28.2 中心对称 同步分层训练卷 2026～2027 学年人教版九年级上册数学

28.2 中心对称课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年人教版九年级上册数学 考试时间：90 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　B．平行四边形　C．正五边形　D．等腰梯形 2．点 P（2，）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（，）　B．（2，5）　C．（，5）　D．（，2） 3．如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 成中心对称，点 A、B、C 的对应点分别是 A′、B′、C′。下列结论中错误的是（　　） A．点 O 是线段 的中点　B．，且 C．　D． 4．点 A（1，3）与点 B（，）关于点 M 成中心对称，则点 M 的坐标是（　　） A．（，1）　B．（2，）　C．（，1）　D．（，2） 5．在线段、角、等腰三角形、圆这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．角和圆　B．线段和角　C．等腰三角形和圆　D．线段和圆 6．如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD、BC 于点 E、F。若 ，，，则四边形 ABFE 的周长是（　　） A．13　B．17　C．19　D．21 7．若点 A（，3）与点 B（2，）关于原点对称，则 的值为（　　） A．　B．　C．1　D．5 8．如图，在由边长均为 1 的小正方形组成的网格中，△A′B′C′ 是由 △ABC 绕某一点旋转 得到的，其中 A（1，1），B（3，1），C（1，2）。则旋转中心的坐标是（　　） A．（2，1）　B．（3，2）　C．（2，3）　D．（3，1） 9．如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，），B（，3），把线段 AB 绕原点 O 旋转 得到线段 A′B′。若点 P 是线段 A′B′ 上一点，则点 P 关于原点的对称点一定在（　　） A．线段 AB 上　B．线段 A′B′ 上　C．线段 A′B 上　D．线段 AB′ 上 10．下列说法：①两个关于某点成中心对称的图形一定全等；②中心对称图形一定是轴对称图形；③平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点；④若两个图形关于点 O 成中心对称，则由这两个图形组成的整体图形是以点 O 为对称中心的中心对称图形。其中正确的个数是（　　） A．1 个　B．2 个　C．3 个　D．4 个 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 成中心对称，，，△ABC 的面积为 6，则 △A′B′C′ 的面积为 　　　　　， 　　　　　， 　　　　　。 12．在平面直角坐标系中，点 A（，2）与点 B 关于点 M（2，）成中心对称，则点 B 的坐标是 　　　　　。 13．如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD、BC 于点 E、F。若 □ABCD 的面积为 24，则图中阴影部分（△AOE 与 △BOF）的面积为 　　　　　。 14．若点 P（，）在第二象限，则点 P 关于原点的对称点 Q 在第 　　　　　 象限；若点 P 到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3，则点 Q 的坐标是 　　　　　。 15．如图，在正方形 ABCD 中，，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在边 BC 上，，点 G 是点 E 关于点 O 的对称点，则 的长为 　　　　　。 16．在平面直角坐标系中，点 A（，0），B（0，4），把线段 AB 绕原点 O 旋转 得到线段 A′B′，连接 、，则四边形 的面积为 　　　　　。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（5 分）如图，在由边长均为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，A（2，2），B（5，2），C（3，4）。 (1) 画出 △ABC 关于点 B 成中心对称的 △A′BC′； (2) 写出点 A′、C′ 的坐标； (3) 求 △A′BC′ 的面积。 18．（5 分）如图，点 O 是 △ABC 内一点，点 D、E、F 分别是点 A、B、C 关于点 O 的对称点，连接 DE、EF、FD。 (1) 求证：，且 ； (2) 求证：△DEF≌△ABC。 19．（5 分）如图，在 △ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，连接 AD 并延长到点 E，使 ，连接 BE、CE。 (1) 判断四边形 ABEC 的形状，并说明理由； (2) 若 ，，求四边形 ABEC 的周长。 20．（5 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（，3），B（，1），C（，1）。 (1) 画出 △ABC 关于原点 O 成中心对称的 △； (2) 写出点 、、 的坐标； (3) 求 △ 的面积。 21．（5 分）如图，在矩形 ABCD 中，，，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在边 AB 上，，点 F 是点 E 关于点 O 的对称点。 (1) 求证：； (2) 求四边形 AECF 的面积。 22．（5 分）如图，在 △ABC 中，，，，点 O 是边 BC 的中点，将 △AOB 绕点 O 旋转 得到 △DOC。 (1) 判断四边形 ABDC 的形状，并说明理由； (2) 求四边形 ABDC 的面积。 23．（7 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，1），B（4，1），C（2，3），点 M 的坐标为（5，4）。 (1) 画出 △ABC 关于点 M 成中心对称的 △A′B′C′； (2) 写出点 A′、B′、C′ 的坐标，并求线段 的长； (3) 求四边形 的面积。 24．（9 分）如图，在正方形 ABCD 中，，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，过点 O 的直线 分别交边 AB、CD 于点 E、F。 (1) 求证：； (2) 若 ，求四边形 AEFD 的面积； (3) 当直线 绕点 O 旋转时，四边形 AEFD 的面积是否发生变化？请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称课堂同步分层训练卷 2026~2027 学年人教版九年级上册数学 考试时间：90 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形　B．平行四边形　C．正五边形　D．等腰梯形 【答案】B 把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形。平行四边形绕它对角线的交点旋转 后与自身重合，是中心对称图形；等边三角形、正五边形、等腰梯形绕任何一点旋转 都不能与自身重合。故选 B。 2．点 P（2，）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（，）　B．（2，5）　C．（，5）　D．（，2） 【答案】C 关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标都互为相反数。点 P 的横坐标 2 的相反数是 ，纵坐标 的相反数是 5，所以对称点的坐标是（，5）。故选 C。 3．如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 成中心对称，点 A、B、C 的对应点分别是 A′、B′、C′。下列结论中错误的是（　　） A．点 O 是线段 的中点　B．，且 C．　D． 【答案】D 成中心对称的两个图形全等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。所以点 O 是 的中点， 与 平行且相等，，A、B、C 都正确；而 OA 与 OB 是点 O 到同一个三角形两个不同顶点的距离，一般并不相等，D 错误。故选 D。 4．点 A（1，3）与点 B（，）关于点 M 成中心对称，则点 M 的坐标是（　　） A．（，1）　B．（2，）　C．（，1）　D．（，2） 【答案】A 成中心对称的两个点，对称中心是它们连线的中点。点 M 的横坐标是 ，纵坐标是 ，所以 M（，1）。故选 A。 5．在线段、角、等腰三角形、圆这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．角和圆　B．线段和角　C．等腰三角形和圆　D．线段和圆 【答案】D 线段既是轴对称图形（对称轴是它所在直线和它的垂直平分线），又是中心对称图形（对称中心是线段的中点）；圆既是轴对称图形（对称轴是任意一条直径所在直线），又是中心对称图形（对称中心是圆心）。角、等腰三角形只是轴对称图形，不是中心对称图形。故选 D。 6．如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD、BC 于点 E、F。若 ，，，则四边形 ABFE 的周长是（　　） A．13　B．17　C．19　D．21 【答案】B 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 O，所以点 E、F 关于点 O 对称，。又 △AOE 与 △COF 关于点 O 成中心对称，得 ，所以 。四边形 ABFE 的周长是 。故选 B。 7．若点 A（，3）与点 B（2，）关于原点对称，则 的值为（　　） A．　B．　C．1　D．5 【答案】A 关于原点对称的两点，横坐标、纵坐标都互为相反数，所以 ，，解得 ，，于是 。故选 A。 8．如图，在由边长均为 1 的小正方形组成的网格中，△A′B′C′ 是由 △ABC 绕某一点旋转 得到的，其中 A（1，1），B（3，1），C（1，2）。则旋转中心的坐标是（　　） A．（2，1）　B．（3，2）　C．（2，3）　D．（3，1） 【答案】B 旋转 时，旋转中心是对应点连线的中点。由 A（1，1）与图中 A′（5，3）得中点坐标为（，）＝（3，2）；再用 B（3，1）与 B′（3，3）检验，中点同样是（3，2），所以旋转中心的坐标是（3，2）。故选 B。 9．如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，），B（，3），把线段 AB 绕原点 O 旋转 得到线段 A′B′。若点 P 是线段 A′B′ 上一点，则点 P 关于原点的对称点一定在（　　） A．线段 AB 上　B．线段 A′B′ 上　C．线段 A′B 上　D．线段 AB′ 上 【答案】A 把线段 AB 绕原点旋转 得到 A′B′，说明 A′B′ 上的每一个点都是 AB 上某个点关于原点的对称点。反过来，把 A′B′ 上的点 P 再关于原点对称一次，就回到 AB 上的那个点，即点 P 的对称点一定在线段 AB 上。故选 A。 10．下列说法：①两个关于某点成中心对称的图形一定全等；②中心对称图形一定是轴对称图形；③平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点；④若两个图形关于点 O 成中心对称，则由这两个图形组成的整体图形是以点 O 为对称中心的中心对称图形。其中正确的个数是（　　） A．1 个　B．2 个　C．3 个　D．4 个 【答案】C ①正确，成中心对称的两个图形能够完全重合；②错误，平行四边形是中心对称图形，但找不到一条直线使它对折后两部分重合，所以它不是轴对称图形；③正确；④正确，整体图形绕点 O 旋转 后与自身重合。所以正确的有 3 个。故选 C。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 成中心对称，，，△ABC 的面积为 6，则 △A′B′C′ 的面积为 　　　　　， 　　　　　， 　　　　　。 【答案】3；4；6 成中心对称的两个图形全等，对应线段相等、面积相等；对称点的连线被对称中心平分。所以 ，，△A′B′C′ 的面积等于 △ABC 的面积，为 6。 12．在平面直角坐标系中，点 A（，2）与点 B 关于点 M（2，）成中心对称，则点 B 的坐标是 　　　　　。 【答案】（5，） 点 M 是线段 AB 的中点。设 B（x，y），则 ，，解得 ，，所以 B（5，）。 13．如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD、BC 于点 E、F。若 □ABCD 的面积为 24，则图中阴影部分（△AOE 与 △BOF）的面积为 　　　　　。 【答案】6 平行四边形是中心对称图形，对称中心是点 O，所以 △AOE 与 △COF 关于点 O 成中心对称，面积相等。于是阴影部分的面积等于 。两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形，所以 。 14．若点 P（，）在第二象限，则点 P 关于原点的对称点 Q 在第 　　　　　 象限；若点 P 到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 3，则点 Q 的坐标是 　　　　　。 【答案】四；（3，） 第二象限内点的横坐标小于 0、纵坐标大于 0，即 ，，所以 ，，点 Q（，）在第四象限。点 P 到 x 轴的距离是 ，而 ，故 ；到 y 轴的距离是 ，而 ，故 ，即 P（，2）。所以 Q（3，）。 15．如图，在正方形 ABCD 中，，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在边 BC 上，，点 G 是点 E 关于点 O 的对称点，则 的长为 　　　　　。 【答案】 点 O 是正方形的对称中心，点 G 与点 E 关于点 O 对称，所以点 G 落在边 AD 上，且 ，。过点 E 作 于点 H，则四边形 ABEH 是矩形，，，所以 。在 Rt△EGH 中，。 16．在平面直角坐标系中，点 A（，0），B（0，4），把线段 AB 绕原点 O 旋转 得到线段 A′B′，连接 、，则四边形 的面积为 　　　　　。 【答案】24 绕原点旋转 时，横坐标、纵坐标都变为原来的相反数，所以 A′（3，0），B′（0，）。线段 在 x 轴上，长为 6；线段 在 y 轴上，长为 8，两条对角线互相垂直。四边形 的两条对角线互相平分，是平行四边形，且对角线互相垂直，所以它的面积等于 。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（5 分）如图，在由边长均为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，A（2，2），B（5，2），C（3，4）。 (1) 画出 △ABC 关于点 B 成中心对称的 △A′BC′； (2) 写出点 A′、C′ 的坐标； (3) 求 △A′BC′ 的面积。 【答案】(2) A′（8，2），C′（7，0）　(3) 3 (1) 点 B 保持不动。延长 AB 到 A′，使 ；延长 CB 到 C′，使 。顺次连接 A′、B、C′，即得 △A′BC′（如图）。 (2) 因为 B 是 的中点，所以 A′ 的横坐标是 ，纵坐标是 ，即 A′（8，2）；同理 C′（，）＝（7，0）。 (3) 成中心对称的两个图形全等，所以 △A′BC′ 的面积等于 △ABC 的面积。△ABC 中 AB 在格线上，，点 C 到 AB 的距离为 2，面积是 。 18．（5 分）如图，点 O 是 △ABC 内一点，点 D、E、F 分别是点 A、B、C 关于点 O 的对称点，连接 DE、EF、FD。 (1) 求证：，且 ； (2) 求证：△DEF≌△ABC。 【答案】证明见解析 (1) 因为点 D、E 分别是点 A、B 关于点 O 的对称点，所以 ，。又 （对顶角），所以 △AOB≌△DOE（SAS），得 ，，从而 。 (2) 同理 ，。在 △DEF 与 △ABC 中，，，，所以 △DEF≌△ABC（SSS）。 19．（5 分）如图，在 △ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，连接 AD 并延长到点 E，使 ，连接 BE、CE。 (1) 判断四边形 ABEC 的形状，并说明理由； (2) 若 ，，求四边形 ABEC 的周长。 【答案】(1) 平行四边形　(2) 16 (1) 四边形 ABEC 是平行四边形。理由：因为 D 是 BC 的中点，所以 ；又 ，即 与 互相平分。对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以四边形 ABEC 是平行四边形。 (2) 由 (1) 得 ，，所以四边形 ABEC 的周长是 。 20．（5 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（，3），B（，1），C（，1）。 (1) 画出 △ABC 关于原点 O 成中心对称的 △； (2) 写出点 、、 的坐标； (3) 求 △ 的面积。 【答案】(2) （2，），（4，），（1，）　(3) 3 (1) 分别连接 AO、BO、CO 并延长，在延长线上截取 ，，，顺次连接 、、，即得 △（如图）。 (2) 关于原点对称的两点，横坐标、纵坐标都互为相反数，所以 （2，），（4，），（1，）。 (3) 成中心对称的两个图形全等，面积相等。△ABC 中 ，BC 边上的高为 2，面积是 ，所以 △ 的面积也是 3。 21．（5 分）如图，在矩形 ABCD 中，，，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在边 AB 上，，点 F 是点 E 关于点 O 的对称点。 (1) 求证：； (2) 求四边形 AECF 的面积。 【答案】(2) 12 (1) 因为点 F 与点 E 关于点 O 对称，所以 ；又点 O 是矩形对角线的交点，所以 。四边形 AECF 的对角线互相平分，是平行四边形，故 。 (2) 由 (1) 知四边形 AECF 是平行四边形，它的边 AE 在 AB 上，AE 边上的高就是 BC，为 6，所以 。 22．（5 分）如图，在 △ABC 中，，，，点 O 是边 BC 的中点，将 △AOB 绕点 O 旋转 得到 △DOC。 (1) 判断四边形 ABDC 的形状，并说明理由； (2) 求四边形 ABDC 的面积。 【答案】(1) 矩形　(2) 48 (1) 四边形 ABDC 是矩形。理由：由旋转得 ，，所以四边形 ABDC 的对角线 AD、BC 互相平分，四边形 ABDC 是平行四边形；又 ，即平行四边形有一个角是直角，所以四边形 ABDC 是矩形。 (2) 矩形 ABDC 中 ，所以它的面积是 。 23．（7 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，1），B（4，1），C（2，3），点 M 的坐标为（5，4）。 (1) 画出 △ABC 关于点 M 成中心对称的 △A′B′C′； (2) 写出点 A′、B′、C′ 的坐标，并求线段 的长； (3) 求四边形 的面积。 【答案】(2) A′（9，7），B′（6，7），C′（8，5），　(3) 18 (1) 连接 AM 并延长到 A′，使 ；同法作出 B′、C′，顺次连接 A′、B′、C′，即得 △A′B′C′（如图）。 (2) 因为 M 是 的中点，所以 A′（，）＝（9，7）；同理 B′（6，7），C′（8，5）。由勾股定理，。 (3) 由 ， 得四边形 的对角线互相平分，是平行四边形。它的边 AB 与 都在水平方向上，，两条平行边之间的距离为 6，所以四边形 的面积是 。 24．（9 分）如图，在正方形 ABCD 中，，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，过点 O 的直线 分别交边 AB、CD 于点 E、F。 (1) 求证：； (2) 若 ，求四边形 AEFD 的面积； (3) 当直线 绕点 O 旋转时，四边形 AEFD 的面积是否发生变化？请说明理由。 【答案】(2) 32　(3) 不变，恒等于 32 (1) 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 O，所以点 A 与点 C 关于点 O 对称。直线 经过点 O，点 E 在边 AB 上，它的对称点必在 CD 上，即点 F，于是 。（也可证明：由 得 ，，又 ，所以 △AOE≌△COF，。） (2) 由 (1) 得 ，所以 。连接 DE，四边形 AEFD 被分成 △AED 与 △DEF：，，所以 。 (3) 不变。由 △AOE≌△COF 得四边形 AEFD 的面积等于 △ACD 的面积，而 △ACD 的面积是正方形面积的一半，为 ，与直线 的位置无关。 学科网（北京）股份有限公司 $