精品解析：湖北省天门中学、仙桃中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则下列选项中说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，，，则取值不可能为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数满足，则（       ） A. B. C. D. 5. 设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 6. 命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得相应部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（ ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1 A. B. 0 C. 2 D. 4 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数和函数是同一个函数 B. 若，则 C. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 D. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 11. 已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围可以是（    ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围为___________. 13. 设，若对于，恒成立，则实数的取值范围为__________. 14. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． （1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) （2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 17. 已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. （1）求证：，且当时，； （2）判断在上的单调性； （3）若存在，使得，求实数的取值范围. 18. 问题：已知，，均为正实数，且，求证： 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，，均为正实数，且，求证：； （3）求的最大值，并求出使得取得最大值时的值. 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则下列选项中说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D. 【详解】由题意得，集合．所以，B错误； 由于空集是任何集合的子集，所以A正确； 因为，所以C、D中说法正确． 故选：B． 2. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可. 【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分， 即. 故选：C. 3. 已知，且，，，则取值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的取值，结合已知逐一验证即可. 【详解】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确． 故选：A． 4. 设函数满足，则（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 的对称轴为. 的图像开口向上， 在上单调递减， ， ， ， . 5. 设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解. 【详解】∵集合，，，， ∴可取1，2，3，可取0，1，2，4. （1）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； （2）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； （3）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素. 综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏. 6. 命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果. 【详解】命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，. 故选项A中，是的充分必要条件； 选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件； 选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件； 选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件. 故选：C. 7. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】当时，函数单调递增可得，解得， 当时，函数单调递增可得，解得， 同时需满足，解得. 综上，. 故选：D 8. 已知，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用基本不等式，得到，从而有，再利用基本不等式得到，即可求解. 【详解】因为，，，且，所以 ， 当且仅当时取等号， 又，得到， 又， 当且仅当时等号成立，所以， 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得相应部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（ ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1 A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合函数表格与函数图象，运用枚举法逐一判断即可. 【详解】对于A：当时，，不符合题意，故A错误； 对于B：当时，，符合题意，故B正确； 对于C：当时，，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，，符合题意，故D正确， 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数和函数是同一个函数 B. 若，则 C. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 D. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A：根据函数定义域和对应关系是否相同，即可判断；对B：利用换元法，即可求得函数解析式；对C：根据抽象函数定义域求解方法，直接求解即可；对D：由的单调性，结合题意，列出关于的不等式，求解即可. 【详解】对A：由，且两个函数定义域相同，均为， 故函数和函数是同一个函数，A正确； 对B：令，则，故1，即，B正确； 对C：由，得，故函数的定义域为，C错误； 对D：，故的单调递增区间为， 若函数在区间上单调递增，则有，即，D错误. 故选:AB. 11. 已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为.则答案为ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 13. 设，若对于，恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【详解】，即. 因为恒成立，所以. 因为时，恒成立， 所以，所以. 即所求实数的取值范围为. 14. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得值. 【详解】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）由必要不充分条件可知集合是集合的真子集，再分、讨论，即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，又. 当时，，解得； 当时，，即时， 有或，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，若集合是集合的真子集，则有（②式与③式等号不能同时成立）， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 16. LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． （1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本) （2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元． 【解析】 【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分和即可求出L(x)的解析式； (2)根据二次函数和基本不等式分别求出L(x)在和时的最大值，比较即可得到答案． 【小问1详解】 ∵每件产品售价为6元，∴万件产品的销售收入为万元， 依题意得，当时，， 当时，． ∴ 【小问2详解】 当时，，当时，取得最大值． 当时，，当且仅当，即时，取得最大值15． ∵，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元． 17. 已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. （1）求证：，且当时，； （2）判断在上的单调性； （3）若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； （2）单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； 【小问3详解】 由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知  单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需  小于  在其定义域  上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 18. 问题：已知，，均为正实数，且，求证： 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： （1）已知，，均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，，，均为正实数，且，求证：； （3）求的最大值，并求出使得取得最大值时的值. 【答案】（1）9 （2）证明： 因为、、、均为正实数，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即证. （3）T的最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）将与相乘，展开后利用基本不等式可求解； （2）将与相乘，展开后利用基本不等式可求解； （3）分析可得，分别令，，结合（2）中结论可得，再结合基本不等式可得及取等条件得，即可求解. 【小问1详解】 由、、均为正实数，且， 所以 ， 当且仅当，，，即当时等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为， 则，解得， 令，，则，即， 由(2)可知，，，所以， 当且仅当时等号成立，即， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，此时. 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】（1），集合A是的恰当子集； （2），或，. （3）10 【解析】 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【小问1详解】 若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； 【小问2详解】 是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 【小问3详解】 若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $