专题二 ·期中综合复习讲义（第20～22章）·2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

专题二·期中综合复习·高效培优讲义 （第20~22章）（知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深化二次根式化简求值技巧，掌握非负性与整体代入方法 · 熟练换元法、配方法解复杂一元二次方程，提升运算准确率 · 综合运用判别式与不等式、函数知识求参数取值范围 · 掌握相似三角形与四边形、勾股定理综合题的解题策略 · 强化坐标系中位似、位置确定等数形结合问题的分析能力 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的综合化简 本身具有非负性，几个非负数之和为0则各自为0 利用 =|a| 与数轴信息判断符号后去绝对值 已知条件式化简求值常用整体代入，避免单独求字母值 分母有理化与平方差公式结合处理复合二次根式 概念辨析例题：已知实数 a 在数轴上对应点在 2 与 3 之间，化简 +|a-3|。 答案：原式=|a-2|+|a-3|=(a-2)+(3-a)=1。 解析：a 在 2 与 3 之间时 a-2>0、a-3<0，由 =|a| 与绝对值定义，得 |a-2|=a-2，|a-3|=3-a，相加为1。 ☆ 2.一元二次方程的解法进阶 换元法：把含未知数的整体设为新元，化繁为简 新定义运算题先按定义把方程翻译为常规一元二次方程 配方法可推广用于求最值、证明非负性 因式分解法注意十字相乘与提公因式的灵活选用 概念辨析例题：用换元法解方程 (x2-x)2-4(x2-x)-12=0。 答案：设 y=x2-x，则 y2-4y-12=0，解得 y=6 或 y=-2；x2-x=6 得 x1=3，x2=-2；x2-x=-2 无实根。 解析：换元后降次为关于 y 的一元二次方程，再分别回代求解。注意回代后仍需用判别式检验，避免漏舍无解分支。 ☆ 3.判别式与参数综合 由根的情况列不等式时须同时满足二次项系数不为0 方程根的情况与函数图象、不等式组结合的综合题先分类讨论 证明方程恒有实根时对 Δ 配方成非负式 等腰三角形、直角三角形背景下求第三边先判三边关系 概念辨析例题：求证：关于 x 的方程 x2-(k+2)x+2k=0 必有实数根。 答案：Δ=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0，故方程必有实数根。 解析：计算判别式后配方得 (k-2)2，无论 k 取何值平方非负，故 Δ≥0 恒成立。此类「证明恒有实根」题的核心就是配方成完全平方。 ☆ 4.相似三角形综合 相似与平行四边形结合：利用等角对等边与角平分线转化角 相似实际应用（测高、测距）：把实物抽象为相似直角三角形 网格中相似用勾股定理算边长后按三边成比例判定 位似图形既是相似变换，也涉及坐标的倍数变化 概念辨析例题：在同一时刻，身高 1.6 m 的小明影长 2 m，旁边旗杆影长 10 m，求旗杆高度。 答案：设旗杆高 h，由相似得 h:10=1.6:2，解得 h=8 m。 解析：平行投影下物高与影长构成相似直角三角形，对应边成比例。注意单位统一，直接列比例式求解即可。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次根式非负性 ≥0（a≥0） 多个非负数和为0则各自为0 换元法 整体设元 y=… 回代后再用判别式检验 判别式综合 Δ=b2-4ac 勿忘二次项系数 a≠0 韦达定理 x1+x2=- 前提 Δ≥0 相似实际应用 物高:影长=物高:影长 平行投影下成比例 位似坐标 以原点为中心乘 ±k 注意同向反向两种情况 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的性质与运算（第1-6题） · 利用数轴信息先判断字母符号再去绝对值 · 非负性问题中平方、算术根、绝对值之和为0即各自为0 · 分母有理化结合平方差公式 · 化简求值优先整体代入 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）若，则（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小：__________（填“>”或“<”或“=”）． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 5．（26-27八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点2】一元二次方程的概念与解法（第7-13题） · 新定义题先翻译为常规方程 · 换元后回代必须检验 · 因式分解注意十字相乘 · 判断方程类型先看二次项系数 7．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（  ） A． B． C． D．且 8．（2025·河南周口·三模）若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 9．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）若是关于的方程的解，则的值为______． 10．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 11．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）在实数范围内定义一种运算“※”，其规则是，根据这个规则，求方程的解． 【考点3】根的判别式及其应用（第14-17题） · 由根的情况列不等式勿忘 a≠0 · 证明恒有实根就把 Δ 配方成平方 · 与函数象限结合时先定参数范围 · 等腰三角形背景先判三边关系 14．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为______． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有实数根． 【考点4】一元二次方程的实际应用（第18-27题） · 增长率/下降率模型 a(1±x)2=b · 握手、传播问题按轮次建模 · 图形面积问题画图标注边长 · 销售问题用「单利×销量=总利」 18．（23-24九年级上·天津河东·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．有下列结论：①降价8元时，数量为36件．②若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元．③商场平均每天盈利最多为1250元．正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）元旦晚宴上大家两两碰杯一次，总共碰杯55次，那么有几人参加了这次宴会（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 20．（2026·山东临沂·二模）随着人工智能的迅速发展，某企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税万元．若每年保持相同的增长率，则该企业这两年缴税的年平均增长率是________． 21．（2025·陕西西安·三模）割补法是数学中重要的思想方法之一，利用“割”与“补”可以巧妙的将不规则图形化为规则熟悉的图形，从而使问题变得简单．如图，是矩形的对角线，小江利用分割法将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后利用移补法将分割的图形按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是___________． 22．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）徐老师购买了576张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有______名学生． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，其问题如下：今有圭垛一堆．上一束，底宽八束．问共几束． (1)你能解决这个问题吗？ (2)如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第n行有n束…你能发现从上往下数前多少行的束数的和是300吗？（提示：．） 24．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 25．（25-26八年级下·北京顺义·期末）由于部分汽车车型较大，为了扩大每个车位的面积，小区物业打算重新划分某处的10个大小相同的矩形车位．现在每个矩形车位的长和宽分别为，，重新划分后车位数不变，每个矩形车位的长和宽增加了相同的长度，且个车位的总面积增大了．求重新划分后每个矩形车位的长和宽分别是多少？ 26．（25-26八年级下·山东济南·期末）某果园原计划种80棵桃树，每棵桃树平均结800个桃子，现准备多种一些桃树提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，平均每棵桃树的产量就会减少2个桃子，但多种的桃树不能超过60棵．如果要使总产量达到76000个，那么应多种多少棵桃树？ 27．（25-26九年级上·河南郑州·期中）某工厂生产一批小家电，2022年的出厂价是144元，2023年，2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年出厂价调整为100元． (1)如果这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（百分数小数点后保留两位小数） (2)某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1200元，单价应降低多少元？ 【考点5】成比例线段与黄金分割（第28-32题） · 比例性质：内项积等于外项积 · 黄金比 ≈0.618 · 无理数估算夹逼在相邻整数间 · 正方形中的黄金分割设元列方程 28．（25-26九年级上·全国·单元测试）若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 29．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小：_____________．（填“”，“”或“”） 30．（2024·山东潍坊·模拟预测）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是__________（结果精确到．参考数据：，，）． 31．（2025·广东深圳·一模）数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 32．（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号：______． 【考点6】平行线分线段成比例（第33-35题） · 找准平行线截出的对应线段 · 与解直角三角形联合求边长 · 比例式写成竖排对应更不易错 33．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，，与相交于点，则下列结论中正确的个数是（     ） ①；②；③；④；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 34．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，，则下列比例式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（2025·上海徐汇·一模）如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是__________． 【考点7】相似三角形的判定与性质（第36-44题） · 角平分线+平行四边形先转化角 · 网格中先算三边再用三边成比例 · 周长比=相似比、面积比=相似比平方 · 含30°直角三角形三边比为1::2 36．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，点在边上，且，在上找一点，使得与原三角形相似，则的长是（    ） A． B． C．或 D． 37．（25-26九年级下·云南昭通·期中）如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．5 C．4 D．2 38．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 39．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 40．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 41．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，平分，当的长为_______时，． 42．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 43．（24-25九年级上·北京·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)____________． (2)判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． (3)求． 44．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形中，E，G分别是的中点，连接．线段CE分别交，于点F，H． (1)求的值； (2)求的值． 【考点8】相似三角形的实际应用（第45-48题） · 测高测距抽象为相似直角三角形 · 注意同一时刻物高影长成正比 · 与平行四边形面积综合时分开算 45．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是__________米． 46．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为__________米．    47．（2025·广东深圳·一模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为，则 聚光灯距离地面的高度为__________m． 48．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【考点9】位似图形与相似多边形（第49-51题） · 位似是特殊的相似 · 位似概念辨析题注意对应点连线 · 相似多边形对应边成比例 49．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 50．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小． 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，为固定点，，在点处分别装上画笔． 画图：现有一图形，画图时固定点，控制点处的笔尖沿图形的轮廓线移动，此时点处的画笔便画出了将图形放大后的图形． 原理： 若连接，，可证得以下结论： ①和为等腰三角形，则（______）； ②四边形为平行四边形； ③，于是可得三点在一条直线上； ④当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的______倍得到的． 51．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______． 【考点10】图形与坐标（第52-60题） · 写坐标注意象限符号 · 方位角问题方向角与距离并重 · 坐标与图形综合先画示意图 · 轴对称前后坐标关于坐标轴对称变化 52．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使与全等，那么点D的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或或 53．（24-25七年级下·河北沧州·期末）已知关于的不等式组的整数解为，（其中，为整数），若点的坐标为，则满足条件的点共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 54．（24-25七年级下·北京·期中）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ②当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ③当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ④当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 55．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图所示，一颗跳棋原来在棋盘上的A处，该棋子沿着箭头所指的方向运动到点B处，继续运动到点C处，则它运动的路径用坐标表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 56．（2022·河北石家庄·模拟预测）若点与点关于y轴对称，则的值是________；若点的坐标满足，则称点P为“和谐点”，请写出一个“和谐点”的坐标________． 57．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图是某游乐城的平面示意图，若用表示入口处的位置，用表示球幕电影的位置，那么坐标原点表示的位置是_______． 58．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，则当_________时，是等腰三角形． 59．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）[问题背景]如图①是学校教学楼的平面示意图，每个小方格的边长为1个单位长度，表示的距离，若以正东为x轴的正方向，正北为y轴的正方向建立平面直角坐标系，得到明德楼的坐标是，致远楼的坐标为． 【问题解决】 (1)若建立平面直角坐标系，则原点的位置为______（填写建筑物名称）；知行楼的坐标为______； (2)若利用方向角和距离，如图②，以明德楼为基准点，知行楼在明德楼的北偏西，距离处，记为（北偏西，），进一步使用测量工具并换算，可将启智楼的位置记为______； (3)【拓广延伸】若下课后小华同学以的平均速度从致远楼步行至知行楼，请问需要多长时间？ 60．（25-26八年级下·全国·周测）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． (1)写出点A，B，C，D的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 💯 课后巩固 复习建议 · 含字母根式化简先判符号，再去绝对值 · 换元法解完务必回代并检验 · 判别式求参数勿忘二次项系数限制 · 相似综合题先标等角等边再列比例 · 实际问题建模后检验根的合理性 【作业1】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【作业2】．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，在三角形纸片中，，，，则下列选项阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【作业3】．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26九年级上·河南周口·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 【作业5】．（2022·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【作业6】．（2025·湖北十堰·模拟预测）下列函数中，自变量的取值范围为的是（    ） A． B． C． D． 【作业7】．（25-26九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米． 【作业8】．（25-26九年级上·全国·阶段检测）“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了______人． 【作业9】．（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则_____． 【作业10】．（24-25八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为____________________． 【作业11】．（24-25九年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 【作业12】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积为______． 【作业13】．（2025·福建三明·二模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，则像的高为______． 【作业14】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）（1）如果，求； （2）如果，求的值． 【作业15】．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，将矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是__________． 【作业16】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，．____________． 【作业17】．（26-27九年级上·全国·课后作业）方程有两个实数根，求k的取值范围． 【作业18】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某电视机厂今年月份的电视机产量为台，月份比月份多生产了台，求该厂这两个月电视机产量的月平均增长率． 【作业19】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，化简：． 【作业20】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”． (1)在中，． ①如图1，若，请过顶点C画出的“形似线段”，并标注必要度数； ②如图2，若，则的“形似线段”的长是______． (2)如图3，在中，，，，若是的“形似线段”，求的长． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·高效培优讲义 （第20~22章）（知识梳理+典例+练习）·2026年华东师大九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 深化二次根式化简求值技巧，掌握非负性与整体代入方法 · 熟练换元法、配方法解复杂一元二次方程，提升运算准确率 · 综合运用判别式与不等式、函数知识求参数取值范围 · 掌握相似三角形与四边形、勾股定理综合题的解题策略 · 强化坐标系中位似、位置确定等数形结合问题的分析能力 📚 知识梳理 ☆ 1.二次根式的综合化简 本身具有非负性，几个非负数之和为0则各自为0 利用 =|a| 与数轴信息判断符号后去绝对值 已知条件式化简求值常用整体代入，避免单独求字母值 分母有理化与平方差公式结合处理复合二次根式 概念辨析例题：已知实数 a 在数轴上对应点在 2 与 3 之间，化简 +|a-3|。 答案：原式=|a-2|+|a-3|=(a-2)+(3-a)=1。 解析：a 在 2 与 3 之间时 a-2>0、a-3<0，由 =|a| 与绝对值定义，得 |a-2|=a-2，|a-3|=3-a，相加为1。 ☆ 2.一元二次方程的解法进阶 换元法：把含未知数的整体设为新元，化繁为简 新定义运算题先按定义把方程翻译为常规一元二次方程 配方法可推广用于求最值、证明非负性 因式分解法注意十字相乘与提公因式的灵活选用 概念辨析例题：用换元法解方程 (x2-x)2-4(x2-x)-12=0。 答案：设 y=x2-x，则 y2-4y-12=0，解得 y=6 或 y=-2；x2-x=6 得 x1=3，x2=-2；x2-x=-2 无实根。 解析：换元后降次为关于 y 的一元二次方程，再分别回代求解。注意回代后仍需用判别式检验，避免漏舍无解分支。 ☆ 3.判别式与参数综合 由根的情况列不等式时须同时满足二次项系数不为0 方程根的情况与函数图象、不等式组结合的综合题先分类讨论 证明方程恒有实根时对 Δ 配方成非负式 等腰三角形、直角三角形背景下求第三边先判三边关系 概念辨析例题：求证：关于 x 的方程 x2-(k+2)x+2k=0 必有实数根。 答案：Δ=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0，故方程必有实数根。 解析：计算判别式后配方得 (k-2)2，无论 k 取何值平方非负，故 Δ≥0 恒成立。此类「证明恒有实根」题的核心就是配方成完全平方。 ☆ 4.相似三角形综合 相似与平行四边形结合：利用等角对等边与角平分线转化角 相似实际应用（测高、测距）：把实物抽象为相似直角三角形 网格中相似用勾股定理算边长后按三边成比例判定 位似图形既是相似变换，也涉及坐标的倍数变化 概念辨析例题：在同一时刻，身高 1.6 m 的小明影长 2 m，旁边旗杆影长 10 m，求旗杆高度。 答案：设旗杆高 h，由相似得 h:10=1.6:2，解得 h=8 m。 解析：平行投影下物高与影长构成相似直角三角形，对应边成比例。注意单位统一，直接列比例式求解即可。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次根式非负性 ≥0（a≥0） 多个非负数和为0则各自为0 换元法 整体设元 y=… 回代后再用判别式检验 判别式综合 Δ=b2-4ac 勿忘二次项系数 a≠0 韦达定理 x1+x2=- 前提 Δ≥0 相似实际应用 物高:影长=物高:影长 平行投影下成比例 位似坐标 以原点为中心乘 ±k 注意同向反向两种情况 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次根式的性质与运算（第1-6题） · 利用数轴信息先判断字母符号再去绝对值 · 非负性问题中平方、算术根、绝对值之和为0即各自为0 · 分母有理化结合平方差公式 · 化简求值优先整体代入 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查二次根式和绝对值的性质，利用二次根式性质将原式化简为绝对值形式，再根据绝对值性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解不等式得 ． 2．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、比较二次根式的大小 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小：__________（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【新定义】如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． (3) 【知识点】二次根式的混合运算、一元二次方程的定义、根据判别式判断一元二次方程根的情况、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可； （2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可； （3）先说明，再结合四边形的周长是可得，进而求得，可得；再利用完全平方公式求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”． （2）略 （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，     ， ， ，即， ， ， ． 5．（26-27八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式性质和化简，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简即可； （2）利用二次根式的性质进行化简即可； （3）利用二次根式的性质进行化简即可； （4）利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【考点2】一元二次方程的概念与解法（第7-13题） · 新定义题先翻译为常规方程 · 换元后回代必须检验 · 因式分解注意十字相乘 · 判断方程类型先看二次项系数 7．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如果关于x的方程有实数根，那么k的取值范围是（  ） A． B． C． D．且 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、一元一次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，分方程是一元一次方程， 一元二次方程两种情况求解作答即可． 【详解】解：当方程是一元一次方程，且有实数根时，， ∴， 解得，； 当方程是一元二次方程时，且有实数根时， ∴，， 解得，且； 综上所述，； 故选：A． 8．（2025·河南周口·三模）若实数分别满足：且，则点所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】A 【知识点】判断点所在的象限、解一元二次方程——直接开平方法、求一元一次不等式的解集 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点所在的象限． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 分以下两种情况讨论： 当时，，， ∴点所在的象限是第一象限； 当时，，， ∴点所在的象限是第二象限； 综上所述，点所在的象限是第一象限或第二象限． 故选：A． 9．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）若是关于的方程的解，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再整体代入代数式即可求解，掌握一元二次方程的解的定义及整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴原式， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【答案】或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、新定义下的实数运算 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 11．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题： 已知，求的值． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，设，于是原方程可变为，求出的值即可． 【详解】解：设，于是原方程可变为， ∴或， 解得，， 当时，整理得，，符合题意； 当时，整理得，，不符合题意； 综上所述，． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解： 可得或 解得，； （2）解： 解得． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）在实数范围内定义一种运算“※”，其规则是，根据这个规则，求方程的解． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、新定义下的实数运算 【分析】由运算规则可得，结合得出，最后解一元二次方程即可． 【详解】解：∵在实数范围内定义一种运算“※”，其规则是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【考点3】根的判别式及其应用（第14-17题） · 由根的情况列不等式勿忘 a≠0 · 证明恒有实根就把 Δ 配方成平方 · 与函数象限结合时先定参数范围 · 等腰三角形背景先判三边关系 14．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为______． 【答案】直角三角形 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．原方程可以化为，由题意得出，推出，即可得解． 【详解】解：原方程可以化为：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【知识点】列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）①利用“的长 的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【知识点】三角形三边关系的应用、根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．求证：无论m为何值，方程总有实数根． 【答案】证明：当时，方程为， 此时方程有解，解为； 当时，， 此时方程有实数根． 综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】分两种情况：当时或当时，分别进行证明即可． 【详解】略 【考点4】一元二次方程的实际应用（第18-27题） · 增长率/下降率模型 a(1±x)2=b · 握手、传播问题按轮次建模 · 图形面积问题画图标注边长 · 销售问题用「单利×销量=总利」 18．（23-24九年级上·天津河东·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．有下列结论：①降价8元时，数量为36件．②若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元．③商场平均每天盈利最多为1250元．正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件列出算式计算即可判断①；设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可判断②；设商场每天的盈利为元，根据题意得出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件， 降价8元时，每天售出的件数为：（件），故①正确，符合题意； 设每件衬衫应降价元，则每天多销售件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽快减少库存， ， 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元，故②错误，不符合题意； 设商场每天的盈利为元， 由题意得：， ， 当时，最大为元，故③正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出算式、一元二次方程以及二次函数是解此题的关键． 19．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）元旦晚宴上大家两两碰杯一次，总共碰杯55次，那么有几人参加了这次宴会（   ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】此题考查一元二次方程的应用中的基本数量关系：单循环比赛进行的总场数为，依此数量关系推广到一般问题． 此题利用基本数量关系：两两碰杯一次，总次数为（n表示人数）列方程解答即可． 【详解】解：设有x人参加了这次宴会，根据题意列方程得， ， 解得（不合题意，舍去）， ∴有11人参加了这次宴会． 故选：D． 20．（2026·山东临沂·二模）随着人工智能的迅速发展，某企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税万元．若每年保持相同的增长率，则该企业这两年缴税的年平均增长率是________． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设年平均增长率为，根据2023年和2025年的缴税额列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到结果． 【详解】解：设该企业这两年缴税的年平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）． ∴该企业这两年缴税的年平均增长率是． 21．（2025·陕西西安·三模）割补法是数学中重要的思想方法之一，利用“割”与“补”可以巧妙的将不规则图形化为规则熟悉的图形，从而使问题变得简单．如图，是矩形的对角线，小江利用分割法将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后利用移补法将分割的图形按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是___________． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键． 设小正方形的边长为，利用a、b、x表示矩形的面积，再用a、b、x表示三角形的面积，根据面积列出关于a、b、x的关系式求出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设正方形的边长为，则长方形的长为宽为， 由题图①可得整理得， ， ， ， ∴长方形的面积为． 故答案为：． 22．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）徐老师购买了576张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有______名学生． 【答案】24 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 【详解】解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有24名学生． 故答案为：24． 23．（26-27九年级上·全国·课后作业）图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，其问题如下：今有圭垛一堆．上一束，底宽八束．问共几束． (1)你能解决这个问题吗？ (2)如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第n行有n束…你能发现从上往下数前多少行的束数的和是300吗？（提示：．） 【答案】(1)总共36束 (2)从上往下数前24行的束数的和是300 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）列式计算解决问题即可； （2）由题意得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 答：总共36束； （2）解：由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：从上往下数前24行的束数的和是300． 24．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问： (1)出发多少时间时，点之间的距离等于？ (2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？ 【答案】(1)出发时间时，点之间的距离等于 (2)面积的有最大值，此时时间是秒 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出解析式是关键． （1）设出发时间时，点之间的距离等于，根据勾股定理列方程并解方程即可； （2）根据题意得到面积的函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设出发时间时，点之间的距离等于， 依题意有， 即， 解得（不合题意舍去）． 答：出发时间时，点之间的距离等于； （2）依题意有， ， ∴面积的有最大值，此时时间是秒． 25．（25-26八年级下·北京顺义·期末）由于部分汽车车型较大，为了扩大每个车位的面积，小区物业打算重新划分某处的10个大小相同的矩形车位．现在每个矩形车位的长和宽分别为，，重新划分后车位数不变，每个矩形车位的长和宽增加了相同的长度，且个车位的总面积增大了．求重新划分后每个矩形车位的长和宽分别是多少？ 【答案】重新划分后每个矩形车位的长是，宽是． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每个矩形车位的长和宽增加的相同长度为，原个车位的总面积为，则重新划分后每个车位长为，宽为，再进一步求解即可． 【详解】解：设每个矩形车位的长和宽增加的相同长度为，原个车位的总面积为，则重新划分后每个车位长为，宽为， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴，， 答：重新划分后每个矩形车位的长是，宽是． 26．（25-26八年级下·山东济南·期末）某果园原计划种80棵桃树，每棵桃树平均结800个桃子，现准备多种一些桃树提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，平均每棵桃树的产量就会减少2个桃子，但多种的桃树不能超过60棵．如果要使总产量达到76000个，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】应多种20棵桃树 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设应多种x棵桃树，根据要使总产量达到76000个，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设应多种x棵桃树，根据题意得： ， 解得：，， ∵多种的桃树不能超过60棵， ∴不符合题意舍去， ∴， 答：应多种20棵桃树． 27．（25-26九年级上·河南郑州·期中）某工厂生产一批小家电，2022年的出厂价是144元，2023年，2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年出厂价调整为100元． (1)如果这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（百分数小数点后保留两位小数） (2)某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1200元，单价应降低多少元？ 【答案】(1)这两年平均下降率约为 (2)单价应降低20元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设平均下降率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设应单价应降低元，根据总利润单件利润销售量列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设平均下降率为， 由题意可得：， 解得：（舍），， ∴平均下降率为； （2）解：设应单价应降低元， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：，， ∵为了减少库存， ∴， ∴单价应降低20元． 【考点5】成比例线段与黄金分割（第28-32题） · 比例性质：内项积等于外项积 · 黄金比 ≈0.618 · 无理数估算夹逼在相邻整数间 · 正方形中的黄金分割设元列方程 28．（25-26九年级上·全国·单元测试）若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【知识点】比例的性质、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查的是一次函数图象经过的象限，比例的性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． ①当时，由等比性质求出；②当时，，此时，再分别判断一次函数经过的象限即可求解． 【详解】解：①当时， ， 由等比性质可得， 此时函数经过第一、二、三象限； ②当时，，此时， 此时函数经过第二、三、四象限， 综上可得，函数的图象必经过第二、三象限； 故选：B． 29．（2025·安徽芜湖·二模）黄金分割是数学和美学的桥梁，而斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55随着项数的增加，相邻两数之间的比值逐渐趋近黄金分割数，试比较大小：_____________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割数，实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值是解题的关键． 分别运算出两数的近似值再作比较即可． 【详解】解：∵黄金分割数，， ∵， ∴， 故答案为：． 30．（2024·山东潍坊·模拟预测）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是__________（结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】 【知识点】黄金分割、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是， 雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 31．（2025·广东深圳·一模）数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】根据白银分割点的定义得到，由即可求出的长． 【详解】解：点C是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为： ． 32．（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号：______． 【答案】①②③ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、正多边形的内角问题、黄金分割 【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键． 【详解】解：如图1，中，，，平分， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，， ， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图2，中，，，， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，，则， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图，连接、、、、， 五边形为正五边形，， ， ， ，故①正确； 易证：，， 和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ，故②正确； 由题得和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ， ， ，故③正确； 在中，，， 由图1得：， 即：，故④错误， 故答案为：①②③． 【考点6】平行线分线段成比例（第33-35题） · 找准平行线截出的对应线段 · 与解直角三角形联合求边长 · 比例式写成竖排对应更不易错 33．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，，与相交于点，则下列结论中正确的个数是（     ） ①；②；③；④；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】已知，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴正确的结论有①、②、③、⑤，共4个． 34．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在中，，，则下列比例式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关键．根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、 ， ，选项A不正确； B、 ， ，选项B正确； C、 ，， ，，但， ，选项C不正确； D、 ， ，选项D不正确； 故选：B． 35．（2025·上海徐汇·一模）如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是__________． 【答案】5 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，过点作，，交于点，根据平行线分线段成比例，得到，证明，求出的长，勾股定理求出的长，锐角三角形函数求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，，交于点，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：5． 【考点7】相似三角形的判定与性质（第36-44题） · 角平分线+平行四边形先转化角 · 网格中先算三边再用三边成比例 · 周长比=相似比、面积比=相似比平方 · 含30°直角三角形三边比为1::2 36．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，点在边上，且，在上找一点，使得与原三角形相似，则的长是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．分类讨论是解题的关键． 由题意知，分，两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分，两种情况求解； 当时，，即， 解得，； 当时，，即， 解得，； 综上所述，的长是或， 故选：C． 37．（25-26九年级下·云南昭通·期中）如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】证明，然后根据相似三角形周长的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的周长的周长． ∵的周长为6， ∴的周长为∶． 38．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项不符合题意； B.该选项不能判定， 该选项符合题意； C.∵， ∴， 又∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； 故选：B． 39．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用平行判定相似、平行投影 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ． 由题意得：，， ． ． ． 故选：A． 40．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，与是位似图形，且周长比为，则下列结论错误的是（     ） A．点为位似中心，相似比为 B． C． D．与的面积比为 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据位似图形的周长之比等于位似比，位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，且周长比为， ∴由图形位似的性质可得： ，且相似比为， 如图与交于点， ∴点为位似中心， 由相似三角形面积比等于相似比的平方可得： 与的面积比为 故选： ． 【点睛】 41．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，平分，当的长为_______时，． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义、利用相似三角形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】已知平分可得一组角相等；要使，利用两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理列出比例式，把代入求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵要使得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去） 42．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 43．（24-25九年级上·北京·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)____________． (2)判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． (3)求． 【答案】(1)135 (2) 证明：由（1）同理可得， ∵， ∴， 又∵ ∴； (3)2 【知识点】相似三角形的判定综合、利用相似三角形的性质求解、勾股定理与网格问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质． （1）先求出，即可解答； （2）先得出，再得出，即可求证； （3）分别求出与的面积，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：135． （2）略 （3）解：∵， ∴． 44．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形中，E，G分别是的中点，连接．线段CE分别交，于点F，H． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）先由正方形的性质得，，再证，的，即可得出答案； （2）先证，再证，得，则，进而得出答案． 【详解】（1）解：（1）是的中点， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， ； （2）是的中点， ， ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ． 【考点8】相似三角形的实际应用（第45-48题） · 测高测距抽象为相似直角三角形 · 注意同一时刻物高影长成正比 · 与平行四边形面积综合时分开算 45．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是__________米． 【答案】5 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由题意知，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：由题意知， ∴ 在和中 解得 故答案为：5． 46．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，小红晚上由路灯下的处走到处时，测得影子的长为1米，继续往走2.5米到达处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯离地面的高度的长为__________米．    【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】由，可得，，解得，，，则，由，代入可求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握：． 47．（2025·广东深圳·一模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为，则 聚光灯距离地面的高度为__________m． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际图形中抽象出相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质． 根据相似三角形的对应边的比相等列方程计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为为，他在聚光灯下的影子为， ∴， 解得：， 故答案为：6.8． 48．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】设，，证明，得到，证明，得到，然后推出，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 【考点9】位似图形与相似多边形（第49-51题） · 位似是特殊的相似 · 位似概念辨析题注意对应点连线 · 相似多边形对应边成比例 49．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似多边形的性质 【分析】先求出位似比，根据位似图形的性质，再由面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 五边形与五边形位似， ， ， ． 50．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段检测）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小． 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，为固定点，，在点处分别装上画笔． 画图：现有一图形，画图时固定点，控制点处的笔尖沿图形的轮廓线移动，此时点处的画笔便画出了将图形放大后的图形． 原理： 若连接，，可证得以下结论： ①和为等腰三角形，则（______）； ②四边形为平行四边形； ③，于是可得三点在一条直线上； ④当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的______倍得到的． 【答案】 / 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的判定以及位似图形的性质．由等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定定理以及位似图形的性质求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ①∵，， ∴， ∴和是等腰三角形， ∴，， ∴，， ②∵，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ③∵， ∴，，三点在一条直线上； ④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形， ∴其倍数比为三角形的边长比即：， 又，且， ∴， 即：当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的倍得到的． 故答案为：；． 51．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 即， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即原矩形的较长边与较短边的比值是． 故答案为：． 【考点10】图形与坐标（第52-60题） · 写坐标注意象限符号 · 方位角问题方向角与距离并重 · 坐标与图形综合先画示意图 · 轴对称前后坐标关于坐标轴对称变化 52．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使与全等，那么点D的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】坐标与图形综合、全等三角形的性质 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的性质，分，两种情况，根据全等三角形的性质，坐标与图形的性质解答． 【详解】解：如下图所示， 当时，和关于轴对称， 点的坐标是， 当时，的高的高，， ， 点的坐标是或， 故选：D． 53．（24-25七年级下·河北沧州·期末）已知关于的不等式组的整数解为，（其中，为整数），若点的坐标为，则满足条件的点共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】坐标与图形综合、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了不等式组的整数解问题、平面直角坐标系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先解一元一次不等式组，再根据整数解确定的取值范围，即可确定整数的值． 【详解】解：解不等式得， ； 解不等式得， ； 因为不等式组的整数解为，， 所以，且， 则，． 又因为，为整数， 所以，，，， 所以满足条件的共有对． 故选：C． 54．（24-25七年级下·北京·期中）如图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ②当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ③当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为； ④当表示天安门的点的坐标为，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】题目主要考查平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键 根据天安门的坐标和点的平移规律，一一进行判断即可. 【详解】解：根据图象得，①是以每个方格1个单位长度读出点的坐标即可，故正确； ②是以每个方格2个单位长度读出点的坐标即可，故正确； ③是在②的基础上，将所有点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，故③正确； ④是在当表示天安门的点的坐标为，每个小方格表示的单位长度为3，在①基础上，表示广安门的点的坐标为时，表示左安门的点的坐标为的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故④正确． 故选：D 55．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图所示，一颗跳棋原来在棋盘上的A处，该棋子沿着箭头所指的方向运动到点B处，继续运动到点C处，则它运动的路径用坐标表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查的是用坐标确定位置的方法，先确定点的坐标，再按照箭头所指的方向确定点的坐标即可 【详解】解：根据题意知， 所以，该棋子沿着箭头所指的方向运动路径用坐标表示正确的是， 故选：A 56．（2022·河北石家庄·模拟预测）若点与点关于y轴对称，则的值是________；若点的坐标满足，则称点P为“和谐点”，请写出一个“和谐点”的坐标________． 【答案】 （答案不唯一） 【知识点】负整数指数幂、其他问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征列方程求出，再计算；给赋值，求出对应即可得到符合要求的和谐点． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴． ∵， 若取，则，解得， 因此是一个符合要求的“和谐点”． 57．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图是某游乐城的平面示意图，若用表示入口处的位置，用表示球幕电影的位置，那么坐标原点表示的位置是_______． 【答案】激光战车 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【详解】解：如图所示：坐标原点表示的位置是激光战车． 58．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，则当_________时，是等腰三角形． 【答案】4或5或6或16 【知识点】坐标与图形综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．分四种情况解答，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过点P作轴于点C，则，， 当时，， ∴， 此时； 当时， ， 此时； 当时， 若为锐角三角形，， 此时； 若为钝角三角形， 在中，， ∴； 综上所述，当4或5或6或16时，是等腰三角形． 故答案为：4或5或6或16 59．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）[问题背景]如图①是学校教学楼的平面示意图，每个小方格的边长为1个单位长度，表示的距离，若以正东为x轴的正方向，正北为y轴的正方向建立平面直角坐标系，得到明德楼的坐标是，致远楼的坐标为． 【问题解决】 (1)若建立平面直角坐标系，则原点的位置为______（填写建筑物名称）；知行楼的坐标为______； (2)若利用方向角和距离，如图②，以明德楼为基准点，知行楼在明德楼的北偏西，距离处，记为（北偏西，），进一步使用测量工具并换算，可将启智楼的位置记为______； (3)【拓广延伸】若下课后小华同学以的平均速度从致远楼步行至知行楼，请问需要多长时间？ 【答案】(1)清源楼， (2)（北偏东，） (3)需要400秒 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】（1）根据明德楼的坐标是，致远楼的坐标为找到原点坐标，建立平面直角坐标系，即可解答； （2）由网格的特征得，，，求出，即可解答； （3）先根据图象距离求出实际距离，再利用时间路程速度即可解答． 【详解】（1）解：由题意，如图，建立平面直角坐标系， 则原点的位置为清源楼；知行楼的坐标为； （2）解：如图， 由网格的特征得，，， ∴， ∴启智楼的位置记为（北偏东，）； （3）解：由图知致远楼到知行楼的图上距离为，则实际距离为， （秒）， 答：需要秒． 60．（25-26八年级下·全国·周测）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． (1)写出点A，B，C，D的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)，，， (2)14 【知识点】坐标与图形综合、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）根据图形结合坐标系写出各点坐标即可； （2）利用长方形的面积减去四个顶点上三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得， ，，，． （2）解：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，四边形的面积等，结合网格特点以及平面直角坐标系的特征确定点的坐标是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 含字母根式化简先判符号，再去绝对值 · 换元法解完务必回代并检验 · 判别式求参数勿忘二次项系数限制 · 相似综合题先标等角等边再列比例 · 实际问题建模后检验根的合理性 【作业1】．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义、根据判别式判断一元二次方程根的情况、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 【作业2】．（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，在三角形纸片中，，，，则下列选项阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，，，， A、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； 、，，对应边，则阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 【作业3】．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键； 根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 【作业4】．（25-26九年级上·河南周口·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 【答案】D 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D． 【作业5】．（2022·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边求边长 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义，证得为等腰三角形，从而求出的长；再利用得出对应边成比例，进而求得的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【作业6】．（2025·湖北十堰·模拟预测）下列函数中，自变量的取值范围为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集、求自变量的取值范围、分式有意义的条件 【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0和二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数的非负性求解即可得． 【详解】解：A、函数，自变量的取值范围是所有实数，则此项不符合题意； B、函数，自变量的取值范围为，即，则此项不符合题意； C、函数，自变量的取值范围为，即，则此项不符合题意； D、函数，自变量的取值范围为，即，则此项符合题意； 故选：D． 【作业7】．（25-26九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米． 【答案】5 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设玻璃栈道的宽度是米，则扩建后矩形的长为米，宽为米，可列方程，解方程即可求出玻璃栈道的宽度． 【详解】解：设玻璃栈道的宽度是米， 则扩建后的矩形的长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：玻璃栈道的宽度是5米． 故答案为：5． 【作业8】．（25-26九年级上·全国·阶段检测）“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了______人． 【答案】12 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设小红转发给人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解． 【详解】解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得 ， ， ， ∴或 解得或（舍去） 故答案为：． 【作业9】．（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则_____． 【答案】/ 【知识点】根据正方形的性质求线段长、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【作业10】．（24-25八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为____________________． 【答案】9 【知识点】坐标与图形综合、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 【详解】解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：． 【作业11】．（24-25九年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得． 【详解】解：补充条件，则， 所以与是以点为位似中心的位似图形． 故答案为：（答案不唯一）． 【作业12】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积为______． 【答案】24或 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、因式分解法解一元二次方程、确定第三边的取值范围 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的可能值，根据三角形三边关系确定有效第三边，分情况计算三角形面积． 【详解】解：对方程整理，两边同乘4得， 因式分解得， 解得或， 验证三角形三边关系：∵已知两边长为和， 当第三边为时，，满足三边关系，符合要求， 当第三边为时，，满足三边关系，符合要求， 分两种情况计算面积： ①当第三边长为时， ∵， ∴该三角形为直角三角形，直角边为和， ∴， ②当第三边长为时，该三角形为等腰三角形，腰长，底边长， 过顶点作底边上的高，如图， 由勾股定理得高， ∴， 综上所述，三角形的面积为24或． 【作业13】．（2025·福建三明·二模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，则像的高为______． 【答案】18 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质，先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出即可求出的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【作业14】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）（1）如果，求； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为1或． 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． （1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1） ， ， ， ； （2） ， ，，， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，的值为1或． 【作业15】．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，将矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是__________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质求线段长 【分析】过点作于点G，先求出，再根据题意得，，，再计算平行四边形的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵将矩形按箭头方向变形成平行四边形， ∴，， ∵矩形的面积是12， ∴， ∴平行四边形的面积是：． 【作业16】．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，．____________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据已知条件和公共角，可判定与相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：在和中，，， ， ， ，，， ， ． 【作业17】．（26-27九年级上·全国·课后作业）方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据方程有两个实数根，得到，进行求解即可. 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得. 【作业18】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某电视机厂今年月份的电视机产量为台，月份比月份多生产了台，求该厂这两个月电视机产量的月平均增长率． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设该厂这两个月电视机产量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设该厂这两个月电视机产量的月平均增长率为， 根据题意，得， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该厂这两个月电视机产量的月平均增长率为． 【作业19】．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知，化简：． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题 【详解】解：因为， 所以， 原式 ． 【作业20】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”． (1)在中，． ①如图1，若，请过顶点C画出的“形似线段”，并标注必要度数； ②如图2，若，则的“形似线段”的长是______． (2)如图3，在中，，，，若是的“形似线段”，求的长． 【答案】(1)①如图所示，线段即为所求， ②或 (2) 【知识点】相似三角形的判定综合、利用相似三角形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，勾股定理，解题的关键是掌握三角形相似的判定及性质，及利用分论讨论的思想进行求解． （1）①使即可，②分情况讨论，当时，当时，结合勾股定理求解； （2）进行分类讨论，分和，结合，，进行求解． 【详解】（1）解：①； ②当时，如下图： ， ， ， ， 当时，如下图： 设，则， ， 解得：， ， 则的“形似线段”的长是或， 综上分析可知，的“形似线段”的长为或． （2）解：①若， 则． ，，， ． ②若， 则． ，，， ． 综上所述，． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $