精品解析：广西壮族自治区桂林市国龙外国语学校2026-2027学年上学期九年级9月启航考数学试题

桂林市国龙外国语学校初2024级9月启航考 数学试题（A卷） 全卷满分120分 考试时间120分钟 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程没有实数根． 3. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 4. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 5. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 6. 对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， A选项：，，，错误； B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误； D选项：，正确，符合题意． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形都是相似图形 B. 正方形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【解析】 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 8. 若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将方程的解代入方程得到，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 9. 如图，在中，点是边的中点，连接，交于点，过点作交于点，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，证明得出，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线交于点，交于点．依据以上作图，若，，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先证出四边形是菱形，则，再根据可得，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 11. 若，且，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 12. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意列出一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 因式分解得，， ∴，或， 解得：，， ∴输出的的值为或． 14. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，通过设比例常数为，将、、 用表示，再代入所求表达式进行化简计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴设， 则，，， 则，， ∴， 故答案为： 15. 如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点． 假设，根据黄金分割点列出方程求解即可． 【详解】解：假设， ∵四边形为正方形， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 解得， 故答案为：2． 16. 如图，在四边形中，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，构造矩形，利用旋转性质求出长度；再构造辅助线，利用中点结合中位线及直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】提示：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 由题意可知，是的中点， 根据平行线分线段成比例，则， 是的中点， 是的中位线， ， ， ． 三、解答题（共72分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则． 18. 已知a、b、c是的三边长，且，求： （1）的值； （2）若的周长为18，求各边的长． 【答案】（1）1； （2），，． 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识 （1）设，从而用k表示出a，b，c再代入化简即可得解； （2）根据的周长为18，即，从而求出k的值，进而可求出各边的长． 【小问1详解】 解：设， 则，，， ∴； 【小问2详解】 解：设， 则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，． 19. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【答案】（1）证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． 20. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且．求证：． 【答案】 证明：在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质可，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】略 21. 我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（分钟） … … 学习效率 … … 记录学习效率时，每分钟为一个记录单元． （1）求分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和的值； （2）研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加分钟，学习效率值下降．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为分钟的学习效能； ②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为的时候，他当晚的作业时间是多少． 【答案】（1）平均增长率为， （2）①；②分钟 【解析】 【分析】（1）设平均增长率为，利用增长率模型建立一元二次方程，求解出，再求出的值； （2）①先计算出分钟的学习效率，再乘以学习时间即可； ②设作业时间为分钟，先用的代数式表示出学习效率，再建立方程，求解并舍去不符合题意的根即可． 【小问1详解】 解：设分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率为， 由题意可知，， 解得，（负值舍去）， ∴平均增长率为， ∴； 【小问2详解】 解：①， ， ∴学习时间为分钟的学习效能为； ②设作业时间为分钟， 由题意可知，学习效率为， ∴， 整理，得， 解得，， ∵， ∴． 答：小明同学当晚的作业时间是分钟． 22. 如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ （2）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】（1）2秒或4秒 （2）不能， 理由如下： 设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）经过秒或5秒或秒后，的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． （1）设经过x秒，的面积等于，根据三角形面积公式列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：设经过x秒，的面积等于，依题意有： ， 解得：， ∴经过2秒或4秒，的面积等于； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴此时； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意得： ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上，依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为． 23. 阅读下面材料： 小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点． （1）小波发现，，过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为___________． （2）参考小波思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值； ②如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，得到， 再利用，即可得到结论； （2）①过点作，交延长线于点， 证明和，列比例式可得， ； ②过点作交于，证明和，可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图3，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图4，过点作交于， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林市国龙外国语学校初2024级9月启航考 数学试题（A卷） 全卷满分120分 考试时间120分钟 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 6. 对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形都是相似图形 B. 正方形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 相似多边形对应角的比叫作相似比 8. 若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 如图，在中，点是边的中点，连接，交于点，过点作交于点，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 10. 如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线交于点，交于点．依据以上作图，若，，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 11. 若，且，，则=（ ） A. B. C. D. 12. 新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 14. 已知，，则________． 15. 如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么_______________． 16. 如图，在四边形中，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为_________． 三、解答题（共72分） 17. 解方程：． 18. 已知a、b、c是的三边长，且，求： （1）的值； （2）若的周长为18，求各边的长． 19. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 20. 如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且．求证：． 21. 我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（分钟） … … 学习效率 … … 记录学习效率时，每分钟为一个记录单元． （1）求分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和的值； （2）研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加分钟，学习效率值下降．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为分钟的学习效能； ②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为的时候，他当晚的作业时间是多少． 22. 如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ （2）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 23. 阅读下面材料： 小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点． （1）小波发现，，过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为___________． （2）参考小波思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值； ②如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $