精品解析：天津市第一百中学2026-2027学年第一学期第一次过程性诊断高一数学试卷

2026—2027学年第一学期第一次过程性诊断 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得,又因， 则. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 解得或， 当时，，故充分性成立； 当时，也可以小于，不一定满足，故必要性不成立， 所以是的充分而不必要条件. 3. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质和作差法逐一判断选项即可. 【详解】A选项：当时，，，此时，故A选项错误； B选项：当时，，故B选项错误； C选项：作差得：， 又，则，即，，故C选项错误； D选项：作差比较：，由可知， 因此差值大于，即，故D选项正确. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由分段函数得，，. 5. 下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可． 【详解】对于A，函数和的定义域均为，且，两个函数的定义域和对应法则相同，故函数和是相等函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，故函数和不是相等函数； 对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，故函数和不是相等函数； 对于D，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，故函数和不是相等函数. 故选：A. 6. 已知的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域的规则，列不等式求解即可. 【详解】的定义域是，则， 对于，的取值范围和中的范围一致， 即：，解得， 故的定义域是. 7. 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对原式展开化简，再利用基本不等式求解最小值，验证等号成立条件即可得到结果. 【详解】， 已知式子成立，故，即，   ，当且仅当，即，时等号成立， 故. 8. 已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，得，即，解得或. 当时，，得，则；由二次函数在上单调递减，则； 当时，，得，则；由一次函数在上单调递减，则； 当时，，得，则；由二次函数在上单调递增，则； 综上所述，，得的最小值为. 9. 若，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】令把化为，与合并后利用条件把原式化为；再用乘1法由得，从而最小值为. 【详解】令，由得，且. 则， 所以. 由条件得原式. 又， 由得，即， 所以原式；等号当，即时成立， 结合得、，即（满足）， 所以原式的最小值为. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知集合，，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】 ①，此时不满足互异性，不合题意， ②，得或（舍去）. 当时，集合，符合题意， 综上，. 11. 已知实数满足，，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【详解】由，有， 又，故有, 则的取值范围是. 12. 集合，，若，则实数的取值为______ 【答案】 【解析】 【详解】，，， ①时，，此时满足，符合题意， ②时，， 或，解得或， 时，，时，均符合题意. 综上，实数的取值集合为. 13. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用换元法求函数解析式即可. 【详解】令t＝x-1，则x＝t+1， f(t)＝(t+1)2+1＝t2+2t+2， 即f(x)＝x2+2x+2． 故答案为： 14. 集合，.若，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【详解】，，得，即，解得. . ，，，即实数的取值范围为. 15. 若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】把不等式化为，按、、分类写出解集，再由"恰有一个整数解"确定范围. 【详解】不等式即，其解集是以和为端点的开区间，两端点都取不到. 当时，解集为，其中整数依次为，恰有一个整数解等价于； 当时，解集为，其中整数依次为，恰有一个整数解等价于； 当时，不等式为，无解，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知集合，. （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义求出、，最后根据交集及并集的定义计算可得； （2）由，可得，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 因为，所以， 或. 当时， 所以或. 所以，. 【小问2详解】 因为，所以. 当时，，则； 当时，由题意得， 解得. 综上，实数的取值范围是. 17. 若集合，. （1）若，，且，求的最小值； （2）若，且是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，用常值代换把乘以展开，再用基本不等式求最小值并解出取等时的、； （2）由消去，把"充分条件"转化为，按判别式的符号分""、"为单元素集"、"为双元素集"三类讨论，其中双元素集用根与系数的关系证明不可能. 【小问1详解】 由得，所以. 因为，所以，即. 又、，由常值代换得 ， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时取等号，结合得、（均为正数）， 所以的最小值为. 【小问2详解】 由得，所以. "是的充分条件"等价于. 当，即时，，此时成立； 当，即或时：时；时，符合； 当，即或时，有两个不同的元素，若， 则这两个元素恰为与， 此时两根之和为且两根之积为， 得与，相互矛盾，故无解. 综上，实数的取值范围为. 18. 已知函数，函数的定义域为集合A，集合. （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围； （3）求函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据根式有意义的条件求出的定义域，得到集合；再求解绝对值不等式得到集合，结合，确定区间位置关系，据此列式求解参数范围； （2）由（1）可得在中的补集，结合，说明区间与没有公共部分，分区间在左侧、右侧两类讨论； （3）用换元法，令，把原函数转化为关于的二次函数，结合二次函数图像求值域． 【小问1详解】 函数，定义域满足， 解得，即． 由，得或，所以或． 未覆盖的区间为，要使得，则， 因此，解得，所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 由（1）得． ，即区间与无交集： ①区间在左侧：，得； ②区间在右侧：，得． 综上，实数的取值范围是． 【小问3详解】 ，定义域．令，则，， 代入得． 二次函数开口向上，对称轴，当时取得最小值， 所以的值域是． 19. 已知命题p：，；命题q：，. （1）若p为假命题，求实数a的取值范围； （2）若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为真命题求出实数的取值范围； （2）分真假、假真两种情况求解. 【小问1详解】 若p为假命题，则为真命题， 而为：，， 当，不等式变为解集为，满足； 若，则，解得， 所以实数的取值范围为， 所以当为假命题时，实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题为真，即，， 当时，取得最小值，即为， 故，即命题为真时，实数的取值范围为. 若真假，则，解得； 若假真，则，解得， 综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为. 20. 设函数. （1）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）当时，求关于x的不等式的解集； （3）若对，，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）. （2）时，不等式解集为； 时，不等式化为，解集为； 时，不等式解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）将不等式整理为标准二次不等式形式，结合解集确定对应二次方程的根，再根据韦达定理列方程求解. （2）根据，结合两个根的大小关系，分情况讨论即得不等式的解集. （3）先利用基本不等式求出在上的最小值，将问题转化为对恒成立，求出在上的最小值即得的范围. 【小问1详解】 将代入不等式， 整理得：， 因为不等式解集为，所以， 且对应的一元二次方程的两根为. 根据韦达定理： 解得，； 【小问2详解】 当时，不等式， ①当，即时，不等式解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式解集为. 【小问3详解】 对，， 当且仅当即时取等，则的最小值为3. 原恒成立条件等价于：对，恒成立， 即， 也即对恒成立. 整理得对恒成立. 令，由得， 对恒成立， 又因函数在处取最小值， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期第一次过程性诊断 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5 5. 下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 9. 若，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知集合，，若，则______. 11. 已知实数满足，，则的取值范围是______ 12. 集合，，若，则实数的取值为______ 13. 已知，则________. 14. 集合，.若，则实数的取值范围为______ 15. 若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为______ 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知集合，. （1）当时，求集合，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 若集合，. （1）若，，且，求的最小值； （2）若，且是的充分条件，求实数的取值范围. 18. 已知函数，函数的定义域为集合A，集合. （1）若，求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围； （3）求函数的值域. 19. 已知命题p：，；命题q：，. （1）若p为假命题，求实数a的取值范围； （2）若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围. 20. 设函数. （1）若不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）当时，求关于x的不等式的解集； （3）若对，，恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $