2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中考试练习卷

期中考试2026-2027学年北师大九年级数学上册 一．选择题（共10小题） 1．若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 2．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 5．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 6．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　） A． B． C． D． 8．函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 10．如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．2 二．填空题（共6小题） 11．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝_____ ． 12．如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于 _______ 米． 13．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝_________________ ． 14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝___________________ ． 15．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为________________ 米． 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为___________________ ． 三．解答题（共11小题） 17．用适当的方法解下列一元二次方程． （1）3x2+2x﹣5＝0； （2）2x+6＝（x+3）2； （3）x2﹣4x+1＝0； （4）3x（x﹣1）＝2﹣2x． 18．先化简，再从﹣2，﹣1，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 19．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形． （1）直接写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC相似比为2：1； （3）△A2B2C2与△ABC面积比为________ ． 20．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG＝AF•AB． 21．数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是__________________ ； （2）小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 22．小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：t≤10，B：10＜t＜20，C：20≤t＜30，D：t≥30），根据图中信息，解答下列问题： （1）这项被调查的总人数是多少人？ （2）补全条形统计图； （3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率． 23．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？ 24．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm． （1）求证：△AEH∽△ABC； （2）求这个正方形的边长与面积． 25．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 26．【模型建立】 （1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，D是BC边上的一点，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接CE．用等式直接写出线段CD，BD，AD的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°．用等式直接写出线段EF，BE，CF的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在△ABC中，∠CAB为直角，∠ABC＝45°，平面内存在一点D，使CD⊥BD．若，且CD＝2，求△ABC的面积． 27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的表达式； （2）二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D．若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值； （3）点P、点Q分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以P、Q、A、B四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 期中考试2026-2027学年北师大九年级数学上册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】根据合分比性质求解． 【解答】解：∵， ∴． 故选：D． 【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质． 2．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等， 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，根据已知即可求出答案． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3，， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例． 4．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【分析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直． 【解答】解：A、不正确，两组对边分别平行； B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确； C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质； D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质． 故选：D． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解． 5．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【解答】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30﹣2x）（20﹣x）＝468． 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 6．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝55， 整理，得：x2﹣x﹣110＝0， 解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到，借助相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3， ∴BE：EC＝1：3； ∴BE：BC＝1：4； ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△AOC， ∴， ∴S△DOE：S△AOC， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答． 8．函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一直角坐标系内的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【解答】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上， 一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A、D不正确； 由B、C中二次函数的图象可知，对称轴为直线x0，且a＞0，则b＜0， 但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b﹣a＞c， 故②正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0， 故③正确； ④∵x1， ∴b＝﹣2a， ∵a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0， 3a＜﹣c， 故④不正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b）， 故⑤正确． 故②③⑤正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 10．如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．2 【分析】连接AE，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，AE＝2，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB， 由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x， ∵AE＝2， ∴x2+（2x）2＝（2）2， 解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃）， ∴OA＝OD＝4， ∴AB＝AD＝4， 故选：A． 【点评】本题考查动点问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型． 二．填空题（共6小题） 11．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝　8　 ． 【分析】根据m+n2，m•n＝﹣5，即可解题． 【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根， ∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2， ∵m2+2m﹣5＝0 ∴m2＝5﹣2m m2﹣mn+3m+n＝（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n ＝10+m+n ＝10﹣2 ＝8 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键． 12．如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于 　10　 米． 【分析】作DH⊥AB于H，如图，易得四边形BCDH为矩形，则DH＝BC＝8m，CD＝BH＝2m，利用平行投影得到∠ADH＝45°，则可判断△ADH为等腰直角三角形，所以AH＝DH＝8m，然后计算AH+BH即可． 【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，则DH＝BC＝8m，CD＝BH＝2m， 根据题意得∠ADH＝45°， 所以△ADH为等腰直角三角形， 所以AH＝DH＝8m， 所以AB＝AH+BH＝8m+2m＝10m． 故答案为10m． 【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 13．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝　3　 ． 【分析】证AD＝CD＝BC，再证△BCD∽△BAC，得BC：AB＝BD：BC，则AD：AB＝BD：AD，得点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，求出ADAB1，即可求解． 【解答】解：∵AB＝AC＝2， ∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝36°， ∴∠A＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°， ∴∠CDB＝∠B， ∴BC＝CD， ∴BC＝AD， ∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°， ∴△BCD∽△BAC， ∴BC：AB＝BD：BC， ∴AD：AB＝BD：AD， ∴点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD， ∴ADAB1， ∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（1）＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了黄金分割、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握黄金分割，证明△BCD∽△BAC是解题的关键． 14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝　　 ． 【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB＝ODBD＝3，OA＝OCAC＝4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC＝5，然后利用面积法计算OE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OB＝ODBD＝3，OA＝OCAC＝4， 在Rt△OBC中，∵OB＝3，OC＝4， ∴BC5， ∵OE⊥BC， ∴OE•BCOB•OC， ∴OE． 故答案为． 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式． 15．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为　2　 米． 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【解答】解：如图， 建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0）， 到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2， 当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出： ﹣1＝﹣0.5x2+2， 解得：x＝±， 所以水面宽度增加到2米， 故答案为：2米． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　　 ． 【分析】连接AD，由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【解答】解：连接AD， ∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4， ∴BC5， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD， ∴AD， ∴MN的最小值为； 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三．解答题（共11小题） 17．用适当的方法解下列一元二次方程． （1）3x2+2x﹣5＝0； （2）2x+6＝（x+3）2； （3）x2﹣4x+1＝0； （4）3x（x﹣1）＝2﹣2x． 【分析】（1）直接利用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）3x2+2x﹣5＝0， ∵a＝3，b＝2，c＝﹣5， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣5）＝64＞0， ∴， 解得x1＝1，； （2）2x+6＝（x+3）2， （x+3）2﹣2（x+3）＝0， （x+3）（x+1）＝0， x+3＝0或x+1＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣1； （3）x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝﹣1+4， （x﹣2）2＝3， ， 解得，； （4）3x（x﹣1）＝2﹣2x， 3x（x﹣1）﹣（2﹣2x）＝0， 3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x+2）＝0， x﹣1＝0或3x+2＝0， 解得x1＝1，． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，公式法和配方法是解题的关键． 18．先化简，再从﹣2，﹣1，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，选取合适的x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式 ， ∵当x＝﹣2，1，2时，分式无意义， ∴取x＝﹣1， 当x＝﹣1时，原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值．熟练掌握运算法则是关键． 19．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形． （1）直接写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC相似比为2：1； （3）△A2B2C2与△ABC面积比为　4：1　 ． 【分析】（1）连接对应点并延长，交点就是点P，写出坐标即可得到答案； （2）连接点O与△ABC的三个顶点并反向延长，使，连接三个顶点即可得到△A2B2C2； （3）利用相似三角形的性质求解． 【解答】解：（1）如图，连接A1A，B1B，C1C并延长交于点P， ∴点P的坐标为（0，﹣2）； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）∵△A2B2C2与△ABC相似比为2：1， ∴△A2B2C2与△ABC面积比为4：1， 故答案为：4：1． 【点评】本题考查作图，掌握位似变换的性质是解题的关键． 20．如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3． （1）求EC的值； （2）求证：AD•AG＝AF•AB． 【分析】（1）由平行可得，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC； （2）由平行可知，可得出结论． 【解答】（1）解： ∵DE∥BC， ∴， 又，AE＝3， ∴， 解得AC＝9， ∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6； （2）证明： ∵DE∥BC，EF∥CG， ∴， ∴AD•AG＝AF•AB． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 21．数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是　　 ； （2）小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）根据题意，画出树状图，进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的是， 故答案为：； （2）从A，B，C，D四张卡片中随机抽取2张卡片，作树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种结果， ∴小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 22．小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：t≤10，B：10＜t＜20，C：20≤t＜30，D：t≥30），根据图中信息，解答下列问题： （1）这项被调查的总人数是多少人？ （2）补全条形统计图； （3）如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率． 【分析】（1）用B的人数除以其所占的百分比则可得出总人数； （2）用总人数减去其他三组的人数即可得出C组的人数，补全条形图即可； （3）利用树状图的方法列举出所有可能的情况，然后找出选中甲的情况数，结合概率公式计算即可． 【解答】解：（1）用B的人数除以其所占的百分比则可得总人数：19÷38%＝50（人）． （2）∵A组15人，B组19人，D组4人， ∴C组人数：50﹣15﹣19﹣4＝12（人）． （3）根据题意，画树状图如下： 总共有12种等可能结果，其中包含甲的有6种， ∴概率为． 【点评】本题考查了树状图、条形统计图的综合运用，熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 23．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？ 【分析】通过相似三角形的性质可得，，可得，即可求解． 【解答】解：∵， 当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即， 当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即， ∴， ∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米， 设AB＝x，BC＝y， ∴，解得：y＝3，经检验y＝3是原方程的根． ∵，即， 解得x＝6米． 即路灯A的高度AB＝6米． 【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 24．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm． （1）求证：△AEH∽△ABC； （2）求这个正方形的边长与面积． 【分析】（1）根据EH∥BC即可证明． （2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得，列出方程即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC， ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C， ∴△AEH∽△ABC． （2）解：如图设AD与EH交于点M． ∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°， ∴四边形EFDM是矩形， ∴EF＝DM，设正方形EFGH的边长为x， ∵△AEH∽△ABC， ∴， ∴， ∴x， ∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2． 【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． 25．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得： 50（1﹣a）2＝32， 解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2， 答：每次下降的百分率为20%； （2）设每千克应涨价x元，由题意，得 （10+x）（500﹣20x）＝6000， 整理，得 x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10， 因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可． 26．【模型建立】 （1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，D是BC边上的一点，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，连接CE．用等式直接写出线段CD，BD，AD的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°．用等式直接写出线段EF，BE，CF的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在△ABC中，∠CAB为直角，∠ABC＝45°，平面内存在一点D，使CD⊥BD．若，且CD＝2，求△ABC的面积． 【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE可知∠BAD＝∠CAE，再利用（SAS）证明△ABD≌△ACE，得到BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，然后结合勾股定理即可得出结论； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，连接E′F，利用（SAS）证明△AEF≌△AE′F，得到EF＝E′F，再根据勾股定理即可得出结论； （3）延长DB到点D′，使BD′＝CD，连接AD′，易得△ABC是等腰直角三角形，利用（SAS）证明△ABD′≌△ACD，得到，因此得到△DAD′是等腰直角三角形，进而可求出，故． 如解图3，过点A作AE⊥AD交BD于点E，利用（AAS）证明△ABE≌△ACD，得到，由勾股定理得，所以，进而可得． 【解答】解：（1）BD2+CD2＝2AD2．理由如下： 由题意，得△ABC与△ADE均为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝90°， ∴， ∴BD2+CD2＝2AD2； （2）EF2＝BE2+CF2．理由如下： 如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，连接E′F，则AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠B＝∠ACE′． ∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠CAF＝∠CAE′+∠CAF＝∠FAE′＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△AEF和△AE′F中， ， ∴△AEF≌△AE′F（SAS）， ∴EF＝E′F， ∵∠B+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE′＝90°， 即∠FCE′＝90°， ∴E′F2＝CE′2+CF2， ∴EF2＝BE2+CF2； （3）如图3，延长DB到点D′，使BD′＝CD，连接AD′． ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝AC， ∵CD⊥BD， ∴∠BAC+∠CDB＝180°， ∴∠DBA+∠ACD＝180°， ∵∠DBA+∠ABD′＝180°， ∴∠ACD＝∠ABD′， 在△ABD′和△ACD中， ， ∴△ABD′≌△ACD（SAS）， ∴， ∴∠DAD′＝90°， ∴△DAD′是等腰直角三角形， ∴DD′＝8， ∵CD＝BD′＝2， ∴BD＝8﹣2＝6， ∴， ∴， ∴． 如图4，过点A作AE⊥AD交BD于点E，则∠EAD＝90°． ∵∠CAB＝90°， ∴∠BAE＝∠CAD． ∵∠AEB＝∠EAD+∠ADE，∠ADC＝∠ADE+∠BDC， ∴∠AEB＝∠ADC． 又∵AB＝AC， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴， ∴DE＝8， ∴BD＝BE+DE＝10， ∴， ∴， ∴． 综上所述，△ABC的面积为10或26． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的表达式； （2）二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D．若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值； （3）点P、点Q分别是对称轴、二次函数图象上的动点，是否存在以P、Q、A、B四点为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据待定系数法，求出b，c，即可得到函数解析式； （2）过点M作MQ⊥AC于点Q，作MF⊥AB于点F，交AC于点E，根据等腰直角三角形的性质，求出∠MEQ＝∠AEF＝∠ACO＝45°，根据抛物线求出对称轴，求出点D的坐标，根据两点间的距离公式求出CD， 要使S△MCD的值最大，则需MQ取到最大值，即可；设过点M与AC平行的直线的解析式为：y＝x+m，当直线：y＝x+m与抛物线相切时，S△MCD有最大值；联立可得：x2+3x+（m﹣3）＝0，分别求出点M，点E的坐标，求出ME，根据勾股定理求出MQ，即可得到三角形的面积； （3）设点P（﹣1，a），Q（n，﹣n2﹣2n+3），分类讨论：①当AB为边时，四边形APQB是平行四边形，②当AB为对角线时，四边形APBQ是平行四边形，求出Q的坐标，即可． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）， ∴， 解得：， ∴y＝﹣x2﹣2x+3． （2）如图1，OA＝OC＝3，∠COA＝90°，过点M作MQ⊥AC于点Q，作MF⊥AB于点F，交AC于点E， ∴∠CAO＝∠ACO＝45°， ∵MF∥y轴， ∴∠MEQ＝∠AEF＝∠ACO＝45°， 抛物线的对称轴为直线， ∴y＝﹣1+3＝2， ∴点D（﹣1，2）， ∵点C（0，3）， ∴， ∵， ∴要使S△MCD的值最大，则需MQ取到最大值，即可； 设过点M与AC平行的直线的解析式为：y＝x+m，当直线：y＝x+m与抛物线只有一个交点时，MQ取到最大值，即S△MCD取到最大值； ∴x+m＝﹣x2+2x+3， 整理得：x2+3x+（m﹣3）＝0， 由Δ＝9﹣4×（m﹣3）＝0，得：； ∴， 解得：， ∴当，，即点； 当，，即点； ∴， 设MQ＝EQ＝a， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∴； （3）存在以P、Q、A、B四点为顶点的平行四边形；点Q（﹣5，﹣12）或Q（3，﹣12）或Q（﹣1，4）．理由如下： ∵点P在对称轴上， ∴设点P（﹣1，a）； ∵点Q在二次函数图象上， ∴设Q（n，﹣n2﹣2n+3）， ①当AB为边时，四边形APQB是平行四边形，如图2， ∴AB＝PQ， ∵点A（﹣3，0），点B（1，0）， ∴AB＝4， ∴PQ＝4， ∴|﹣1﹣n|＝4， 解得：n1＝﹣5，n2＝3， ∴当n＝﹣5时，﹣n2﹣2n+3＝﹣（﹣5）2﹣2×（﹣5）+3＝﹣12， ∴点Q（﹣5，﹣12）； 当n＝3时，如图3，得：﹣n2﹣2n+3＝﹣32﹣2×3+3＝﹣12， ∴点Q（3，﹣12）； ②当AB为对角线时，四边形APBQ是平行四边形，如图4， ∴， 解得：n＝﹣1， ∴﹣n2﹣2n+3＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3＝4， ∴点Q（﹣1，4）； 综上所述，点Q（﹣5，﹣12）或Q（3，﹣12）或Q（﹣1，4）存在以P、Q、A、B四点为顶点的平行四边形． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $