期中压轴题汇总三十六类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

期中压轴题汇总 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、集合中含参数问题 题型二、集合新定义问题 题型三、由充分条件与必要条件求参数问题 题型四、由全称量词与存在量词求参数问题 题型五、基本不等式“1”的代换 题型六、基本不等式中“和与积”的关系 题型七、基本不等式中的配凑法消元法换元法因式分解法 题型八、二次比一次/二次比二次型 题型九、复杂代数式求最值 题型十、柯西不等式，权方和不等式求最值 题型十一、解含参一元二次不等式及整数解问题 题型十二、一元二次不等式在R上恒成立/有解问题 题型十三、一元二次不等式在区间上恒成立与有解问题 题型十四、主元法解一元二次不等式恒成立问题 题型十五、一元二次方程根的分布问题 题型十六、换元法求函数的值域 题型十七、分式型函数的值域问题 题型十八、待定系数法/换元法/方程组法求函数的解析式 题型十九、抽象函数的解析式问题 题型二十、分段函数的单调性 题型二十一、函数的奇偶性求解析式/参数的值 题型二十二、函数的奇偶性单调性解抽象不等式 题型二十三、抽象函数的奇偶性单调性 题型二十四、函数的奇偶性单调性对称性与周期性综合 题型二十五、幂函数的图像性质综合 题型二十六、指数函数型函数的定义域与值域 题型二十七、指数型函数的单调性与最值 题型二十八、指数型函数的奇偶性单调性解抽象不等式 题型二十九、指数型函数的图像与性质综合 题型三十、指数型函数的不等式恒成立有解问题 题型三十一、对数运算综合 题型三十二、对数型函数的定义域与值域 题型三十三、对数型函数的单调性与最值 题型三十四、对数型函数的奇偶性单调性解抽象不等式 题型三十五、对数型函数的图像与性质综合 题型三十六、对数型函数的不等式恒成立与有解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、集合中含参数问题 典例1 （26-27高一上·河南周口·阶段检测）已知全集，集合. (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， 或 (2) 【分析】（1）利用集合的交并补定义即可求解； （2）等价于，再由集合的包含关系和对集合是否非空分类讨论，即可列出不等式组求解. 【详解】（1）已知. 所以； 又， 或. （2）因为，所以， 当时， ，解得， 当时，，即， 所以实数的取值范围为. 变式1-1（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或. 【分析】（1）代入，根据交集和并集运算求解. （2）将转化为，按照和分情况讨论，列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，又， 所以，； （2）由得，即. ①当时，，解得，符合条件. ②当时，或，解得. 综上，实数的取值范围为或. 变式1-2（26-27高一上·上海长宁·阶段检测）设集合，或，全集，若，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据列不等式求得的取值范围. 【详解】由于集合，或，且， 所以，解得， 所以的取值范围是. 题型二、集合新定义问题 典例2 （26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）（多选）整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属于同一个“类” 【答案】ACD 【分析】根据“类”的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，，即余数为2，故A正确； 对于B，，即余数为1，故B错误； 对于C，易知全体整数被4除的余数只能是0，1，2，3，故C正确； 对于D，由题意能被4整除，则，分别被4除的余数相同，故D正确． 变式2-1（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（     ） A．45 B．49 C．53 D．62 【答案】A 【分析】根据题意作出图示表示集合A、B所表示的点，数形结合可求中元素的个数. 【详解】设，故， 所以，故该不等式组表示的平面区域为以为中心的正方形区域， 当取遍中的每一个点时， 即为如图所示的线段所围成的平面区域内或边界上的整点的集合， 所以集合中共（个）． 变式2-2（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）设集合，，且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的范围的“长度”是_____． 【答案】 / 【分析】由子集的定义分别求得的取值范围，结合集合长度的定义，分析的“长度”的最小值和最大值，即可得到的“长度”的范围，从而求得该范围的长度. 【详解】由集合是集合的子集， 得，所以. 由是集合的子集， 得，所以. 集合的长度为， 集合的长度为， 当集合与集合的公共元素最少时，的“长度”最小，最小值为； 当集合与集合的公共元素最多时，的“长度”最大， 又，所以的“长度”的最大值为. 所以集合的“长度”的范围是， 所以集合的“长度”的范围的“长度”是. 题型三、由充分条件与必要条件求参数问题 典例3 （26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】（1）分别按照和讨论求解； （2）由“”是“”的必要不充分条件，得到，分别按照和讨论求解. 【详解】（1），， 若，则： 当时，，解得，满足题意.      当时，或，解得或，           所以综上得：的取值范围为或. （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，， 满足题意， 当时，，解得，           综上得，的取值范围为或. 变式3-1（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知集合． (1)若，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3) 【分析】（1）根据并集的运算，补集的运算及即可求解； （2）由“”是“”的充分不必要条件得出集合是集合的真子集，进而列出不等式组，求解即可； （3）分类讨论，当时和时，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）若，则， 所以，或． （2）已知“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 已知， 所以（等号不同时成立），解得， 故实数的取值范围为． （3）当时，因为， 所以，解得，此时成立； 当时，，解得， 因为， 则或，解得或， 此时， 综上，若，则实数的取值范围为． 变式3-2（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）（多选）使得成立的充分不必要条件是（    ） A．m3 B．m<3 C． D． 【答案】BCD 【分析】先求出集合包含关系成立的充要条件为，再根据充分不必要条件对应集合是充要条件对应集合的真子集，逐项判断即可. 【详解】 首先求解的充要条件， 分两种情况讨论： 当左边集合为空集时，满足，解得，此时包含关系显然成立； 当左边集合非空时，需满足，解得；综上，包含关系成立的充要条件是，对应集合为， 充分不必要条件对应的集合是的真子集， 选项A：对应集合就是，属于充要条件，不符合要求，错误； 选项B：对应集合为，是的真子集，满足充分不必要要求，正确； 选项C：对应集合为，是的真子集，满足充分不必要要求，正确； 选项D：对应集合为，是的真子集，满足充分不必要要求，正确. 题型四、由全称量词与存在量词求参数问题 典例4 （26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知命题p：“”，命题q：“”．若命题p是真命题，命题q是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】.当命题p是真命题时，成立， 只需实数不大于的最小值，即； 当命题q是假命题时，则有是真命题， 只需； 所以当命题p是真命题，命题q是假命题同时成立时， 只需. 变式4-1（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知命题[1，2]，；命题q：关于x的不等式有解，若命题p、命题q一真一假，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别假设命题为真命题求参数的范围，再分真假、假真两种情况讨论，综合得答案. 【详解】当命题为真时，即在恒成立, 故,,又时，取得最小值1， 即. 当为真时，有解，即,即, 或. 又命题一真一假, 当真假时，即,所以, 当假真时，即,所以, 故实数a的取值范围为：或 故选：D 变式4-2（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）若存在实数，对任意正数，不等式恒成立，则__________． 【答案】 【分析】先取特值，代入解得，并代入检验即可. 【详解】若存在实数，对任意正数，不等式恒成立， 当时，则， 整理可得，解得； 若，可得，整理可得， 因为，则，，可得，符合题意； 综上所述：. 题型五、基本不等式“1”的代换 典例5 （26-27高一上·天津河西·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】利用，将式子里面的替换为，展开化简分式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，， 所以. 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为. 变式5-1（广西百色市2026-2027学年高三上学期10月考试数学试题）已知，为正实数，且，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用约束条件代换分子中的常数“1”，将分式拆分为“倒数和”形式，再通过“1的代换”（乘以）构造基本不等式结构，最终用基本不等式求最小值. 【详解】由，得， ， 而， 因为正实数，则，当且仅当时取等， 又，即当时，取得最小值. 变式5-2（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）问题：正实数、满足，求的最小值． 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若正实数，满足，且恒成立，求实数的最大值； (3)若实数，，，满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明：. 因为， 所以. 所以， 即. 【分析】（1）仿照题干中的解法，将与相乘之后，再用基本不等式可以解决； （2）仿照题干中的解法，将与相乘之后求出的最小值，恒成立问题中的最大值等于的最小值； （3）仿照题干中的解法，将与相乘展开，再利用基本不等式放缩完成证明. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为. （2）因为，， 所以 ， 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 故的最大值为. （3）略 题型六、基本不等式中“和与积”的关系 典例6 （26-27高一上·河北唐山·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）设，，且，求的最小值． （3）若，求的最小值 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将原函数解析式变形为，利用基本不等式处理； （2）由可得，则，展开利用基本不等式处理. （3）应用基本不等式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】（1）∵，∴. ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最大值为. （2）因为，，则由得， 则，当且仅当，即时等号成立. ∴的最小值是. （3），所以，所以， 所以或，又因为，所以 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为； 变式6-1（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)2 (2)4 (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）由题可得，再应用基本不等式计算求解； （3）由题可得，再代入结合基本不等式进行求解即可． 【详解】（1）， ，，由基本不等式得， 即，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为2； （2）， ，，由基本不等式得，故， 所以，解得，负值舍去， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4； （3），，，故， 由得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 变式6-2（26-27高一上·江西景德镇·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可． 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值． 题型七、基本不等式中的配凑法消元法换元法因式分解法 典例7 （26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）（1）已知，求的最小值； （2）已知正数，满足，求的最小值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）对原式拆项变形，凑出与，利用基本不等式求最小值并验证等号成立条件； （2）先由条件推出，换元简化目标式，再使用基本不等式求得最小值． 【详解】（1），则， ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为3； （2），则，即， 由，且，故，故， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号，故最小值为． 变式7-1（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）（1）已知，，且，求的最大值； （2）若正数、满足，求的最小值； （3）已知，求的最小值． （4）若，求的最大值； （5）已知，，，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【分析】（1）由基本不等式得出，即可得出的最大值； （2）由已知等式得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （3）将函数解析式变形为，结合基本不等式求解即可； （4）将函数解析式变形为，结合基本不等式求解即可； （5）由已知等式变形得出，再结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因为，，且， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为； （2）因为正数、满足，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为； （3）因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为； （4）因为，所以， 由基本不等式可得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最大值为； （5）因为，，，所以， 即，即，即， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 变式7-2（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知，，完成下列问题： (1)若，求取得最小值时、的值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用均值不等式放缩得到关于的不等式，求解得出的范围，由等号条件确定，的值. （2）将变形，用均值不等式结合已知条件求最小值，由等号条件确定，. 【详解】（1）依题意，，故，解得， 当且仅当时，即当，时等号成立； 故当取得最小值时，. （2）依题意，， 而， 当且仅当，即当，时等号成立， 故的最小值为． 题型八、二次比一次/二次比二次型 典例8 （26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知实数，则（   ） A．无最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】B 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，有最大值. 变式8-1（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若，则的最小值是______． 【答案】 【详解】由得， 则， 当且仅当时，即时取等号，故的最小值是. 变式8-2（24-25高一上·贵州黔西南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1． 题型九、复杂代数式求最值 典例9 （26-27高一上·湖南常德·阶段检测）已知正数a，b，c满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据将目标代数式变形为，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】 ， 而， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为. 变式9-1（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知 ，，，且 ，则 的最小值为_______． 【答案】 【详解】先用 把 化成关于的式子求最小值，再把与 配成“积为定值”． 【解答】由 得 ，，，，． 令 ，则 ，当时，即时等号成立， ，记 ，， 则原式 ， 而 ， 原式， 当 （即 ）、（即 ）时取等号，最小值为 ． 故答案为：． 变式9-2（26-27高一上·安徽滁州·阶段检测）已知a，b均为正数，则的最小值是_______，的最大值是_______． 【答案】 2 【分析】①直接用基本不等式；②先用基本不等式对消元，把二元问题化为单变量的分式最值；再通过平方移项构造关于的一元二次方程，利用判别式非负求出的范围. 【详解】①a为正数，由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，故最小值为； ②因为，所以， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号， 因此， 设（），两边平方整理得， 移项化为关于的一元二次方程得， 因为是正实数，所以该方程必有正实根， 若，方程变为，解得，与矛盾，舍去； 若，方程为一元二次方程，有实根的条件是判别式非负，即，化简得， 因为，所以，即， 验证等号：当时，方程为，解得，符合条件； 故，取等条件为，，即，均为正数，等号可取， 综上，原式最大值为 题型十、柯西不等式，权方和不等式求最值 典例10 （26-27高一上·四川广安·阶段检测）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请根据以上材料解答下列问题： (1)证明二阶柯西不等式：； (2)，求的最小值； (3)若，，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)由， 当且仅当，即时等号成立， . (2)3 (3) 【分析】（1）根据题设，作差即可求证； （2）利用柯西不等式求解即可； （3）将问题转化为，进而求解即可. 【详解】（1）略 （2）由柯西不等式，可得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. （3）因为，，， 所以，则恒成立， 所以， 由柯西不等式，可得， 又因为，，所以，令， 所以， 即得， 当且仅当，即时取最小值24，则 所以的取值范围是. 变式10-1（26-27高一上·云南·阶段检测）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的．最初于1821年被柯西提出，其积分形式在1859年被布尼亚科夫斯基提出，其证明由施瓦茨于1888年给出．故历史上，该不等式又称为柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式．它在数学分析学中占有十分重要的地位．柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当 或存在一个数，使得（）时，等号成立． 现给出二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立． (1)证明二维柯西不等式； (2)已知，，且，求的最大值； (3)已知，，，且．若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) ，当且仅当时等号成立． ，当且仅当时等号成立． (2) (3) 【分析】(1)通过将二维柯西不等式左右两侧作差展开，利用完全平方的非负性推导出差值大于等于，即可完成不等式的证明，同时可直接得到等号成立的条件； (2)先对给定的方程进行因式分解变形，得到两个根号内表达式的乘积为定值，再套用二维柯西不等式构造对应形式，即可求出目标式的最大值并验证等号可取； (3)直接使用三维形式的柯西不等式，结合已知的的条件，求出左侧平方和的最小值，再根据不等式恒成立的要求列出关于的不等式，求解得到的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由，得， ，，，， ， 由二维柯西不等式得： ， 当且仅当，即时等号成立． ，的最大值是． （3）由三维柯西不等式得： ． ，， 当且仅当，，时等号成立， 又恒成立，， 或，即的取值范围是． 变式10-2（25-26高一上·河北石家庄·期中）权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 【答案】(1) 证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. (2)36 (3) 【分析】（1）利用权方和不等式，由证明； （2）利用权方和不等式，由求解； （3）转化为求解. 【详解】（1）略 （2）因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. （3）对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 题型十一、解含参一元二次不等式及整数解问题 典例11 （26-27高一上·四川眉山·阶段检测）关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令并求出方程的根，然后对进行分类讨论，得出在不同情况下不等式的解集，并求出此时满足题意的的取值范围. 【详解】令， ， ，， （1）当时，，不等式的解集为， 由解集中恰有个整数，这个整数为， ，， ， . （2）当时，，不等式无解，不满足题意. （3）当时，，不等式的解集为， 由解集中恰有个整数，这个整数为， ，， ， . 综上所述，实数的取值范围为. 变式11-1（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知全集，集合，，求： （i）； （ii）； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】 （1）(i)；(ii)； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1） 根据集合运算规则计算即可得出结果； （2） 运用因式分解法求解含参一元二次不等式即可，注意分类讨论时不重不漏。 【详解】（1）（i）由题知，，，，得； （ii），故. （2） 因为， 由，原不等式可化为，对应方程的两根为与， 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；时，解集为. 变式11-2（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为______. 【答案】或 【分析】分三类解不等式，根据不等式的解集即可得出的范围. 【详解】 . ①，解集为，要想解集中恰有4个整数， 则这四个整数为，得； ②，解集为，要想解集中恰有4个整数， 则这四个整数为，得； ③，解集为空集，不符合题意. 综上所述：实数m的取值范围为或. 题型十二、一元二次不等式在R上恒成立/有解问题 典例12 （26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求的解集； (2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，，即， 或，即的解集为或. （2）对一切实数x恒成立，即对一切实数x恒成立. ①时，不等式为，此时，符合题意. ②时，要使恒成立， 则，即，解得. 综上，实数a的取值范围是. 变式12-1（26-27高一上·河北沧州·阶段检测）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）分、两种情况，结合二次函数的性质即可求解； （2）将原不等式因式分解为，分、、三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）由题意可得对一切实数恒成立， 当时，不等式为，不恒成立，故不符合题意； 当时，则，解得； 综上所述，的范围为. （2）不等式可化为， 当时，不等式为，故解集为； 当时，可得，故解集为； 当时，可得，故解集为. 变式12-2（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若对任意都有，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【详解】当时，即当时，此时不等式为恒成立，符合题意； 当，即时，则有，解得. 综上所述：实数的取值范围是. 题型十三、一元二次不等式在区间上恒成立与有解问题 典例13 （26-27高一上·天津河西·阶段检测）已知不等式 的解集为 若对,不等式 恒成立则实数m的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】先根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系，利用韦达定理求出的值，再将恒成立问题转化为求函数最值问题，结合基本不等式即可求得的最大值. 【详解】不等式 的解集为 ，则，且方程有两个实根为和1， 由韦达定理，，解得. 将、代入不等式，得对恒成立， 即不等式对恒成立， 因，当且仅当时等号成立，即的最小值为， 故得，即实数m的最大值为4. 变式13-1（26-27高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数，． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)求解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． (3) 【分析】（1）对二次项系数是否为0分类讨论，根据一元二次不等式恒成立问题列不等式组求解即可； （2）化简不等式，对二次项系数是否为0分类讨论，根据一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系解不等式即可； （3）分离参数，将问题转化为不等式恒成立问题，换元法求函数最值即可. 【详解】（1）当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； 当，即时，由不等式的解集为， 得，即，解得， 综上，实数的取值范围为． （2）不等式，即， 当，即时，原不等式化为，解得； 当，即时，方程， 即的两根为，， 若，则，，所以原不等式的解集为， 若，则，，所以原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）不等式即，对恒成立， 即，因为， 所以对恒成立， 令， 当时，，当时， 令，则， 此时， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故，即可． 所以实数的取值范围为． 变式13-2（26-27高一上·天津津南·阶段检测）已知关于的不等式． (1)若此不等式的解集为，求实数的值； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的取值范围可得对应方程的根，结合韦达定理可列方程求解； （2）对及方程的根的分布情况分类讨论，结合一元二次不等式即可求解； （3）整理原不等式后分离参数，问题转化为恒成立问题，求最值即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以且是方程的两根， 由韦达定理得，解得. （2）①当时，不等式，即，解得，此时不等式的解集为； ②当时，关于的方程的两根分别为，. （i）当时，抛物线的开口向上，且， 此时关于的不等式的解集为或； （ii）当时，即，解集为； （iii）当时，抛物线的开口向下，且， 此时关于的不等式的解集为； （iv）当时，抛物线的开口向下，且， 此时关于的不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）整理得. ，恒成立， 因为， 所以对恒成立，所以. 令，则， 根据基本不等式可知当时，取得最大值， 所以实数的取值范围是． 题型十四、主元法解一元二次不等式恒成立问题 典例14 （26-27高一上·天津河西·阶段检测）已知． (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若实数，解关于的不等式； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求解参数； （2）化简不等式后因式分解，比较两根大小分情况求解一元二次不等式； （3）将不等式转化为关于的一次函数，利用一次函数在闭区间上的恒成立条件列不等式组求解。 【详解】（1）由题意可知，且是方程的两个实根， 根据韦达定理，两根之积为，解得，经验证符合题意，故. （2）将代入不等式，整理得： ，因式分解得， 由于，方程的两根为， 当，即时，不等式解集为， 当，即时，不等式，无解， 当，即时，不等式解集为. （3） 不等式整理为关于的一次函数形式： ， 要使对任意恒成立，需满足区间端点函数值均大于0，即 ， 分别解两个不等式： 第一个不等式，解得或； 第二个不等式，解得， 综上，的取值范围为. 变式14-1（26-27高一上·黑龙江绥化·阶段检测）设二次函数，其对称轴为． (1)若时，求不等式的解集； (2)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次函数对称轴可得、间关系，再利用可得，最后解出不等式即可得； （2）将原不等式化简后，参变分离，再利用二次函数性质计算即可得； （3）原不等式可看作与有关不等式，则可利用一次函数性质得到相应不等式，解出即可得. 【详解】（1）由题意可得，即， 若，则，即， 令，则，解得或， 故其解集为； （2）由（1）知：， 则不等式可化为， 当时，该不等式恒成立， 故对任意恒成立， 因为，所以， 由，所以， 故实数的取值范围为. （3）由（2）可得，对于任意，不等式恒成立， 则有，即，解得， 即实数的取值范围为. 变式14-2（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）对于任意为真命题，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】将变量看作自变量，当作参数，构造关于的一次函数，利用一次函数在闭区间上最值出现在端点的性质，列出不等式求解范围. 【详解】原不等式变形为：， 设关于的函数， 题目条件等价于：当时，恒成立. ①当时，，不成立，舍去； ②当时，是关于的一次函数，由于一次函数在闭区间上的最值只在区间端点处取得，因此只需保证区间两个端点的函数值都大于即可： 代入：，整理得，解得或； 代入：，整理得，解得或. 取两个解集的交集，得的取值范围是或. 故的取值范围为. 题型十五、一元二次方程根的分布问题 典例15 （26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知关于的方程有两个大于1的实根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，抛物线开口向上， 方程有两个大于的实根，则满足， ，解得或， ， ，解得， 即. 变式15-1（26-27高一上·河北沧州·阶段检测）已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的正实根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个实根，，且满足，求实数的取值范围； (3)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次方程根的分布知识，将“两个不相等正根”转化为判别式、对称轴以及端点值三个条件，联立不等式组求交集； （2）运用数形结合思想，结合二次函数开口向上的性质，将根在特定区间的条件转化为区间端点的函数值符号，列不等式组、、求解； （3）采用补集法，先求出“方程没有正根”的参数范围，进而得到方程至少有一个正根时实数的取值范围. 【详解】（1）已知， 函数，图象开口向上，对称轴为， 又， 若方程有两个不相等正实根，则，解得或， 对称轴在轴右侧：， 函数在处的函数值为正（保证两根同号）：， 取交集得：，故的取值范围为. （2）由已知开口向上的二次函数在区间和各有一个零点， 等价于区间端点的函数值满足以下符号条件： ； ； ， 取交集得：，故的取值范围为. （3）方程没有正根，即方程无实根，或两根均为非正根： 方程无实根：， 两根均为非正根：，解得， 因此“没有正根”的总范围是， 则“至少有一个正根”的范围为， 故实数的取值范围是. 变式15-2（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）关于的一元二次方程有两个实根，分别求满足条件的实数的取值范围： (1)两根一正一负； (2)两根均为负根； (3)两根均大于1． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设方程两根为，，结合题意得，再解不等式即可求得答案； （2）结合题意得，再解不等式组即可得答案； （3）结合题意得，再解不等式组即可得答案. 【详解】（1）解：设方程两根为，， 由韦达定理：，， ． 若两根一正一负，则，即，解得，即， 所以的取值范围是． （2）解：若两根均为负根，则，即，解得，即， 所以的取值范围是． （3）解：若两根均大于1，则，变形得， 即，解得，即， 所以的取值范围是． 题型十六、换元法求函数的值域 典例16 （25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 变式16-1（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____. 【答案】 【分析】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可. 【详解】令，则， 所以，， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 变式16-2（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数的值域为 ______ ． 【答案】 【分析】令，转换成二次函数值域问题求解. 【详解】令，则，， 因为，开口向上且对称轴为， 所以在上是增函数，所以， 所以的值域为. 故答案为： 题型十七、分式型函数的值域问题 典例17 （25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 变式17-1（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数化为，利用基本不等式即可求解； （2）将函数化为，先求出的范围即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 变式17-2（2025高一上·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____. 【答案】 【分析】采用分离常数法对函数解析式进行变形，根据其结构特点即可求出值域. 【详解】要使函数有意义，则，所以定义域为. . 因为，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 题型十八、待定系数法/换元法/方程组法求函数的解析式 典例18 （26-27高一上·河南郑州·阶段检测）求下列函数的解析式： (1)已知 ，求函数 的解析式． (2)已知函数 对于任意 都有 ，求函数 的解析式． (3)已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式． 【答案】(1)（）； (2) (3) 【分析】（1）使用换元法，令并确定的范围，代入原式化简即可求得解析式； （2）利用解方程组法，将替换为构造新方程，与原方程联立消去即得解析式； （3）运用待定系数法，设出二次函数一般式代入已知条件，利用对应项系数相等列方程组求解. 【详解】（1）令 ，则 ，，． ， （）． （2）　…① 把换成得　…② ①+②得，即， ． （3）设（）， 则， ， 由比较系数得 ，解得，，， ． 变式18-1（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）（1）已知函数满足，求函数的解析式； （2）已知为一次函数，若，求的解析式． 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）利用配凑法即可. （2）利用待定系数法设出一次函数解析式，代入已知条件列方程组求解即可. 【详解】（1）由已知得，所以； （2）因为一次函数，设（，为常数）. 则. 因为，所以解得或. 所以或. 变式18-2（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）（1）已知，求的解析式． （2）已知为二次函数，且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）换元法，设，反解x代入原式，注意新变量取值范围； （2）待定系数法，设二次函数一般式，代入相加后比较等式两边同类项系数求解参数； （3）构造方程组，将x替换为得到第二个方程，联立消元解出． 【详解】（1）令，则， ，故． （2）设二次函数，则， ， ， 故，解得，故． （3），解得，故． 题型十九、抽象函数的解析式问题 典例19 （25-26高一上·辽宁·期末）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则__________. 【答案】 【分析】令，得，结合得到，进而得到，代入求出，令，求得，即可求出答案. 【详解】令，有，即， 因为当时，， 所以， 又， 所以， 即，所以， 所以， 令，得，所以， 所以. 故答案为： 变式19-1（25-26高一上·江苏苏州·期中）设函数，并且对所有正整数，有.则的值为__________.（请用数字回答） 【答案】3888 【分析】令可得，讨论，即可判断，进而可求得，，，，，得到与的关系，即可求解. 【详解】令可得，为正整数，若，把代入得，矛盾， 若，则，正确， 若，则，不满足， 所以，，，，，，，， 即有，，即与一一对应， ，，即与一一对应， ，，即与一一对应， ，，即与一一对应，， 则得到一般的规律，任意的为自然数，存在为自然数， ①时，，， 由于和中元素个数相同，都为个，又， 所以，，， 当时，. ②，，，， ，所以， 故答案为： . 变式19-2（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，不恒为零，对于，满足，若，则__________. 【答案】 【分析】根据所给的式子，利用赋值的方法求解即可. 【详解】因为， 令，得，解得， 令，得，解得， 令，，得，即， 令，得，即， 又因为，所以， 令，，得①， 令，，得， 整理得：，解得：，代入①式有： ，解得，又因为， 所以. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 抽象函数求函数值，往往利用赋值法求出函数的性质，再利用函数的性质求解. 题型二十、分段函数的单调性 典例20 （26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数在上单调递增的性质，需满足各分段区间内函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，分类讨论段函数的单调性求解的取值范围. 【详解】分段函数在上单调递增，需同时满足以下条件： 当时，一次函数单调递增，故斜率，解得； 当时，函数单调递增，分两类讨论： ① 当即时，函数在上单调递增， 满足在上单调递增的要求； ② 当即时，对勾函数的单调递增区间为， 故需，平方得，解得，结合得， 分段点处，需满足左段函数极限值不大于右段函数值，即， 化简得，解得。 将上述条件取交集，得的取值范围为. 变式20-1（24-25高二下·陕西汉中·阶段检测）若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数是定义在上的减函数，除了两段函数均为单调递减，还要考虑点要在点上方或两点重合. 【详解】若函数，是定义在上的减函数， 则解得 ， 所以的取值范围为. 变式20-2（24-25高一上·吉林长春·期中）（多选）已知函数，则下列命正确的是（   ） A．当时，函数最大值为1 B．当时，函数最大值为0 C．若存在最大值，则 D．，在不可能递减 【答案】BC 【分析】ABC选项，分别求出函数在上，函数在 上的范围，比较后可判断选项正误； D选项，考虑时的单调性可判断选项正误. 【详解】A选项，时，在上单调递减，则； 在上单调递增，在上单调递减， 则.则时，函数最大值不存在，故A错误； B选项，时，在上单调递减，则； 在上单调递增，在上单调递减， 则.则时，函数最大值为0，故B正确； C选项，因在上单调递减，则； 若，则在上单调递增，则. 因，则，此时无最大值； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 则，要使存在最大值，则，故C正确； D选项，注意到当，时，在上单调递减， 故D错误. 故选：BC 题型二十一、函数的奇偶性求解析式/参数的值 典例21 （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数是定义在上的奇函数，且，设的最大值为，最小值为，则的值是_______． 【答案】 【分析】先利用奇函数定义域关于原点对称求出，再由奇函数不含偶次项和常数项的性质求出，最后结合奇函数在对称区间上最值互为相反数的性质计算. 【详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 此时定义域为，符合要求，则. 又，则 ， 所以，，解得，. 则. 又，则是定义在上的奇函数， 根据奇函数的性质，可知，因此. 变式21-1（26-27高一上·江苏·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 【答案】 【详解】根据函数的奇偶性列方程组，解方程组可得， 因为偶函数，所以，又， 得，即①， 又为奇函数，所以，又， 得②， 将①代入②得，， ，解得. 变式21-2（25-26高一下·河南洛阳·期末）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数， ． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． （2）由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． 题型二十二、函数的奇偶性单调性解抽象不等式 典例22 （26-27高一上·全国·课堂例题）（1）已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数，若，求实数的取值范围． （2）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由，得． 因为在上是奇函数， 所以，所以． 又因为在上单调递减，所以，即， 所以，所以实数的取值范围是． （2）因为函数是偶函数，所以， 所以，． 因为在区间上单调递减，且，即， 所以，解得，所以实数的取值范围是． 变式22-1（25-26高一下·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 变式22-2（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定的单调性和奇偶性，进而可求解. 【详解】由，得， 因为，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 题型二十三、抽象函数的奇偶性单调性 典例23 （26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 【答案】(1)为偶函数，证明如下： 首先，的定义域为关于原点对称； 其次，令，则，得． 令，则，得． 令，则，， 所以是偶函数． (2)证明：，设， ， 因为，所以，则，即， 所以，即． 所以在区间上单调递减． (3)或 【分析】（1）判断函数定义域，利用赋值法证明函数的奇偶性； （2）运用定义法证明函数单调性； （3）先用函数恒等式变形，结合函数单调性和奇偶性列出不等式，解不等式求解集． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意得， 因为为偶函数，所以， 又在上单调递减， 则由，得， 解得或， 所以不等式的解集为或． 变式23-1（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 【答案】(1)1 (2)因为的定义域为，， 令，得， 即，所以函数为偶函数． (3) 【分析】（1）令，求得，再令，求得； （2）令，根据偶函数定义证明； （3）利用偶函数性质将不等式变形为，再根据单调性求解． 【详解】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. （2）略. （3）不等式， 即， ， 由（2）知为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 变式23-2（25-26高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. (1)求，； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2) 为上的奇函数，证明如下： 令，则，故， 令，则，故， 故为上的奇函数. (3) 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为 【分析】（1）利用赋值法可求、； （2）利用奇函数的定义可证为上的奇函数； （3）利用函数单调性的定义可证为上的减函数，从而可得，再就的不同取值分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）由题设有，， . （2）略 （3）为上的减函数，证明如下： 证明：，由题设有， 故，而，故， 故，即为上的减函数. 由题设有， 所以可化为： 即， 故，即， 若，则，不等式的解为或； 若，则，不等式的解为或； 若，则不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 若，则，故不等式的解为； 综上，若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 题型二十四、函数的奇偶性单调性对称性与周期性综合 典例24 （24-25高二下·山西运城·期末）经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数；由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. (1)已知函数，且，求的值； (2)证明：函数图象的对称中心为； (3)求函数的对称中心及的值. 【答案】(1) (2) 因为， 令，则， 易知的定义域为R，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 则函数图象的对称中心为. (3)对称中心为， 【分析】（1）根据函数，利用奇偶函数的判定方法得为奇函数，从而的图象关于点对称，即可求解； （2）构造函数，利用奇偶函数的判定方法得为奇函数，通过变形可得，再利用题设定义，即可求解； （3）先假设的对称中心为，根据题设可得，，进而可得，即可求解. 【详解】（1）令，易知其定义域为R，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 则函数的图象关于点对称， 则，则， 又，所以. （2）略 （3）设的对称中心为， 由已知得满足， 即 ，则， 整理得：， 所以：，解得：，， 即的对称中心为， 所以， 得：， 所以. 变式24-1（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则______． 【答案】 【分析】根据函数的对称性和奇偶性，已知函数值的方程，求得参数，写出函数解析式，再利用奇偶性转换自变量的值，解得对应函数值. 【详解】已知为奇函数，则，换元得， 已知为偶函数，则，换元得， 则当时，即，因为，所以， 则，当时，，解得， 可知，即，解得， 所以当时，， 当时，，， 所以. 故答案为：. 变式24-2（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【答案】(1)； (2)证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. (3)，. 【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可； （2）记，进而证明为奇函数即可得证； （3）令，进而由可求实数、的值. 【详解】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）略 （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 因为时，函数的定义域为x≠,不关于对称，故舍去， 所以解得 . 题型二十五、幂函数的图像性质综合 典例25 （2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及奇偶性求出解析式. （2）由（1）的结论求出，按分类并结合二次函数性质求出最小值. （3）求出当时，在上的最大值，进而建立不等式，利用恒成立求解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 变式25-1（25-26高一上·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递减. (1)求常数，的值； (2)设，判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 【答案】(1)， (2) 由（1）可知，，在上单调递减； 证明：任取，且， 因为，所以，，，， 所以，则， 所以，故在上单调递减． 【分析】（1）由幂函数的定义，结合单调性求参数即可； （2）根据题意，，任取，且，作差得，再根据的符号确定单调性即可． 【详解】（1）根据幂函数的定义可知，，，即，， 解得或， 当时，，显然在上单调递增，不合题意； 当时，，在上单调递减，满足题意， 所以幂函数，即，， 故常数，的值分别为2和4； （2）略 变式25-2（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，函数. (1)求的解析式. (2)已知对勾函数的形式为均为参数，，该函数在上单调递减，在上单调递增. （i）当时，直接写出在上的单调区间； （ii）若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)①减区间为，增区间为；② 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得出关于的等式与不等式，可求出的值，即可得出函数的解析式； （2）①写出函数的解析式，利用对勾函数的单调性可写出函数的增区间和减区间； ②对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以，解得，故. （2）①由（1）可得， 当时，， 由题中结论可知，函数在上的减区间为，增区间为； ②当时，函数、在上均为减函数，此时函数在上为减函数， 则，解得，舍去； 当时，函数在上为减函数，此时，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意， 若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，舍去， 当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，解得，舍去. 综上所述，. 题型二十六、指数函数型函数的定义域与值域 典例26 （2025高一上·重庆·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2). 【分析】（1）由函数有意义列出不等式，利用指数函数单调性求出定义域；再利用换元法，结合二次函数求出值域. （2）由给定条件可得的取值集合包含，换元并结合二次函数分类讨论求解. 【详解】（1）当时，， 由，得， 则，即，解得， 所以函数的定义域为； 令，则， 于是，所以函数的值域为. （2）设，则， 令， 由函数的值域为，得函数的值域包含， 当时，函数的图象开口向下，对称轴为，有最大值，不符合题意； 当时，值域为，包含，符合题意，则； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为， 函数值域为，包含，符合题意，则， 所以m的取值范围是. 变式26-1设函数，. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求的值域. 【答案】(1)； (2)奇函数，证明； 定义域分两种情况讨论： ①当时，定义域为R , 定义域关于原点对称. ②当时，定义域不为R （i） 定义域为，定义域关于原点对称； （ii） ，解得 即 ， 所以定义域关于原点对称. 所以的定义域关于原点对称， 下面判断和的关系， ， 即， 所以是奇函数， 综上所述是奇函数； (3). 【分析】（1）由题意可得对于恒成立，，即有对于恒成立，结合对勾函数的性质及基本不等式求解即可； （2）分和求出函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义判断、证明即可； （3），则有，再令，则有，分、结合对勾函数、反比例型函数求解即可. 【详解】（1）解：定义域为R，即对于恒成立， 令，那么，即对于恒成立， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以， 即的取值范围为； （2）略 （3）解：当时， ， 设， 那么， 设， 那么， ①当时，； ②当时，， 因为， 由对勾函数的性质可得 所以， 即 所以 综上，的值域为 变式26-2（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，求得，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即， 解得，即函数的定义域为，即， 又由函数， 令，可得且， 因为函数的图像开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又由，所以函数的最大值为，即函数的最大值为. 故选：C. 题型二十七、指数型函数的单调性与最值 典例27 （26-27高一上·辽宁·期中）已知函数且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）令，可得，分三种情况求解可得的最大值. 【详解】（1）因为函数且）的图象过点， 所以，所以，所以 （2）， 令，则， 当时，对称轴为，所以在上单调递增， 所以， 当时，，所以在上单调递增，所以， 当时，对称轴为， 若，即时，在上单调递增，， 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上的最大值为. 变式27-1（25-26高一上·江西吉安·期末）已知函数是定义域为的偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用得，则得到值，最后代入计算即可； （2）变形，再利用整体换元法，并结合二次函数性质即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）因为是定义域为的偶函数， 则，即， 所以，即， . （2）， ， 令，因为，则根据对勾函数和指数函数单调性可知，即， ， 若时，当时，，解得； 当时，当时，，解得，不符合题意，舍去； 综上，可知． 变式27-2（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知 (1)讨论函数的奇偶性，说明理由； (2)若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； (3)若，，函数在上的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)时，为偶函数；时，为奇函数；，为非奇非偶函数.理由如下： ，定义域为，， 当时，，当时，为偶函数； 当时，， 当时，为奇函数； 当时，，， 当时，为非奇非偶函数. (2) (3) ． 【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断即可. （2）当时，为奇函数，并且是增函数，将转化为在上恒成立问题，计算即可. （3）由，求出，则，令，利用换元法构造函数，分类讨论求最小值即可. 【详解】（1）略 （2）当时，，， 任取,且有， ， ， ，，即， ，在上单调递增， ，， 又当时，，， 在上单调递增，，整理得：， 不等式在上恒成立， ∴，解得：. （3），，解得：，， ， 令，为增函数， ∵，∴， 令，， 若，当时，，∴； 若时，当时，，解得：（舍去）， 综上，． 题型二十八、指数型函数的奇偶性单调性解抽象不等式 典例28 （26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合指数函数单调性判断函数的单调性再判断的奇偶性，利用函数的奇偶性单调性化简不等式，即可得答案． 【详解】因为函数为增函数，为减函数， 所以函数为增函数. 因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 因为，所以， 结合函数为奇函数可得，， 又函数为增函数，所以， 所以， 所以的取值范围是. 变式28-1（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数和都是上的增函数，所以函数在上单调递增， 不等式可得，解得， 所以不等式的解集为. 变式28-2（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A．11 B．8 C．4 D．3 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，结合题设推导出，再通过“1”的代换结合基本不等式求解最小值即可. 【详解】函数的定义域为，， 故是上的奇函数，且， 可得， 因为函数和函数在定义域上单调递增， 所以函数单调递增，所以， 即，其中. 将代入，得， 因此： ， 当且仅当即时等号成立， 将代入，解得，满足的条件， 因此的最小值为. 题型二十九、指数型函数的图像与性质综合 典例29 （24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. 请判断函数的奇偶性：_______，并写出解析式：__________. 【答案】 偶函数 【分析】利用函数偶函数定义判断，再由题设，，结合过原点求得得出函数解析式. 【详解】定义域为,, 所以是偶函数； 由无限接近直线但又不与该直线相交，所以，， 令，则，即，则满足题设. 故答案为：偶函数； 变式29-1（25-26高二下·广东广州·阶段检测）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 当时，，此时函数的图象在轴上方，排除C； 由，得，因此函数只有1个零点，其图象与轴只有1个交点，排除B； 又，当时，，因此，排除A，D符合题意.. 变式29-2设，如果，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得的范围，结合，化简即可得到结果． 【详解】，其图象如图所示， 由图可知，在上单调递减，在上单调递增， 要使，且成立，则有且，故必有且， 又，即为，整理得， 故选：A． 题型三十、指数型函数的不等式恒成立有解问题 典例30 （25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数，，定义函数． (1)判断在上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数在上的最大值； (3)设，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) 由题意得，在上单调递增． 证明如下：任取、，且， 则， 因为，所以，即，所以， 即，故在上单调递增． (2) (3) 【分析】（1）化简函数的解析式为，判断出在上单调递增，然后任取、，且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （2）化简得出，令，可得出，，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出最大值的表达式； （3）推导出函数的图象的对称中心为，可计算出，利用基本不等式推导出，结合题意可得出关于的不等式，即可解出的取值范围. 【详解】（1）略 （2）， 令，因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，所以， 所以，， 又的图象的对称轴为， 当时，函数在上单调递增， 此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，则， 此时； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，则， 此时； 当时，函数在上单调递减， 此时． 综上所述. （3）因为 ， 所以函数的图象的对称中心为． ， 因为，由基本不等式得， 所以， 要使不等式在上有解， 则，解得，故实数的取值范围为． 变式30-1（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数 (1)当时， 求不等式的解集； (2)若对任意，不等式 恒成立，求t的最大值； (3)对于函数，若为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数 是“可构造三角形函数”，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，利用指数函数的性质即可求解. （2）分离参数可得，求出的最小值即可求解. （3），利用指数函数的性质求出函数的值域即可求解. 【详解】（1）当时，. 因为，等价于，所以. 所以原不等式的解集为. （2）由题意，， 化简可得，， 因为，所以， 设，， 令， 所以在时恒成立. ， 在上是减函数，， 所以，即的最大值为. （3）. 因为为某一三角形的三边长，所以函数的值域必须包含于， 即值域的下确界大于0， 当时，函数的值域为，可得； 当时，函数的值域下确界为1，恒大于0，因此必须有 ①当时，在上是增函数，值域为， 因为任取三个值可做三角形的边长， 所以，，又因为，所以. ②当时，，显然是可构造三角形函数. ③当时，在上是减函数，值域为， 因为任取三个值可做三角形的边长，所以，即. 综上可知，的取值范围为. 变式30-2（25-26高一上·吉林长春·期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，在R上单调递增 (2)； (3) 【分析】（1）根据和两函数奇偶性得到方程组，求出和的解析式，并判断出的单调性； （2）转化为，令，，根据函数单调性求出最小值，从而得到不等式，求出实数的取值范围； （3）设在上的值域为，在的值域为，只需为的子集，求出，分类讨论得到，从而列出不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，所以， 又是奇函数，是偶函数，故， 故①，②， 式子①+②得，故， 故， 其中在R上单调递增，理由如下： 因为在R上单调递增，故在R上单调递增； （2）为奇函数， 时，不等式有解， 即在上有解， 又其中在R上单调递增，故在上有解， 所以，故只需， 令，，则在单调递减， 故在处取得最小值，最小值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是； （3）设在上的值域为，在的值域为， 对任意的，总存在，使得， 只需为的子集， ， 其中在上单调递增，故， 所以，，故， ，对称轴为， 若，在上单调递增，故， 所以，解得，又，故， 若，在处取得最小值，在处取得最大值， 故， 所以，解得，又，故； 若，在处取得最小值，在处取得最大值， 故， 所以，解得，又； 若，在上单调递减，故， 所以，解得，又，无解； 综上，，实数的取值范围为 题型三十一、对数运算综合 典例31 （26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）12 【详解】（1）因为，， 所以； 即. （2）由分别转化为对数式， 即， 即， 结合换底公式可得： . 变式31-1（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）_____________． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的运算公式及对数性质求解. 【详解】因为， ，， ，， 所以 变式31-2（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知，若，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查对数换元法与指数方程联立求解，核心思路是“先通过换元法将对数方程转化为二次方程求出 a、b 的倍数关系，再代入指数方程联立求解具体值”，最后计算 a-b. 【详解】设 ，因为 ，所以 .由换底公式，. 代入已知条件 ，得 . 得 ，整理为 . 得 或 . 因为 ，舍去 ，所以 ，即 ，因此 . ，将 代入右边，得 . 化为 . 因为底数 ，指数函数 单调递增，所以指数相等：. 联立 与 ，得 ，即 ，. 因为 ，所以 ，代入 得 . . 【点睛】对数差问题优先用换元法转化为二次方程求解，求出 a、b 的倍数关系后，再代入指数方程联立求出具体值，注意利用底数大于1时指数函数的单调性. 题型三十二、对数型函数的定义域与值域 典例32 （25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的值为________. 【答案】/ 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为，结合二次函数的性质确定参数的值并验证可得. 【详解】因的值域为， 即，所以的最大值为，所以. 根据二次函数的性质，当时取最大值， 代入可得，解得. 此时， 由解得，故函数的定义域为. ， 令，则内层函数在上单调递增，在上单调递减. 外层函数在定义域上为增函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，符合题意. 所以的值为. 变式32-1（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 【答案】（1）的取值范围是，值域为； （2）的取值范围是，定义域为 【分析】（1）分析可知，可求出的取值范围，再利用配方法结合对数函数的单调性可求出原函数的值域； （2）分析可知，可求出的取值范围，由可求出原函数的定义域. 【详解】（1）函数的定义域为，即恒成立， 则恒成立，所以． 此时，， 所以的取值范围是，函数的值域为； （2）函数的值域为，即真数必能取遍所有正数， 二次函数的图象不可能全在轴上方， ，所以或． 所以实数的取值范围是， 由得或． 所以函数的定义域为． 变式322（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 题型三十三、对数型函数的单调性与最值 典例33 （26-27高三上·山东淄博·阶段检测）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数在区间上的单调性以及对数函数的单调性分析求解即可. 【详解】令，因为且，所以函数在上单调递减， 又函数在区间内单调递增， 所以函数为减函数，故， 又在上满足恒成立，故，解得：， 综上所述，的取值范围是. 变式33-1（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）先根据已知区间上的最大值与最小值之差确定对数的底数及单调性，再利用对数函数的单调性解不等式； （2）将所求函数化为关于新变量的二次函数，在闭区间上求最值． 【详解】（1）由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以，，， 所以，所以在上单调递增， 所以，解之得，所以解集为． （2）因为在上单调递增， 所以，， 即，所以. 所以，所以. 令，因为，所以， 所以. 该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得； 比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大． 所以，. 即，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0． 变式33-2（26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）已知，函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为，求的值； (3)若，存在，任意，有成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据对数的真数大于求解； （2）整理，设，利用二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，结合复合函数的单调性求解法则求出的单调性，利用单调性得到的最大值，从而求出的值； （3）整理，令，利用指数函数的图象和性质结合二次函数的图象和性质求出，利用二次函数的图象和性质结合对数函数的图象和性质求出，由存在，任意，都有成立，得到，通过计算得到的取值范围. 【详解】（1）， ，解得，故. （2）， 设，对称轴为，开口向下， 因为的定义域为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，          故时，函数取得最大值，且最大值为， 解得. （3）， 令， 因为，，所以，则， 则转为，， 因为对称轴为，且，函数的图象开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又因为，， 在上单调递减， 因为，所以，          因为存在，任意，都有成立，所以， 即，           解得，所以实数的取值范围为. 题型三十四、对数型函数的奇偶性单调性解抽象不等式 典例34 （26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（     ）． A．的定义域为 B．是偶函数 C．在定义域上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据对数函数的定义域，即可判断A选项；利用偶函数的定义，即可判断B选项；根据复合函数“同增异减”的原则，即可判断C选项；利用对数与分式不等式运算，即可判断D选项； 【详解】根据对数函数的定义域可得：，，，A选项正确； ，，为奇函数，B选项错误； 设，在定义域上单调增，根据复合函数的“同增异减”原则，在定义域上单调递增，C选项正确； ，，，，，，D选项正确； 变式34-1（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知为偶函数，，若时，函数的图象恒在图象的上方，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数定义求出，根据给定条件，列出不等式并分离参数，构造函数并利用单调性求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为，由为偶函数，得恒成立， 即恒成立， 而不恒为0，则，由时，函数的图象恒在图象的上方， 得，恒成立，即， 则对恒成立， 函数，， 又函数在R上单调递减，在上单调递增， 则函数在上单调递减，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 变式34-2（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知函数，则是（     ） A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】确定函数定义域，判断是否关于原点对称，根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，可以判断选项B、D；化简函数表达式，进而根据复合函数单调性判断的单调性，可以判断选项A、C. 【详解】由题知，解得，定义域关于原点对称，代入得： ， 因此是奇函数，故B、D错误. 将函数化简为，令内层函数， 可知该函数在上随增大单调递减； 外层函数是单调递增函数，故在整个定义域上单调递减， 因此在子区间上也单调递减. 综上，是奇函数且在单调递减，故C正确. 题型三十五、对数型函数的图像与性质综合 典例35 （25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数的图象分别与函数和的图象交于两点，设两交点的横坐标分别为，则的值为______. 【答案】2 【分析】根据反函数及反比例函数的对称性得到点关于直线对称，再进一步求解即可. 【详解】设，则. 由函数和互为反函数，图象关于直线对称， 可知函数的图象也关于直线对称， 所以关于直线对称，即，， 所以，即， 故答案为：2. 变式35-1（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知两条水平直线和与函数的图形从左到右相交于两点；与函数的图形从左到右相交于两点.记和在轴上的投影长度分别为.当变化时，的最小值为__________. 【答案】 【分析】由题意设A，B，C，D各点的横坐标分别为依题意可求得为的值，，最后利用基本不等式可求最小值． 【详解】两条水平直线和与函数的图形从左到右相交于两点； 与函数的图形从左到右相交于两点. 根据题意得：由得，， 由得,， 所以，， 即， 因为，所以， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 变式35-2（24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则__________.    【答案】 【分析】根据已知得，且A在函数图象上，而B在函数图象上，将点坐标代入列方程求参数值. 【详解】由轴，易得，又是以AC为斜边的等腰直角三角形， 所以，，得， 显然A在函数图象上，而B在函数图象上， 则，得，解得 故答案为： 题型三十六、对数型函数的不等式恒成立与有解问题 典例36（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求证：曲线是中心对称图形； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减． 证明：任取，又， 所以 又，所以，所以，即 ，所以在上单调递减． (2)证明：由题意知 ， 所以曲线是中心对称图形，对称中心为． (3) 【分析】（1）任取，利用定义作差证明； （2）证，得到曲线是中心对称图形； （3）利用（2）问结论变形，结合单调递减，得到，转化为二次方程，原方程有4个解等价于二次方程有两根不等的正根，列判别式，两根之和，两根之积的不等式组，求出的取值范围． 【详解】（1）略； （2）略； （3）由（2）知，因为， 所以， 由（1）知在上单调递减，所以 可化为，令， 即， 所以关于的方程有四个不同的实数解等价于有两个不相等的正实数根， 所以 得解得，即的取值范围是． 变式36-1（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数. (2) (3)， ， 又因为函数在区间上单调递减， 所以当时， ，，所以， 所以恒成立. 【分析】（1）由定义域的定义列不等式即可求得定义域，由奇偶函数的定义判断函数的奇偶性； （2）由函数解析式判断函数的单调性，结合（1）中的奇偶性和定义域，列出不等式即可求得的取值范围； （3）由对数的运算化简，然后通过构造，结合函数的单调性，即可证明结论. 【详解】（1）由，得，所以， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为奇函数. （2）由（1）可知，，则， 因为，函数在上单调递减， 所以， 解得，即. （3）略 变式36-2（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）对数函数的值域为即真数可以取遍所有的正实数，因为的真数结构比较复杂，换元后通过分析真数的取值范围可求解. （2）（Ⅰ）首先根据当时，恒有意义，结合基本不等式求出的取值范围，对二次函数对称轴的位置分类讨论可求得在上的最小值；（Ⅱ）首先根据恒（能）成立问题得到，再求出在上的最小值，根据（Ⅰ）中结果解不等式即可得解. 【详解】（1）因为函数的值域为， 所以真数 需取遍所有的正实数， 令，则，构造函数 ， 所以可将 需取遍所有的正实数问题转化为 在时取遍所有的正实数. 对于 ，图象的开口向上，对称轴方程为， 由 在时取遍所有的正实数知在上的图象与x轴至少有一个交点，所以在上的最小值小于等于0， 所以，且对称轴（否则在上单调递增， ，无法取遍所有的正实数）， 由，解得，所以实数的取值范围是. （2）同（1）中的函数 ， 当时，，恒有意义，即在时恒成立， 当时，恒成立； 当时，将分离参数得， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以 ． （Ⅰ）当对称轴 ，即时，在上单调递增，所以 ， 因为函数是增函数，由复合函数的性质可知当真数取最小值时，取得最小值， 所以在上的最小值为（在时取得）； 当对称轴 ，即时，在上的最小值在顶点处取得， 所以，所以在上的最小值为（在时取得）. 综上，. （Ⅱ）对于任意，存在，使得不等式成立， 即在对应区间上. 因为 ，当时，， 所以，所以在上的最小值为， 所以. 由（Ⅰ）知，当时，在上， ，满足题意； 当时，在上，， 由，解得. 综上，实数的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中压轴题汇总 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、集合中含参数问题 题型二、集合新定义问题 题型三、由充分条件与必要条件求参数问题 题型四、由全称量词与存在量词求参数问题 题型五、基本不等式“1”的代换 题型六、基本不等式中“和与积”的关系 题型七、基本不等式中的配凑法消元法换元法因式分解法 题型八、二次比一次/二次比二次型 题型九、复杂代数式求最值 题型十、柯西不等式，权方和不等式求最值 题型十一、解含参一元二次不等式及整数解问题 题型十二、一元二次不等式在R上恒成立/有解问题 题型十三、一元二次不等式在区间上恒成立与有解问题 题型十四、主元法解一元二次不等式恒成立问题 题型十五、一元二次方程根的分布问题 题型十六、换元法求函数的值域 题型十七、分式型函数的值域问题 题型十八、待定系数法/换元法/方程组法求函数的解析式 题型十九、抽象函数的解析式问题 题型二十、分段函数的单调性 题型二十一、函数的奇偶性求解析式/参数的值 题型二十二、函数的奇偶性单调性解抽象不等式 题型二十三、抽象函数的奇偶性单调性 题型二十四、函数的奇偶性单调性对称性与周期性综合 题型二十五、幂函数的图像性质综合 题型二十六、指数函数型函数的定义域与值域 题型二十七、指数型函数的单调性与最值 题型二十八、指数型函数的奇偶性单调性解抽象不等式 题型二十九、指数型函数的图像与性质综合 题型三十、指数型函数的不等式恒成立有解问题 题型三十一、对数运算综合 题型三十二、对数型函数的定义域与值域 题型三十三、对数型函数的单调性与最值 题型三十四、对数型函数的奇偶性单调性解抽象不等式 题型三十五、对数型函数的图像与性质综合 题型三十六、对数型函数的不等式恒成立与有解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、集合中含参数问题 典例1 （26-27高一上·河南周口·阶段检测）已知全集，集合. (1)求； (2)若集合，且，求实数的取值范围. 变式1-1（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 变式1-2（26-27高一上·上海长宁·阶段检测）设集合，或，全集，若，则实数的取值范围为__________． 题型二、集合新定义问题 典例2 （26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）（多选）整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属于同一个“类” 变式2-1（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（     ） A．45 B．49 C．53 D．62 变式2-2（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）设集合，，且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的范围的“长度”是_____． 题型三、由充分条件与必要条件求参数问题 典例3 （26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 变式3-1（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知集合． (1)若，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 变式3-2（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）（多选）使得成立的充分不必要条件是（    ） A．m3 B．m<3 C． D． 题型四、由全称量词与存在量词求参数问题 典例4 （26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知命题p：“”，命题q：“”．若命题p是真命题，命题q是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-1（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知命题[1，2]，；命题q：关于x的不等式有解，若命题p、命题q一真一假，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式4-2（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）若存在实数，对任意正数，不等式恒成立，则__________． 题型五、基本不等式“1”的代换 典例5 （26-27高一上·天津河西·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____________. 变式5-1（广西百色市2026-2027学年高三上学期10月考试数学试题）已知，为正实数，且，则的最小值为（） A． B． C． D． 变式5-2（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）问题：正实数、满足，求的最小值． 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若正实数，满足，且恒成立，求实数的最大值； (3)若实数，，，满足，求证：． 题型六、基本不等式中“和与积”的关系 典例6 （26-27高一上·河北唐山·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）设，，且，求的最小值． （3）若，求的最小值 变式6-1（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 变式6-2（26-27高一上·江西景德镇·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 题型七、基本不等式中的配凑法消元法换元法因式分解法 典例7 （26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）（1）已知，求的最小值； （2）已知正数，满足，求的最小值． 变式7-1（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）（1）已知，，且，求的最大值； （2）若正数、满足，求的最小值； （3）已知，求的最小值． （4）若，求的最大值； （5）已知，，，求的最小值． 变式7-2（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知，，完成下列问题： (1)若，求取得最小值时、的值； (2)若，求的最小值． 题型八、二次比一次/二次比二次型 典例8 （26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知实数，则（   ） A．无最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 变式8-1（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若，则的最小值是______． 变式8-2（24-25高一上·贵州黔西南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 题型九、复杂代数式求最值 典例9 （26-27高一上·湖南常德·阶段检测）已知正数a，b，c满足，则的最小值为________． 变式9-1（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知 ，，，且 ，则 的最小值为_______． 变式9-2（26-27高一上·安徽滁州·阶段检测）已知a，b均为正数，则的最小值是_______，的最大值是_______． 题型十、柯西不等式，权方和不等式求最值 典例10 （26-27高一上·四川广安·阶段检测）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请根据以上材料解答下列问题： (1)证明二阶柯西不等式：； (2)，求的最小值； (3)若，，不等式恒成立，求的取值范围. 变式10-1（26-27高一上·云南·阶段检测）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的．最初于1821年被柯西提出，其积分形式在1859年被布尼亚科夫斯基提出，其证明由施瓦茨于1888年给出．故历史上，该不等式又称为柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式．它在数学分析学中占有十分重要的地位．柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当 或存在一个数，使得（）时，等号成立． 现给出二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立． (1)证明二维柯西不等式； (2)已知，，且，求的最大值； (3)已知，，，且．若恒成立，求的取值范围． 变式10-2（25-26高一上·河北石家庄·期中）权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 题型十一、解含参一元二次不等式及整数解问题 典例11 （26-27高一上·四川眉山·阶段检测）关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式11-1（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知全集，集合，，求： （i）； （ii）； （2）求关于的不等式的解集． 变式11-2（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为______. 题型十二、一元二次不等式在R上恒成立/有解问题 典例12 （26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知函数，． (1)当时，求的解集； (2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围． 变式12-1（26-27高一上·河北沧州·阶段检测）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 变式12-2（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若对任意都有，则实数的取值范围是_________． 题型十三、一元二次不等式在区间上恒成立与有解问题 典例13 （26-27高一上·天津河西·阶段检测）已知不等式 的解集为 若对,不等式 恒成立则实数m的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 变式13-1（26-27高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数，． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)求解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 变式13-2（26-27高一上·天津津南·阶段检测）已知关于的不等式． (1)若此不等式的解集为，求实数的值； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数的取值范围． 题型十四、主元法解一元二次不等式恒成立问题 典例14 （26-27高一上·天津河西·阶段检测）已知． (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若实数，解关于的不等式； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 变式14-1（26-27高一上·黑龙江绥化·阶段检测）设二次函数，其对称轴为． (1)若时，求不等式的解集； (2)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式14-2（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）对于任意为真命题，则的取值范围为__________． 题型十五、一元二次方程根的分布问题 典例15 （26-27高一上·辽宁·阶段检测）已知关于的方程有两个大于1的实根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式15-1（26-27高一上·河北沧州·阶段检测）已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的正实根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个实根，，且满足，求实数的取值范围； (3)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围． 变式15-2（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）关于的一元二次方程有两个实根，分别求满足条件的实数的取值范围： (1)两根一正一负； (2)两根均为负根； (3)两根均大于1． 题型十六、换元法求函数的值域 典例16 （25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 变式16-1（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____. 变式16-2（25-26高一上·江苏盐城·期中）函数的值域为 ______ ． 题型十七、分式型函数的值域问题 典例17 （25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 变式17-1（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 变式17-2（2025高一上·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____. 题型十八、待定系数法/换元法/方程组法求函数的解析式 典例18 （26-27高一上·河南郑州·阶段检测）求下列函数的解析式： (1)已知 ，求函数 的解析式． (2)已知函数 对于任意 都有 ，求函数 的解析式． (3)已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式． 变式18-1（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）（1）已知函数满足，求函数的解析式； （2）已知为一次函数，若，求的解析式． 变式18-2（26-27高一上·陕西西安·阶段检测）（1）已知，求的解析式． （2）已知为二次函数，且，求． （3）函数满足方程，且，求． 题型十九、抽象函数的解析式问题 典例19 （25-26高一上·辽宁·期末）已知定义域为的函数，满足，且当时，，则__________. 变式19-1（25-26高一上·江苏苏州·期中）设函数，并且对所有正整数，有.则的值为__________.（请用数字回答） 变式19-2（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，不恒为零，对于，满足，若，则__________. 题型二十、分段函数的单调性 典例20 （26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式20-1（24-25高二下·陕西汉中·阶段检测）若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式20-2（24-25高一上·吉林长春·期中）（多选）已知函数，则下列命正确的是（   ） A．当时，函数最大值为1 B．当时，函数最大值为0 C．若存在最大值，则 D．，在不可能递减 题型二十一、函数的奇偶性求解析式/参数的值 典例21 （26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数是定义在上的奇函数，且，设的最大值为，最小值为，则的值是_______． 变式21-1（26-27高一上·江苏·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 变式21-2（25-26高一下·河南洛阳·期末）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数， ． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 题型二十二、函数的奇偶性单调性解抽象不等式 典例22 （26-27高一上·全国·课堂例题）（1）已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数，若，求实数的取值范围． （2）定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围． 变式22-1（25-26高一下·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式22-2（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型二十三、抽象函数的奇偶性单调性 典例23 （26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数的定义域为，，且当时，． (1)判断函数的奇偶性，并写出必要的证明过程； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)解不等式：． 变式23-1（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数． (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式 变式23-2（25-26高一上·福建厦门·期中）已知定义在上的函数满足对任意的实数、都有，且当时，，. (1)求，； (2)判断并证明的奇偶性； (3)解关于的不等式. 题型二十四、函数的奇偶性单调性对称性与周期性综合 典例24 （24-25高二下·山西运城·期末）经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数；由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是. (1)已知函数，且，求的值； (2)证明：函数图象的对称中心为； (3)求函数的对称中心及的值. 变式24-1（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则______． 变式24-2（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 题型二十五、幂函数的图像性质综合 典例25 （2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 变式25-1（25-26高一上·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递减. (1)求常数，的值； (2)设，判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 变式25-2（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，函数. (1)求的解析式. (2)已知对勾函数的形式为均为参数，，该函数在上单调递减，在上单调递增. （i）当时，直接写出在上的单调区间； （ii）若在上的最小值为，求的值. 题型二十六、指数函数型函数的定义域与值域 典例26 （2025高一上·重庆·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 变式26-1设函数，. (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求的值域. 变式26-2（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 题型二十七、指数型函数的单调性与最值 典例27 （26-27高一上·辽宁·期中）已知函数且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最大值. 变式27-1（25-26高一上·江西吉安·期末）已知函数是定义域为的偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最小值为，求的值. 变式27-2（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知 (1)讨论函数的奇偶性，说明理由； (2)若，求使不等式恒成立时实数的取值范围； (3)若，，函数在上的最小值为，求实数的值． 题型二十八、指数型函数的奇偶性单调性解抽象不等式 典例28 （26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知函数，若，则的取值范围是________． 变式28-1（26-27高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式28-2（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知函数，若正实数满足，则的最小值是（    ） A．11 B．8 C．4 D．3 题型二十九、指数型函数的图像与性质综合 典例29 （24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. 请判断函数的奇偶性：_______，并写出解析式：__________. 变式29-1（25-26高二下·广东广州·阶段检测）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 变式29-2设，如果，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三十、指数型函数的不等式恒成立有解问题 典例30 （25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数，，定义函数． (1)判断在上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数在上的最大值； (3)设，若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 变式30-1（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数 (1)当时， 求不等式的解集； (2)若对任意，不等式 恒成立，求t的最大值； (3)对于函数，若为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数 是“可构造三角形函数”，求实数t的取值范围. 变式30-2（25-26高一上·吉林长春·期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． (1)求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； (2)若时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 题型三十一、对数运算综合 典例31 （26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，，用，分别表示和； （2）已知，求的值. 变式31-1（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）_____________． 变式31-2（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知，若，，则__________． 题型三十二、对数型函数的定义域与值域 典例32 （25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的值为________. 变式32-1（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，求的取值范围及函数值域； （2）若函数的值域为，求的取值范围及函数的定义域． 变式322（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 题型三十三、对数型函数的单调性与最值 典例33 （26-27高三上·山东淄博·阶段检测）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 变式33-1（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 变式33-2（26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）已知，函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为，求的值； (3)若，存在，任意，有成立，求的取值范围． 题型三十四、对数型函数的奇偶性单调性解抽象不等式 典例34 （26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（     ）． A．的定义域为 B．是偶函数 C．在定义域上单调递增 D．不等式的解集为 变式34-1（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知为偶函数，，若时，函数的图象恒在图象的上方，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式34-2（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）已知函数，则是（     ） A．奇函数，且在单调递增 B．偶函数，且在单调递增 C．奇函数且在单调递减 D．偶函数，且在单调递减 题型三十五、对数型函数的图像与性质综合 典例35 （25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数的图象分别与函数和的图象交于两点，设两交点的横坐标分别为，则的值为______. 变式35-1（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知两条水平直线和与函数的图形从左到右相交于两点；与函数的图形从左到右相交于两点.记和在轴上的投影长度分别为.当变化时，的最小值为__________. 变式35-2（24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数及的图象交于点B，C，点为函数图象上一点.若是以AC为斜边的等腰直角三角形，则__________.    题型三十六、对数型函数的不等式恒成立与有解问题 典例36（26-27高三上·山西·阶段检测）已知函数． (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求证：曲线是中心对称图形； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求的取值范围． 变式36-1（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数. (1)求函数的定义域，并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围； (3)已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 变式36-2（25-26高一下·湖南益阳·期中）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)已知当时，恒有意义． （Ⅰ）求在上的最小值； （Ⅱ）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $