2026-2027学年人教版数学九年级上册期中复习卷2

人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）一元二次方程2x2＝x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣1，9 B．2，0，﹣9 C．2，﹣1，﹣9 D．2，1，﹣9 2．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3 C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 3．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为ym2，则y与x的函数关系式是（　　） A．y＝80x B．y＝80x﹣2x C．y= D．y＝x（80﹣2x） 5．（3分）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝36（1﹣x） B．y＝36（1+x） C．y＝18（1﹣x）2 D．y＝18（1+x） 6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，关于一元二次方程ax2+bx+c＝0的近似解x1，x2（x1＜x2）的范围，有下列说法：①﹣1＜x1＜0；②0＜x1＜1；③0＜x2＜1；④1＜x2＜2．其中正确说法的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y=（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC=，则点B的坐标是（　　） A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2） 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的顶点B，E都在第一象限，OA，AD都在x的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，点F在AB边上，反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象过点B，E．若△CDF的面积为2，则k的值为（　　） A．10 B．6+2 C．4 D．8 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）设x1，x2是关于x的方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝　　　　 ． 10．（3分）若m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，则2m2+2m+2019的值是 　　　　 ． 11．（3分）若y＝（m﹣2）x|m|+3x+1是关于x的二次函数，则m的值为　　　　 ． 12．（3分）某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是　　　　 人． 13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．连接AF，则△AEF面积的最大值为　　　　 ． 14．（3分）已知直线y＝2x﹣2m与抛物线y＝x2+mx﹣1，当﹣1≤x≤3时，它们有且只有一个公共点．则m的取值范围为 　　　　 ． 15．（3分）若反比例函数y=的图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的k的值 　　　　 ． 16．（3分）实数a和b，若a≥b，我们定义Max（a，b）＝a，比如Max（1，3）＝3．已知关于x的函数y＝Max（﹣x2+4x，kx），下列结论：①函数图象经过原点；②若k＜0，则方程y＝4有三个不等实根；③若k＝1，则x≥1时，y有最小值3；④若x≥0时，y的值随x的值增大而增大，则k≥2．其中正确的结论是　　　　 （填写序号）． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣4＝0． 18．（6分）解一元二次方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）x（x﹣4）＝8﹣2x． 19．（6分）已知二次函数y＝2x2+bx+c，顶点为（1，2）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如果不同的两个点C（m，4）D（n，4）在这个函数图象上，求m+n的值． 20．（6分）如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=(x＞0)的图象的两个交点． （1）求m、n的值； （2）求一次函数的表达式； （3）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 21．（6分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）用配方法将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（要求过程）； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； （3）当﹣3≤x＜0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围； （4）当y＞0时，结合函数图象，直接写出x的取值范围． 22．（6分）如图，菱形OABC的顶点O为原点，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，点B的坐标为（4，8），点C在y轴正半轴上，点M为OA的中点． （1）求反比例函数的解析式； （2）尺规作图：过点M作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点N（保留作图痕迹，不写作法）； （3）求点N的坐标． 23．（8分）定义：若一个函数的图象上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图象上的“亮点”．例如：点P（3，1）是正比例函数y=x的图象上的“亮点”． （1）一次函数y＝﹣x+5的图象上的“亮点”是　　　　 ； （2）若点M是反比例函数y=图象上的“亮点”，一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点M，求b的值； （3）若二次函数y＝ax2﹣3x﹣c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，12），试说明无论a取何值，该二次函数的图象上一定存在“亮点”． 24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=(x＞0)的图象交于点A（1，6），B（n，2）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当EF=AB时，求a的值； （3）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象经过B、C两点，△ABC为直角三角形，AC∥x轴，AB∥y轴，A（6，3），AC＝2． （1）反比例函数的表达式为　　　　 ，点B的坐标为　　　　 ； （2）点M是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC． ①当MB+MC为最小值时，求点M坐标； ②点N是反比例函数y=(x＞0)的图象上的一个点，若△CMN是以∠C为直角的等腰直角三角形，求点N的坐标． 26．（10分）如图，点E为矩形ABCD边AD的中点，连接BE，AB＝8，AD＝12．动点P从B出发沿B→E→A的路线以每秒2个单位长度的速度运动，到达A点时停止运动；同时动点Q从C出发沿C→D的路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达D点时停止运动．点M是射线CB上一动点，连接QM，运动过程中△CQM的面积始终等于4．设点P，Q的运动时间为x秒（0＜x＜8），点P到AB的距离为y1，CM的长度为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出y1＞y2时，x取值范围（近似值保留小数点后一位误差不超过0.2）． 27．（10分）如图，点A与原点O均在抛物线L：y＝（x﹣2）2+k的图象上，点A1与点A关于原点对称，点B与点A到L的对称轴的距离相等，且A1B∥x轴（点A1在点B的左侧）．设点A的横坐标为xA（xA＜0）． （1）求L的解析式，并直接写出顶点坐标； （2）证明：A1B＝4； （3）当直线A1B与L有两个公共点时，设这两个点分别为C、D（点C在点D左侧）．①若2CD＜A1B，求xA的取值范围；②点M在x轴上，设点M的横坐标为xM（0＜xM＜2）．若点M与点C到直线AA1的距离相等，且点M与点D到直线AB的距离也相等，直接写出xA的值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 参考答案与解析 1．（3分）一元二次方程2x2＝x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣1，9 B．2，0，﹣9 C．2，﹣1，﹣9 D．2，1，﹣9 【答案】C 【解答】解：由题意， ∵2x2＝x+9， ∴2x2﹣x﹣9＝0， ∴二次项系数为2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣9．故选：C． （来源：2026春•庐阳区校级期中） 2．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3 C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 【答案】B 【解答】解：抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+3．故选：B． （来源：2026•南岗区校级一模） 3．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解： ∵抛物线开口方向向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴-＞0， ∴＜0，ab＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴一次函数y＝cx+的图象经过第二、三，四象限；反比例函数y=的图象分布在第二、四象限．故选：C． （来源：2026春•抚州月考） 4．（3分）小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为ym2，则y与x的函数关系式是（　　） A．y＝80x B．y＝80x﹣2x C．y= D．y＝x（80﹣2x） 【答案】D 【解答】解：利用长方形面积等于长乘宽计算可得：y＝x（80﹣2x），故选：D． （来源：2025秋•金寨县期末） 5．（3分）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝36（1﹣x） B．y＝36（1+x） C．y＝18（1﹣x）2 D．y＝18（1+x） 【答案】C 【解答】解：原价为18，第一次降价后的价格是18×（1﹣x）；第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18×（1﹣x）×（1﹣x）＝18（1﹣x）2．则函数解析式是：y＝18（1﹣x）2．故选：C． （来源：2026春•长安区校级月考） 6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，关于一元二次方程ax2+bx+c＝0的近似解x1，x2（x1＜x2）的范围，有下列说法：①﹣1＜x1＜0；②0＜x1＜1；③0＜x2＜1；④1＜x2＜2．其中正确说法的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解答】解：观察表格中的数据，当x＝﹣1时，y＝﹣1，当x＝0时，y＝1， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象是连续的曲线，且y的值从﹣1 边为1，根据函数的连续性，可知在﹣1＜x＜0之间，必然存在一个x使得y＝0， ∴﹣1＜x1＜0，①说法正确，②说法错误；当x＝1时，y＝1，当x＝2时（可根据二次函数的对称性或单调性推测，这里从函数值变化趋势看），由于二次函数图象是抛物线，且x＝0和x＝1时y值都是1，说明对称轴在x= =附近，那么在x＞时，函数可能先增后减或者单调变化，从x＝1时y＝1（正），再往后x增大时，y会减小，会出现y＝0的情况， ∴在1＜x＜2之间，必然存在一个x使得y＝0，即1＜x2＜2，④说法正确，③说法错误．综上所述：①④正确．故选：B． （来源：2026秋•西城区校级同步） 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y=（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC=，则点B的坐标是（　　） A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2） 【答案】B 【解答】解：由题意， ∵点A（4，2）在函数y=上， ∴k＝4×2＝8． ∴反比例函数为y=．设直线OA为y＝kx， ∴4k＝2． ∴k=． ∴直线OA为y=x．又设向上平移m个单位到直线BC， ∴B（0，m），直线BC为y=x+m．再设c（a，）（a＞0）， ∴=a+m． ∴-m=a．作CH⊥y轴于H， ∴CH＝a，BH=-m=a，BH2+CH2＝BC2． ∴a2+a2＝5． ∴a＝2． ∴4﹣m＝1． ∴m＝3． ∴B（0，3）．故选：B． （来源：2026•前进区校级一模） 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的顶点B，E都在第一象限，OA，AD都在x的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，点F在AB边上，反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象过点B，E．若△CDF的面积为2，则k的值为（　　） A．10 B．6+2 C．4 D．8 【答案】B 【解答】解：设正方形OABC的边长为a，正方形ADEF的边长为b， ∴B（a，a）C（0，a）D（a+b，0）F（a，b）E（a+b，b），设直线CD的解析式为y＝mx+n，将C（0，a）代入，得n＝a，将D（a+b，0）代入，得0＝m（a+b）+a， ∴m=-， ∴直线CD的解析式为y=-x+a，设CD交AB于点G，将x＝a代入得yG=-⋅a+a=， ∴G(a，)， ∴FG=b-=，S△CDF＝S△CFG+S△DFG以FG为底，点C到AB的距离为a，点D到AB的距离为b， ∴S△CDF=⋅FG⋅a+⋅FG⋅b=⋅FG⋅(a+b)， ∴⋅⋅(a+b)=b2=2， ∴b＝2， ∴k＝a2＝（a+b）b即a2＝ab+b2，将b＝2代入，得a2﹣2a﹣4＝0，解得，a==1±， ∵a＞0， ∴a=1+， ∴k=a2=(1+)2=6+2．故选：B． （来源：2026•黑龙江一模） 9．（3分）设x1，x2是关于x的方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝ ． 【答案】1 【解答】解：由条件可知x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3， ∴x1+x2﹣x1x2＝﹣2﹣（﹣3）＝1．故答案为：1． （来源：2026春•南京校级月考） 10．（3分）若m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，则2m2+2m+2019的值是 ． 【答案】2021 【解答】解： ∵m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根， ∴m2+m﹣1＝0， ∴m2+m＝1， ∴2m2+2m+2019＝2（m2+m）+2019＝2×1+2019＝2021．故答案为：2021． （来源：2026秋•碑林区校级月考） 11．（3分）若y＝（m﹣2）x|m|+3x+1是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】﹣2 【解答】解： ∵y＝（m﹣2）x|m|+3x+1是关于x的二次函数， ∴m﹣2≠0且|m|＝2， ∴m≠2且m＝±2， ∴m＝﹣2，故答案为：﹣2． （来源：2026秋•长寿区校级月考） 12．（3分）某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是 人． 【答案】50 【解答】解：设这个班的学生人数是x人，由题意得：x（x﹣1）＝1225，整理得：x2﹣x﹣2450＝0，解得：x1＝50，x2＝﹣49（不符合题意，舍去），即这个班的学生人数是50人，故答案为：50． （来源：2026秋•南安市月考） 13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．连接AF，则△AEF面积的最大值为 ． 【答案】2 【解答】解：设正方形 ABCD 的边长为 4，以A为原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，﹣4），C（4，﹣4），D（4，0），设E点坐标为（t，0），其中（0＜t＜4），则ED＝4﹣t，作FH⊥x轴于H， ∵∠CED+∠ECD＝∠CED+∠FEH＝90°， ∴∠ECD＝∠FEH， ∵∠EDD＝∠FHE＝90°，EC＝EF， ∴△EHF≌△CDE（AAS）， ∴∴FH＝ED＝4﹣t， ∴F点的纵坐标为4﹣t， ∴S△AEF=AE•（4﹣t）=t⋅(4-t)=-（t﹣2）2+2， ∴当t＝2时，S△AEF的值最大，最大值为2．故答案为：2． （来源：2026•海珠区二模） 14．（3分）已知直线y＝2x﹣2m与抛物线y＝x2+mx﹣1，当﹣1≤x≤3时，它们有且只有一个公共点．则m的取值范围为 ． 【答案】﹣2≤m＜-或m＝6﹣27 【解答】解：当抛物线与直线y＝2x﹣2m有一个交点时，令2x﹣2m＝x2+mx﹣1，整理得x2+（m﹣2）x+2m﹣1＝0，若直线y＝2x﹣2m与抛物线y＝x2+mx﹣1有且只有一个公共点，则Δ＝0， ∴Δ＝（m﹣2）2﹣4（2m﹣1）＝0，解得m＝6±2，当m＝6+2时，x=-=-2-，当m＝6﹣2时，x=-=-2+， ∵当﹣1≤x≤3时，它们有且只有一个公共点， ∴m＝6﹣2时符合题意；当抛物线与直线y＝2x﹣2m有两个交点时，由题意可知或，由或解得﹣2≤m＜-；而不等式组无解， ∴当﹣1≤x≤3时，它们有且只有一个公共点．则m的取值范围为﹣2≤m＜-，故答案为：﹣2≤m＜-或m＝6﹣2． （来源：2026•鼓楼区校级二模） 15．（3分）若反比例函数y=的图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的k的值 ． 【答案】1（答案不唯一） 【解答】解： ∵在每个象限内y随着x的增大而减小， ∴k＞0．例如：y=（答案不唯一，只要k＞0即可）．故答案为：1（答案不唯一）． （来源：2026•青山区一模） 16．（3分）实数a和b，若a≥b，我们定义Max（a，b）＝a，比如Max（1，3）＝3．已知关于x的函数y＝Max（﹣x2+4x，kx），下列结论：①函数图象经过原点；②若k＜0，则方程y＝4有三个不等实根；③若k＝1，则x≥1时，y有最小值3；④若x≥0时，y的值随x的值增大而增大，则k≥2．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【解答】解：①由题意，当x＝0时，﹣x2+4x＝0，kx＝0， ∴函数图象经过原点，故①正确．②在平面直角坐标系中画y1＝﹣x2+4x与y2＝kx（k＜0）的图象如下，由图象可以发现，M的图象与y＝4这条直线只要两个交点， ∴当k＜0时，方程y＝4有两个不等的实根，故②不正确．③当k＝1时，y2＝x，在平面直角坐标系中画出y1＝﹣x2+4x与y2＝kx的图象如下，由题中M的定义可知，当1≤x≤3时，M＝y1，当x＞3时，M＝y2，当x＝1时，M＝﹣12+4×1＝3，当x＝3时，M＝﹣32+4×3＝3，根据图象可知，当x≥1时，M最小值为3．故③正确．④在平面直角坐标系中画出y1＝﹣x2+4x与y2＝kx（k＝2，k＞2，k＜2）的图象如下，由图可知，当x≥0时，若k＝2，M的值随x的值增大而增大，若k＜2，M的值随x的增大先增大再减小再增大，若k＞2，M的值随x的值增大而增大， ∴当x≥0时，M的值随x的值增大而增大，则k≥2．故④正确．故答案为：①③④． （来源：2026•黑龙江校级模拟） 17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣4＝0． 【答案】见解析 【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x＝4，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1＝5，配方，得（x﹣1）2＝5， ∴x＝1±， ∴x1＝1+，x2＝1-． （来源：2021•柳南区校级模拟） 18．（6分）解一元二次方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）x（x﹣4）＝8﹣2x． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意， ∵x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0． ∴x+3＝0或x﹣1＝0． ∴x＝﹣3或x＝1； （2）由题意， ∵x（x﹣4）＝8﹣2x， ∴x（x﹣4）﹣（8﹣2x）＝0． ∴x（x﹣4）+2（x﹣4）＝0． ∴（x﹣4）（x+2）＝0． ∴x﹣4＝0或x+2＝0． ∴x＝4或x＝﹣2． （来源：2026春•甘井子区校级期末） 19．（6分）已知二次函数y＝2x2+bx+c，顶点为（1，2）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如果不同的两个点C（m，4）D（n，4）在这个函数图象上，求m+n的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意， ∵二次函数为y＝2x2+bx+c，且顶点为（1，2）， ∴对称轴是直线x=-=1，且2＝2×12+b+c． ∴b＝﹣4，c＝4． ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2﹣4x+4． （2）由题意， ∵不同的两个点C（m，4）D（n，4）在这个函数图象上， ∴对称轴是直线x==1． ∴m+n＝2． （来源：2026秋•富锦市月考） 20．（6分）如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=(x＞0)的图象的两个交点． （1）求m、n的值； （2）求一次函数的表达式； （3）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：6=，解得m＝6，故反比例函数表达式为y=，当y==2时，x＝3＝n，即点B的坐标为（3，2），即m＝6，n＝3； （2）将点A、B坐标代入一次函数表达式得：，解得：，故一次函数表达式为y＝﹣2x+8； （3）作点A关于y轴的对称点G（﹣1，6），连接BG交y轴于点P，则点P为所求点，理由：△PAB的周长＝AP+PB+AB＝GP+PB+AB＝BG+AB为最小，由点B、G的坐标，同理可得：BG的表达式为y＝﹣x+5，故点P的坐标为（0，5）； （4）能，理由：A：由（1） （2）知，点A、B、P的坐标分别为（1，6）、（3，2）、（0，5），设点D的坐标为（s，t），①当AB是边时，则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到D（P），则0+2＝s，5﹣4＝t或0﹣2＝s，5+4＝t，解得或；②当AB是对角线时，由中点公式得：（1+3）＝（s+0），（6+2）＝（5+t），解得；故点D的坐标为（2，1）或（﹣2，9）或（4，3）． （来源：2026•沂源县二模） 21．（6分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）用配方法将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（要求过程）； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； （3）当﹣3≤x＜0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围； （4）当y＞0时，结合函数图象，直接写出x的取值范围． 【答案】见解析 【解答】解： （1）用配方法把二次函数化为顶点式可得：y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4． （2）列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 根据表中数值描点，画图． （3）当﹣3≤x＜0时，y的取值范围是﹣4≤y≤0； （4）当y＞0时，x的取值范围是x＞1或x＜﹣3． （来源：2025秋•门头沟区校级期末） 22．（6分）如图，菱形OABC的顶点O为原点，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，点B的坐标为（4，8），点C在y轴正半轴上，点M为OA的中点． （1）求反比例函数的解析式； （2）尺规作图：过点M作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点N（保留作图痕迹，不写作法）； （3）求点N的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，延长BA交x轴于点H， ∵AB∥CO，即AB∥y轴， ∴BH⊥x轴． ∵四边形OABC是菱形， ∴可设AB＝OA＝a．又 ∵B（4，8）， ∴OH＝4，AH＝8﹣a，A（4，8﹣a）．又 ∵在Rt△AHO中，OA2＝AH2+OH2， ∴a2＝（8﹣a）2+42． ∴a＝5． ∴A（4，3）． ∴k＝4×3＝12． ∴反比例函数的解析式为y=． （2）由题意，根据作一个角等于已知角得∠AMN＝∠AOx，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下． （3）由题意， ∵M是OA的中点，A（4，3）， ∴M（2，）．又 ∵MN∥x轴， ∴N的纵坐标为．又 ∵N在反比例函数y=， ∴N的横坐标为=． ∴x＝8． ∴N（8，）． （来源：2026•平桥区一模） 23．（8分）定义：若一个函数的图象上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图象上的“亮点”．例如：点P（3，1）是正比例函数y=x的图象上的“亮点”． （1）一次函数y＝﹣x+5的图象上的“亮点”是 ； （2）若点M是反比例函数y=图象上的“亮点”，一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点M，求b的值； （3）若二次函数y＝ax2﹣3x﹣c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，12），试说明无论a取何值，该二次函数的图象上一定存在“亮点”． 【答案】（3.5，1.5） 【解答】解： （1）由x﹣（﹣x+5）＝2得，x＝3.5，则y＝﹣3.5+5＝1.5，所以一次函数y＝﹣x+5的图象上的“亮点”是（3.5，1.5）．故答案为：（3.5，1.5）； （2）由x-=2得，x1＝﹣1，x2＝3，所以点M的坐标为（﹣1，﹣3）或（3，1）．因为一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点M， ∴2+b＝﹣3或﹣6+b＝1，解得b＝﹣5或7； （3）因为二次函数y＝ax2﹣3x﹣c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，12）， ∴4a+6﹣c＝12，则c＝4a﹣6．由x﹣（ax2﹣3x﹣c）＝2得，x﹣ax2+3x+4a﹣6＝2， ∴（x2﹣4）a＝4x﹣8．由x2﹣4＝0得，x＝±2．当x＝2时，0＝0，即等式（x2﹣4）a＝4x﹣8恒成立，当x＝﹣2时，0≠﹣16， ∴x＝﹣2舍去，所以无论a取何值，该二次函数的图象上一定存在“亮点”为（2，0）． （来源：2026•龙海区校级模拟） 24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=(x＞0)的图象交于点A（1，6），B（n，2）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当EF=AB时，求a的值； （3）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y=(x＞0)的图象交于点A（1，6），B（n，2），将点A的坐标代入反比例函数解析式得：=6，解得：m＝6， ∴反比例函数的解析式为y=，将点B的坐标代入反比例函数解析式得：2=，解得：n＝3， ∴B（3，2），将点A，点B的坐标分别代入一次函数y＝kx+b，得：，解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8； （2） ∵将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点， ∴直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a， ∴E(，0)，F（0，8﹣a）．如图1，过点A向x轴作垂线，过点B向y轴作垂线，两垂线交于点Q． ∵点A（1，6），B（3，2）， ∴AQ＝4，BQ＝2，在直角三角形ABQ中，由勾股定理得：AB===2． ∵EF=AB， ∴()2+(8-a)2=()2，解得：a＝6或a＝10； （3）如图2，作点A关于y轴的对称点G，连接GB交y轴于点P，此时，△PAB的周长最小． ∵点A（1，6）， ∴G（﹣1，6）．设直线BG的解析式为y＝ex+c，将点B，点G的坐标分别代入得：，解得：， ∴直线BG的解析式为y＝﹣x+5，当x＝0时，得：y＝5， ∴点P的坐标为（0，5）． （来源：2026•馆陶县三模） 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象经过B、C两点，△ABC为直角三角形，AC∥x轴，AB∥y轴，A（6，3），AC＝2． （1）反比例函数的表达式为 ，点B的坐标为 ； （2）点M是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC．①当MB+MC为最小值时，求点M坐标；②点N是反比例函数y=(x＞0)的图象上的一个点，若△CMN是以∠C为直角的等腰直角三角形，求点N的坐标． 【答案】y=12x，（6，2） 【解答】解： （1） ∵A（6，3），AC＝2，AC∥x轴， ∴C（4，3）， ∵反比例函数y=(x＞0)的图象经过C点， ∴3=， ∴k＝12， ∴反比例函数的表达式为y=， ∵A（6，3），AB∥y轴， ∴B点横坐标为6， ∴y==2， ∴B（6，2），故答案为：y=，（6，2）； （2）①如图，过C作CC'⊥y轴，使点C，点C'到y轴的距离相等，连接BC'，交y轴于M点，此时MB+MC最小， ∵C（4，3），B（6，2）， ∴C'（﹣4，3），B（6，2），设直线BC'的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴，解得， ∴直线BC'的解析式为：y=-x+， ∴当x＝0时，y=， ∴点M的坐标为(0，)，②如图，过C作TK∥y轴，过N作NT⊥TK于T，过M作MK⊥TK于K，设M（0，m），N(n，)， ∵△CMN的等腰直角三角形， ∴CM＝CN，∠MCK＝90°﹣∠NCT＝∠CNT， ∵∠K＝∠T＝90°， ∴△MCK≌△CNT（AAS）， ∴TC＝MK， ∵C（4，3），N(n，)， ∴TC=-3，MK＝4， ∴-3=4，解得n=， ∴N（，7）． （来源：2026•商河县一模） 26．（10分）如图，点E为矩形ABCD边AD的中点，连接BE，AB＝8，AD＝12．动点P从B出发沿B→E→A的路线以每秒2个单位长度的速度运动，到达A点时停止运动；同时动点Q从C出发沿C→D的路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达D点时停止运动．点M是射线CB上一动点，连接QM，运动过程中△CQM的面积始终等于4．设点P，Q的运动时间为x秒（0＜x＜8），点P到AB的距离为y1，CM的长度为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵点E为矩形ABCD边AD的中点，AB＝8，AD＝12， ∴AE=AD=6，∠A＝∠C＝90°， ∴BE==10， ∴AE+BE＝16，当点P在BE上时（包括点E），有0＜x≤，即0＜x≤5$，过点P作PF⊥AB于点F，如图， ∴∠A＝∠BFP＝90°，BP＝2x，y1＝PF， ∵∠ABE＝∠FBP， ∴△FBP∽△ABE， ∴$\frac{PF}{AE}＝\frac{BP}{BE}$，即$\frac{y_{1}}{6}＝\frac{2x}{10}$， ∴$y_{1}＝\frac{6}{5}x（0＜x≤5）$；当点P在AE上（不包括点E）时，5＜x＜8，如图， ∴PE+BE＝2x，y1＝AP，即PE＝2x﹣10， ∴y＝AP＝AE﹣PE＝6﹣（2x﹣10）＝16﹣2x，即y1＝16﹣2x（5＜x＜8）， ∴$y_{1}＝\left\{\begin{array}{l}\frac{6}{5}x（0＜x≤5）\\ 16﹣2x（5＜x＜8）\end{array}\right.$， ∴$S_{△CQM}＝\frac{1}{2}MC•CQ＝4$，CQ＝x，y2＝CM， ∴$y_{2}＝\frac{8}{CQ}＝\frac{8}{x}$，即$y_{2}＝\frac{8}{x}（0＜x＜8）$； （2）列表如下 x … 3 5 6 7 … y1 … 3.6 6 4 2 描点并连线，如图列表如下： x … 0.5 1 2 4 5 … y2 … 16 8 4 2 1.6 … 描点并连线，如图，图像即为所求；由图可知，y1在0＜x≤5时，随着x的增大而增大；y2在0＜x＜8时随着x的增大而减小； （3）由图可知，当2.6＜x＜7.5时，y1＞y2． （来源：2026•南岸区模拟） 27．（10分）如图，点A与原点O均在抛物线L：y＝（x﹣2）2+k的图象上，点A1与点A关于原点对称，点B与点A到L的对称轴的距离相等，且A1B∥x轴（点A1在点B的左侧）．设点A的横坐标为xA（xA＜0）． （1）求L的解析式，并直接写出顶点坐标； （2）证明：A1B＝4； （3）当直线A1B与L有两个公共点时，设这两个点分别为C、D（点C在点D左侧）．①若2CD＜A1B，求xA的取值范围；②点M在x轴上，设点M的横坐标为xM（0＜xM＜2）．若点M与点C到直线AA1的距离相等，且点M与点D到直线AB的距离也相等，直接写出xA的值． 【答案】见解析 【解答】（1）解：将原点O（0，0）代入y＝（x﹣2）2+k，得0＝（0﹣2）2+k，解得k＝﹣4，因此抛物线L的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4（或y＝x2﹣4x），顶点坐标为（2，﹣4）． （2）证明：已知点A横坐标为xA，则A(xA，xA2-4xA)．A1与A关于原点对称，故A1(-xA，-xA2+4xA)；抛物线L对称轴为x＝2，点B与A到对称轴距离相等，因此|xB﹣2|＝|xA﹣2|．因A≠B，故xB﹣2＝2﹣xA， ∴xB＝4﹣xA；A1B∥x轴，A1在B左侧，故A1B长度为横坐标差：A1B＝xB﹣（﹣xA）＝（4﹣xA）+xA＝4． （3）解：① ∵直线A1B的解析式为y=-yA=-xA2+4xA，联立抛物线方程y＝x2﹣4x，得x2-4x+xA2-4xA=0，设方程两根为xC，xD，由韦达定理得：xC+xD=4，xCxD=xA2-4xA． ∴CD=|xD-xC|==2． ∵2CD＜A1B，由（2）知，A1B＝4， ∴2×2＜4，解得xA＜2-或xA＞2+， ∵直线A1B与抛物线有两个交点， ∴2＞0， ∴-xA2+4xA+4＞0， ∴2-2＜xA＜2+2， ∵又xA＜0， ∴2-2＜xA＜0，综上得2-2＜xA＜2-．②连接AB， ∵点M与点C到直线AA1的距离相等，且点M与点D到直线AB的距离也相等， ∴DM∥AB，CM∥AA1， ∴∠MDC＝∠B，∠MCD＝∠A1， ∴△MCD∽△AA1B， ∵A1B∥x轴， ∴四边形A1CMO是平行四边形， ∴CM＝OA1， ∵OA＝OA1， ∴AA1＝2CM， ∵A1B＝4，=， ∴CD=A1B=2， ∴2=2，解得xA=2-，或xA=2+， ∵xA＜0， ∴若点M与点C到直线AA1的距离相等，且点M与点D到直线AB的距离也相等，则xA=2-． （来源：2026•路北区二模） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）一元二次方程2x2＝x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣1，9 B．2，0，﹣9 C．2，﹣1，﹣9 D．2，1，﹣9 2．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3 C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 3．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为ym2，则y与x的函数关系式是（　　） A．y＝80x B．y＝80x﹣2x C．y= D．y＝x（80﹣2x） 5．（3分）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝36（1﹣x） B．y＝36（1+x） C．y＝18（1﹣x）2 D．y＝18（1+x） 6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，关于一元二次方程ax2+bx+c＝0的近似解x1，x2（x1＜x2）的范围，有下列说法：①﹣1＜x1＜0；②0＜x1＜1；③0＜x2＜1；④1＜x2＜2．其中正确说法的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y=（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC=，则点B的坐标是（　　） A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2） 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的顶点B，E都在第一象限，OA，AD都在x的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，点F在AB边上，反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象过点B，E．若△CDF的面积为2，则k的值为（　　） A．10 B．6+2 C．4 D．8 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）设x1，x2是关于x的方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝　　　　 ． 10．（3分）若m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，则2m2+2m+2019的值是 　　　　 ． 11．（3分）若y＝（m﹣2）x|m|+3x+1是关于x的二次函数，则m的值为　　　　 ． 12．（3分）某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是　　　　 人． 13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．连接AF，则△AEF面积的最大值为　　　　 ． 14．（3分）已知直线y＝2x﹣2m与抛物线y＝x2+mx﹣1，当﹣1≤x≤3时，它们有且只有一个公共点．则m的取值范围为 　　　　 ． 15．（3分）若反比例函数y=的图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的k的值 　　　　 ． 16．（3分）实数a和b，若a≥b，我们定义Max（a，b）＝a，比如Max（1，3）＝3．已知关于x的函数y＝Max（﹣x2+4x，kx），下列结论：①函数图象经过原点；②若k＜0，则方程y＝4有三个不等实根；③若k＝1，则x≥1时，y有最小值3；④若x≥0时，y的值随x的值增大而增大，则k≥2．其中正确的结论是　　　　 （填写序号）． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣4＝0． 18．（6分）解一元二次方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）x（x﹣4）＝8﹣2x． 19．（6分）已知二次函数y＝2x2+bx+c，顶点为（1，2）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如果不同的两个点C（m，4）D（n，4）在这个函数图象上，求m+n的值． 20．（6分）如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=(x＞0)的图象的两个交点． （1）求m、n的值； （2）求一次函数的表达式； （3）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 21．（6分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）用配方法将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（要求过程）； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； （3）当﹣3≤x＜0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围； （4）当y＞0时，结合函数图象，直接写出x的取值范围． 22．（6分）如图，菱形OABC的顶点O为原点，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，点B的坐标为（4，8），点C在y轴正半轴上，点M为OA的中点． （1）求反比例函数的解析式； （2）尺规作图：过点M作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点N（保留作图痕迹，不写作法）； （3）求点N的坐标． 23．（8分）定义：若一个函数的图象上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图象上的“亮点”．例如：点P（3，1）是正比例函数y=x的图象上的“亮点”． （1）一次函数y＝﹣x+5的图象上的“亮点”是　　　　 ； （2）若点M是反比例函数y=图象上的“亮点”，一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点M，求b的值； （3）若二次函数y＝ax2﹣3x﹣c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，12），试说明无论a取何值，该二次函数的图象上一定存在“亮点”． 24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=(x＞0)的图象交于点A（1，6），B（n，2）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当EF=AB时，求a的值； （3）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象经过B、C两点，△ABC为直角三角形，AC∥x轴，AB∥y轴，A（6，3），AC＝2． （1）反比例函数的表达式为　　　　 ，点B的坐标为　　　　 ； （2）点M是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC． ①当MB+MC为最小值时，求点M坐标； ②点N是反比例函数y=(x＞0)的图象上的一个点，若△CMN是以∠C为直角的等腰直角三角形，求点N的坐标． 26．（10分）如图，点E为矩形ABCD边AD的中点，连接BE，AB＝8，AD＝12．动点P从B出发沿B→E→A的路线以每秒2个单位长度的速度运动，到达A点时停止运动；同时动点Q从C出发沿C→D的路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达D点时停止运动．点M是射线CB上一动点，连接QM，运动过程中△CQM的面积始终等于4．设点P，Q的运动时间为x秒（0＜x＜8），点P到AB的距离为y1，CM的长度为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出y1＞y2时，x取值范围（近似值保留小数点后一位误差不超过0.2）． 27．（10分）如图，点A与原点O均在抛物线L：y＝（x﹣2）2+k的图象上，点A1与点A关于原点对称，点B与点A到L的对称轴的距离相等，且A1B∥x轴（点A1在点B的左侧）．设点A的横坐标为xA（xA＜0）． （1）求L的解析式，并直接写出顶点坐标； （2）证明：A1B＝4； （3）当直线A1B与L有两个公共点时，设这两个点分别为C、D（点C在点D左侧）．①若2CD＜A1B，求xA的取值范围；②点M在x轴上，设点M的横坐标为xM（0＜xM＜2）．若点M与点C到直线AA1的距离相等，且点M与点D到直线AB的距离也相等，直接写出xA的值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 人教版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第二十五章 一元二次方程、第二十六章 二次函数、第二十七章 反比例函数 参考答案与解析 1．（3分）一元二次方程2x2＝x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣1，9 B．2，0，﹣9 C．2，﹣1，﹣9 D．2，1，﹣9 【答案】C 【解答】解：由题意， ∵2x2＝x+9， ∴2x2﹣x﹣9＝0， ∴二次项系数为2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣9．故选：C． （来源：2026春•庐阳区校级期中） 2．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3 C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 【答案】B 【解答】解：抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+3．故选：B． （来源：2026•南岗区校级一模） 3．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解： ∵抛物线开口方向向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴-＞0， ∴＜0，ab＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴一次函数y＝cx+的图象经过第二、三，四象限；反比例函数y=的图象分布在第二、四象限．故选：C． （来源：2026春•抚州月考） 4．（3分）小亮爸爸想用长为80m的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为xm，面积为ym2，则y与x的函数关系式是（　　） A．y＝80x B．y＝80x﹣2x C．y= D．y＝x（80﹣2x） 【答案】D 【解答】解：利用长方形面积等于长乘宽计算可得：y＝x（80﹣2x），故选：D． （来源：2025秋•金寨县期末） 5．（3分）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y＝36（1﹣x） B．y＝36（1+x） C．y＝18（1﹣x）2 D．y＝18（1+x） 【答案】C 【解答】解：原价为18，第一次降价后的价格是18×（1﹣x）；第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18×（1﹣x）×（1﹣x）＝18（1﹣x）2．则函数解析式是：y＝18（1﹣x）2．故选：C． （来源：2026春•长安区校级月考） 6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 … 根据表中信息，关于一元二次方程ax2+bx+c＝0的近似解x1，x2（x1＜x2）的范围，有下列说法：①﹣1＜x1＜0；②0＜x1＜1；③0＜x2＜1；④1＜x2＜2．其中正确说法的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解答】解：观察表格中的数据，当x＝﹣1时，y＝﹣1，当x＝0时，y＝1， ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象是连续的曲线，且y的值从﹣1 边为1，根据函数的连续性，可知在﹣1＜x＜0之间，必然存在一个x使得y＝0， ∴﹣1＜x1＜0，①说法正确，②说法错误；当x＝1时，y＝1，当x＝2时（可根据二次函数的对称性或单调性推测，这里从函数值变化趋势看），由于二次函数图象是抛物线，且x＝0和x＝1时y值都是1，说明对称轴在x= =附近，那么在x＞时，函数可能先增后减或者单调变化，从x＝1时y＝1（正），再往后x增大时，y会减小，会出现y＝0的情况， ∴在1＜x＜2之间，必然存在一个x使得y＝0，即1＜x2＜2，④说法正确，③说法错误．综上所述：①④正确．故选：B． （来源：2026秋•西城区校级同步） 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y=（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC=，则点B的坐标是（　　） A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2） 【答案】B 【解答】解：由题意， ∵点A（4，2）在函数y=上， ∴k＝4×2＝8． ∴反比例函数为y=．设直线OA为y＝kx， ∴4k＝2． ∴k=． ∴直线OA为y=x．又设向上平移m个单位到直线BC， ∴B（0，m），直线BC为y=x+m．再设c（a，）（a＞0）， ∴=a+m． ∴-m=a．作CH⊥y轴于H， ∴CH＝a，BH=-m=a，BH2+CH2＝BC2． ∴a2+a2＝5． ∴a＝2． ∴4﹣m＝1． ∴m＝3． ∴B（0，3）．故选：B． （来源：2026•前进区校级一模） 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的顶点B，E都在第一象限，OA，AD都在x的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，点F在AB边上，反比例函数y=(k≠0，x＞0)的图象过点B，E．若△CDF的面积为2，则k的值为（　　） A．10 B．6+2 C．4 D．8 【答案】B 【解答】解：设正方形OABC的边长为a，正方形ADEF的边长为b， ∴B（a，a）C（0，a）D（a+b，0）F（a，b）E（a+b，b），设直线CD的解析式为y＝mx+n，将C（0，a）代入，得n＝a，将D（a+b，0）代入，得0＝m（a+b）+a， ∴m=-， ∴直线CD的解析式为y=-x+a，设CD交AB于点G，将x＝a代入得yG=-⋅a+a=， ∴G(a，)， ∴FG=b-=，S△CDF＝S△CFG+S△DFG以FG为底，点C到AB的距离为a，点D到AB的距离为b， ∴S△CDF=⋅FG⋅a+⋅FG⋅b=⋅FG⋅(a+b)， ∴⋅⋅(a+b)=b2=2， ∴b＝2， ∴k＝a2＝（a+b）b即a2＝ab+b2，将b＝2代入，得a2﹣2a﹣4＝0，解得，a==1±， ∵a＞0， ∴a=1+， ∴k=a2=(1+)2=6+2．故选：B． （来源：2026•黑龙江一模） 9．（3分）设x1，x2是关于x的方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝ ． 【答案】1 【解答】解：由条件可知x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3， ∴x1+x2﹣x1x2＝﹣2﹣（﹣3）＝1．故答案为：1． （来源：2026春•南京校级月考） 10．（3分）若m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，则2m2+2m+2019的值是 ． 【答案】2021 【解答】解： ∵m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根， ∴m2+m﹣1＝0， ∴m2+m＝1， ∴2m2+2m+2019＝2（m2+m）+2019＝2×1+2019＝2021．故答案为：2021． （来源：2026秋•碑林区校级月考） 11．（3分）若y＝（m﹣2）x|m|+3x+1是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】﹣2 【解答】解： ∵y＝（m﹣2）x|m|+3x+1是关于x的二次函数， ∴m﹣2≠0且|m|＝2， ∴m≠2且m＝±2， ∴m＝﹣2，故答案为：﹣2． （来源：2026秋•长寿区校级月考） 12．（3分）某班学生进行合影留念活动，每两个同学之间会留下一张合影，已知最终拍摄了1225张照片，这个班的学生人数是 人． 【答案】50 【解答】解：设这个班的学生人数是x人，由题意得：x（x﹣1）＝1225，整理得：x2﹣x﹣2450＝0，解得：x1＝50，x2＝﹣49（不符合题意，舍去），即这个班的学生人数是50人，故答案为：50． （来源：2026秋•南安市月考） 13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE、CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．连接AF，则△AEF面积的最大值为 ． 【答案】2 【解答】解：设正方形 ABCD 的边长为 4，以A为原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，﹣4），C（4，﹣4），D（4，0），设E点坐标为（t，0），其中（0＜t＜4），则ED＝4﹣t，作FH⊥x轴于H， ∵∠CED+∠ECD＝∠CED+∠FEH＝90°， ∴∠ECD＝∠FEH， ∵∠EDD＝∠FHE＝90°，EC＝EF， ∴△EHF≌△CDE（AAS）， ∴∴FH＝ED＝4﹣t， ∴F点的纵坐标为4﹣t， ∴S△AEF=AE•（4﹣t）=t⋅(4-t)=-（t﹣2）2+2， ∴当t＝2时，S△AEF的值最大，最大值为2．故答案为：2． （来源：2026•海珠区二模） 14．（3分）已知直线y＝2x﹣2m与抛物线y＝x2+mx﹣1，当﹣1≤x≤3时，它们有且只有一个公共点．则m的取值范围为 ． 【答案】﹣2≤m＜-或m＝6﹣27 【解答】解：当抛物线与直线y＝2x﹣2m有一个交点时，令2x﹣2m＝x2+mx﹣1，整理得x2+（m﹣2）x+2m﹣1＝0，若直线y＝2x﹣2m与抛物线y＝x2+mx﹣1有且只有一个公共点，则Δ＝0， ∴Δ＝（m﹣2）2﹣4（2m﹣1）＝0，解得m＝6±2，当m＝6+2时，x=-=-2-，当m＝6﹣2时，x=-=-2+， ∵当﹣1≤x≤3时，它们有且只有一个公共点， ∴m＝6﹣2时符合题意；当抛物线与直线y＝2x﹣2m有两个交点时，由题意可知或，由或解得﹣2≤m＜-；而不等式组无解， ∴当﹣1≤x≤3时，它们有且只有一个公共点．则m的取值范围为﹣2≤m＜-，故答案为：﹣2≤m＜-或m＝6﹣2． （来源：2026•鼓楼区校级二模） 15．（3分）若反比例函数y=的图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，请写出一个符合条件的k的值 ． 【答案】1（答案不唯一） 【解答】解： ∵在每个象限内y随着x的增大而减小， ∴k＞0．例如：y=（答案不唯一，只要k＞0即可）．故答案为：1（答案不唯一）． （来源：2026•青山区一模） 16．（3分）实数a和b，若a≥b，我们定义Max（a，b）＝a，比如Max（1，3）＝3．已知关于x的函数y＝Max（﹣x2+4x，kx），下列结论：①函数图象经过原点；②若k＜0，则方程y＝4有三个不等实根；③若k＝1，则x≥1时，y有最小值3；④若x≥0时，y的值随x的值增大而增大，则k≥2．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【解答】解：①由题意，当x＝0时，﹣x2+4x＝0，kx＝0， ∴函数图象经过原点，故①正确．②在平面直角坐标系中画y1＝﹣x2+4x与y2＝kx（k＜0）的图象如下，由图象可以发现，M的图象与y＝4这条直线只要两个交点， ∴当k＜0时，方程y＝4有两个不等的实根，故②不正确．③当k＝1时，y2＝x，在平面直角坐标系中画出y1＝﹣x2+4x与y2＝kx的图象如下，由题中M的定义可知，当1≤x≤3时，M＝y1，当x＞3时，M＝y2，当x＝1时，M＝﹣12+4×1＝3，当x＝3时，M＝﹣32+4×3＝3，根据图象可知，当x≥1时，M最小值为3．故③正确．④在平面直角坐标系中画出y1＝﹣x2+4x与y2＝kx（k＝2，k＞2，k＜2）的图象如下，由图可知，当x≥0时，若k＝2，M的值随x的值增大而增大，若k＜2，M的值随x的增大先增大再减小再增大，若k＞2，M的值随x的值增大而增大， ∴当x≥0时，M的值随x的值增大而增大，则k≥2．故④正确．故答案为：①③④． （来源：2026•黑龙江校级模拟） 17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣4＝0． 【答案】见解析 【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x＝4，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1＝5，配方，得（x﹣1）2＝5， ∴x＝1±， ∴x1＝1+，x2＝1-． （来源：2021•柳南区校级模拟） 18．（6分）解一元二次方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）x（x﹣4）＝8﹣2x． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意， ∵x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0． ∴x+3＝0或x﹣1＝0． ∴x＝﹣3或x＝1； （2）由题意， ∵x（x﹣4）＝8﹣2x， ∴x（x﹣4）﹣（8﹣2x）＝0． ∴x（x﹣4）+2（x﹣4）＝0． ∴（x﹣4）（x+2）＝0． ∴x﹣4＝0或x+2＝0． ∴x＝4或x＝﹣2． （来源：2026春•甘井子区校级期末） 19．（6分）已知二次函数y＝2x2+bx+c，顶点为（1，2）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如果不同的两个点C（m，4）D（n，4）在这个函数图象上，求m+n的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1）由题意， ∵二次函数为y＝2x2+bx+c，且顶点为（1，2）， ∴对称轴是直线x=-=1，且2＝2×12+b+c． ∴b＝﹣4，c＝4． ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2﹣4x+4． （2）由题意， ∵不同的两个点C（m，4）D（n，4）在这个函数图象上， ∴对称轴是直线x==1． ∴m+n＝2． （来源：2026秋•富锦市月考） 20．（6分）如图，点A（1，6）和B（n，2）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=(x＞0)的图象的两个交点． （1）求m、n的值； （2）求一次函数的表达式； （3）设点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：6=，解得m＝6，故反比例函数表达式为y=，当y==2时，x＝3＝n，即点B的坐标为（3，2），即m＝6，n＝3； （2）将点A、B坐标代入一次函数表达式得：，解得：，故一次函数表达式为y＝﹣2x+8； （3）作点A关于y轴的对称点G（﹣1，6），连接BG交y轴于点P，则点P为所求点，理由：△PAB的周长＝AP+PB+AB＝GP+PB+AB＝BG+AB为最小，由点B、G的坐标，同理可得：BG的表达式为y＝﹣x+5，故点P的坐标为（0，5）； （4）能，理由：A：由（1） （2）知，点A、B、P的坐标分别为（1，6）、（3，2）、（0，5），设点D的坐标为（s，t），①当AB是边时，则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到D（P），则0+2＝s，5﹣4＝t或0﹣2＝s，5+4＝t，解得或；②当AB是对角线时，由中点公式得：（1+3）＝（s+0），（6+2）＝（5+t），解得；故点D的坐标为（2，1）或（﹣2，9）或（4，3）． （来源：2026•沂源县二模） 21．（6分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）用配方法将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式（要求过程）； （2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象； （3）当﹣3≤x＜0时，结合函数图象，直接写出y的取值范围； （4）当y＞0时，结合函数图象，直接写出x的取值范围． 【答案】见解析 【解答】解： （1）用配方法把二次函数化为顶点式可得：y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4． （2）列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 根据表中数值描点，画图． （3）当﹣3≤x＜0时，y的取值范围是﹣4≤y≤0； （4）当y＞0时，x的取值范围是x＞1或x＜﹣3． （来源：2025秋•门头沟区校级期末） 22．（6分）如图，菱形OABC的顶点O为原点，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，点B的坐标为（4，8），点C在y轴正半轴上，点M为OA的中点． （1）求反比例函数的解析式； （2）尺规作图：过点M作x轴的平行线，交反比例函数的图象于点N（保留作图痕迹，不写作法）； （3）求点N的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图，延长BA交x轴于点H， ∵AB∥CO，即AB∥y轴， ∴BH⊥x轴． ∵四边形OABC是菱形， ∴可设AB＝OA＝a．又 ∵B（4，8）， ∴OH＝4，AH＝8﹣a，A（4，8﹣a）．又 ∵在Rt△AHO中，OA2＝AH2+OH2， ∴a2＝（8﹣a）2+42． ∴a＝5． ∴A（4，3）． ∴k＝4×3＝12． ∴反比例函数的解析式为y=． （2）由题意，根据作一个角等于已知角得∠AMN＝∠AOx，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下． （3）由题意， ∵M是OA的中点，A（4，3）， ∴M（2，）．又 ∵MN∥x轴， ∴N的纵坐标为．又 ∵N在反比例函数y=， ∴N的横坐标为=． ∴x＝8． ∴N（8，）． （来源：2026•平桥区一模） 23．（8分）定义：若一个函数的图象上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图象上的“亮点”．例如：点P（3，1）是正比例函数y=x的图象上的“亮点”． （1）一次函数y＝﹣x+5的图象上的“亮点”是 ； （2）若点M是反比例函数y=图象上的“亮点”，一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点M，求b的值； （3）若二次函数y＝ax2﹣3x﹣c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，12），试说明无论a取何值，该二次函数的图象上一定存在“亮点”． 【答案】（3.5，1.5） 【解答】解： （1）由x﹣（﹣x+5）＝2得，x＝3.5，则y＝﹣3.5+5＝1.5，所以一次函数y＝﹣x+5的图象上的“亮点”是（3.5，1.5）．故答案为：（3.5，1.5）； （2）由x-=2得，x1＝﹣1，x2＝3，所以点M的坐标为（﹣1，﹣3）或（3，1）．因为一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点M， ∴2+b＝﹣3或﹣6+b＝1，解得b＝﹣5或7； （3）因为二次函数y＝ax2﹣3x﹣c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，12）， ∴4a+6﹣c＝12，则c＝4a﹣6．由x﹣（ax2﹣3x﹣c）＝2得，x﹣ax2+3x+4a﹣6＝2， ∴（x2﹣4）a＝4x﹣8．由x2﹣4＝0得，x＝±2．当x＝2时，0＝0，即等式（x2﹣4）a＝4x﹣8恒成立，当x＝﹣2时，0≠﹣16， ∴x＝﹣2舍去，所以无论a取何值，该二次函数的图象上一定存在“亮点”为（2，0）． （来源：2026•龙海区校级模拟） 24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=(x＞0)的图象交于点A（1，6），B（n，2）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当EF=AB时，求a的值； （3）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y=(x＞0)的图象交于点A（1，6），B（n，2），将点A的坐标代入反比例函数解析式得：=6，解得：m＝6， ∴反比例函数的解析式为y=，将点B的坐标代入反比例函数解析式得：2=，解得：n＝3， ∴B（3，2），将点A，点B的坐标分别代入一次函数y＝kx+b，得：，解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+8； （2） ∵将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点， ∴直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a， ∴E(，0)，F（0，8﹣a）．如图1，过点A向x轴作垂线，过点B向y轴作垂线，两垂线交于点Q． ∵点A（1，6），B（3，2）， ∴AQ＝4，BQ＝2，在直角三角形ABQ中，由勾股定理得：AB===2． ∵EF=AB， ∴()2+(8-a)2=()2，解得：a＝6或a＝10； （3）如图2，作点A关于y轴的对称点G，连接GB交y轴于点P，此时，△PAB的周长最小． ∵点A（1，6）， ∴G（﹣1，6）．设直线BG的解析式为y＝ex+c，将点B，点G的坐标分别代入得：，解得：， ∴直线BG的解析式为y＝﹣x+5，当x＝0时，得：y＝5， ∴点P的坐标为（0，5）． （来源：2026•馆陶县三模） 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象经过B、C两点，△ABC为直角三角形，AC∥x轴，AB∥y轴，A（6，3），AC＝2． （1）反比例函数的表达式为 ，点B的坐标为 ； （2）点M是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC．①当MB+MC为最小值时，求点M坐标；②点N是反比例函数y=(x＞0)的图象上的一个点，若△CMN是以∠C为直角的等腰直角三角形，求点N的坐标． 【答案】y=12x，（6，2） 【解答】解： （1） ∵A（6，3），AC＝2，AC∥x轴， ∴C（4，3）， ∵反比例函数y=(x＞0)的图象经过C点， ∴3=， ∴k＝12， ∴反比例函数的表达式为y=， ∵A（6，3），AB∥y轴， ∴B点横坐标为6， ∴y==2， ∴B（6，2），故答案为：y=，（6，2）； （2）①如图，过C作CC'⊥y轴，使点C，点C'到y轴的距离相等，连接BC'，交y轴于M点，此时MB+MC最小， ∵C（4，3），B（6，2）， ∴C'（﹣4，3），B（6，2），设直线BC'的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴，解得， ∴直线BC'的解析式为：y=-x+， ∴当x＝0时，y=， ∴点M的坐标为(0，)，②如图，过C作TK∥y轴，过N作NT⊥TK于T，过M作MK⊥TK于K，设M（0，m），N(n，)， ∵△CMN的等腰直角三角形， ∴CM＝CN，∠MCK＝90°﹣∠NCT＝∠CNT， ∵∠K＝∠T＝90°， ∴△MCK≌△CNT（AAS）， ∴TC＝MK， ∵C（4，3），N(n，)， ∴TC=-3，MK＝4， ∴-3=4，解得n=， ∴N（，7）． （来源：2026•商河县一模） 26．（10分）如图，点E为矩形ABCD边AD的中点，连接BE，AB＝8，AD＝12．动点P从B出发沿B→E→A的路线以每秒2个单位长度的速度运动，到达A点时停止运动；同时动点Q从C出发沿C→D的路线以每秒1个单位长度的速度运动，到达D点时停止运动．点M是射线CB上一动点，连接QM，运动过程中△CQM的面积始终等于4．设点P，Q的运动时间为x秒（0＜x＜8），点P到AB的距离为y1，CM的长度为y2． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵点E为矩形ABCD边AD的中点，AB＝8，AD＝12， ∴AE=AD=6，∠A＝∠C＝90°， ∴BE==10， ∴AE+BE＝16，当点P在BE上时（包括点E），有0＜x≤，即0＜x≤5$，过点P作PF⊥AB于点F，如图， ∴∠A＝∠BFP＝90°，BP＝2x，y1＝PF， ∵∠ABE＝∠FBP， ∴△FBP∽△ABE， ∴$\frac{PF}{AE}＝\frac{BP}{BE}$，即$\frac{y_{1}}{6}＝\frac{2x}{10}$， ∴$y_{1}＝\frac{6}{5}x（0＜x≤5）$；当点P在AE上（不包括点E）时，5＜x＜8，如图， ∴PE+BE＝2x，y1＝AP，即PE＝2x﹣10， ∴y＝AP＝AE﹣PE＝6﹣（2x﹣10）＝16﹣2x，即y1＝16﹣2x（5＜x＜8）， ∴$y_{1}＝\left\{\begin{array}{l}\frac{6}{5}x（0＜x≤5）\\ 16﹣2x（5＜x＜8）\end{array}\right.$， ∴$S_{△CQM}＝\frac{1}{2}MC•CQ＝4$，CQ＝x，y2＝CM， ∴$y_{2}＝\frac{8}{CQ}＝\frac{8}{x}$，即$y_{2}＝\frac{8}{x}（0＜x＜8）$； （2）列表如下 x … 3 5 6 7 … y1 … 3.6 6 4 2 描点并连线，如图列表如下： x … 0.5 1 2 4 5 … y2 … 16 8 4 2 1.6 … 描点并连线，如图，图像即为所求；由图可知，y1在0＜x≤5时，随着x的增大而增大；y2在0＜x＜8时随着x的增大而减小； （3）由图可知，当2.6＜x＜7.5时，y1＞y2． （来源：2026•南岸区模拟） 27．（10分）如图，点A与原点O均在抛物线L：y＝（x﹣2）2+k的图象上，点A1与点A关于原点对称，点B与点A到L的对称轴的距离相等，且A1B∥x轴（点A1在点B的左侧）．设点A的横坐标为xA（xA＜0）． （1）求L的解析式，并直接写出顶点坐标； （2）证明：A1B＝4； （3）当直线A1B与L有两个公共点时，设这两个点分别为C、D（点C在点D左侧）．①若2CD＜A1B，求xA的取值范围；②点M在x轴上，设点M的横坐标为xM（0＜xM＜2）．若点M与点C到直线AA1的距离相等，且点M与点D到直线AB的距离也相等，直接写出xA的值． 【答案】见解析 【解答】（1）解：将原点O（0，0）代入y＝（x﹣2）2+k，得0＝（0﹣2）2+k，解得k＝﹣4，因此抛物线L的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4（或y＝x2﹣4x），顶点坐标为（2，﹣4）． （2）证明：已知点A横坐标为xA，则A(xA，xA2-4xA)．A1与A关于原点对称，故A1(-xA，-xA2+4xA)；抛物线L对称轴为x＝2，点B与A到对称轴距离相等，因此|xB﹣2|＝|xA﹣2|．因A≠B，故xB﹣2＝2﹣xA， ∴xB＝4﹣xA；A1B∥x轴，A1在B左侧，故A1B长度为横坐标差：A1B＝xB﹣（﹣xA）＝（4﹣xA）+xA＝4． （3）解：① ∵直线A1B的解析式为y=-yA=-xA2+4xA，联立抛物线方程y＝x2﹣4x，得x2-4x+xA2-4xA=0，设方程两根为xC，xD，由韦达定理得：xC+xD=4，xCxD=xA2-4xA． ∴CD=|xD-xC|==2． ∵2CD＜A1B，由（2）知，A1B＝4， ∴2×2＜4，解得xA＜2-或xA＞2+， ∵直线A1B与抛物线有两个交点， ∴2＞0， ∴-xA2+4xA+4＞0， ∴2-2＜xA＜2+2， ∵又xA＜0， ∴2-2＜xA＜0，综上得2-2＜xA＜2-．②连接AB， ∵点M与点C到直线AA1的距离相等，且点M与点D到直线AB的距离也相等， ∴DM∥AB，CM∥AA1， ∴∠MDC＝∠B，∠MCD＝∠A1， ∴△MCD∽△AA1B， ∵A1B∥x轴， ∴四边形A1CMO是平行四边形， ∴CM＝OA1， ∵OA＝OA1， ∴AA1＝2CM， ∵A1B＝4，=， ∴CD=A1B=2， ∴2=2，解得xA=2-，或xA=2+， ∵xA＜0， ∴若点M与点C到直线AA1的距离相等，且点M与点D到直线AB的距离也相等，则xA=2-． （来源：2026•路北区二模） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $