期中巩固训练2026-2027学年北师大版数学九年级上册

期中巩固训练2026-2027学年北师大版九年级上册 一．选择题 1．观察下列图形，是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则代数式1﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 【答案】D． 3.若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 【答案】C． 4．如果两个相似三角形的周长之比为1：4，那么它们对应边之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【答案】B 5.下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0 【答案】B 6．如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连接CP．添加一个条件使△ACP与△ABC相似．下列添加的条件中不正确的是(     )    A．∠APC=∠ACB B．∠ACP=∠B C．AC2=AP•AB D．AC：PC=AB：BC 【答案】D 7．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 8.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为(　　) A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 【答案】C 9.一次酒会上，每两人都只碰一次杯，一共碰杯 55 次，设参加酒会的人数为x，则可列方程为（　　） A． x（x﹣1）＝55 B．x（x﹣1）＝55 C． x（x+1）＝55 D．x（x+1）＝55 【答案】A 10．如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F是边BC上一点，BE＝2ED，CF＝2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF交BD于H、连接EF、FG．给出下列结论：①DG＝GC；②∠FGC＝∠AGF；③△AHE∽△DGE；④；⑤∠BAF＝∠BEF；其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C． 二．填空题 11．已知方程（2﹣m）x|m|﹣x+3＝0，当m＝　 　 时，是关于x的一元二次方程． 【答案】﹣2． 12.已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 【答案】3 13．已知：如图，DE∥BC，AD：BD＝1：2，则S△ADE：S四边形BCED＝　 　． 【答案】1：8 14．如图，在边长为1的菱形ABCD中，，将沿射线BD的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 ． 【答案】 15．某校九年一班数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度．如图，某一时刻小刚（用表示）在地面上的影子恰好落在旗杆（用表示）在地面上的影子上，测得小刚到旗杆的距离，小刚的影长，若小刚的身高，则旗杆的高度为 ．    【答案】9 16．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论： ①四边形一定是矩形； ②四边形可能是菱形； ③连接，四边形不可能是正方形； ④当G为中点时，是等腰三角形． 其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 三．解答题 17.解方程： （1）x2﹣4x+3＝0；（2）2（x﹣1）2＝x﹣1． 【答案】解：（1）∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝1，x2＝3； （2）∵2（x﹣1）2＝x﹣1， ∴2（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0， 则（x﹣1）（2x﹣3）＝0， ∴x﹣1＝0或2x﹣3＝0， 解得x1＝1，x2＝1.5． 18.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（m+1）＝16﹣4m﹣4＞0， 解得：m＜3． （2）∵该方程的两个实数根为x1、x2， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝m+1． ∵x1+x2＝2x1•x2， ∴2（m+1）＝4， 解得：m＝1． 19．如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． (1)在图中画出； (2)若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是_____． 【答案】（1）根据题意，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到， 则，画图如下： 则即为所求． （2）内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是， 故答案为：． 20．已知：如图，△ABC中，D是边BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC交AB于点E，EC交AD于点F． （1） 求证：△ABC∽△FCD； （2）求 的值． 【答案】（1）证明：∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACB， ∵D是边BC的中点，DE⊥BC ∴DE是BC的中垂线 ∴BE=CE ∴∠B＝∠ECB， ∴△ABC∽△FCD； （2）解：∵△ABC∽△FCD， ∴ ， ∵D是BC边的中点， ∴BC＝2CD， ∴AD＝AC＝2FD， ∵∠ACD＝∠ADC，∠B＝∠FCD， ∴∠EAD＝∠ACE， ∴△EAF∽△ECA， ∴ ， ∴EC＝2EA＝4EF， ∴ ＝3． 21.如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即 ， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴． 22.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台． (1)求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率； (2)从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？ 【答案】(1) 设二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率为25%． (2) 设每台降价y元，则四月份可售出台， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当每台降价4元时，四月份销售这种台灯可获利348元． 23．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律. 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为.图中A，B，C，D在同一条直线上. （1） 求的长； （2） 求灯泡到地面的高度. 【答案】（1）解：由题意可得：， 则， ∴， ∴， 解得：， 答：的长为； （2）解：∵， ∴， ∵光在镜面反射中的反射角等于入射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为. 24．如图，在正方形中，，E是射线上的一点，连接，过点E作，交直线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)如图1，当E点在对角线上时，求的值； (3)当时，求的长． 【答案】（1）（1）如图，作于点M，于点N， ∵四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴． ， ∴四边形是矩形， ∴， ． ， ， ， ∴矩形是正方形； （2）解∵四边形和都是正方形， ∴， ， ， ， ． （3）解：①如图所示，当E点在对角线上时，作于点O， ∵四边形都是正方形， ∴， ， ， ， ， ②当E点在对角线外时，如图所示： 同①可得： ， ， ， 综上所述，或 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中巩固训练2026-2027学年北师大版九年级上册 一．选择题 1．观察下列图形，是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2.若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则代数式1﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 3.若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 4．如果两个相似三角形的周长之比为1：4，那么它们对应边之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 5.下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0 6．如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连接CP．添加一个条件使△ACP与△ABC相似．下列添加的条件中不正确的是(     )    A．∠APC=∠ACB B．∠ACP=∠B C．AC2=AP•AB D．AC：PC=AB：BC 7．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 8.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为(　　) A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 9.一次酒会上，每两人都只碰一次杯，一共碰杯 55 次，设参加酒会的人数为x，则可列方程为（　　） A． x（x﹣1）＝55 B．x（x﹣1）＝55 C． x（x+1）＝55 D．x（x+1）＝55 10．如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F是边BC上一点，BE＝2ED，CF＝2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF交BD于H、连接EF、FG．给出下列结论：①DG＝GC；②∠FGC＝∠AGF；③△AHE∽△DGE；④；⑤∠BAF＝∠BEF；其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题 11．已知方程（2﹣m）x|m|﹣x+3＝0，当m＝　 　 时，是关于x的一元二次方程． 12.已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是________． 13．已知：如图，DE∥BC，AD：BD＝1：2，则S△ADE：S四边形BCED＝　 　． 14．如图，在边长为1的菱形ABCD中，，将沿射线BD的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为 ． 15．某校九年一班数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度．如图，某一时刻小刚（用表示）在地面上的影子恰好落在旗杆（用表示）在地面上的影子上，测得小刚到旗杆的距离，小刚的影长，若小刚的身高，则旗杆的高度为 ．    16．如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一动点（不与端点B，C重合），N为的中点．现有以下结论： ①四边形一定是矩形； ②四边形可能是菱形； ③连接，四边形不可能是正方形； ④当G为中点时，是等腰三角形． 其中一定正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 三．解答题 17.解方程： （1）x2﹣4x+3＝0；（2）2（x﹣1）2＝x﹣1． 18.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实根． （1）求m的取值范围． （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝2x1•x2，求m的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． (1)在图中画出； (2)若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是_____． 20．已知：如图，△ABC中，D是边BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC交AB于点E，EC交AD于点F． （1） 求证：△ABC∽△FCD； （2）求 的值． 21.如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长度． 22.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，一月份售出32台，二、三月份这种台灯销售量连续增长，其中三月份售出50台． (1)求二月份、三月份两个月这种台灯销售量的月均增长率； (2)从四月份起商场决定采取降价促销措施，调查发现，在三月份销量的基础上，如果这种台灯的售价每降价2元，那么月销售量增加4台．当每台降价多少元时，四月份销售这种台灯可获利348元？ 23．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律. 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为.图中A，B，C，D在同一条直线上. （1） 求的长； （2） 求灯泡到地面的高度. 24．如图，在正方形中，，E是射线上的一点，连接，过点E作，交直线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)如图1，当E点在对角线上时，求的值； (3)当时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $