中①和②的面积之和是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·浙江温州·期中）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为 ____（取1.4）． 12．（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片沿着直线剪成两部分,其中为的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的就是拼成的一个图形. 用这两部分纸片除了可以拼成图2中的外，还可以拼成一些四边形，请你试一试，把拼成的四边形分别画在图3、图4的虚框内． 易错题型五、有理数的概念 13．（25-26七年级上·江西赣州·期末）在，0，， ， ，中，有理数的个数有（    ） A．3个 B．6个 C．5个 D．4个 14．（25-26七年级上·湖北黄冈·阶段练习）一个数的亿位上是最小的质数，十万位上是最大的一位数，万位上是最小的合数，百位上是最小的奇数，其余各位都是0，则这个数写作 ______________． 15．（25-26七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ；；0；；；；2021；2.030030003；；；；． 正分数集合：{_____________…}； 有理数集合：{_____________…}； 非负整数典合：{_____________…}． 易错题型六、用数轴上的点表示有理数 16．（2026·河南信阳·模拟预测）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，数轴上点表示的数是_______． 18．（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）在数轴上表示下列有理数，并把这些有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． ，，0， 易错题型七、绝对值非负性 19．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 20．（2026七年级上·全国·专题练习）已知，则，，的值分别是______． 21．（25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知，求的值． 易错题型八、有理数大小比较 22．（2026·辽宁·模拟预测）下列各数中，比小的数是（     ） A． B． C． D． 23．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）大于且小于的负整数有________． 24．（25-26七年级上·北京·期中）已知一组数：，，，， (1)画一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来； (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）：__________． 易错题型九、有理数幂的概念理解 25．（25-26七年级上·广西贵港·期中）计算：（　　） A． B． C． D． 26．（2026七年级上·全国·专题练习）（1）在中，底数是___________，指数是___________； （2）在中，底数是___________，指数是___________，意义是___________． 27．（26-27七年级上·全国·随堂练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 易错题型十、代数式的概念 28．（25-26七年级上·全国·单元复习）在式子、、、x、、中代数式的个数有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 29．（2026七年级上·全国·专题练习）下列式子：，，，，，中，是代数式的有___________个． 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式? （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 易错题型十一、单项式的系数、次数 31．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段练习）单项式 的系数和次数分别是（　　） A． ，4 B．，3 C．，3 D．，4 32．（25-26七年级上·河南安阳·期末）单项式的系数是______，次数是______． 33．（25-26七年级上·广东东莞·期中）若是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3，求a和b的值． 易错题型十二、多项式的项、项数或次数 34．（25-26七年级上·四川成都·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．的系数是 B．，，7是多项式的项 C．是二次二项式 D．单项式的系数是4，次数是7 35．（25-26七年级上·天津河西·期末）写出一个项数是3，次数是2的多项式________． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列多项式的次数及常数项． (1)． (2)． 易错题型十三、合并同类项 37．（25-26七年级上·广东河源·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）化简：__________． 39．（25-26七年级上·河南周口·期末）【阅读材料】 我们知道，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果为______； （2）已知，，求的值； 【拓展探索】 （3）已知，，，求的值． 易错题型十四、求代数式的值 40．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知时，代数式的值为14，则时，代数式的值为（　　） A． B． C．12 D．7 41．（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）数学社团设计了一个“加密程序”，它输出的数 y 与输入的数 x 满足 ．若输入，则输出的数是 ______；若输入，则输出的数是 ______． 42．（25-26七年级上·宁夏固原·期中）【阅读材料】已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用的方法如下： 由题意得，所以代数式的值为5． 【学以致用】 （1）若，则________； （2）若，求代数式的值； （3）若，求代数式的值． 【拓展延伸】 （4）若，，求代数式的值． 易错题型十五、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 43．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）关于多项式下面说法正确的是（    ） A．多项式的次数是4次 B．这是个五次多项式 C．项分别是，， D．按的升幂排列 44．（25-26七年级上·上海崇明·期中）把整式按字母的升幂排列是________________________． 45．（25-26七年级上·全国·课堂例题）先阅读下列材料，然后解答问题． 材料一：将多项式按某个字母（如）的指数从大到小（或从小到大）依次排列，叫做这个多项式按这个字母（如）的降幂（或升幂）排列．如：把多项式按字母的降幂排列为． 材料二：多项式中含有项，项，常数项，按的降幂排列缺项，我们可以补入作为的二次项，使原式成为的形式，这样的做法叫做补入多项式的缺项． 解答下列问题： (1)把多项式按字母的升幂排列； (2)请补入多项式的缺项，并按的降幂排列． 易错题型十六、含乘方的有理数混合运算 46．（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）对于有理数，定义一种新运算“”，规定，则（     ） A．77 B． C．63 D．13 47．（26-27七年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图是一个运算程序，若输入x的值为，则输出的值为____________． 48．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了多少天？    易错题型十七、有理数四则混合运算 49．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入的值为2，则最后输出的结果是（    ） A．6 B．22 C．24 D．40 50．（25-26七年级上·四川泸州·期中）新定义运算：对于任意有理数a、b，规定．例如：．计算：______． 51．（25-26七年级上·全国·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 易错题型十八、列代数式 52．（2026·湖南长沙·二模）某公司今年月份的利润为万元，月份比月份减少，则该公司2月份的利润（单位：万元）为（    ） A． B． C． D． 53．（2026·海南三亚·模拟预测）妈妈让小明去市场买椰子，每个椰子单价为元，买了个椰子，小明身上还剩余元，用含的代数式表示小明一共带的钱数为__________元． 54．（26-27七年级上·全国·课后作业）列出单项式，并指出它们的系数和次数． (1)某班的女生人数为，男生人数是女生人数的，则该班的男生人数为多少？ (2)某班学生按每行人、每列人排列座次且坐满，则该班的学生人数为多少？ 易错题型十九、去括号、添括号计算题 55．（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）化简： (1) (2) 56．（26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 57．（26-27七年级上·全国·随堂练习）按要求把多项式添上括号． (1)把后三项括到前面带有“-”号的括号里； (2)把四次项括到前面带有“+”号的括号里，把二次项括到前面带有“-”号的括号里． 易错题型二十、整式加减中的无关型问题 58．（25-26七年级上·广西贵港·期末）若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 59． （25-26七年级上·河北·单元复习）多项式的值与字母x的取值无关，则的值是_______． 60．（25-26七年级上·广东茂名·期末）已知，． (1)求； (2)若的值与的取值无关，求的值． 压轴题型一、数字、图形类规律探索 1．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）有一列数，第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的倒数的差”，即，，，…． (1)请分别计算，，，的值； (2)根据这列数的规律，直接写出 ； (3)计算的值． 2．（25-26七年级上·山西长治·期末）鞋号表明了鞋子的大小，我国发布的新鞋号标准对应于旧鞋号标准，其中部分鞋号的对应关系如下表： 旧鞋号 34 35 36 37 …… a 新鞋号 220 225 230 235 …… 270 (1)直接写出a的值： ； (2)若新鞋号为m，旧鞋号为n，写出把旧鞋号转换为新鞋号的公式． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图是一位同学用围棋棋子按照某种规律摆出的“大”字，第1个“大”字中有7颗围棋子，第2个“大”字中有11颗围棋子，第3个“大”字中有15颗围棋子，……，按照这样的规律摆下去． (1)第5个“大”字中有________颗围棋子； (2)用含n的代数式表示出第n个“大”字中围棋子的数量，并求出第100个“大”字中有多少颗围棋子？ (3)若第n个“大”字中有2027颗围棋子，求n的值． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察如图所示的几何体，回答下列问题： (1)填写表格： 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 图② 四棱柱 图③ 六棱柱 (2)根据（1）中的结果，猜想棱柱的侧面数、侧棱数、顶点数与棱柱的底面边数之间的关系． (3)根据（2）中的猜想，直接写出二十棱柱的侧面数、侧棱数和顶点数． 5．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图所示的①，②，③，④四个图形是平面图形．本题我们探索各图形顶点、边、区域三者之间的数量关系．例如，我们规定图形①的顶点数为4(顶点为，，，)，边数为5(像，为其中的两条边，但不能再算一条边，边与边不能重叠)，区域数为2(它们是两个相互独立，不重叠的小三角形区域)． (1)数一数，每一个图形各有多少个顶点？多少条边？这些边围出了多少个区域？将结果填入下表(图形①已填好)． 图形标号 顶点数 边数 区域数 ① 4 5 2 ② 5 ___________ 3 ③ ___________ 9 4 ④ 7 ___________ 6 (2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间有什么关系？ (3)现已知某一个平面图形的顶点数是2025，区域数比顶点数多1，请你利用（2）发现的结论，确定这个图形的边数是多少？ 压轴题型二、几何体中的点、棱、面综合问题 1．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）一个正棱柱，它有条棱，一条侧棱长为，一条底面边长为． (1)该棱柱是 棱柱，它有 个面、 个顶点． (2)求棱柱的侧面积是多少？ 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图所示的五棱柱的底面周长是，侧棱长，它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？ 3．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图是一个圆柱纵向切开后的图形， (1)图中有几个面？有几个平面和曲面？ (2)图中有几条线，他们是直线还是曲线？ (3)图中线与线之间一共有多少交点？ 4．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列多面体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 图形                顶点数a 6 _____ 10 _______ ______ 棱数b 9 12 _______ _______ 3n 面数c 5 ______ ______ 8 ______ 5．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 压轴题型三、绝对值的几何意义综合 1．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）河北某交警每天都开车在南北走向的鼓楼大街上巡逻，假定从出发点开始，向南为正，向北为负，他这天下午巡逻记录里程如下（单位：）： ，，，，，，． (1)这位交警在第几个路段行车里程最远？为多少千米？ (2)若汽车耗油量为，这天下午汽车共耗油多少升？ 2．（2025七年级上·全国·专题练习）先比较下列各式的大小，再回答问题． (1)_____； (2)______； (3)_______； (4)再举出一些类似的比较大小的算式，归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）探索研究： (1)比较下列各式的大小；（用“”“”或“”） ①________； ②________； ③________； ④________． (2)通过以上比较，请你分析、归纳出当，为有理数时，与的大小关系；（直接写出结论即可） (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是________；若，，求的值． 4．（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）阅读理解：，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离； ，它在数轴上的意义可以理解为：表示6的点与3的点之间的距离为3； 类似的，它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离． 归纳：它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示_____的点与_____的点之间的距离为1，所以a的值为__________． 5．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们常常会运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知是有理数，当取不同数时，式子的值也会发生变化，直接写出式子的最小值． 压轴题型四、整式加减的应用 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b．若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 2．（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 3．（2026·宁夏银川·一模）下面是小颖同学数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们大开眼界……‘代’的方法用途很广．它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．“例如，很多具有特殊结构的正整数中蕴含着有趣的规律，这些数及其蕴含的规律都可以用代数的方法表示．半和数：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数．例如三位正整数234中，所以234是“半和数”；又如369中，所以369也是“半和数”. (1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是____________；若它的百位数字为，个位数字为0，则十位数字为____________，这个数为____________（用含的代数式表示） (2)设一个“半和数”的百位数字为，十位数字为，，，，均为整数），个位数字为，则，，的关系式为____________． (3)小颖发现任意一个“半和数”的个位数字（个位数字不为0）和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 4．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【知识发现】 聪明的小丁和小颖玩神奇的“读心术”游戏： 小丁请小颖在心里想一个任意一个数字，将这个数字先乘以2，再加3，然后乘以5，最后把得到的数减去15，小丁立即猜出小颖心里想的数． 其实运用我们所学的知识就可以解密： 设原数是，可以列代数式：，再除以10就可以知道原数是多少． 【知识应用】 (1)从这9个数字中任意选择三个不同的数字，由这三个数字组成6个不同的两位数（个位数字与十位数字不重复），把这6个两位数相加，然后用所得的和除以这三个数字的和，结果是多少？请用所学的知识解释 【知识拓展】 (2)任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程……你得到了什么结果？ 5．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某学校数学俱乐部组织了“数字变化引擎”设计大赛．引擎的核心是一个运算程序：输入一个数，按一定的运算规则进行运算后，输出结果． 【理解与思考】 (1)理解“循环—判断” 小福设计的“数字变化引擎”程序如下： 规定：程序每运行到“”为一次运行． ①若输入，则输出的值为________； ②若该程序第一次运行后就直接输出值，则可以为________（写出一个满足条件的整数）． 【迁移与应用】 (2)利用“循环—判断”进行程序设计 在进一步探究中，小田发现“循环—判断”可以使程序重复执行一段运算，直到满足指定条件为止．于是他设计了一个运算程序，该程序输入一个任意的两位数，输出结果为一个定值．程序流程如图： ①若输入的两位数是23，请根据小田设计的运算程序，写出输出结果和找到结果的过程． ②若输入的两位数十位数字用表示，个位数字用表示，试结合代数式解释：任意输入一个两位数，该运算程序的结果总是固定的值． 压轴题型五、数轴的动点问题 1．（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 2．（26-27七年级上·山东聊城·阶段检测）已知点M、N在数轴上表示的有理数分别是m、n，而式子的几何意义是数轴上表示有理数m的点与表示5的点之间的距离．再进一步，式子的几何意义是数轴上表示有理数n的点与表示1、4的两点之间的距离的和． (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是______； ______；______；（直接写出最终结果）； (2)根据题干的思路，若，则______； (3)若x为数轴上某动点表示的数，是否有最小值，若有，直接写出最小值；若没有，请说明理由． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知、、是数轴上从左往右的三个点，它们表示的数分别是、、，其中原点位于、两点之间，点到点的距离小于点到点的距离． (1)填空： 0， 0， 0；（填“”、“”或“”） (2)若，且点到点的距离等于点到点的距离． ①当时，求的值； ②当时，是数轴上之间的一个动点，设点表示的数为，当点在运动过程中，化简：． 4．（25-26七年级上·山西晋中·期末）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示：如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为． (1)，两点之间的距离为___________；与，两点距离相等的点对应的数为___________； (2)现有动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一动点恰好从点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．经过秒， ①若点、点在数轴上的点处相遇，请你求出点对应的数是多少． ②经过秒，动点所表示的数为___________，动点所表示的数为___________，___________秒后动点与动点相距个单位长度． 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （1）点、表示的数分别为、，若与互为倒数，与互为相反数．则、两点之间的距离为_________；线段的中点表示的数为_________． 【拓展迁移】 （2）在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是_________（用含的代数式表示）； ②线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 压轴题型六、有理数四则混合运算的实际应用 1．（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某市出租车收费标准： 千米以内（含千米）起步价元； 超过千米的部分，每千米收费元； 不足千米按千米计算． 李叔叔打车一共付了元，他最多乘坐了多少千米？ 2．（26-27七年级上·全国·单元复习）我国海军航空特技飞行队应邀在某风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下（上升记为正，下降记为负）：，，，，． (1)此时这架飞机比起飞点高了还是低了？高了或低了多少千米？ (2)如果飞机平均上升1km需消耗4L燃油，平均下降1km需消耗2L燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 3．（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）李叔叔家原来有一块边长12米的正方形菜地，今年他将这块菜地进行了扩建（如图中的涂色部分）． (1)原来这块菜地的面积是多少平方米？ (2)李叔叔今年扩建了多少平方米的菜地？ 4．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）体育是教育的重要组成部分，也包括塑造品格、养成精神．某校为积极响应国家的号召，扎实有效地开展了多项体育运动．本学期七年级学生在体育老师的组织下开展了一次定点投篮比赛，下表为七年级某班50人参加定点投篮比赛的情况记录，已知标准数量为每人三分钟定点投篮投中25个． 三分钟定点投篮投中个数与标准数量的差/个 0 人数 7 12 8 8 10 5 (1)该班三分钟定点投篮投中个数最多与个数最少的差值为_____个； (2)该班平均每人三分钟定点投篮投中多少个？ (3)若规定三分钟定点投篮投中个数达到标准数量记0分，超过标准数量，每多投1个加2分，每少投1个扣1分，求该班三分钟定点投篮总共获得多少分？ 5．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）小海骑变速自行车上坡时，拨一下变速器，脚蹬会变轻；想骑快时再拨一下，后轮转速就会提升，这是如何实现的？ 秘密藏在自行车的齿轮组里：如图，前后两个齿轮通过链条连接，前侧连接脚蹬的齿轮组是牙盘（动力轮），后侧连接后轮轴心的齿轮组是飞轮（从动轮），自行车后轮转速与后飞轮一致．齿轮—链条啮合的传动原理与齿轮直接啮合一致（链条改变了飞轮转动方向），通过前（后）拨器切换链条卡在牙盘/飞轮的不同齿轮上，即可改变后轮转速，相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力． 小海观察自己的变速自行车，发现后飞轮有四层不同齿数的齿轮，由外到内的齿数分别为30（1档）、24（2档）、20（3档）、16齿（4档），前牙盘最外层有36齿． (1)小海在小区平路骑行时，将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度_______小海蹬车速度（填“大于”“小于”），如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为_______圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为_______． (2)已知自行车后轮直径为，在一段上坡路上，小海将飞轮拨至24齿（牙盘36齿），车后轮转了150圈，这段坡路有多少米？（结果保留） (3)在（2）的条件下，小海认为此段坡路骑起来还是费力，于是保留后飞轮24齿，将前牙盘拨到另一齿轮档位，保持40圈/分钟的蹬车速度，他想用不超过5分钟骑完该坡路，并希望尽可能省力，请问他应该把前牙盘调到多少齿？（  ） A．15齿    B．18齿    C．20齿    D．24齿 $期中重难点特训之易错压轴专项训练（20易错+6压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、常见的几何体 易错题型二、几何体中的点、棱、面 易错题型三、几何体展开图的认识 易错题型四、用七巧板拼图形 易错题型五、有理数的概念 易错题型六、用数轴上的点表示有理数 易错题型七、绝对值非负性 易错题型八、有理数大小比较 易错题型九、有理数幂的概念理解 易错题型十、代数式的概念 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【分析】本题考查立体图形的认识，了解有关常见立体图形的特点是关键． 棱柱的顶点个数取决于底面多边形的边数，对于n棱柱，顶点个数为，据此即可求解． 【详解】解：∵七棱柱的底面是七边形， ∴每个底面有7个顶点． 又∵有两个底面， ∴总顶点数为（个）． 故选：C． 5．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）一个棱柱共有24个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了棱柱的顶点数与底面边数的关系，熟练掌握棱柱顶点数底面边数是解题的关键． 先根据棱柱顶点数求出底面边数，进而确定侧棱数，再用侧棱长的和除以侧棱数得到每条侧棱的长． 【详解】解：设棱柱的底面边数为，则顶点数为． ， ， 侧棱数为条 每条侧棱的长为， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图所示,左边是小颖的圆柱形的笔筒,右边是小彬的六棱柱形的笔筒．仔细观察两个笔筒,并回答下面问题．    (1)圆柱、六棱柱各由几个面组成?它们都是平的吗? (2)圆柱的侧面与底面相交成几条线?它们是直的吗? (3)六棱柱有几个顶点?经过每个顶点有几条棱? (4)试写出圆柱与棱柱的相同点与不同点． 【答案】(1)圆柱由两个底面和一个侧面组成，底面是平面，侧面是曲面；六棱柱由两个底面和六个侧面组成，都是平面． (2)圆柱的侧面与上下两个底面相交各成一条线，是个圆，它是曲线． (3)六棱柱两个底面是六边形，故共有12个顶点；经过每个顶点有三条棱． (4)棱柱与圆柱的相同点是：都是柱体，都有两个底面；不同点是：棱柱与圆柱的底面形状不同，棱柱的底面是多边形，圆柱的底面是圆形，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的侧面是长方形． 【分析】（1）根据圆柱由两个底面和一个侧面组成，六棱柱由两个底面和六个侧面组成回答即可； （2）根据圆柱的侧面与底面相交成一条曲线回答即可； （3）根据六棱柱两个底面是六边形可确定顶点的个数，观察图形可知经过每个顶点有三条棱； （4）根据两个立体图形的底面和侧面的联系与区别回答即可； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【点睛】本题主要考查的是认识立体图形，认真观察图形是解题的关键． 易错题型三、几何体展开图的认识 7．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个几何体的展开图，这个几何体是（     ） A．五棱柱 B．四棱柱 C．三棱柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】观察展开图的面数与形状，确定底面与侧面特征即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知，该展开图由个三角形和个长方形组成，符合三棱柱展开图的特征，故这个几何体是三棱柱． 8．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的边长是____________． 【答案】5 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长． 故答案为： 9．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)72． 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为直三棱柱； 故答案为：直三棱柱； （2）解：． 易错题型四、用七巧板拼图形 10．（25-26七年级下·广东佛山·期末）七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．数学兴趣小组在综合与实践课上用一张面积为的正方形纸片先制作了一副如图1所示的七巧板，再拼成如图2所示的作品，则图2中①和②的面积之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由七巧板的制作过程可知，②与③的面积相等，且面积是正方形的，①②③的和为正方形面积的，据此可求图中①和②的面积之和． 【详解】解：如图，②与③的面积相等，且面积是正方形的，①②③的和为正方形面积的， 图2中①和②的面积之和为100×（） ＝100 ＝18.75（cm2）． 故图中①和②的面积之和是18.75cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了七巧板，正方形的性质，正确地识别图形是解题的关键． 11．（25-26七年级上·浙江温州·期中）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为 ____（取1.4）． 【答案】 【分析】先依次将原七巧板里面的各个图形的边长求出来，然后根据构成“衣服型”图形的每个图形的边长计算其周长即可． 【详解】解：如图： ∵七巧板里面的各个三角形均为等腰直角三角形， ∴所有锐角都等于45°， ∵方格图中的小正方形边长为1， ∴， ∴， ； 如图，当七巧板拼成“衣服型”时， 则“衣服型”的周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面图形，求出七巧板里面各个图形的边长是解题关键． 12．（25-26七年级下·湖北黄冈·期末）用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片沿着直线剪成两部分,其中为的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的就是拼成的一个图形. 用这两部分纸片除了可以拼成图2中的外，还可以拼成一些四边形，请你试一试，把拼成的四边形分别画在图3、图4的虚框内． 【答案】 根据题意，可以拼成如下四边形： 【分析】本题主要考查了图形的剪拼，关键是找到相等的边即可进行拼接． 根据相等的边为与；，让相等的边重合，即可拼成等腰梯形和平行四边形． 【详解】略 易错题型五、有理数的概念 13．（25-26七年级上·江西赣州·期末）在，0，， ， ，中，有理数的个数有（    ） A．3个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，逐一判断每个数是否属于有理数即可． 【详解】解：∵是无限不循环小数，不是有理数； 0，， ， 都是有理数， 是无限不循环小数，不是有理数， ∴有理数有4个． 故选：D． 14．（25-26七年级上·湖北黄冈·阶段练习）一个数的亿位上是最小的质数，十万位上是最大的一位数，万位上是最小的合数，百位上是最小的奇数，其余各位都是0，则这个数写作 ______________． 【答案】200940100 【分析】本题考查的是有理数，熟知最小的合数是4，最小的质数是2是解题的关键．根据最大的一位数是9，最小的奇数是1，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0即可解答． 【详解】解：∵最小的质数是2，最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的奇数是1，其余各位都是0， ∴这个数是200940100． 故答案为：200940100． 15．（25-26七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ；；0；；；；2021；2.030030003；；；；． 正分数集合：{_____________…}； 有理数集合：{_____________…}； 非负整数典合：{_____________…}． 【答案】 解：正分数集合：{；2.030030003；；…}； 有理数集合：{；；0；；；2021；2.030030003；；；；…}； 非负整数集合：{0；2021；…}． 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类方式和相关概念． （1）根据正分数的定义进行分类即可； （2）根据有理数的定义进行分类即可； （3）根据非负整数的定义进行求解即可． 【详解】略 易错题型六、用数轴上的点表示有理数 16．（2026·河南信阳·模拟预测）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设点表示的数为， 由数轴可知，， 观察四个选项可知，只有选项B符合． 17．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，数轴上点表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上点表示数，解决此题的关键是熟练掌握数轴； 【详解】解：根据数轴表示的数可知点表示的数是， 故答案为：． 18．（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）在数轴上表示下列有理数，并把这些有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． ，，0， 【答案】数轴上表示有理数如下： 【分析】先求出绝对值，和相反数，再在数轴上表示出各个数，再比较即可． 【详解】解：，， 有理数按从小到大的顺序表示如下： ． 易错题型七、绝对值非负性 19．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据得出当时，式子存在最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，即当时，式子存在最小值，这个最小值是， 故选：A． 20．（2026七年级上·全国·专题练习）已知，则，，的值分别是______． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． 21．（25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）已知，求的值． 【答案】，，． 【分析】解：本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于，那么这几个非负数都等于，得到，，，解之即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，． 易错题型八、有理数大小比较 22．（2026·辽宁·模拟预测）下列各数中，比小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，，， ， ∴比小的数是． 23．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）大于且小于的负整数有________． 【答案】，，，， 【详解】解：大于且小于的负整数有，，，，． 24．（25-26七年级上·北京·期中）已知一组数：，，，， (1)画一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来； (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）：__________． 【答案】(1) 将各数在数轴上表示如下： (2) 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据数轴的定义解答即可； （2）根据数轴右边上的点表示数总比左边上的点表示的数大解答即可． 【详解】（1）略 （2）这些数按从小到大的顺序排列为， 故答案为：． 易错题型九、有理数幂的概念理解 25．（25-26七年级上·广西贵港·期中）计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，理解乘方和乘法的意义是解题关键．由乘法的意义可得n个2相加可表示为，由乘方意义可得m个5相乘表示为，即可获得答案． 【详解】解：∵ n个2相加等于， m个5相乘等于， ∴ 原式， 故选：D． 26．（2026七年级上·全国·专题练习）（1）在中，底数是___________，指数是___________； （2）在中，底数是___________，指数是___________，意义是___________． 【答案】 3 5 2 5的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．在中，a是底数，n是指数．利用乘方的意义即可得到结果． 【详解】解：（1）在中，底数是，指数是3； （2）在中，底数是，指数是2，意义是5的平方的相反数； 故答案为：，3；，2，5的平方的相反数． 27．（26-27七年级上·全国·随堂练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 【答案】(1)底数是，指数是5 (2)底数是，指数是6 (3)底数是m，指数是 【分析】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：， 其中底数是，指数是5； （2）解： 其中底数是，指数是6； （3）解：（个m）， 其中底数是m，指数是． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． 易错题型十、代数式的概念 28．（25-26七年级上·全国·单元复习）在式子、、、x、、中代数式的个数有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，代数式的定义：用简单的运算符号把数字或字母连接而成的式子．关键是区分好运算符号和其它数学符号． 代数式即用运算符号把数与字母连起来的式子，依据此意义求解． 【详解】解：由代数式的定义可得、、x、是代数式，而、是等式或不等式． 故选：C． 29．（2026七年级上·全国·专题练习）下列式子：，，，，，中，是代数式的有___________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了代数式的识别，掌握代数式的定义进行判定即可求解． 代数式：用基本的运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式，由此即可求解． 【详解】解：代数式有：， 其中是等式，不是代数式， ∴代数式有5个， 故答案为：5． 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式? （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（1）（4）（5）是代数式；（2）（3）（6）不是代数式 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式，由此进行判断即可． 【详解】解：（1）（4）（5）是代数式； （2）（3）（6）不是代数式． 【点睛】本题主要考查了代数式的概念，解题的关键在于能够熟练掌握代数式的概念． 易错题型十一、单项式的系数、次数 31．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段练习）单项式 的系数和次数分别是（　　） A． ，4 B．，3 C．，3 D．，4 【答案】B 【分析】明确是常数，不是字母，根据定义计算即可得到结果. 【详解】解：∵单项式中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数，是常数，不是字母， ∴的数字因数为，即系数是 ∵的指数为2，的指数为1 ∴单项式的次数为 因此该单项式的系数和次数分别是和3， 故选：B． 32．（25-26七年级上·河南安阳·期末）单项式的系数是______，次数是______． 【答案】 / 3 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，熟练掌握单项式的系数和次数的概念是解题的关键． 根据单项式的系数和次数的概念，即可求解． 【详解】解：单项式 ， 系数是 ，次数是次， 故答案为： ， 3． 33．（25-26七年级上·广东东莞·期中）若是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3，求a和b的值． 【答案】，或 【分析】本题主要考查单项式次数和系数的问题，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3， ∴， ∴ ∴或． 易错题型十二、多项式的项、项数或次数 34．（25-26七年级上·四川成都·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．的系数是 B．，，7是多项式的项 C．是二次二项式 D．单项式的系数是4，次数是7 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数、次数及多项式的项、次数的相关概念，掌握这些概念是解题关键，需逐一分析选项判断正误． 【详解】解：A、单项式的系数是，故选项错误； B、多项式的项是、、7，故选项错误； C、，它包含两项，最高次项的次数为2，是二次二项式，故选项正确； D、单项式的系数是，次数是，故选项错误． 故选：C． 35．（25-26七年级上·天津河西·期末）写出一个项数是3，次数是2的多项式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查多项式的概念，熟练掌握多项式的概念是解题的关键；根据多项式的项数和次数的定义，构造一个有三个项且最高次项次数为2的多项式即可． 【详解】解：由题意得：项数是3，次数是2的多项式可以为； 故答案为：（答案不唯一）． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列多项式的次数及常数项． (1)． (2)． 【答案】(1) ，； (2) ，． 【分析】本题考查了整式，熟练掌握“整式的次数由其构成中的最高次单项式决定，具体规则为：单项式次数是所有字母指数之和，多项式的次数是最高次项的次数”可以确定整式的次数，不含字母的项即为常数项是解题的关键； 根据“多项式的次数是最高次项的次数，不含字母的项即为常数项”即可确定. 【详解】（1）第一项次数为：； 第二项次数为； 第三项次数为； 第四项不含字母即为常数项； 次数是，常数项为. （2）第一项次数为：； 第二项次数为：； 第三项次数为：； 第四项次数为：； 第五项次数为：. 多项式中各项均含有字母，则常数项为. 易错题型十三、合并同类项 37．（25-26七年级上·广东河源·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式运算中的合并同类项法则与去括号法则，逐一计算各选项即可判断正确结果． 【详解】解：选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，A错误． 选项B：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，B错误． 选项C：∵去括号时，括号外的因数要乘括号内每一项， ∴，C错误． 选项D：∵，符合去括号法则， ∴D正确． 38．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）化简：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减运算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 39．（25-26七年级上·河南周口·期末）【阅读材料】 我们知道，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果为______； （2）已知，，求的值； 【拓展探索】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）23；（3）． 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减运算，掌握整体思想是解题的关键． （1）把看成一个整体，然后合并同类项即可； （2）首先将变形为，然后整体代入求解即可； （3）首先将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∵，， ∴原式； （3） ∵，，， ∴原式． 易错题型十四、求代数式的值 40．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知时，代数式的值为14，则时，代数式的值为（　　） A． B． C．12 D．7 【答案】A 【分析】将代入，得到a与b的关系式，再将代入并利用a与b的关系式求值即可． 【详解】解：当时，， 解得， 则当时， ． 41．（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）数学社团设计了一个“加密程序”，它输出的数 y 与输入的数 x 满足 ．若输入，则输出的数是 ______；若输入，则输出的数是 ______． 【答案】 10 5 【详解】解：当 时，； 当 时，． 42．（25-26七年级上·宁夏固原·期中）【阅读材料】已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用的方法如下： 由题意得，所以代数式的值为5． 【学以致用】 （1）若，则________； （2）若，求代数式的值； （3）若，求代数式的值． 【拓展延伸】 （4）若，，求代数式的值． 【答案】（1）4；（2）5；（3）4；（4）4 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键． （1）根据，代入计算即可得； （2）根据，代入计算即可得； （3）先求出，再根据，代入计算即可得； （4）根据，代入计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：4． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． （4）∵，， ∴ ． 易错题型十五、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 43．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）关于多项式下面说法正确的是（    ） A．多项式的次数是4次 B．这是个五次多项式 C．项分别是，， D．按的升幂排列 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的排列问题，多项式的项和次数的定义，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可判断A、B、C；把多项式按照x的次数从低到高排列即可判断D． 【详解】解：A、多项式的次数是5，原说法错误，不符合题意； B、多项式是五次多项式，原说法正确，符合题意； C、多项式的项分别是，，，，原说法错误，不符合题意； D、多项式按的升幂排列，原说法错误，不符合题意； 故选：B. 44．（25-26七年级上·上海崇明·期中）把整式按字母的升幂排列是________________________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按字母的升幂排列，即根据的指数从小到大的顺序排列各项． 【详解】解：整式中各项关于的指数分别为：中的指数为0，中的指数为1，中的指数为2，中的指数为4． 按字母的指数从小到大排列为． 故答案为：． 45．（25-26七年级上·全国·课堂例题）先阅读下列材料，然后解答问题． 材料一：将多项式按某个字母（如）的指数从大到小（或从小到大）依次排列，叫做这个多项式按这个字母（如）的降幂（或升幂）排列．如：把多项式按字母的降幂排列为． 材料二：多项式中含有项，项，常数项，按的降幂排列缺项，我们可以补入作为的二次项，使原式成为的形式，这样的做法叫做补入多项式的缺项． 解答下列问题： (1)把多项式按字母的升幂排列； (2)请补入多项式的缺项，并按的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y的指数从小到大的方式排列即可； （2）根据题意先补入多项式的缺项，再根据x的指数从大到小的方式排列即可． 【详解】（1）解：把多项式按字母的升幂排列为：； （2）由题意得：补入多项式的缺项后为， 再按的降幂排列为：． 【点睛】本题考查了多项式的排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按x还是y的降幂或升幂排列． 易错题型十六、含乘方的有理数混合运算 46．（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）对于有理数，定义一种新运算“”，规定，则（     ） A．77 B． C．63 D．13 【答案】A 【分析】根据新运算将数值代入计算即可． 【详解】解： ． 47．（26-27七年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图是一个运算程序，若输入x的值为，则输出的值为____________． 【答案】4 【分析】依据运算程序按顺序进行计算即可． 【详解】解：， ， 则输出的值为4． 48．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了多少天？    【答案】孩子已经出生了516天． 【分析】本题考查了有理数的混合运算．根据题意以及图形分析，根据满七进一求解是解题的关键． 【详解】解：绳结表示的数为 ， 答：孩子已经出生了516天． 易错题型十七、有理数四则混合运算 49．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入的值为2，则最后输出的结果是（    ） A．6 B．22 C．24 D．40 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握按照程序逐步计算的方法是解题的关键．按照计算程序，先将输入值代入计算，判断结果是否大于10，若不大于则将结果再次代入计算，直到结果大于10时输出． 【详解】解：第一次输入：，， 第二次输入：，， 故选： 50．（25-26七年级上·四川泸州·期中）新定义运算：对于任意有理数a、b，规定．例如：．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据新运算“”的定义，将和代入公式进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 51．（25-26七年级上·全国·期末）脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)80 (2)112 (3)45 (4)750 (5)75 (6)0.4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则运算顺序． （1）先计算乘除，再计算加法； （2）将除法化为乘法，并利用结合律求解； （3）利用交换律和结合律进行简便计算； （4）先将原式变形，再利用结合律进行乘法计算； （5）先将百分数和分数化为小数，再逆用乘法分配律计算； （6）先计算小括号内加法，再计算中括号内除法，最后计算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： （6）解： 易错题型十八、列代数式 52．（2026·湖南长沙·二模）某公司今年月份的利润为万元，月份比月份减少，则该公司2月份的利润（单位：万元）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵月份的利润为万元，月份比月份减少， ∴减少的利润为万元， ∴月份利润为万元． 53．（2026·海南三亚·模拟预测）妈妈让小明去市场买椰子，每个椰子单价为元，买了个椰子，小明身上还剩余元，用含的代数式表示小明一共带的钱数为__________元． 【答案】 【分析】先求出购买个椰子的总花费，再加上剩余的钱数，即可得到小明一共带的钱数． 【详解】解：每个椰子单价为元，购买个椰子的总花费为元， 小明剩余钱数为元， 一共带的钱数为总花费加剩余钱数， 可得代数式为. 54．（26-27七年级上·全国·课后作业）列出单项式，并指出它们的系数和次数． (1)某班的女生人数为，男生人数是女生人数的，则该班的男生人数为多少？ (2)某班学生按每行人、每列人排列座次且坐满，则该班的学生人数为多少？ 【答案】(1)男生人数为，它的系数是，次数是1． (2)该班的学生人数为，它的系数是1，次数是2． 【分析】先根据题意列出单项式，再根据“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”，指出这个单项式的系数和次数即可． 【详解】（1）略 （2）略 易错题型十九、去括号、添括号计算题 55．（26-27七年级上·北京西城·阶段检测）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项，系数相加减，字母不变样； （2）合并同类项，系数相加减，字母不变样． 【详解】（1）解： （2）解： 56．（26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 57．（26-27七年级上·全国·随堂练习）按要求把多项式添上括号． (1)把后三项括到前面带有“-”号的括号里； (2)把四次项括到前面带有“+”号的括号里，把二次项括到前面带有“-”号的括号里． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是去括号与添括号，熟知添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号是解题的关键．根据添括号的法则进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 易错题型二十、整式加减中的无关型问题 58．（25-26七年级上·广西贵港·期末）若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】代数式的值与某个字母的取值无关，说明该字母对应所有项的系数为0，据此即可求出m的值． 【详解】解：∵式子的值与的取值无关， ∴， ∴． 59．（25-26七年级上·河北·单元复习）多项式的值与字母x的取值无关，则的值是_______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了合并同类项，求代数式的值，正确列出代数式是解题的关键． 将合并同类项得出，然后根据多项式的值与字母的取值无关，得出，，求出，，代入求出结果即可． 【详解】解： ， 多项式的值与字母的取值无关， ，， ，， ， 故答案为：7． 60．（25-26七年级上·广东茂名·期末）已知，． (1)求； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的加减运算以及代数式与字母取值无关的问题．关键是去括号、合并同类项法则计算整式的和以及理解“与的取值无关”的含义，即含的项的系数为0，据此建立方程求解． （1）先根据的表达式求出，再将其与相加，通过去括号、合并同类项得到最简整式； （2）将（1）的结果整理为关于的一次式，令含的项的系数为0，解方程得到的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． 压轴题型一、数字、图形类规律探索 1．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）有一列数，第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的倒数的差”，即，，，…． (1)请分别计算，，，的值； (2)根据这列数的规律，直接写出 ； (3)计算的值． 【答案】(1)，，，； (2) (3)． 【分析】（1）把代入递推关系，计算即可； （2）由（1）可得循环规律，即可得； （3）根据循环规律计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，． （2）解：由（1）可得，这列数是以，，这个数为一个循环节循环出现的， ∴， ∴． （3）解： ． 2．（25-26七年级上·山西长治·期末）鞋号表明了鞋子的大小，我国发布的新鞋号标准对应于旧鞋号标准，其中部分鞋号的对应关系如下表： 旧鞋号 34 35 36 37 …… a 新鞋号 220 225 230 235 …… 270 (1)直接写出a的值： ； (2)若新鞋号为m，旧鞋号为n，写出把旧鞋号转换为新鞋号的公式． 【答案】(1)44 (2) 【分析】（1）根据表格数据观察得出规律求解，即可解题； （2）根据数据规律，写出的关系式即可； 【详解】（1）解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加1号，对应新鞋号增加5号， ， 即的值为44； （2）解：由题意可知，， 即． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图是一位同学用围棋棋子按照某种规律摆出的“大”字，第1个“大”字中有7颗围棋子，第2个“大”字中有11颗围棋子，第3个“大”字中有15颗围棋子，……，按照这样的规律摆下去． (1)第5个“大”字中有________颗围棋子； (2)用含n的代数式表示出第n个“大”字中围棋子的数量，并求出第100个“大”字中有多少颗围棋子？ (3)若第n个“大”字中有2027颗围棋子，求n的值． 【答案】(1) (2)颗，颗 (3) 【分析】本题考查图形数字类规律，熟练找准规律是解题的关键． （1）根据题意得到，后一个图形比前一个图形多颗围棋子，据此计算即可； （2）由（1）可得规律，第n个“大”字中有颗围棋子，令进行计算求解即可； （3）令，求解计算即可． 【详解】（1）解：由图形可知， 第1个“大”字中有颗围棋子， 第2个“大”字中有颗围棋子， 第3个“大”字中有颗围棋子， 则第5个“大”字中围棋子的数量为：颗， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 第n个“大”字中围棋子的数量为：颗， 第100个“大”字中围棋子的数量为：（颗）， 答：第n个“大”字中围棋子的数量为颗，第100个“大”字中有颗围棋子； （3）解：令， 解得， 答；n的值为． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察如图所示的几何体，回答下列问题： (1)填写表格： 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 图② 四棱柱 图③ 六棱柱 (2)根据（1）中的结果，猜想棱柱的侧面数、侧棱数、顶点数与棱柱的底面边数之间的关系． (3)根据（2）中的猜想，直接写出二十棱柱的侧面数、侧棱数和顶点数． 【答案】(1) 解：填表如下： 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 3 3 3 6 图② 四棱柱 4 4 4 8 图③ 六棱柱 6 6 6 12 (2)棱柱的侧面数=棱柱的底面边数，棱柱的侧棱数=棱柱的底面边数，棱柱的顶点数=棱柱的底面边数×2； (3)20，20，40． 【分析】本题考查了多面体尤其是棱柱的基本概念和属性，包括底面边数、侧面数、侧棱数及顶点数之间的关系，以及通过观察具体实例归纳一般规律的能力．解题的关键在于准确识别和计算给定几何体的各项数值，进而发现并应用棱柱的底面边数与侧面数、侧棱数、顶点数之间的固定关系，即棱柱的侧面数和侧棱数均等于其底面边数，而顶点数则是底面边数的两倍． （1）通过观察几何体的特征来确定各项数值； （2）根据（1）的结果找规律； （3）利用（2）得出的规律计算． 【详解】（1）略 （2）棱柱的侧面数=棱柱的底面边数，棱柱的侧棱数=棱柱的底面边数，棱柱的顶点数=棱柱的底面边数 （3）二十棱柱的侧面数是20、侧棱数是20、顶点数是40． 5．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图所示的①，②，③，④四个图形是平面图形．本题我们探索各图形顶点、边、区域三者之间的数量关系．例如，我们规定图形①的顶点数为4(顶点为，，，)，边数为5(像，为其中的两条边，但不能再算一条边，边与边不能重叠)，区域数为2(它们是两个相互独立，不重叠的小三角形区域)． (1)数一数，每一个图形各有多少个顶点？多少条边？这些边围出了多少个区域？将结果填入下表(图形①已填好)． 图形标号 顶点数 边数 区域数 ① 4 5 2 ② 5 ___________ 3 ③ ___________ 9 4 ④ 7 ___________ 6 (2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间有什么关系？ (3)现已知某一个平面图形的顶点数是2025，区域数比顶点数多1，请你利用（2）发现的结论，确定这个图形的边数是多少？ 【答案】(1)②7，③6，④12 (2) (3)4050 【分析】本题主要考查了平面图形，图形变化的规律， 对于（1），分别数出顶点数，边数，区域数即可； 对于（2），根据顶点数加上区域数等于边数加上1解答； 对于（3），根据题意，再结合（2）规律可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 图形标号 顶点数 边数 区域数 ① 4 5 2 ② 5 7 3 ③ 6 9 4 ④ 7 12 6 故答案为：7，6，12； （2）解：由（1）中的规律可得，； （3）解：，区域数比顶点数多1， ． ， ． 压轴题型二、几何体中的点、棱、面综合问题 1．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）一个正棱柱，它有条棱，一条侧棱长为，一条底面边长为． (1)该棱柱是 棱柱，它有 个面、 个顶点． (2)求棱柱的侧面积是多少？ 【答案】(1)四，，； (2)棱柱的侧面积是． 【分析】（）根据正棱柱的特点直接进行求解即可； （）根据侧面积底面周长高进行求解即可； 本题主要考查了几何体的认识和几何体的表面积，熟练掌握棱柱的特点及侧面积的求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由正棱柱有条棱可知， 所以当有条棱时，，即为正四棱柱， 因此正四棱柱有个面，个顶点， 故答案为：四，，； （2）由（）得为正四棱柱，则侧面积为， 答：棱柱的侧面积是． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图所示的五棱柱的底面周长是，侧棱长，它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】个面；． 【分析】本题考查了几何体及其侧面积，根据五棱柱的概念和侧面展开图是一个长方形即可解答，掌握五棱柱的侧面展开图是一个长方形是解题的关键． 【详解】解：五棱柱有个侧面，上下个面，一共个面； ∵五棱柱的侧面展开图是一个长为，宽为的长方形， ∴它的所有侧面的面积之和是． 3．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图是一个圆柱纵向切开后的图形， (1)图中有几个面？有几个平面和曲面？ (2)图中有几条线，他们是直线还是曲线？ (3)图中线与线之间一共有多少交点？ 【答案】(1)图中有个面，有个平面，个曲面 (2)图中有条线，它们是条直线，条曲线 (3)图中线与线之间一共有个交点 【分析】本题主要考查了几何体中的点、棱、面，熟练掌握几何体的定义和基本特征是解题的关键． （1）根据平面和曲面的定义即可求解； （2）根据直线和曲线的定义即可求解； （3）找到图中线与线之间的交点个数即可求解． 【详解】（1）解：根据平面和曲面的定义可以看出： 图中有个面，有个平面，个曲面， 答：图中有个面，有个平面，个曲面； （2）解：根据直线和曲线的定义可以看出： 图中有条线，它们是条直线，条曲线， 答：图中有条线，它们是条直线，条曲线； （3）解：从图中可以看出： 图中线与线之间一共有个交点， 答：图中线与线之间一共有个交点． 4．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列多面体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 图形                顶点数a 6 _____ 10 _______ ______ 棱数b 9 12 _______ _______ 3n 面数c 5 ______ ______ 8 ______ 【答案】 填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 n棱柱 图形                  顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 【分析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出答案． 【详解】略 【点睛】此题通过研究几个棱柱中顶点数、棱数、面数的关系探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式），掌握常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 5．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 【答案】(1)①八，6，12；②4.5 (2)21，50 (3)正四面体 【分析】（1）①根据图形可数出该正多面体的面数，顶点数和棱数；②先求出正方体的体积，然后根据该正多面体的体积与原正方体体积的比为求解即可； （2）根据第1层需要4个，第2层需要8个，第3层需要9个即可求出所需的小正方体的个数，然后即可求出表面积； （3）直接根据图形解答即可． 【详解】（1）解：①由图可知，它是正八面体，有6个顶点，12条棱； ②． 故答案为：①八，6，12；②4.5； （2）解：至少需要个， 表面积最小是． 故答案为：21，50； （3）解：由图可知，周围有3个空缺的面，与上面小正四面体还有1个相邻的面，所以该柏拉图体的名称是正四面体． 故答案为：正四面体． 【点睛】本题考查了新定义，正方体的体积，正方体的表面积，以及学生的空间想象能力，正确理解柏拉图体的定义是解答本题的关键． 压轴题型三、绝对值的几何意义综合 1．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）河北某交警每天都开车在南北走向的鼓楼大街上巡逻，假定从出发点开始，向南为正，向北为负，他这天下午巡逻记录里程如下（单位：）： ，，，，，，． (1)这位交警在第几个路段行车里程最远？为多少千米？ (2)若汽车耗油量为，这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)最后一个路段， (2)升 【分析】（1）先利用绝对值求出每段路的行车里程，再比较大小，即可求解； （2）计算出每段路的行车里程和每千米的耗油量，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ，，，，，，， ， 最后一个路段行车里程最远为． （2）解：由题意得 （）； 答：这天下午汽车共耗油升. 【点睛】本题考查了绝对值的实际应用，理解绝对值的定义是解题的关键． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）先比较下列各式的大小，再回答问题． (1)_____； (2)______； (3)_______； (4)再举出一些类似的比较大小的算式，归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了绝对值的意义，比较有理数的大小，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （2）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （3）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （4）根据前面的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：，， ∴； （3）解：，， ∴； （4）解：例如，，故， 故当a，b为有理数时，与的大小关系为． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）探索研究： (1)比较下列各式的大小；（用“”“”或“”） ①________； ②________； ③________； ④________． (2)通过以上比较，请你分析、归纳出当，为有理数时，与的大小关系；（直接写出结论即可） (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是________；若，，求的值． 【答案】(1)①，②，③，④ (2) (3)； 【分析】本题考查了绝对值的知识，有理数的加减运算； （1）先分别计算再比较大小即可； （2）根据提供的关系式得到规律即可； （3）①根据提供的关系式得到规律即可； ②根据（1）中的结论分当为正数，为负数时和当为负数，为正数时两种情况分类讨论即可确定答案． 【详解】（1）解：①，； 故答案为：． ②，； 故答案为：． ③，； 故答案为：． ④，． 故答案为：． （2）当与同号或、中至少有一个为，则． 当与异号，则． （3）， ． 与同号或． ． 故答案为：． ， 异号， ∴当，时，， 当，时，，即 综上所述， 4．（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）阅读理解：，它在数轴上的意义可以理解为：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离； ，它在数轴上的意义可以理解为：表示6的点与3的点之间的距离为3； 类似的，它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离． 归纳：它在数轴上的意义表示______的点与_______的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示_____的点与_____的点之间的距离为1，所以a的值为__________． 【答案】阅读理解：、、画图见详解；归纳：、；应用：、、或 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用，一个数的绝对值就是这个数对应的点到原点的距离．根据题目的阅读理解，直接得出结果． 【详解】阅读理解：类似的，它在数轴上的意义表示的点与表示的点之间的距离是9，并在下面数轴上标出这两个数，画出它们之间的距离： 归纳：它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离． 应用：，它在数轴上的意义表示的点与的点之间的距离为1， ， 或， a的值为或． 5．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们常常会运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知是有理数，当取不同数时，式子的值也会发生变化，直接写出式子的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，理解题意，熟练掌握绝对值的几何意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可得解； （2）的几何意义是在数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为，由此即可得解； （3）的几何意义是在数轴上表示数的点与表示数和的点之间的距离之和，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：在数轴上与原点距离为的点对应的数为，即； （2）解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为． 在数轴上与表示数的点的距离为的点对应的数为，，即或； （3）解：，故的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数和的点之间的距离之和， 故当在和之间（包括端点）时，距离和最小，最小值为， 即的最小值为． 压轴题型四、整式加减的应用 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b．若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 【答案】(1)能，理由：根据题意得原数为，调换后的新数为． 因为新数与原数的和为， 所以新数与原数的和能被11整除． (2)这个差会被9整除，理由：新数与原数的差为， 所以这个差会被9整除． 【分析】（1）根据题意表示出新数与原数，求出之和，即可作出判断； （2）求出新数与原数的差，即可作出判断． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （2）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合平方数的非负性判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （3）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·宁夏银川·一模）下面是小颖同学数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们大开眼界……‘代’的方法用途很广．它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．“例如，很多具有特殊结构的正整数中蕴含着有趣的规律，这些数及其蕴含的规律都可以用代数的方法表示．半和数：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数．例如三位正整数234中，所以234是“半和数”；又如369中，所以369也是“半和数”. (1)已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是____________；若它的百位数字为，个位数字为0，则十位数字为____________，这个数为____________（用含的代数式表示） (2)设一个“半和数”的百位数字为，十位数字为，，，，均为整数），个位数字为，则，，的关系式为____________． (3)小颖发现任意一个“半和数”的个位数字（个位数字不为0）和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) 解：该结论正确，理由如下： 设原“半和数”百位数字为，个位数字为，则十位数字为， ∴原“半和数”为， 新“半和数” 两数之和为， ∵，且都是整数， ∴， 即结果都是111的倍数． 【分析】（1）根据给出定义求解； （2）根据给出定义列代数式； （3）根据给出定义假设出“半和数”，然后表示出两个数以及它们的和，可得结论． 【详解】（1）解：根据定义得，十位数字为， ∴这个数是； 十位数字为， ∴这个数是； （2）解：根据题意得； （3）略 4．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【知识发现】 聪明的小丁和小颖玩神奇的“读心术”游戏： 小丁请小颖在心里想一个任意一个数字，将这个数字先乘以2，再加3，然后乘以5，最后把得到的数减去15，小丁立即猜出小颖心里想的数． 其实运用我们所学的知识就可以解密： 设原数是，可以列代数式：，再除以10就可以知道原数是多少． 【知识应用】 (1)从这9个数字中任意选择三个不同的数字，由这三个数字组成6个不同的两位数（个位数字与十位数字不重复），把这6个两位数相加，然后用所得的和除以这三个数字的和，结果是多少？请用所学的知识解释 【知识拓展】 (2)任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字．在上面每次相乘的过程中，若积大于9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于9，则继续相加直到得出一位数．重复这个过程……你得到了什么结果？ 【答案】(1)22 (2)结果稳定在某一个数上，或者在某几个数之间循环 【分析】（1）设这三个数分别为、、，得到6个不同的两位数，再利用整式的加减运算求和即可得解； （2）任意写下一个三位数，按题中条件作变换，观察结果即可得到规律． 【详解】（1）解：设这三个数分别为、、， 6个不同的两位数分别为，，，，，， ， 所得的和除以这三个数字的和， 即这6个两位数相加所得的和除以这三个数字的和，结果是； （2）解：任写一个三位数，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；…… 任写一个三位数，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；对于，按题中条件作一次变换，得到；…… 观察发现，结果稳定在某一个数上，或者在某几个数之间循环． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某学校数学俱乐部组织了“数字变化引擎”设计大赛．引擎的核心是一个运算程序：输入一个数，按一定的运算规则进行运算后，输出结果． 【理解与思考】 (1)理解“循环—判断” 小福设计的“数字变化引擎”程序如下： 规定：程序每运行到“”为一次运行． ①若输入，则输出的值为________； ②若该程序第一次运行后就直接输出值，则可以为________（写出一个满足条件的整数）． 【迁移与应用】 (2)利用“循环—判断”进行程序设计 在进一步探究中，小田发现“循环—判断”可以使程序重复执行一段运算，直到满足指定条件为止．于是他设计了一个运算程序，该程序输入一个任意的两位数，输出结果为一个定值．程序流程如图： ①若输入的两位数是23，请根据小田设计的运算程序，写出输出结果和找到结果的过程． ②若输入的两位数十位数字用表示，个位数字用表示，试结合代数式解释：任意输入一个两位数，该运算程序的结果总是固定的值． 【答案】(1)①16；②6 (2)①输出的结果为6．过程如下： 23的十位数字为2，个位数字为3，第一次运算后得到 ， 因为12不是个位数，所以重复操作； 12的十位数字为1，个位数字为2，第二次运算后得到 ， 因为6是个位数，所以输出结果为6； ②因为十位数字为a，个位数字为b， 所以，，． 当时，为个位数，输出为定值6， 当时，为6的倍数，即每一次运行都能得到结果为6的倍数， 又因为只有个位数时才输出结果， 所以最后输出的结果为定值6． 【分析】（1）①将代入程序计算结果，再将代入程序可得答案；②根据程序得出不等式，求出解集可得答案； （2）①根据程序要求计算，再次计算可得答案；②根据程序要求说明即可． 【详解】（1）解：①当时，； 当时，， 所以输出的； ②根据题意，得， 解得， 所以的值可以为6（答案不唯一）； （2）①略 ②略 压轴题型五、数轴的动点问题 1．（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 2．（26-27七年级上·山东聊城·阶段检测）已知点M、N在数轴上表示的有理数分别是m、n，而式子的几何意义是数轴上表示有理数m的点与表示5的点之间的距离．再进一步，式子的几何意义是数轴上表示有理数n的点与表示1、4的两点之间的距离的和． (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是______； ______；______；（直接写出最终结果）； (2)根据题干的思路，若，则______； (3)若x为数轴上某动点表示的数，是否有最小值，若有，直接写出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)7；6；2 (2)9或 (3)有最小值，最小值为4 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离以及绝对值的意义求解即可； （2）利用绝对值的几何意义，即数轴上两点间的距离，求出的值． （3）表示数轴上的数x到数，3之间的距离之和，当x在，3之间时，有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和的两点之间的距离是； ； ； （2）解：因为，根据绝对值的几何意义，数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为6， 所以或， 当时，； 当时，． 故的值为9或； （3）解：有最小值为4；理由如下： 表示数轴上的数x到数，3之间的距离之和， ∴当x在，3之间时，有最小值， 最小值为数，3之间的距离，即：． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知、、是数轴上从左往右的三个点，它们表示的数分别是、、，其中原点位于、两点之间，点到点的距离小于点到点的距离． (1)填空： 0， 0， 0；（填“”、“”或“”） (2)若，且点到点的距离等于点到点的距离． ①当时，求的值； ②当时，是数轴上之间的一个动点，设点表示的数为，当点在运动过程中，化简：． 【答案】(1)，， (2)①；② 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，绝对值，数轴上两点之间的距离，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）由数轴可知，，，，进而判断式子正负即可； （2）①结合数轴可知，，再结合数轴上两点之间的距离公式求解即可； ②同①求出，，进而得到，再根据绝对值的性质去绝对值符号化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， ，，， 故答案为：，，； （2）解：①由数轴可知，，，， ，， ，， 点到点的距离等于点到点的距离 ， ； ②由①可知，， ， ， 点到点的距离等于点到点的距离， ， ， 是数轴上之间的一个动点，设点表示的数为， ， ． 4．（25-26七年级上·山西晋中·期末）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示：如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为． (1)，两点之间的距离为___________；与，两点距离相等的点对应的数为___________； (2)现有动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一动点恰好从点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．经过秒， ①若点、点在数轴上的点处相遇，请你求出点对应的数是多少． ②经过秒，动点所表示的数为___________，动点所表示的数为___________，___________秒后动点与动点相距个单位长度． 【答案】(1)， (2)①点对应的数是；②，，或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，以及数轴上两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用数轴上两点间的距离公式可求出，两点之间的距离，根据中点的距离公式求出点对应的数； （2）①由题意得，，当点、点在数轴上的点处相遇时，，据此列方程求解即可；②当运动时间为秒时，，，动点所表示的数为，动点所表示的数为，则，可列出关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：点对应的数为，点对应的数为， ，与，两点距离相等的点对应的数为， 故答案为：，； （2）解：①由题意得，， 当点、点在数轴上的点处相遇时，， 即， 解得， ， 点对应的数是； ②由题意得，， 点对应的数为，点对应的数为， 动点所表示的数为，动点所表示的数为， ， ， 解得或， 即秒或秒后动点与动点相距个单位长度， 故答案为：，，或． 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （1）点、表示的数分别为、，若与互为倒数，与互为相反数．则、两点之间的距离为_________；线段的中点表示的数为_________． 【拓展迁移】 （2）在（1）的条件下，动点从点出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是_________（用含的代数式表示）； ②线段、的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12，1；（2）①；②存在，，定值为18 【分析】本题考查列代数式，整式加减中的无关型问题，有理数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式，中点公式，是解题的关键： （1）根据倒数和相反数的定义求出，根据两点间的距离公式，中点公式，进行求解即可； （2）①表示出点表示的数，中点公式列出代数式即可； ②根据两点间的距离公式表示出，根据，得到的值与无关，进而得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意，， ∴，线段的中点表示的数为； （2）①由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示的数为； ②存在， 当点在点左侧时，点在点的左侧， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴， ∴， ∴． 压轴题型六、有理数四则混合运算的实际应用 1．（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某市出租车收费标准： 千米以内（含千米）起步价元； 超过千米的部分，每千米收费元； 不足千米按千米计算． 李叔叔打车一共付了元，他最多乘坐了多少千米？ 【答案】 李叔叔最多乘坐了千米. 【分析】先判断乘车路程超过千米的起步里程，再计算超出起步价的费用，除以超出部分每千米元的单价，得到超出的最大计费里程，结合不足千米按千米计算的规则，加上起步里程得到结果． 【详解】解： 由题意得，千米以内（含千米）收费元，超过千米的部分每千米收费元，不足千米按千米计算． ∵ ， ∴ 乘坐路程超过千米 ， 超出起步价的费用：（元） ， 超出千米的最大计费路程：（千米）． ∵ 不足千米按千米计算 ， ∴ 实际超出路程最多为千米 ， 总最大路程：（千米）． 答：他最多乘坐了千米． 2．（26-27七年级上·全国·单元复习）我国海军航空特技飞行队应邀在某风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下（上升记为正，下降记为负）：，，，，． (1)此时这架飞机比起飞点高了还是低了？高了或低了多少千米？ (2)如果飞机平均上升1km需消耗4L燃油，平均下降1km需消耗2L燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)此时这架飞机比起飞点高了，高了1km (2)一共消耗37L燃油 【分析】（1）把飞机起飞后的高度变化求和，根据计算结果进行解答即可； （2）分别求出飞机上升消耗的燃油和飞机下降消耗的燃油，求和即可得到答案． 【详解】（1）解：． 因为上升记为正，下降记为负， 所以此时这架飞机比起飞点高了，高了1km． （2）解：飞机上升消耗的燃油为． 飞机下降消耗的燃油为． ， 所以这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗37L燃油． 3．（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）李叔叔家原来有一块边长12米的正方形菜地，今年他将这块菜地进行了扩建（如图中的涂色部分）． (1)原来这块菜地的面积是多少平方米？ (2)李叔叔今年扩建了多少平方米的菜地？ 【答案】(1)原来这块菜地的面积是平方米 (2)李叔叔今年扩建了平方米的菜地 【详解】（1）解：（平方米）， 答：原来这块菜地的面积是平方米； （2）解：， ， ， （平方米）． 答：李叔叔今年扩建了平方米的菜地． 4．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）体育是教育的重要组成部分，也包括塑造品格、养成精神．某校为积极响应国家的号召，扎实有效地开展了多项体育运动．本学期七年级学生在体育老师的组织下开展了一次定点投篮比赛，下表为七年级某班50人参加定点投篮比赛的情况记录，已知标准数量为每人三分钟定点投篮投中25个． 三分钟定点投篮投中个数与标准数量的差/个 0 人数 7 12 8 8 10 5 (1)该班三分钟定点投篮投中个数最多与个数最少的差值为_____个； (2)该班平均每人三分钟定点投篮投中多少个？ (3)若规定三分钟定点投篮投中个数达到标准数量记0分，超过标准数量，每多投1个加2分，每少投1个扣1分，求该班三分钟定点投篮总共获得多少分？ 【答案】(1) (2) 个 (3) 分 【分析】（1）利用投中个数与标准数差的最大值和最小值计算差值； （2）通过总偏差结合标准数与总人数计算平均投中数； （3）分别计算总加分与总扣分，求和得到总得分． 【详解】（1）解：∵投中个数与标准数量的差的最大值为，最小值为， ∴最多与最少的投中个数差值为（个）． （2）解：计算总偏差：（个）， 平均偏差为（个）， ∴平均每人投中个数为（个）， 答：该班平均每人三分钟定点投篮投中个． （3）解：低于标准的总扣分数：（分）， 高于标准的总加分数：（分）， ∴总得分：（分）， 答：该班三分钟定点投篮总共获得分． 5．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）小海骑变速自行车上坡时，拨一下变速器，脚蹬会变轻；想骑快时再拨一下，后轮转速就会提升，这是如何实现的？ 秘密藏在自行车的齿轮组里：如图，前后两个齿轮通过链条连接，前侧连接脚蹬的齿轮组是牙盘（动力轮），后侧连接后轮轴心的齿轮组是飞轮（从动轮），自行车后轮转速与后飞轮一致．齿轮—链条啮合的传动原理与齿轮直接啮合一致（链条改变了飞轮转动方向），通过前（后）拨器切换链条卡在牙盘/飞轮的不同齿轮上，即可改变后轮转速，相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力． 小海观察自己的变速自行车，发现后飞轮有四层不同齿数的齿轮，由外到内的齿数分别为30（1档）、24（2档）、20（3档）、16齿（4档），前牙盘最外层有36齿． (1)小海在小区平路骑行时，将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度_______小海蹬车速度（填“大于”“小于”），如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为_______圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为_______． (2)已知自行车后轮直径为，在一段上坡路上，小海将飞轮拨至24齿（牙盘36齿），车后轮转了150圈，这段坡路有多少米？（结果保留） (3)在（2）的条件下，小海认为此段坡路骑起来还是费力，于是保留后飞轮24齿，将前牙盘拨到另一齿轮档位，保持40圈/分钟的蹬车速度，他想用不超过5分钟骑完该坡路，并希望尽可能省力，请问他应该把前牙盘调到多少齿？（  ） A．15齿    B．18齿    C．20齿    D．24齿 【答案】(1)大于，，； (2)这段坡路有米； (3)B 【分析】（1）由题意可知，飞轮的齿轮齿数比前牙盘的齿轮齿数少，速度更大；再根据蹬车速度和齿数求解即可； （2）根据圆的周长计算即可； （3）结合（2）条件可得若用不超过5分钟骑完该坡路，则前牙盘需不小于齿，再结合相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力，即可得解． 【详解】（1）解：将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度大于小海蹬车速度， 如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为； （2）解：， 答：这段坡路有米； （3）解：由（2）可知，车后轮转了150圈， 若5分钟骑完该坡路，则后轮保持圈/分钟， 则前牙盘齿数为（齿）， 若用不超过5分钟骑完该坡路，则前牙盘需不小于齿， 又因为相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力， 所以他应该把前牙盘调到18齿． $