广西壮族自治区桂林市国龙外国语学校2026-2027学年上学期九年级9月启航考数学试题

桂林市国龙外国语学校初2024级9月启航考 数学试题（A卷） 全卷满分120分 考试时间120分钟 一、单选题（每题3分，共36分） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．4，1，3 B．4，-3，-3 C．4，-2，3 D．1，-3，-3 4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（ ） A． B． C． D． 5．下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（ ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（ ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 8．若−2是关于x的方程的一个解，则代数式的值为（ ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 9．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接AC，BE交于点P，过点P作交CD于点Q，则的值为（ ） A．3 B． C．2 D． 10．如图，已知，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点M，交AB于点N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；作射线AP交BC于点D；分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点；作直线GH交AC于点E，交AB于点F。依据以上作图，若，，，则CD的长为（ ） A． B．1 C． D． 11．若，且，，则（ ） A． B． C． D． 12．新定义：若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”。若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（每题3分，共12分） 13．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的x的值为____________。 14．已知，，则____________。 15．如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形ABCD为黄金矩形()，点E、F分别在边BC、AD上，四边形ABEF为正方形，已知，那么____________。 16．如图，在四边形ABCD中，，，以点D为旋转中心，将DC边绕点D顺时针旋转，使点C的对应点F恰好落在AB边上，连接CF，取CF的中点E，连接AE，若，，则AE的长为____________。 三、解答题（共72分） 17．（8分）解方程：（1）。 18．（10分）已知a、b、c是的三边长，且，求： （1）的值； （2）若的周长为18，求各边的长。 19．（10分）关于x的方程。 （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于3，求m的取值范围。 20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为BC边上一点，连结DM，点N为线段DM上一点，且，求证：。 21．（10分）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（分钟） ．．． 40 50 60 ．．． 学习效率 ．．． 0.64 m 1 ．．． 记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元。 （1）求40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和的值。 （2）研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10分钟，学习效率值下降0.2。若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能。 ①求学习时间为80分钟的学习效能。 ②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为20的时候，他当晚的作业时间是多少。 22．（12分）如图所示，中，，，。 （1）点P从点A开始沿AB边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ （2）点P从点A开始沿AB边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由。 （3）若P点沿射线AB方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 23．（12分）阅读下面材料： 小波遇到这样一个问题：如图1，在中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，AD与BE相交于点P。 （1）小波发现，，过点C作，交BE的延长线于点F，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为___________。 （2）参考小波思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，求的值； ②如图4，在中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $