精品解析：四川省射洪中学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

初2024级第一次核心素养评价 数学试题 （满分：150分时间：120分钟） 一、单选题（共54分） 1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 代数式有意义，的值可为（ ） A. B. C. 2 D. 一切实数 3. 有下列式子：，+1，，，，，. 其中一定是二次根式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. ， 6. 一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 8. 若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（ ） A. －2 B. 2 C. 或2 D. 以上都不对 9. 如图所示，昆明某小区规划在一个长，宽的矩形花园上修建3条同样宽的景观小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，如果使花园种植部分总面积为，设小路宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 下列方程中，解为的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 将一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为3，则该方程的一次项系数为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（ ） A. B. C. D. 13. 已知实数满足，则以为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 14. 是方程的两个根，若，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 15. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 16. 等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 2或4 D. 12或16 17. 设 ， 是一元二次方程 的两个根，那么 的值等于（ ） A. B. C. D. 18. 关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共24分） 19. 把根号外的数字因式移入根号内的结果是______． 20. 若是完全平方式，则_____________________ ． 21. 若，满足，则_______． 22. 若关于的方程是一元二次方程，则________． 23. 已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 24. 一次函数的图像如图所示，则______． 三、解答题（共72分） 25. 计算 （1）； （2）． 26. 选择合适的方法解一元二次方程： （1）4(x﹣5)2＝16； （2）(x+3)(x﹣1)＝5． 27. 数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，，请你比较的大小． 28. 已知关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0. （1）求证：不论m取何值，方程都有实数根； （2）若方程有两个整数根，求整数m的值. 29. 我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简：_______，_______； （2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简． 30. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 31. 阅读理解材料：已知实数满足，且． 根据材料，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得， ． 解决以下问题： （1）方程的两个实数根为，则_________，_________； （2）已知实数满足，且，求的值； （3）已知实数满足，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2024级第一次核心素养评价 数学试题 （满分：150分时间：120分钟） 一、单选题（共54分） 1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：与不是同类二次根式，A错误； =，与不是同类二次根式，B错误； =，与不是同类二次根式，C错误； =，与是同类二次根式，D正确． 故选D． 2. 代数式有意义，的值可为（ ） A. B. C. 2 D. 一切实数 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且， ∴四个选项中，只有B选项符合题意． 3. 有下列式子：，+1，，，，，. 其中一定是二次根式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的概念，可知根指数必须是2，被开方数大于或等于0，依次对题中各式进行判断即可得结果. 【详解】一定是二次根式； +1不一定是二次根式，∵时，根式无意义； 不一定是二次根式，∵时，，根式无意义； 一定是二次根式； 根指数不是2，一定不是二次根式； 不一定是二次根式，∵时，根式无意义； ∵-111，∴一定不是二次根式. 其中一定是二次根式的是， . 故选C. 【点睛】本题考查二次根式的概念：式子（a）叫二次根式. 二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义. 4. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、不是整式方程，故此选项不符合题意； C、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 解得，， 故选：C． 6. 一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，且， ∴且，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用判别式并保证二次项系数不能为零是解题的关键． 8. 若关于x的一元二次方程的解是，，则关于y的方程的解为（ ） A. －2 B. 2 C. 或2 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，一元二次方程的解，令，则，得出，即可解答． 【详解】解：令， 则方程可改写为：， ∵一元二次方程的解是，， ∴， ∴或， 解得：或， 故选：C． 9. 如图所示，昆明某小区规划在一个长，宽的矩形花园上修建3条同样宽的景观小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，如果使花园种植部分总面积为，设小路宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为；那么根据题意即可得出方程． 【详解】解：设小路宽为，则列方程为， 故选C． 10. 下列方程中，解为的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的定义是正确解答的关键． 把分别代入各个选项中的方程的左边和右边进行检验即可． 【详解】解：A. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意； B. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意； C. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边≠右边，∴不是该方程的解，故此选项不符合题意； D. ，当时，方程左边=，方程右边=，左边=右边，∴是该方程的解，故此选项符合题意； 故选：D． 11. 将一元二次方程化为一般形式，若二次项系数为3，则该方程的一次项系数为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将方程化为二次项系数为3的一般形式，即可确定一次项系数． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， ∴ 一次项系数为． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为，利用根的和等于即可求出另一个根即可. 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 13. 已知实数满足，则以为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵实数满足， ∴当以为根的一元二次方程的二次项系数为1时，此时一次项系数为，常数项是，即符合题意的方程为， 故选：A． 14. 是方程的两个根，若，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，能用m表示出两根之积，再结合整体思想是解题的关键． 利用根与系数的关系可用表示出和，再根据题中所给等式，变形为，代入，求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 15. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：C． 16. 等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 2或4 D. 12或16 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 17. 设 ， 是一元二次方程 的两个根，那么 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，，进而推出，再推出，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， 是一元二次方程 的两个根， ∴，，。 ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，正确推出是解题的关键． 18. 关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识点，掌握运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况成为解题的关键． 通过证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或即可判断③；由题意可得即可判断④． 【详解】解：①对于方程， ∴， 若，则， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故①正确； ②由①可知，， 若，则，即，则， ∴， ∴方程没有实数根；故②正确； ③若n是方程的一个根，则，即， ∴或，即或，故③错误； ④若是方程的一个根， ∴， ∵， ∴两边同除以得，， 即， ∴是方程的一个根，故④正确； 综上可知，①②④正确，共3个． 故选：C． 二、填空题（共24分） 19. 把根号外的数字因式移入根号内的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，将根号外的正因数平方后移入根号内，保留原式的负号即可得到结果． 【详解】解：． 20. 若是完全平方式，则_____________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可得到a的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故答案为：． 21. 若，满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 22. 若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 23. 已知关于的一元二次方程，方程有两个互为相反数的实数根，则的值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两根互为相反数得出两根之和为0，求出的值后，再验证方程是否存在实数根，即可得到结果． 【详解】解：设方程的两个实数根为， 由根与系数的关系，结合两个根互为相反数，得：， 解得：， 将代入原方程，得， 此时判别式，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 24. 一次函数的图像如图所示，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图像确定、 的符号以及、的正负，利用二次根式的性质和绝对值的性质化简求值． 【详解】解：由图像可知，直线从左下向右上延伸，且与 轴交于负半轴， ∴，， ∵直线与轴的交点在 2 和 3 之间， ∴当时，，即 ； 当 时，，即 ∴原式    ． 三、解答题（共72分） 25. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 26. 选择合适的方法解一元二次方程： （1）4(x﹣5)2＝16； （2）(x+3)(x﹣1)＝5． 【答案】（1）x1＝7，x2＝3；（2）x1＝﹣4，x2＝2． 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解可得； （2）先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得． 【详解】解：（1）∵4(x﹣5)2＝16， ∴(x﹣5)2＝4， ∴x﹣5＝2或x﹣5＝﹣2， 解得x1＝7，x2＝3； （2）将方程整理为一般式，得：x2+2x﹣8＝0， ∴(x+4)(x﹣2)＝0， 则x+4＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 27. 数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，，请你比较的大小． 【答案】 【解析】 【分析】采用作差法计算与的差，根据差的正负判断二者的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 28. 已知关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0. （1）求证：不论m取何值，方程都有实数根； （2）若方程有两个整数根，求整数m的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）m=1或m=-1． 【解析】 【分析】（1）分类讨论m=0和m≠0两种情况下方程根的个数； （2）把mx2+（3m+1）x+3=0因式分解得到根据题意可知是整数，据此求出正整数m的值． 【详解】（1）证明：当m=0时，x=-3， 当m≠0时，b2-4ac=（3m-1）2≥0， 所以 该一元二次方程有两个实根， 综上不论m为何实数，此方程总有实数根； （2）解：∵mx2+（3m+1）x+3=0， ∴（mx+1）（x+3）=0， ∴x1=-，x2=-3， ∵方程有两个不同的整数根，且m为整数， ∴m=1或m=-1． 【点睛】根的判别式, 解一元二次方程-因式分解法，比较基础，难度不大.注意分类讨论，不要漏解. 29. 我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简：_______，_______； （2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】（1）2， （2） 【解析】 【分析】（1）根据化简即可； （2）由数轴可得，，，根据及绝对值的性质化简即可． 【小问1详解】 解：，． 【小问2详解】 解：由数轴可得， ∴，， ∴ ． 30. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，根据题意得到，进而问题可求解． 任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为元，列出方程求解即可． 【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又 ∵要尽量减少库存， ， 答：下调后每个手办的售价为50元． 任务3：设下调后每个手办的售价为元， 则， 整理得：， ， 故平均每天不能获利2100元． 31. 阅读理解材料：已知实数满足，且． 根据材料，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得， ． 解决以下问题： （1）方程的两个实数根为，则_________，_________； （2）已知实数满足，且，求的值； （3）已知实数满足，且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用根与系数的关系求解； （2）先把、看作方程的两根，则利用根与系数的关系得到，，再利用，则可计算出的值，然后根据算术平方根的定义得到的值． （3）先把变形为，则、可看作方程的两根，根据根与系数的关系得到，即可解答． 【小问1详解】 解：∵方程的两个实数根为， ∴，． 【小问2详解】 解： ，，且， 、可看作方程的两根， ，， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ∴两边除以并移项得 ， ，即， 、可看作方程的两根， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $