28.1【图形的旋转】课堂同步分层训练卷 2026～2027学年人教版九年级上册数学

28.1【图形的旋转】课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年人教版九年级上册数学 考试时间：90 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下列现象中，属于旋转的是（　　） A．电梯的升降　B．传送带上物体的移动　C．电梯门的开与关　D．时针的走动 【答案】D 旋转是把一个图形绕着某一点按某个方向转动一个角度。A 中电梯沿直线上下，B 中物体随传送带沿直线移动，C 中电梯门沿轨道平移，它们都是平移；D 中时针绕表盘中心转动，符合旋转的定义。故选 D。 2．钟表的分针从 8:00 走到 8:20，分针旋转的角度是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 分针 60 分钟转一周，一周是 。20 分钟占一小时的 ，所以分针旋转的角度是 。故选 A。 3．如图，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转得到 △ADE，点 B 的对应点是 D，点 C 的对应点是 E。下列结论中错误的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 旋转前后的两个图形全等，对应线段相等、对应角相等，所以 、 都正确；旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，即 ，也正确。AC 的对应线段是 AE，只能得到 ，得不到 ，所以 D 错误。故选 D。 4．如图，把 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 得到 △A′B′C，A′B′ 与 AC 交于点 D。若 ，则 的度数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 由旋转得 ，且 。因为点 D 在 AC 上，所以 。在 Rt△A′CD 中，。而 就是 ，故 。故选 C。 5．如图，在由边长均为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上。将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 得到 △AB′C′，则线段 BB′ 的长为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 旋转角 ，且 。由网格可得 AB 的水平、竖直分量分别为 2 和 1，所以 。在 Rt△ABB′ 中，。故选 B。 6．如图，△ABC 是等边三角形，点 D 在边 BC 上，将 △ABD 绕点 A 逆时针旋转 得到 △ACE。下列结论：①；②；③△ADE 是等边三角形；④。其中正确的有（　　） A．1 个　B．2 个　C．3 个　D．4 个 【答案】C ① 对应线段相等，，正确。② 就是旋转角，等于 ，正确。③ 由旋转得 ，又 ，所以 △ADE 是等边三角形，正确。④ 由旋转得 ，而 （点 D 不与点 B 重合），若 则需 ，矛盾，所以 AE 与 BC 不平行，错误。正确的共 3 个。故选 C。 7．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，1），将线段 OA 绕原点 O 逆时针旋转 得到线段 OA′，则点 A′ 的坐标为（　　） A．（，3）　B．（1，3）　C．（3，）　D．（，1） 【答案】A 过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，则 ，。绕原点逆时针旋转 后，OM 转到 y 轴正半轴上、AM 转到 x 轴负半轴上，且长度不变，所以点 A′ 的横坐标是 、纵坐标是 3，即 A′（，3）。故选 A。 8．如图，在 △AOB 中，，，。将 △AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转到 △ 的位置，此时线段 与 AB 的交点 D 恰好是 AB 的中点，则线段 D 的长为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 在 Rt△AOB 中，。因为 D 是斜边 AB 的中点，所以 。又 ，且点 D 在线段 上，所以 。故选 B。 9．如图，点 P 是等边三角形 ABC 内一点，，，，则 的度数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 将 △APB 绕点 A 逆时针旋转 ，点 B 落在点 C 处，点 P 落在点 P′ 处，连接 PP′。则 ，，所以 △APP′ 是等边三角形，得 ；同时 。在 △PP′C 中，，所以 。于是 ，而旋转不改变角的大小，故 。故选 D。 10．如图，在 Rt△ABC 中，，，点 D 在边 AB 上，，。将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转 得到 △BCE，连接 DE，则 DE 的长为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 。过点 C 作 CH⊥AB 于点 H。由 、 得 H 是 AB 的中点，，于是 ，。由旋转得 ，，所以 △DCE 是等腰直角三角形，。故选 A。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 得到 △ADE，点 B 的对应点是 D，点 C 的对应点是 E。则旋转中心是点 　　　　　，旋转角是 　　　　　 度，AB 的对应线段是 　　　　　， 的对应角是 　　　　　。 【答案】A；60；AD； 绕哪个点旋转，那个点就是旋转中心，所以旋转中心是点 A。旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，。点 B 的对应点是 D，故 AB 的对应线段是 AD；点 C 的对应点是 E，故 的对应角是 。 12．如图，将 △AOB 绕点 O 逆时针旋转 得到 △COD。若 ，则 　　　　　 度。 【答案】35 由旋转得 （旋转角），（对应角相等）。射线 OB 在 的内部，所以 。 13．如图，在 △ABC 中，，，。将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 得到 △AB′C′，连接 CC′，则 　　　　　。 【答案】 旋转时点 C 绕点 A 转到点 C′，所以 ，（旋转角）。于是 △ACC′ 是等腰直角三角形，。 14．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A（，），B（，），C（，）。将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 得到 △A′B′C，则点 A′ 的坐标为 　　　　　，点 B′ 的坐标为 　　　　　。 【答案】（，）；（，） 点 A 相对点 C 的位置是“左 2 格、下 1 格”，即向量（，）。绕点 C 顺时针旋转 时，向量（x，y）变为（y，），所以（，）变为（，2），即 A′ 在 C 的左边 1 格、上边 2 格处，A′（，）＝（，）。同理，点 B 相对 C 为（，1），旋转后变为（1，1），所以 B′（，）＝（，）。 15．如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，若 ，，，则 PD 的长为 　　　　　。 【答案】 以 A 为原点、AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为 a，P（x，y）。由 ，，。而 ，把 与 分别展开，两者都等于 ，所以 ，即 ，得 ，。 16．如图，△ABC 与 △CDE 都是等边三角形，点 B、C、D 在同一条直线上，连接 AD、BE，AD 与 BE 交于点 P。若 ，，则 AD 的长为 　　　　　， 　　　　　 度。 【答案】；60 由两个三角形都是等边三角形得 ，，。因为 B、C、D 在同一条直线上，所以 。 过点 A 作 AH⊥CD 于点 H，则 ，，而 ，所以 ，。 把 △ACD 绕点 C 顺时针旋转 ：A 转到 B，D 转到 E，所以 AD 旋转 后与 BE 重合，得 ，且 AD 与 BE 的夹角就是旋转角 ，即 。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（5 分）如图，在由边长均为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，且 A（3，4），B（5，3），C（3，2）。 (1) 将 △ABC 绕点 C 逆时针旋转 ，画出旋转后的 △C； (2) 写出点 、 的坐标； (3) 求线段 的长。 【答案】(2) （1，2），（2，4）　(3) (1) 点 C 保持不动。CA 是“向上 2 格”的向量（0，2），逆时针旋转 后变为（，0），所以 （，2）＝（1，2）；CB 是“右 2 上 1”的向量（2，1），旋转后变为（，2），所以 （，）＝（2，4）。顺次连接 、、C，即得 △C（如图）。 (2) （1，2），（2，4）。 (3) 由勾股定理，。 18．（5 分）如图，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 得到 △ADE，点 B 的对应点是 D，点 C 的对应点是 E，且点 E 恰好落在边 BC 上。 (1) 指出旋转中心、旋转方向和旋转角； (2) 若 ，，求 的度数和 AD 的长； (3) 判断 与 的大小关系，并说明理由。 【答案】(1) 旋转中心是点 A，旋转方向是顺时针，旋转角是 （即 ，为 ）　(2) ，　(3) (1) 图形绕点 A 转动，所以旋转中心是点 A，方向为顺时针，旋转角为 ，它等于 。 (2) 旋转前后图形全等，对应角相等、对应边相等，所以 ，。 (3) 相等。因为点 B 的对应点是 D、点 C 的对应点是 E，而旋转角既等于 ，又等于 ，所以 。 19．（5 分）如图，在由边长均为 1 的小正方形组成的网格中，△A′B′C′ 是由 △ABC 绕某一点 旋转得到的，其中 A（1，1），B（3，1），C（1，2），A′（4，0），B′（4，2），C′（3，0）。 (1) 在图中确定旋转中心 O，并写出点 O 的坐标； (2) 求旋转角的度数； (3) 求线段 OA 的长。 【答案】(1) O（3，2）　(2) 　(3) (1) 旋转中心到每一对对应点的距离相等，所以它在线段 AA′ 和 BB′ 的垂直平分线上。AA′ 的两个端点是（1，1）和（4，0），中点是（2.5，0.5），而 AA′ 的方向是“右 3 下 1”，所以它的垂直平分线从该中点出发沿“右 1 上 3”的方向画出；BB′ 的两个端点是（3，1）和（4，2），中点是（3.5，1.5），BB′ 的方向是“右 1 上 1”，其垂直平分线沿“左 1 上 1”的方向画出。两条直线的交点恰在格点（3，2）处，即 O（3，2）。 (2) 连接 OA、OA′。OA 是“左 2 下 1”、OA′ 是“右 1 下 2”，两条线段长度都是 ，且方向恰好相差 ，所以 ，即旋转角为 。 (3) 。 20．（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 F 在 BA 的延长线上，连接 DF。将 △ADF 绕点 A 顺时针旋转一定角度后得到 △ABE，点 F 的对应点是 E，且点 E 落在边 AD 上，，。 (1) 求旋转角的度数； (2) 求 DE 的长； (3) 求证：。 【答案】(1) 　(2) 　(3) 证明见解析 (1) 点 D 的对应点是 B（AB 与 AD 是正方形的两条邻边，且 ），所以旋转角 ，即旋转角为 。 (2) 由旋转得 ，而点 E 在边 AD 上，，所以 。 (3) 由旋转的性质，线段 DF 绕点 A 顺时针旋转 后与 BE 重合，即 BE 是 DF 旋转 得到的像。一条直线旋转 后与原直线垂直，所以 。 21．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（，1），B（，1），C（，3）。 (1) 画出 △ABC 绕原点 O 顺时针旋转 后得到的 △； (2) 写出点 、、 的坐标； (3) 求 △ 的面积。 【答案】(2) （1，4），（1，2），（3，3）　(3) 2 (1) 绕原点顺时针旋转 时，点（x，y）变为（y，）。依次得到 （1，4），（1，2），（3，3），顺次连接即得 △（如图）。 (2) （1，4），（1，2），（3，3）。 (3) 旋转不改变图形的形状和大小，所以 △ 与 △ABC 面积相等。在 △ABC 中，AB 在直线 y＝1 上，，点 C 到 AB 的距离为 2，所以面积是 。 22．（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，将 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 得到 △ADF，点 E 的对应点是 F，连接 EF。 (1) 求证：△AEF 是等腰直角三角形； (2) 若 ，，求 EF 的长； (3) 直接写出 DF 与 BE 的数量关系和位置关系。 【答案】(2) 　(3) ，且 (1) 由旋转得 ，（旋转角），所以 △AEF 是等腰直角三角形，且 。 (2) 在 Rt△ABE 中，。△AEF 是等腰直角三角形，。 (3) ，且 。因为 BE 绕点 A 旋转 后与 DF 重合，旋转角为 ，故两条线段相等且互相垂直。 23．（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上，且 ，。将 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 得到 △ADG。 (1) 求证：； (2) 求 DF 的长； (3) 求 △AEF 的面积。 【答案】(2) 　(3) 15 (1) 由旋转得 ，，，且 ，所以点 G 在 DC 的延长线上。 因为 ，所以 ，即 。又 AF 是公共边，，所以 △AEF≌△AGF（SAS），得 。 而 ，故 。 (2) 设 ，则 。由 得 ，所以 ，。在 Rt△CEF 中，，展开得 ，解得 ，，即 。 (3) 由 (1) 知 △AEF≌△AGF，所以面积相等。△AGF 以 FG 为底时，FG 边上的高就是 AD＝6，而 ，所以 。 24．（7 分）如图，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 得到 △DBE，点 A 的对应点是 D，点 C 的对应点是 E，连接 AD、CE。 (1) 判断 △BCE 的形状，并说明理由； (2) 若 ，求证：； (3) 若 ，，求 △ABD 与 △BCE 的面积之和。 【答案】(1) 等边三角形　(3) (1) △BCE 是等边三角形。理由：由旋转得 ，，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 (2) 由 (1) 知 ，。又 ，所以 。在 Rt△DCE 中，。由旋转，AC 的对应线段是 DE，故 ，代入得 。 (3) 由旋转得 ，，所以 △ABD 是等边三角形，面积是 ；△BCE 是边长为 4 的等边三角形，面积是 。两块面积之和为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1【图形的旋转】课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年人教版九年级上册数学 考试时间：90 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下列现象中，属于旋转的是（　　） A．电梯的升降　B．传送带上物体的移动　C．电梯门的开与关　D．时针的走动 2．钟表的分针从 8:00 走到 8:20，分针旋转的角度是（　　） A．　B．　C．　D． 3．如图，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转得到 △ADE，点 B 的对应点是 D，点 C 的对应点是 E。下列结论中错误的是（　　） A．　B．　C．　D． 4．如图，把 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 得到 △A′B′C，A′B′ 与 AC 交于点 D。若 ，则 的度数为（　　） A．　B．　C．　D． 5．如图，在由边长均为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上。将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 得到 △AB′C′，则线段 BB′ 的长为（　　） A．　B．　C．　D． 6．如图，△ABC 是等边三角形，点 D 在边 BC 上，将 △ABD 绕点 A 逆时针旋转 得到 △ACE。下列结论：①；②；③△ADE 是等边三角形；④。其中正确的有（　　） A．1 个　B．2 个　C．3 个　D．4 个 7．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，1），将线段 OA 绕原点 O 逆时针旋转 得到线段 OA′，则点 A′ 的坐标为（　　） A．（，3）　B．（1，3）　C．（3，）　D．（，1） 8．如图，在 △AOB 中，，，。将 △AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转到 △ 的位置，此时线段 与 AB 的交点 D 恰好是 AB 的中点，则线段 D 的长为（　　） A．　B．　C．　D． 9．如图，点 P 是等边三角形 ABC 内一点，，，，则 的度数为（　　） A．　B．　C．　D． 10．如图，在 Rt△ABC 中，，，点 D 在边 AB 上，，。将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转 得到 △BCE，连接 DE，则 DE 的长为（　　） A．　B．　C．　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 得到 △ADE，点 B 的对应点是 D，点 C 的对应点是 E。则旋转中心是点 　　　　　，旋转角是 　　　　　 度，AB 的对应线段是 　　　　　， 的对应角是 　　　　　。 12．如图，将 △AOB 绕点 O 逆时针旋转 得到 △COD。若 ，则 　　　　　 度。 13．如图，在 △ABC 中，，，。将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 得到 △AB′C′，连接 CC′，则 　　　　　。 14．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A（，），B（，），C（，）。将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 得到 △A′B′C，则点 A′ 的坐标为 　　　　　，点 B′ 的坐标为 　　　　　。 15．如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，若 ，，，则 PD 的长为 　　　　　。 16．如图，△ABC 与 △CDE 都是等边三角形，点 B、C、D 在同一条直线上，连接 AD、BE，AD 与 BE 交于点 P。若 ，，则 AD 的长为 　　　　　， 　　　　　 度。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（5 分）如图，在由边长均为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，且 A（3，4），B（5，3），C（3，2）。 (1) 将 △ABC 绕点 C 逆时针旋转 ，画出旋转后的 △C； (2) 写出点 、 的坐标； (3) 求线段 的长。 18．（5 分）如图，将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转 得到 △ADE，点 B 的对应点是 D，点 C 的对应点是 E，且点 E 恰好落在边 BC 上。 (1) 指出旋转中心、旋转方向和旋转角； (2) 若 ，，求 的度数和 AD 的长； (3) 判断 与 的大小关系，并说明理由。 19．（5 分）如图，在由边长均为 1 的小正方形组成的网格中，△A′B′C′ 是由 △ABC 绕某一点 旋转得到的，其中 A（1，1），B（3，1），C（1，2），A′（4，0），B′（4，2），C′（3，0）。 (1) 在图中确定旋转中心 O，并写出点 O 的坐标； (2) 求旋转角的度数； (3) 求线段 OA 的长。 20．（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 F 在 BA 的延长线上，连接 DF。将 △ADF 绕点 A 顺时针旋转一定角度后得到 △ABE，点 F 的对应点是 E，且点 E 落在边 AD 上，，。 (1) 求旋转角的度数； (2) 求 DE 的长； (3) 求证：。 21．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（，1），B（，1），C（，3）。 (1) 画出 △ABC 绕原点 O 顺时针旋转 后得到的 △； (2) 写出点 、、 的坐标； (3) 求 △ 的面积。 22．（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，将 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 得到 △ADF，点 E 的对应点是 F，连接 EF。 (1) 求证：△AEF 是等腰直角三角形； (2) 若 ，，求 EF 的长； (3) 直接写出 DF 与 BE 的数量关系和位置关系。 23．（6 分）如图，在正方形 ABCD 中，，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上，且 ，。将 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 得到 △ADG。 (1) 求证：； (2) 求 DF 的长； (3) 求 △AEF 的面积。 24．（7 分）如图，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 得到 △DBE，点 A 的对应点是 D，点 C 的对应点是 E，连接 AD、CE。 (1) 判断 △BCE 的形状，并说明理由； (2) 若 ，求证：； (3) 若 ，，求 △ABD 与 △BCE 的面积之和。 学科网（北京）股份有限公司 $