28.2中心对称同步练习 2026-2027学年人教版九年级上册数学

2026年28.2中心对称 一．选择题（共3小题） 1．围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点C与点C′是对称点 B．OA＝OA' C．∠ACB＝∠C'A'B' D．BC∥B'C' 3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 二．填空题（共3小题） 4．若点（a+2，﹣3）和点（﹣1，b+2）关于原点对称，a+b＝_____ ． 5．如图，点P是等边三角形ABC内的一点，，PB＝3，，则S△ABP+S△BPC＝____________________ ． 6．如图，把一个如图所示的“俄罗斯方块”图案放到平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，经过原点的一条直线l将这个图案分成面积相等的两部分，则该直线的函数关系式为____________________ ． 三．解答题（共3小题） 7．如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，△ABC和△DEF的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）若△ABC和△DEF关于点P中心对称，则点P的坐标为__________ ． （2）作△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′． （3）在（2）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的一点，N为点M的对称点，直接写出点N的坐标． 8．数学课上，老师提出一个问题：“如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，射线BD在∠ABC 内，交AC于点E，在射线BD上找一点M，且0°＜∠BAM＜135°，将AM绕点A逆时针旋90°得到AN，连接CN，则△ABM与△ACN全等吗？” 嘉嘉认为△ABM与△ACN全等，其证明过程如下． 证明：如图2，由旋转的性质可得AM＝AN，∠MAN＝90°． ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°． （1）请你补全嘉嘉的证明过程； （2）淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还有一种情况是点M在线段BE的延长线上，如图3所示．“请你判断△ABM与△ACN还全等吗？并说明理由； （3）聪聪在上述基础上，又进行了探究，请你完成下列探究． ①探究一：设CN交BD于点G，求∠BGC的度数； ③探究二：若ME：BE＝1：3，直接写出NC与BE之间的数量关系． 9．如图1，平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（b，0），点C在y轴正半轴上，OC＝3OA，且a，b满足． （1）点A，B，C坐标分别是___________ ，__________ ，__________ ； （2）如图2，将点A向右平移2个单位长度得到点D，M为线段BC上一点，若直线DM恰好平分三角形ABC的面积，求点M的纵坐标； （3）如图3，若点P（m，﹣1）满足三角形ACP的面积等于3，求m的值． 2026年28.2中心对称 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．【解答】解：A、图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称， ∴点C与C′是一组对称点，OA＝OA′，BC∥B'C'， ∴A，B，D都不合题意． ∵∠ACB与∠C′A′B′不是对应角， ∴∠ACB＝∠C′A′B′不成立． 故选：C． 3．【解答】解：由于关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， 所以点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）， 故选：D． 二．填空题（共3小题） 4．【解答】解：∵点（a+2，﹣3）和点（﹣1，b+2）关于原点对称， ∴a+2＝﹣（﹣1），﹣（﹣3）＝b+2， ∴a＝﹣1，b＝1， ∴a+b＝﹣1+1＝0， 故答案为：0． 5．【解答】解：将△APC绕点A旋转60°得到△AEB，过点B作BF⊥AP于点F， ∴AE＝AP，BE＝PC＝3，∠PAE＝60°， ∴△AEP是等边三角形， ∴EP＝AP，∠APE＝60°， ∵BE2＝12，PB2+PE2＝9+3＝12， ∴BE2＝PE2+PB2， ∴∠BPE＝90°， ∴∠APB＝150°， ∴∠BPF＝30°， ∴BFPB， ∵BE＝2PE，∠BPE＝90°， ∴∠EBP＝30°， ∴∠BEP＝90°﹣30°＝60°， ∵∠AEP＝60°， ∴∠APC＝∠AEB＝120°， ∴∠BPC＝360°﹣150°﹣120°＝90°， ∴S△APB+S△PBC3×2． 故答案为：． 6．【解答】解：设直线l与俄罗斯方块交于点A． ∵直线l将这个图案分成面积相等的两部分， ∴S△OAB， 即， 2×AB， AB， ∴A（2，）， 设直线l解析式y＝kx， 将A（2，）代入，得2k， 解得k， ∴该直线的函数关系式为yx， 故答案为yx． 三．解答题（共3小题） 7．【解答】解：（1）如图1，分别连接A、D两点和B、E两点相交于点P， 由图可知，点P的坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）； （2）△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′，如图2即为所求； （3）由（2）知△ABC和△A′B′C′关于点O中心对称，M（a，b）， N为点M的对称点， ∵对称点坐标互为相反数， ∴N（﹣a，﹣b）． 8．【解答】（1）证明：如图2，由旋转的性质可得AM＝AN，∠MAN＝90°． ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°． ∴∠BAM＝∠CAN＝90°﹣∠MAE， 在△ABM和△ACN中， ， ∴△ABM≌△ACN（SAS）； （2）解：△ABM与△ACN全等；理由如下： ∵将AM绕点A逆时针旋90°得到AN， ∴AM＝AN，∠MAN＝90°． ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°， ∴∠BAM＝∠CAN＝90°+∠MAE， 在△ABM和△ACN中， ， ∴△ABM≌△ACN（SAS）； （3）解：①如图3， ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ABM＝∠ACN， ∵∠ABM+∠MBC+∠ACB＝90°， ∴∠ACN+∠MBC+∠ACB＝90°， ∴∠BGC＝180°﹣（∠ACN+∠MBC+∠ACB）＝90°； 如图4， 同理，此时∠BGC＝90°， 综上所述，∠BGC＝90°； ②或．理由如下： ∵ME：BE＝1：3， ∴假设ME＝x，BE＝3x， 当如图5时， BM＝BE﹣ME＝2x， ∵△ABM≌△ACN， ∴NC＝BM＝2x， ∴； 当如图6时， BM＝BE+ME＝4x， ∵△ABM≌△ACN， ∴NC＝BM＝4x， ∴； 综上所述，或． 9．【解答】解：（1）∵点A（a，0），点B（b，0），且a，b满足， 依题意得：b﹣4≥0，4﹣b≥0， 解得：b＝4， ∴， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， ∴OA＝1． ∵点C在y轴正半轴上，OC＝3OA， ∴OC＝3， ∴C（0，3）； （2）∵点A（﹣1，0）向右平移2个单位得到点D， ∴D（1，0）． ∵A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，BD＝4﹣1＝3， ∴S△ABCAB•OC5×3． ∵直线DM恰好平分三角形ABC的面积，即S△BDMS△ABC． 设点M的纵坐标为n， ∴S△BDMBD•n3×n， ∴n， 解得：， ∴点M的纵坐标为； （3）如图3，过P作直线l垂直于y轴，延长CA交直线l于点Q，过A作AH⊥l交直线l于点H，连接CH， 设点Q坐标为（t，﹣1）， ∵A（﹣1，0），C（0，3），P（m，﹣1）， ∴点C到直线l的距离为3﹣（﹣1）＝4，HQ＝﹣1﹣t，AH＝1，PQ＝|m﹣t|， ∴S△CHQ＝S△ACH+S△AQH， ∴4（﹣1﹣t）1×11×（﹣1﹣t）， 解得：t， ∴点Q的坐标为， ∴PQ＝|m﹣t|＝|m﹣（）|＝|m|． ∵三角形ACP的面积等于3， ∴S△ACP＝S△CQP﹣S△AQP|m|×4|m|×1＝3， 解得：m或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $