07立体几何专项训练-2027届高三数学一轮复习

纲目七 立体几何 第一章 空间几何体常用结论 基础知识整合 1.四面体常见小结论 (1)正四面体的性质 定义： 所有棱长都相等的三棱锥叫正四面体，正四面体与正三棱锥不是一个概念，正三棱锥底面为正三角形，侧面为等腰三角形；正四面体所有面都为正三角形 设正四面体棱长为，则： (1)高 证明：， 所以高 (2)没侧棱与底面所成角为，则，设侧面与底面所成角为，则 证明：在中， 在中， (3)该正四面体的内切球半径，外接球半径，对棱之距离为 证： 将该正四面体内置于一正方体，使得正四面体的棱长为正方体的而对角线长，设为所以正方体的边长为，由 两对棱之间的距离为正方体两侧面之间的距高，即为 (4)正四面体的三视图 正视图为 左视图为 俯视图为 加三条相交线段 所以这种放置的正四面体的三视图为： 又如图所放置的正四面体的三视图为： (2)四面体的对棱所成的角：四面体中，与所成的角为， 则，特别地当时， (3)特殊四面体顶点的射影性质： 在四面体中： (1)若，则；且在平面上的射影是的垂心 (2)若，则在平面上的射影是的外心 (3)若到边的距漓相等，则在平面上的射影是的内心 证明如下： (1)(思路如下)过点作平面，则，又平面 所以，同理，所以为垂心，所以， 又，所以，所以 (2)由得： ，即，所以在平面上的射影是的外心 (3)由得： ，即，所以在平面上的射影是的内心 2.五正弦定理：若所在的平面与过边的平面所成的角为，另两边与平面所成的角分别为为的两个内角.则有： 特别地，当时， 证明如下：(只证明特殊情况) 当时， 3.三余弦定理：若直线在平面内的射影是直线，直线是平面内经过的斜足的一尔直线，与所成的角为与所成的角为与所成的角为. 则有： 证明：在直线上取，点，过点作交于点， 过点作交于点 则平面，所以 4. 最小角定理： 斜线与平面内所有直线所成的角中，最小的是与它在平面内射影所成的角 证明：由三余弦定理得：，即最小 5.斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射 影越长，垂线段最短. 如图： 证明：由 6、三垂线定理与三垂线逆定理 (1)三垂线定理：在平面内的一条苗线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直(要会证明，方法：借高，用线面平行的判定定理) (2)三垂线䢍定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的的射影垂直 三垂线定理：已知斜线在平面上的射影为，若，则 证明如下：平面 三垂线逆定理：已知斜线在平面上的射影为，若，则 证明品下：平面 7、三射线定理：若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角，与二面角的棱所成的角是，如图：平面所成二面角为为夹在二面角之间的线段， ，则有： 特别地，当时， 证明：当时， 8、射影夹角定理1：长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为，则有 射影夹角定理2：长度为的线段在三个两两互相垂直的平面上的射影长分别为，夹角分别为，则 9.面积射影定理：平面多边形及其射影的面积分别为，它们所在平面所成的锐二面角为，则有 10.与两异面直线成等角的直线条数判定 若两条异面直线所成的角为，过空间中任意一点作与所成角均为的直线，则 (1)当时，则有0条； (2)当时，则有且只有1条； (3)当时，则有且只有2条； (4)当时，则有且只有3条； (5)当时，则有且只有4条. 若时， (1)当时，则有0条； (2)当时，则有且只有2条； (3)当时，则有且只有4条. 11.欧拉公式 设和分别表示凸多边形体面、棱(或边)、顶点的个数，则. 利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种：正四面体、正六面体(正方体)、正八面体、 正十二面体、正二十面体.事实上，设正多面体每个面是边形，每个顶点引出条棱，则棱数应是(面数)与的积的一半，即.(1) 同时，应是(顶点数)与的积的一半，即.(2) 由(1)、(2)，，代入欧拉公式中，有. 由于，故. 显然，不可能同时大于3.由和的意义知，故中至少有一个等于3. 当时，易得；同理，时，. 综上，时，即正四面体；当时，即正六面体；时，即正八面体：时，即正十二面体；时，即正二十面体. 12、立体几何中的空间角 异面直线夹角的范围： 线面角的范围： 直线的倾斜角范围： 二面角的范围： 两个向量夹角的范围： (1)异面直线所成角： 其中为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量 (2)直线与平面所成的角(线面角)： 其中为线面角，为平面的法向量 (3)的平面角(二面角)： 或，其中为二面角分别表示平面法向量 13.立体几何中的距离 (1)空间两点间的距漓：若，则有 (2)空间点到直线距离(两平行直线之间的距离)： 求点到直线的距离，在上取点，直线的方向向量为，则有 (3)空间点到平面的距离(平行于平面的直线到平面的距离、两平行平面之间的距离)： 求点到平面的距离，在上取点，平面的法向量为，则有 (4)两条异面直线之间的距离： 求两条异面直线的距离，在上任取与公共法向量为，则有 (5)异面直线上两点的距离公式： 两条异面直线所成的角为，其公垂线段长为，在直线上分别取两点，记，则有 14、空间余弦定理 如图，平面相交于直线为I上两点，射线在平面内，射线在平面内.已知，且都是锐角，是二面角的平面角， 则. 证明：在平而中，过作的垂线，交射线于点.在平百中，过作的垂线，交射线于点. 设，则， 并且就是二面角的平面角. 在与中，利用余弦定理，可得等式 故 15.截面问题 已知三点分别在正方体的棱和上，试画出过三点的截面. 方法一： (1)先过两点作辅㔕平面，过点，作交于，则而为所作的辅助平而. (2)在面内延长，交RP的延长线于. (3)在面内，连接，交于点，延长交的延长线于点. (4)连接，交于点，延长交于点，再连接交于点L. (5)连接RL、PS、QN.则多边形QNRLPS为所求. 方法二： (1)先过作，联结 (2)连接交于点 (3)过作，交点 (4)连㧍并延长，交 (5)连接并延长，交于 (6)连接，交于，延长线交DC延长线于 (7)连接，交于 (8)连接，则多边形为所求 第二章 古代空间几何体研究 [基础知识整合] 1.中国古代术语：同名(同号)、异名(异号)、相异(相加)、相除(相减) 2、长边称为"广"，短边称为"袤"，高称为"势" 3、中国古代平面几何体：方田(正方形)、圭田(三角形)、箕田(等腰挮形)、邪田(梯形)、圆田(圆形)、弧田(弓形) 4、中国古代空间几何体：垛墙、堑堵、阳马、鳖臑、刍甍、刍童、羡除、楔形四棱台牟合方盖 方垛壔即为正方体，长垛壔即为长方体，圆堢壔即为圆柱体 《九章算术·商功》刘徽注：“斜解立方得二堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之一某，其形露矣. “鳖膘系一四面体，其四面皆为勾股形，梅文鼎称为立三角形.立三角形以其一面为底，其他三面聚于一点为顶点，在顶点旁三侧面的顶角和三侧面间的三个二面角与球面三角形的三弧三角相当. 长堢(长方体) 斜解为两个堑堵(直三棱柱) 堑堵 斜解为阳马和鳖臑 阳马体积+鳖臑体积堑堵体积 阳马体积： 鳖臑体积 一、阳马： 四边形 为矩形，平面 性质一： ， 性质二：外接球半径 ， 内切球半径 性质三： 该四棱倠四个侧面均为直角三角形，底面为矩形 性质四：最长棱为 二、鳖臑： 平面 性质一： ， 性质二： 外接球半径 ， 内切球半径 性质三： 平面 ， 敬䨜的四个面均为直角三角形 性质四： 最长棱为 以下关于刍甍、刍童，羡除，楔形四棱台的体积公式均可根据割补法完成证明 三. 刍甍：底面 为平行四边形，顶棱 与底面平行 (大多时候底面是矩形) 若底面为矩形， 则 四、刍童：用平行于刍甍底面的一个面去截刍甍，截面和底面之间的几何体叫刍童 刍童为六面体，下底面为平行四边形，上底面为平行四边形，目互相平行 刍童可以斜解为两个刍甍和 所以 当上下底面为矩形时， 五、羡除：底面为梯形，顶棱与底面平行，羡除是一个五面体 六. 楔形四棱台：下底面为梯形，上底面为梯形，且互相平行. 楔形四棱台可以㪴解为两个羡除和 所以 七、牟合方盖："牟合方盖"是正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分 1、牟合方盖的三视图 2、牟合方盖的表面积 牟合方盖的展开图像一朵绽开的莲花，不禁想起温庭笉的一首《莲花》 绿塘摇滟接星津，轧轧兰桡入白蘋. 应为洛神波上袜，至令莲蕊有香尘. 更为神奇的是展开图曲线为三角函数曲线 所以 则牟合方盖的表面积 3、牟合方盖的体积 牟合方盖是由古代数学家刘徽首先发现的(古时人们称伞为"盖"，"牟"同侔，意即相合).刘徽之所以想出牟合方盖这个几何体，是为了解决球的体积计算公式，当时的《九章算术》"少广"章已经给出了球的体积计箕公式(表示球的直径)，刘徽发现这个公式是错误的，而且刘徽证明出牟合方盖的体积眼内切球体积之比为，也就是说只要得出牟合方盖的体积，就可以得出球的体积，但是刘徽直到去世也没有算出牟合方盖的体积.200年后，祖冲之和他的儿子祖暅解决了这个问题，祖暅拫据自己提出的祖暅原理："缘幂势既同，则积不容异"，意思是所有等高处橫截面积相等的两个同高几何体，其体积一定相等.由此算出了牟合方盖的体积.其证明过程如下： 取牟合方盖的八分之一部分， 放在小立方体中， 右边构造出一个等高的四棱锥， 在等高 处， 左边 ， 右边， 由祖暅原理，得： -= 再根据 ， 得 另一种利用"祖暅原理"推导球的体积公式方法 等底等高的圆锥，半球，圆柱放在同一个平面上 ，，我们可以猜想 ， 证明如下： 左边，右边=，即 根据祖暅原理：影部分所构成的体积相等 第三章 立体几何中的外接球、内切球问题 类型一、墙角模型(三条线两两垂直) 方法：找三条两两互相垂直的线段用公式：，解出 例1：四棱锥的底面为正方形，底面，若该四棱推的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______ [解析] 外接球半径，故该球的表面积为. 例2：已知三棱锥中，，当三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为______ [解析] 当平面时，三棱锥的体积最大，由于，则为直角三角形，三棱锥的外接球就是以为棱的长方体的外接球，则，解得，综上：球体的体积为. 侧3：三棱锥中，为等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为______ [解析] ，又，故在底面的射影为的中心，设的中点为，则 设三棱锥 的外接球球心为 在 延长线上， 设 所以外挂求的半径 ， 故外接球的面积为 . 制 4：已知三棱倠 中， ， 当三棱锥 体积最大值时， 三棱锥 的外接球的体积为______ [解析] 三棱锥，以为底，到平面的距离为高，则平面时，到平而的距离最大为，底面为等腰三角形， 所以当时，的面积最大，即， 所以当两两垂直时，三棱锥体积最大，设球的半径为， 则，解得， 综上：所求球的体积为. 类型二、垂面模型(一求直线垂直于一个平面) 题设：平而 第一步、将平面出在小圆而上，为小圆面直径一端点；作小圆而的直径，连接，则必过球心； 第二步、为的外心，所以平而；算出小圆面的半径； 第三步、用所股定理： 题设：的投影落在的外心上 第一步、确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步、算出小圆面半径，算出棱锥的高； 第三步、勾股定理： 例1：球的球面上有四点，共中四点共面，是边长为2的正三角形，平面平面，则棱锥体积的最大值为_________ [解析] 由于面面，所以点在平面上的射影落在上，根据球体的对称性可知，当在“最高点”，也就是说为中点时，最大， 是边长为2的等边三角形，所以，球的半径为， 在中，， 所以三棱锥的体积为. 例2：已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，是边长为的等边三角形， 平面，且与平面所成的角为，则球的表面积为_______ [解析] 平面，则与平面所成的角为，故. 的外接圆半径为，则，解得， 所以球的表面积为. 例3：体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是_____ [解析] 设，则，则，解得. 由，得或(舍)，所以. 又点为的中点，在中，，解得， 所以当截面垂直于时，截面圆的半径为，故截面圆面积的最小值是. 例4：在三棱淮中，，点到底面的距缡为2，则三棱推外接球的袁面积为_____ [解析] 取中点，由可知：为球心， 过作平面，交平面于，连接交于，连接 为的中点 由球的性质可知：平面，且，设， ，在中， 即，解得， 所以三棱锥的外接球的半径为， 综上：三棱锥外接球的表面积为. 例5：已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是_______ [解析] 设的中心为，球的半径为，连接， 则， 在中，，解得， 所以，因为，所以， 在中，，故， 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面的半径为，则截面面积为， 综上：当截面过球心时，截面面积耸大，最大面积为. 类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直) 题设：平而平面(为小圆直径) 第一步、由图知球心必为的外心，即在大圆面上，先求出小圆面直径的长： 第二步、在中，可根据正弦定理，解出 题设：平面平面 第一步、确定球心的位置，由图知三点共线： 第二步、算出小圆面半径，算出棱锥的高： 第三步、勾股定理： ，解出 例1：在三棱锥中，，且，则该三棱㢈外接球的表面积为_______ [解析] 设顶点在底面中的射影为，由于，所以， 即点是底面的外心，又，所以为的中点， 因为，所以， 设外接球的球心为，半径为，则必在上，， 在中，，解得，所以. 例2：已知是半径为2的球面上的点，为球心，， 则三棱锥体积的最大值是_______ [解析] 设交平面于.因为，由球的对称性有底面. 又.故 因为，所以. 又.故. 故.当且仅当时取等号. 例3：在三棱隹中，，平而平面，则三棱锥外抾球的定而的为________ [解析]过点作，络合平面平面可知，平面，故， 结合可知，平面，所以，结合 所以平面，所以，故该外接赇的半径等于， 综上：球的表面积为. 例4：已妿三棱锥中，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为______ [解析] 取的中点，连接， ，又面面，面面面， 面，又为直角三角形，外接圆圆心为， 球心一定在直线上，设球心为，半径为，接， 则 即解得， 则此三棱锥的外接球的表面积为. 类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球) 䞠设：直三棱柱内接于一球(棱柱的上下底面为任意三角形) 第一步、确定球心的位置，为的外心，则平面； 第二步、算出小圆面半径； 第三步、勾股定理： 题设：直三棱柱内接于一球(棱柱的上下底面为直角三角形) 此类题为上面题的特殊情况，解法更简单，的长即为底面三角形斜边的一半 勾股定理： 题设：四棱锥内接于一球，平面工平面 此种四棱锥可以补成直三棱柱，然后方法同上 勾股定理： 例1：已知直三棱柱中，，侧面的面积为4，则直三棱柱外接球的半径的最小值为______ [解析] 在直三棱柱中，所以的外接圆的圆心分别的中点，外接球的球心就是的中点，设直三棱柱的高为，由于侧面的面积为4，则，所以，当且仅当时取等号，故直三棱柱外接球的半径的最小值为. 例2：《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，当阳马体积的最大值为时，殂堵的外接球的体积为_____ [解析] 平而，故， 当且仅当，又阳马体积的最大值为， 所以，所以堑堵的外接球的半径， 所以外接球的体积. 例3：已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是______ [解析] 因为，所以， 取的中点，则的中点直三棱柱的外接球的球心， 由球的表面积公式，得，解得， 所以，又由， 所以这个直三棱柱的体积为. 栵4：在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，且为等边三角形，若四棱锥的体积与四棱锥外接球的表面积之比为，则四棱锥的表面积为_____ [解析] 连接交于点，取的中点为，连接. 设四掕锥外接球的球心为，等边三角形外接圆的圆心为， 则为的重心，则，㱑方形外接圆的圆心为. 因为，平面平面，所以平面，所以， 所以四边形为矩形，所以.设正方形的边长为， 则，所以， 所以四棱锥外接球的半径为， 所以四棱锥外接球的表面积为， 四棱锥的体积为， 所以，即，解得，所以正方形的边长为2， 所以， 综上：四棱锥的表面积为. 类型五、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰拼在一起，或菱形折叠 第一步、先画出如图所示的图形，将画在小圆面上，找出与的外心和； 第二步、过和分别作所在三角形的垂线，交点即为球心，连接； 第三步、解三角形，算出，在中，勾股定理： 例1：已知四面体中，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为_____ [解析] 取的中点，连接，则面面，则外接球球心在平面内， 在上取点，使，过点作垂直于，过点作垂直于， 设与交于点，连接，则，易知即为球心， 所以所以， 综上：外接球的表面积为 例2：四面体中，则四面体外接球的表面积为______ [解析] 取的中点为，在中，，故， 所以为直角三角形，同理可得为直角三角形，则能得到， 同时为中点，所以，所以为外接球的球心，且半径为， 综上：四面体外接球的表面积为. 例3：设三棱锥的所有点都在球上，是面积为的等边三角形，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为______ [解析] 由题得，得. 当且平面底面时，三棱锥的体积最大. 分别过和的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心， 设和的外接圆半径分别为，球的半径为， 则，故， 综上：球的表面积为. 例4：在三梭隹中，，则三棱锥外接球的表面积是______ [解析] 取的中点，连接，由和都是正三角形， 得，，则， 则， 由勾股定理的送定理，得. 设球心为和的中心分别为. 由球的性质可知：平面平面， 又， 由勾股定理得. 所以外接球半径为. 综上：外接球的表面积为. 例5 已知四棱锥中，底面是梯形，且，的中点为，则四棱锥外接球的表面积为_____ [解析] 由题得，又四边形是正方形，，平面， 又平面，所以. 则有，即，解得. 球心到四点距离相等，设在平面的投影为， 那么，， 设，则有，， 又， 是正方形，平面上且到四点距离相等的点即为正方形的对称中心， 即对角线的交点，则. 过作于，平面平面， 即是点在平面的投影是等边三角形，， ，与联立解得， 综上：. 类型六、对棱相等模型 题设： 三棱锥或四面体告诉三组对校相等， 求外接球半径 第一步、画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱： 第二步、设长方体的长宽高分别为 ， 列出方程 ，三个式子相加，再除以2得到 ； 第三方、根据墙角模型，，解出 补充： 例1：已知三棱锥中，，若该三棱锥的 四个顶点在同十个球面上，则此球的体积为________ [解析] 作三棱锥的外㧍长方体，设， 则， 上述三个等式相加得， 所以该长方体的体对角线长为，则其外接球的半径为， 综上：此球的体积为. 例2：在三棱锥中，，则此三棱锥外接球的半径为_______ [解析] 将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、䆕、高分别为，则 所以，所以该三棱锥外接球的半径为. 例3：四面体中，，则四面体外接球的表面积为_______ [解析] 将四面体放入长方体中，则四面体的外接球亦即长方体的外接球，设长方体的长、兑、高为，则，解得， 因为长方体封角线饮为长方体的外接球亦即四面体外接球的直径，， 所以球的半径为， 综上：四面体的外接球的表面积为. 类型七、两直角三角形拼在一起模型 题设：，求外接圆半径 分析：取斜边的中点，连接， 所以点即为球心，然后在中解出半径 例：已知直角梯形，沿折叠成三棱锥 ，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_____ [解析] 取的中点为的中点为，连接三棱锥体积最大， 所以平面平面，根据勾股定理可得，即， 故是外接球的球心，是球的半径， 综上：三棱锥外接球的表面积是. 类型八、椎体的内切球问题 题设：正三棱锥求内切球半径 第一步、先画出截面图如图，为三角形的外心； 第二步、求为侧面的高； 第三步、相似于，由解出 题设：正四棱锥求内切球半径 第一步、先画出截面图如图，三点共线； 第二步、求为侧面高； 第三步、由相似于，建立等式：解出 题设：求任意三棱倠的内切球半径(等体积法) 第一步、先求出四个表而的面积和整个椎体的体积； 第二步、设内切球半径为，建立等式： 第三步、解出 例1：在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为䀇臑.若三棱锥为整䎮，侧棱底面，且，则该敕膤的内切球半径为_____ [解析] 由鳖臑的性质可知，， 所以， 故. 例2：已知四棱锥，底面四边形为正方形，，四棱锥的体积为，在该四棱倠内放罖一球，则球体积的最大值为______ [解析] 设，由球内切于四棱锥可知， 则，球的半径， 所以 当且仅当时，等号成立，此时. 综上：球体积的最大值为 例3：已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为______ [解析] 设正四棱锥的棱长为，则，解得. 于是该正四棱锥内切球的大圆是的内切圆，其中. 所以，设内切圆的半径为， 由，得，即，解得， 综上：内切球的表面积为. 仼4：在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为______ [解析] 因为侧棱底面，且底面为长方形，所以内切球 在侧面内的正视图为的内切圆，设的半径为， 根据圆的切线长定理得，所以内切球的半径为； 设该阳马的外接球半径为，则该阳马补形所得的正方体的对角线为其外接球的直径， 所以 所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为. 例5：棱长为的正四面休与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球而上，则正三棱锥的内切球半径为_______ [解析]多而体的外接球财正四面体的外接赇，且其外接赇的直径为， 则正四面体的高，外接球的半径为.设正三㭌推的高为， 因为，所以. 因为底而的边长为，所以， 正三棱绤的三条侧棱两两垂直， 则正三棱锥的表面积，体积. 设正三棱锥的内切球的半径为，由，得. 例6：在正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.若以为焦点，为准线的抛物线经过，设球的半径分别为，则_____ [解析] 由抛物线的定义，点到点的距离与到直线的距㐫相等，其中点到点的距离即半径， 也即点到面的距离，点到直线的距㐫即点到面的距离， 因此球内切于正方体，不妨设，两个球心和两球的切点均在体对角线上， 两个球在平面处的截面如图所示，则， 所以.又因为， 因此，得，所以. 第四章 立体几何证明问题 [基础知识整合] 1、四个公理 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(用来判断直线是否在平面内) 公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据) 推论一：直线外一点和已知直线确定一个平面 推论二：两条相交直线确定一个平面 推论三：两条平行直线确定一个平面 公理三：两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 (用来证明三点共线或三线共点) 公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2.八个定理(四个判定定理+四个性质定理) 1、线面平行的判定定理： 3、面面平行的判定定理： 4、面面平行的性质定理： 5、线面垂直的判定定理： 6、线面垂直性质定理： 7、面面垂直的判定定理： 8、面面垂直的性质定理： 3.立体几何中的证明网络图 4、立体几何中的传统证明方法 (一)线线平行的证明 1.利用中点构造中位线或平行四边形(自己找中点构造) 2.线面平行的性质定理(如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行) 3.面面平行的性质定理(若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行) 4.线面垂直的性质定理(如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行) 5.平行公理(平行于同一莍直线的两承直线平行) (二)线面平行的证明 1.定义法(说直线和平面没有公共点，即排除相交和在平面内两种情况) 2、线面平行的判定定理(如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行) 3、面面平行的推论(先证两个面平行，则其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面) (三)面面平行的证明 1、面面平行的判定定理(如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行) 2、垂直于同一条直线的两个平面平行 3.平行于同一个平面的两个平面平行 (四)线线垂直的证明 1、勾股定理、等腰三角形底边上的中线、菱形(正方形)对角线、圆中直径所对的角、射影 2.(I)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直(需证明，方法：借高，用线面平行的判定定理) (Ⅱ)三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 3.平面中常见的垂直模型 (I)(2比1加中点有垂直) 条件：矩形中，为的中点； 结论： 证明如下：由几何关系得 (Ⅱ)(比1加中点有垂直) 条件：矩形中，为的中点； 结论： 证明如下：由 变形式： 条件：中，，点在上，且； 结论： 证明如下：在中，设，则 此时 (Ⅲ)条件：中，是中点，且；结论：(可直接用) 证明如下：由等腰三角形可佭 (Ⅳ) 1、条件：中，若，且；结论： 2、条件：中，若，且；结论： 证明如下： 1、设，由余弦定理得， 由与勾股定理逆定理得 2、设，由余弦定理得， 由勾股定理逆定理得 (五)线面垂直的证明 1、线面垂直的判定定理(如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面) 2.面面垂直的性质定理(如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面) 3、点在平面内的射影 (六)面面垂直的证明 1、定义法：两个平面的二面角是直二面角 2.面面垂直的判定定理(若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直) 5、立体几何中的向量证明方法 设平面外的直线和平面，直线的方向向量为，两个平面的法向量为，则线面平行：线面垂直： 面面平行：面面垂直： 6、立体几何证明题常规解题思路： 1、题设条件有面面垂直，则一定要用面面垂直的性质定理转化成线面垂直问题 2、题设条件有线面平行或两平面有交点，则一定会用到线面平行的性质定理，自己找截面将线面平行转化为线线平行 3、题设条件有等䁏三角形，找底边中点，出现高线垂直于底边 4、证明线面平行：线大于面，找中位线；线等于面，找平行四边形；找不到线面平行，就找面面平行 5、注意茥形的对角线互相垂直，60度的菱形可以分成2个正二角形，其中有7个线线垂直 6、题设告诉一边上有一个中点，一般需要再找一个中点，构造中位线或平行四边形 7、两个等䁏三角形(等䁏+矩形，等腰+梯形，等䁏+菱形)拼在一起，找交线的中点，可得到对棱垂直，并且会出现一个显然易见的二面角 8、题设条件告诉两条异面直线垂直怎么用？一般要借高(用三垂线定理或逆定理)，得到线面垂直，继而得到两条相交直线垂直 9、题设条件告诉一些边长，此时要注意可能会出现勾股定理的逆定理，出现线线垂直，继而得到线面垂直，会出现某底面的高 10、折圔问题中原来的平面上的边的长度、角的大小都不会变.折㳑成空间图形后，要关注是否有线面垂直 11.求点到平面距离的几种常见方法 (I)作已知面面垂线的平行线 (Ⅱ)用面面垂直的性质定理：如果有面面垂直，可在一平面内作交线的垂线 (Ⅲ)换底(有些图形需先将平面拓展，先换面，再换底，有些图形需要先换高，再换底) (Ⅳ)建坐标系，用空间向量解决 12.平面中解三角形的面积有三种情况： 第一类：直角三角形 第二类：等腰或等边三角形 第三类：任意三角形 第二类： 第三类： 学科网（北京）股份有限公司 $ 纲目七 立体几何 第一章 空间几何体常用结论 基础知识整合 1.四面体常见小结论 (1)正四面体的性质 定义： 所有棱长都相等的三棱锥叫正四面体，正四面体与正三棱锥不是一个概念，正三棱锥底面为正三角形，侧面为等腰三角形；正四面体所有面都为正三角形 设正四面体棱长为，则： (1)高 证明：， 所以高 (2)没侧棱与底面所成角为，则，设侧面与底面所成角为，则 证明：在中， 在中， (3)该正四面体的内切球半径，外接球半径，对棱之距离为 证： 将该正四面体内置于一正方体，使得正四面体的棱长为正方体的而对角线长，设为所以正方体的边长为，由 两对棱之间的距离为正方体两侧面之间的距高，即为 (4)正四面体的三视图 正视图为 左视图为 俯视图为 加三条相交线段 所以这种放置的正四面体的三视图为： 又如图所放置的正四面体的三视图为： (2)四面体的对棱所成的角：四面体中，与所成的角为， 则，特别地当时， (3)特殊四面体顶点的射影性质： 在四面体中： (1)若，则；且在平面上的射影是的垂心 (2)若，则在平面上的射影是的外心 (3)若到边的距漓相等，则在平面上的射影是的内心 证明如下： (1)(思路如下)过点作平面，则，又平面 所以，同理，所以为垂心，所以， 又，所以，所以 (2)由得： ，即，所以在平面上的射影是的外心 (3)由得： ，即，所以在平面上的射影是的内心 2.五正弦定理：若所在的平面与过边的平面所成的角为，另两边与平面所成的角分别为为的两个内角.则有： 特别地，当时， 证明如下：(只证明特殊情况) 当时， 3.三余弦定理：若直线在平面内的射影是直线，直线是平面内经过的斜足的一尔直线，与所成的角为与所成的角为与所成的角为. 则有： 证明：在直线上取，点，过点作交于点， 过点作交于点 则平面，所以 4. 最小角定理： 斜线与平面内所有直线所成的角中，最小的是与它在平面内射影所成的角 证明：由三余弦定理得：，即最小 5.斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射 影越长，垂线段最短. 如图： 证明：由 6、三垂线定理与三垂线逆定理 (1)三垂线定理：在平面内的一条苗线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直(要会证明，方法：借高，用线面平行的判定定理) (2)三垂线䢍定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的的射影垂直 三垂线定理：已知斜线在平面上的射影为，若，则 证明如下：平面 三垂线逆定理：已知斜线在平面上的射影为，若，则 证明品下：平面 7、三射线定理：若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角，与二面角的棱所成的角是，如图：平面所成二面角为为夹在二面角之间的线段， ，则有： 特别地，当时， 证明：当时， 8、射影夹角定理1：长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为，则有 射影夹角定理2：长度为的线段在三个两两互相垂直的平面上的射影长分别为，夹角分别为，则 9.面积射影定理：平面多边形及其射影的面积分别为，它们所在平面所成的锐二面角为，则有 10.与两异面直线成等角的直线条数判定 若两条异面直线所成的角为，过空间中任意一点作与所成角均为的直线，则 (1)当时，则有0条； (2)当时，则有且只有1条； (3)当时，则有且只有2条； (4)当时，则有且只有3条； (5)当时，则有且只有4条. 若时， (1)当时，则有0条； (2)当时，则有且只有2条； (3)当时，则有且只有4条. 11.欧拉公式 设和分别表示凸多边形体面、棱(或边)、顶点的个数，则. 利用欧拉公式可以导出正多面体只有以下五种：正四面体、正六面体(正方体)、正八面体、 正十二面体、正二十面体.事实上，设正多面体每个面是边形，每个顶点引出条棱，则棱数应是(面数)与的积的一半，即.(1) 同时，应是(顶点数)与的积的一半，即.(2) 由(1)、(2)，，代入欧拉公式中，有. 由于，故. 显然，不可能同时大于3.由和的意义知，故中至少有一个等于3. 当时，易得；同理，时，. 综上，时，即正四面体；当时，即正六面体；时，即正八面体：时，即正十二面体；时，即正二十面体. 12、立体几何中的空间角 异面直线夹角的范围： 线面角的范围： 直线的倾斜角范围： 二面角的范围： 两个向量夹角的范围： (1)异面直线所成角： 其中为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量 (2)直线与平面所成的角(线面角)： 其中为线面角，为平面的法向量 (3)的平面角(二面角)： 或，其中为二面角分别表示平面法向量 13.立体几何中的距离 (1)空间两点间的距漓：若，则有 (2)空间点到直线距离(两平行直线之间的距离)： 求点到直线的距离，在上取点，直线的方向向量为，则有 (3)空间点到平面的距离(平行于平面的直线到平面的距离、两平行平面之间的距离)： 求点到平面的距离，在上取点，平面的法向量为，则有 (4)两条异面直线之间的距离： 求两条异面直线的距离，在上任取与公共法向量为，则有 (5)异面直线上两点的距离公式： 两条异面直线所成的角为，其公垂线段长为，在直线上分别取两点，记，则有 14、空间余弦定理 如图，平面相交于直线为I上两点，射线在平面内，射线在平面内.已知，且都是锐角，是二面角的平面角， 则. 证明：在平而中，过作的垂线，交射线于点.在平百中，过作的垂线，交射线于点. 设，则， 并且就是二面角的平面角. 在与中，利用余弦定理，可得等式 故 15.截面问题 已知三点分别在正方体的棱和上，试画出过三点的截面. 方法一： (1)先过两点作辅㔕平面，过点，作交于，则而为所作的辅助平而. (2)在面内延长，交RP的延长线于. (3)在面内，连接，交于点，延长交的延长线于点. (4)连接，交于点，延长交于点，再连接交于点L. (5)连接RL、PS、QN.则多边形QNRLPS为所求. 方法二： (1)先过作，联结 (2)连接交于点 (3)过作，交点 (4)连㧍并延长，交 (5)连接并延长，交于 (6)连接，交于，延长线交DC延长线于 (7)连接，交于 (8)连接，则多边形为所求 第二章 古代空间几何体研究 [基础知识整合] 1.中国古代术语：同名(同号)、异名(异号)、相异(相加)、相除(相减) 2、长边称为"广"，短边称为"袤"，高称为"势" 3、中国古代平面几何体：方田(正方形)、圭田(三角形)、箕田(等腰挮形)、邪田(梯形)、圆田(圆形)、弧田(弓形) 4、中国古代空间几何体：垛墙、堑堵、阳马、鳖臑、刍甍、刍童、羡除、楔形四棱台牟合方盖 方垛壔即为正方体，长垛壔即为长方体，圆堢壔即为圆柱体 《九章算术·商功》刘徽注：“斜解立方得二堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之一某，其形露矣. “鳖膘系一四面体，其四面皆为勾股形，梅文鼎称为立三角形.立三角形以其一面为底，其他三面聚于一点为顶点，在顶点旁三侧面的顶角和三侧面间的三个二面角与球面三角形的三弧三角相当. 长堢(长方体) 斜解为两个堑堵(直三棱柱) 堑堵 斜解为阳马和鳖臑 阳马体积+鳖臑体积堑堵体积 阳马体积： 鳖臑体积 一、阳马： 四边形 为矩形，平面 性质一： ， 性质二：外接球半径 ， 内切球半径 性质三： 该四棱倠四个侧面均为直角三角形，底面为矩形 性质四：最长棱为 二、鳖臑： 平面 性质一： ， 性质二： 外接球半径 ， 内切球半径 性质三： 平面 ， 敬䨜的四个面均为直角三角形 性质四： 最长棱为 以下关于刍甍、刍童，羡除，楔形四棱台的体积公式均可根据割补法完成证明 三. 刍甍：底面 为平行四边形，顶棱 与底面平行 (大多时候底面是矩形) 若底面为矩形， 则 四、刍童：用平行于刍甍底面的一个面去截刍甍，截面和底面之间的几何体叫刍童 刍童为六面体，下底面为平行四边形，上底面为平行四边形，目互相平行 刍童可以斜解为两个刍甍和 所以 当上下底面为矩形时， 五、羡除：底面为梯形，顶棱与底面平行，羡除是一个五面体 六. 楔形四棱台：下底面为梯形，上底面为梯形，且互相平行. 楔形四棱台可以㪴解为两个羡除和 所以 七、牟合方盖："牟合方盖"是正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分 1、牟合方盖的三视图 2、牟合方盖的表面积 牟合方盖的展开图像一朵绽开的莲花，不禁想起温庭笉的一首《莲花》 绿塘摇滟接星津，轧轧兰桡入白蘋. 应为洛神波上袜，至令莲蕊有香尘. 更为神奇的是展开图曲线为三角函数曲线 所以 则牟合方盖的表面积 3、牟合方盖的体积 牟合方盖是由古代数学家刘徽首先发现的(古时人们称伞为"盖"，"牟"同侔，意即相合).刘徽之所以想出牟合方盖这个几何体，是为了解决球的体积计算公式，当时的《九章算术》"少广"章已经给出了球的体积计箕公式(表示球的直径)，刘徽发现这个公式是错误的，而且刘徽证明出牟合方盖的体积眼内切球体积之比为，也就是说只要得出牟合方盖的体积，就可以得出球的体积，但是刘徽直到去世也没有算出牟合方盖的体积.200年后，祖冲之和他的儿子祖暅解决了这个问题，祖暅拫据自己提出的祖暅原理："缘幂势既同，则积不容异"，意思是所有等高处橫截面积相等的两个同高几何体，其体积一定相等.由此算出了牟合方盖的体积.其证明过程如下： 取牟合方盖的八分之一部分， 放在小立方体中， 右边构造出一个等高的四棱锥， 在等高 处， 左边 ， 右边， 由祖暅原理，得： -= 再根据 ， 得 另一种利用"祖暅原理"推导球的体积公式方法 等底等高的圆锥，半球，圆柱放在同一个平面上 ，，我们可以猜想 ， 证明如下： 左边，右边=，即 根据祖暅原理：影部分所构成的体积相等 第三章 立体几何中的外接球、内切球问题 类型一、墙角模型(三条线两两垂直) 方法：找三条两两互相垂直的线段用公式：，解出 例1：四棱锥的底面为正方形，底面，若该四棱推的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______ 例2：已知三棱锥中，，当三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为______ 侧3：三棱锥中，为等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为______ 制 4：已知三棱倠 中， ， 当三棱锥 体积最大值时， 三棱锥 的外接球的体积为______ 类型二、垂面模型(一求直线垂直于一个平面) 题设：平而 第一步、将平面出在小圆而上，为小圆面直径一端点；作小圆而的直径，连接，则必过球心； 第二步、为的外心，所以平而；算出小圆面的半径； 第三步、用所股定理： 题设：的投影落在的外心上 第一步、确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步、算出小圆面半径，算出棱锥的高； 第三步、勾股定理： 例1：球的球面上有四点，共中四点共面，是边长为2的正三角形，平面平面，则棱锥体积的最大值为_________ 例2：已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上，是边长为的等边三角形， 平面，且与平面所成的角为，则球的表面积为_______ 例3：体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是_____ 例4：在三棱淮中，，点到底面的距缡为2，则三棱推外接球的袁面积为_____ 例5：已知正三棱锥的外接球是球，正三棱锥底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是_______ 类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直) 题设：平而平面(为小圆直径) 第一步、由图知球心必为的外心，即在大圆面上，先求出小圆面直径的长： 第二步、在中，可根据正弦定理，解出 题设：平面平面 第一步、确定球心的位置，由图知三点共线： 第二步、算出小圆面半径，算出棱锥的高： 第三步、勾股定理： ，解出 例1：在三棱锥中，，且，则该三棱㢈外接球的表面积为_______ 例2：已知是半径为2的球面上的点，为球心，， 则三棱锥体积的最大值是_______ 例3：在三棱隹中，，平而平面，则三棱锥外抾球的定而的为________ 所4：已妿三棱锥中，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为______ 类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球) 䞠设：直三棱柱内接于一球(棱柱的上下底面为任意三角形) 第一步、确定球心的位置，为的外心，则平面； 第二步、算出小圆面半径； 第三步、勾股定理： 题设：直三棱柱内接于一球(棱柱的上下底面为直角三角形) 此类题为上面题的特殊情况，解法更简单，的长即为底面三角形斜边的一半 勾股定理： 题设：四棱锥内接于一球，平面工平面 此种四棱锥可以补成直三棱柱，然后方法同上 勾股定理： 例1：已知直三棱柱中，，侧面的面积为4，则直三棱柱外接球的半径的最小值为______ 例2：《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，当阳马体积的最大值为时，殂堵的外接球的体积为_____ 例3：已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是______ 栵4：在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，且为等边三角形，若四棱锥的体积与四棱锥外接球的表面积之比为，则四棱锥的表面积为_____ 类型五、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰拼在一起，或菱形折叠 第一步、先画出如图所示的图形，将画在小圆面上，找出与的外心和； 第二步、过和分别作所在三角形的垂线，交点即为球心，连接； 第三步、解三角形，算出，在中，勾股定理： 例1：已知四面体中，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为_____ 例2：四面体中，则四面体外接球的表面积为______ 例3：设三棱锥的所有点都在球上，是面积为的等边三角形，则当三棱锥的体积最大时，球的表面积为______ 例4：在三梭隹中，，则三棱锥外接球的表面积是______ 例5 已知四棱锥中，底面是梯形，且，的中点为，则四棱锥外接球的表面积为_____ 类型六、对棱相等模型 题设： 三棱锥或四面体告诉三组对校相等， 求外接球半径 第一步、画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱： 第二步、设长方体的长宽高分别为 ， 列出方程 ，三个式子相加，再除以2得到 ； 第三方、根据墙角模型，，解出 补充： 例1：已知三棱锥中，，若该三棱锥的 四个顶点在同十个球面上，则此球的体积为________ 例2：在三棱锥中，，则此三棱锥外接球的半径为_______ 例3：四面体中，，则四面体外接球的表面积为_______ 类型七、两直角三角形拼在一起模型 题设：，求外接圆半径 分析：取斜边的中点，连接， 所以点即为球心，然后在中解出半径 例：已知直角梯形，沿折叠成三棱锥 ，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_____ 类型八、椎体的内切球问题 题设：正三棱锥求内切球半径 第一步、先画出截面图如图，为三角形的外心； 第二步、求为侧面的高； 第三步、相似于，由解出 题设：正四棱锥求内切球半径 第一步、先画出截面图如图，三点共线； 第二步、求为侧面高； 第三步、由相似于，建立等式：解出 题设：求任意三棱倠的内切球半径(等体积法) 第一步、先求出四个表而的面积和整个椎体的体积； 第二步、设内切球半径为，建立等式： 第三步、解出 例1：在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为䀇臑.若三棱锥为整䎮，侧棱底面，且，则该敕膤的内切球半径为_____ 例2：已知四棱锥，底面四边形为正方形，，四棱锥的体积为，在该四棱倠内放罖一球，则球体积的最大值为______ 例3：已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为，则该正四棱锥内切球的表面积为______ 例5：棱长为的正四面休与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球而上，则正三棱锥的内切球半径为_______ 例6：在正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.若以为焦点，为准线的抛物线经过，设球的半径分别为，则_____ 第四章 立体几何证明问题 [基础知识整合] 1、四个公理 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(用来判断直线是否在平面内) 公理二：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据) 推论一：直线外一点和已知直线确定一个平面 推论二：两条相交直线确定一个平面 推论三：两条平行直线确定一个平面 公理三：两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 (用来证明三点共线或三线共点) 公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2.八个定理(四个判定定理+四个性质定理) 1、线面平行的判定定理： 3、面面平行的判定定理： 4、面面平行的性质定理： 5、线面垂直的判定定理： 6、线面垂直性质定理： 7、面面垂直的判定定理： 8、面面垂直的性质定理： 3.立体几何中的证明网络图 4、立体几何中的传统证明方法 (一)线线平行的证明 1.利用中点构造中位线或平行四边形(自己找中点构造) 2.线面平行的性质定理(如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行) 3.面面平行的性质定理(若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行) 4.线面垂直的性质定理(如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行) 5.平行公理(平行于同一莍直线的两承直线平行) (二)线面平行的证明 1.定义法(说直线和平面没有公共点，即排除相交和在平面内两种情况) 2、线面平行的判定定理(如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行) 3、面面平行的推论(先证两个面平行，则其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面) (三)面面平行的证明 1、面面平行的判定定理(如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行) 2、垂直于同一条直线的两个平面平行 3.平行于同一个平面的两个平面平行 (四)线线垂直的证明 1、勾股定理、等腰三角形底边上的中线、菱形(正方形)对角线、圆中直径所对的角、射影 2.(I)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直(需证明，方法：借高，用线面平行的判定定理) (Ⅱ)三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 3.平面中常见的垂直模型 (I)(2比1加中点有垂直) 条件：矩形中，为的中点； 结论： 证明如下：由几何关系得 (Ⅱ)(比1加中点有垂直) 条件：矩形中，为的中点； 结论： 证明如下：由 变形式： 条件：中，，点在上，且； 结论： 证明如下：在中，设，则 此时 (Ⅲ)条件：中，是中点，且；结论：(可直接用) 证明如下：由等腰三角形可佭 (Ⅳ) 1、条件：中，若，且；结论： 2、条件：中，若，且；结论： 证明如下： 1、设，由余弦定理得， 由与勾股定理逆定理得 2、设，由余弦定理得， 由勾股定理逆定理得 (五)线面垂直的证明 1、线面垂直的判定定理(如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面) 2.面面垂直的性质定理(如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面) 3、点在平面内的射影 (六)面面垂直的证明 1、定义法：两个平面的二面角是直二面角 2.面面垂直的判定定理(若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直) 5、立体几何中的向量证明方法 设平面外的直线和平面，直线的方向向量为，两个平面的法向量为，则线面平行：线面垂直： 面面平行：面面垂直： 6、立体几何证明题常规解题思路： 1、题设条件有面面垂直，则一定要用面面垂直的性质定理转化成线面垂直问题 2、题设条件有线面平行或两平面有交点，则一定会用到线面平行的性质定理，自己找截面将线面平行转化为线线平行 3、题设条件有等䁏三角形，找底边中点，出现高线垂直于底边 4、证明线面平行：线大于面，找中位线；线等于面，找平行四边形；找不到线面平行，就找面面平行 5、注意茥形的对角线互相垂直，60度的菱形可以分成2个正二角形，其中有7个线线垂直 6、题设告诉一边上有一个中点，一般需要再找一个中点，构造中位线或平行四边形 7、两个等䁏三角形(等䁏+矩形，等腰+梯形，等䁏+菱形)拼在一起，找交线的中点，可得到对棱垂直，并且会出现一个显然易见的二面角 8、题设条件告诉两条异面直线垂直怎么用？一般要借高(用三垂线定理或逆定理)，得到线面垂直，继而得到两条相交直线垂直 9、题设条件告诉一些边长，此时要注意可能会出现勾股定理的逆定理，出现线线垂直，继而得到线面垂直，会出现某底面的高 10、折圔问题中原来的平面上的边的长度、角的大小都不会变.折㳑成空间图形后，要关注是否有线面垂直 11.求点到平面距离的几种常见方法 (I)作已知面面垂线的平行线 (Ⅱ)用面面垂直的性质定理：如果有面面垂直，可在一平面内作交线的垂线 (Ⅲ)换底(有些图形需先将平面拓展，先换面，再换底，有些图形需要先换高，再换底) (Ⅳ)建坐标系，用空间向量解决 12.平面中解三角形的面积有三种情况： 第一类：直角三角形 第二类：等腰或等边三角形 第三类：任意三角形 第二类： 第三类： 学科网（北京）股份有限公司 $