28.2中心对称（分层作业，9大题型）数学新教材人教版九年级上册

分层作业 28.2 中心对称 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 成中心对称的判定 题型02 成中心对称的有关性质判定 题型03 中心对称的有关作图 题型04 中心对称图形的识别 题型05 关于原点对称的点的坐标 B组 能力进阶 题型01 根据中心对称的性质求解 题型02 中心对称图形性质的规律问题 题型03 已知两点关于原点对称求参数 C组 思维拔高 题型 中心对称·创新性问题 成中心对称的判定题型01 1．下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，与关于O成中心对称，那么__， __， __，点A、O与__三点在同一直线上，__三点在同一直线上，____三点在同一直线上．    3．（2025·一模）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，△EFD和△ABC关于点O成中心对称，连接BD，BE，AF，CF． (1)求证：四边形ABEF是平行四边形． (2)若AB＝AC，∠BAC＝∠DBC，求证：是菱形． 4．已知抛物线C2：的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知：直线、相交于点，且，点是内任意一点．点依次轮流沿直线、翻折，将点关于对称的点记为点，点关于对称的点记为点，点关于对称的点记为点，… (1)如图，点为图中所给的位置，当，时，________，________； (2)填空：由（1）可知，经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过一次________（选填“平移”、“旋转”、“翻折”、“中心对称”）得到； (3)填空：若点经过以上四次翻折后得到的点与点关于点成中心对称，则________； (4)如果按照这样的方式次翻折后，得到的点第一次落入内，问：当与满足什么关系时，对任意的点得到的点都刚好与点重合？（直接写出结果，不要求写出过程） 成中心对称的有关性质判定题型02 1．若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点为矩形的对角线的交点，点从点出发，沿向点运动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 B．正方形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 3．若二次函数的图象关于点对称的曲线为，则曲线对应的解析式为 __________ ． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点在边上． (1)用直尺和圆规作，使与关于点对称（保留作图痕迹，不写作法），判断四边形的形状并说明理由； (2)若，，则当的长为______时，（1）中的四边形是矩形． 5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，4），AB＝，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'． （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点． ①抛物线C'的解析式为　 　（用含m的关系式表示）； ②求m的取值范围； （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 中心对称的有关作图题型03 1．如图，与成中心对称，则对称中心是____． 2．如图，画出与关于点O成中心对称的图形． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标，请解答下列问题：画出关于原点对称的，并求出的面积． 4．一块方角形钢板如图所示，请你根据中心对称的性质用一条直线将它分为面积相等的两部分（不写画法，保留画图痕迹，在图中直接画出）．你还有其他的分割方法吗？请在备用图中把它画出来． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）在中，，，点P在边上． (1)如图①，当点P是的中点时，用直尺和圆规作出关于点P成中心对称的图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图②，作出点P关于的对称点，，连接，在图②中画出示意图（不要求尺规作图），并求出当时点与点之间的距离； (3)如图③，已知，将绕着点P按每秒的速度逆时针旋转一周．同时，射线绕着点P按每秒的速度顺时针旋转（随旋转停止而停止），旋转过程中射线的位置不变．设旋转时间为t秒，当t为 秒时，射线与中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线． 中心对称图形的识别题型04 1．（25-26九年级上·重庆·期中）下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形这几个图形中，既是轴称图形又是中心对称图形的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，矩形被分割成4个直角三角形和1个小矩形后仍是中心对称图形．设上下两个直角三角形的面积都为，左右两个直角三角形的面积都为，中间小矩形的面积为，若对角线，则矩形的面积一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．函数的图像如图所示，下列对该函数性质的论断正确的是_____ （1）该函数的图像是中心对称图形； （2）当时，该函数在时取得最小值2； （3）在每个象限内，的值随值的增大而减小； （4）的值不可能为1． 5．已知函数（a，b，c为常数，且）的图像是中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图像（图①~④），观察并思考…… (1)函数的图像如图⑤所示，指出常数a，b，c的正负． (2)你同意“函数的图像的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由． (3)已知，直接写出关于x的不等式的解集（用含a，c的式子表示）． 关于原点对称的点的坐标题型05 1．将平面直角坐标系中某个图形各个点的横坐标、纵坐标都乘，所得图形与原图形的位置关系是（     ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 2．如图，在平面直角坐标系中，，点B到y轴的距离是4，将关于原点对称得到，再将向左平移5个单位长度得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（1）和点关于____________对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第________象限． 4．已知点与点关于原点对称，则______． 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：与x轴交于和两点． (1)求抛物线W的解析式． (2)如图，将抛物线绕点N旋转后得到抛物线，抛物线与x轴交于另一点Q． ①直接写出点Q的坐标和抛物线的解析式． ②利用①中的结论，当时，求抛物线的最大值和最小值． (3)P为抛物线 W上的一个动点，点P的横坐标为，以点P为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出m的值． 根据中心对称的性质求解题型01 1．（2026·陕西西安·模拟）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 2．（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，与关于点O成中心对称，若，则的长为_________． 4．（2025·宁夏·模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为_________． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·质检）如图，与关于点成中心对称，，，，求的长． 中心对称图形性质的规律问题题型02 1．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 2．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 4．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为　　； (2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为　　、　　． 拓展延伸： (3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 5．在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：． 容易知道：若，则；若，则． 已知在平面直角坐标系中，点．    (1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称． (2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围； (3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围． 已知两点关于原点对称求参数题型03 1．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，直线为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 3．（25-26九年级上·期末）若点与点关于坐标原点对称，则a的值为________． 4．已知点与点关于原点对称，则的值等于______． 5．（2025·河北沧州·模拟）如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． (1)求b，c的值； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 中心对称·创新性问题题型 1．函数关于中心对称；，在函数图象上，，，，则______． 2．（2026·山西阳泉·一模）阅读与思考 下面是博学小组对“双对称多边形”研究报告的一部分，请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． “双对称多边形”定义：在平面内，一个凸多边形同时满足两个条件：①存在一个点O，使多边形绕点O旋转后与自身重合；②存在一条直线l，使多边形沿直线l翻折后与自身重合，且直线l经过点O，则称这个多边形为双对称多边形，其中点O为其中心． 如图1，正方形就是一个双对称多边形． 性质：双对称多边形关于点O中心对称，则其具有中心对称图形的所有性质；双对称多边形关于直线l轴对称，则其具有轴对称图形的所有性质． …… 任务： (1)下列正多边形中，一定是双对称多边形的是______（填序号）； A．    B． C．    D． (2)如图2，已知：线段，直线为线段的垂直平分线，点O为直线l上一点． 尺规作图：以为一边，作出一个顶点均不在直线l上的凸四边形．使四边形是以点O为中心的双对称多边形，保留作图痕迹，不写作法． (3)如图3，四边形中，，，，请借助四边形构造一个双对称多边形，要求在图3中画出你构造的双对称多边形，并求出它的面积． 3．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点P和图形G，若图形G上存在点M和点N，使得点M为线段中点，则称点P是图形G的“和谐美点”． 已知点，，，，． (1)在点，，，中， 是线段的“和谐美点”； (2)①在平面直角坐标系中画出正方形（含内部）的“和谐美点”组成的区域，并直接写出其面积； ②过P作平行于y轴的直线l，若l上存在正方形（含内部）的“和谐美点”，则t的取值范围为 ； (3)以线段为对角线作正方形，若该正方形（含内部）的“和谐美点”都不是正方形（含内部）的“和谐美点”，直接写出t的取值范围． 4．（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·月考）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标三倍的点，则称该点为这个函数的“三倍点”．例如：点是函数的图像上的“三倍点”． (1)函数，的图像上是否存在“三倍点”？若存在，求出“三倍点”的坐标； (2)若抛物线上有两个“三倍点”，分别为，，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与点B重合） ．当的面积为18时，求抛物线的解析式； (3)若函数的图像记为，将其绕点旋转后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有3个“三倍点”时，请直接写出t的值． 5．（25-26下·陕西榆林·期中）某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台—安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点成中心对称，以点为原点，过点的水平直线为轴，过点且垂直于轴的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．舞台平面与轴平行，交轴于点． 安装方式 矩形电子屏幕如图所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点处，左端从抛物线上的点处拉一条绳索固定，轴，交轴于点，点、在边上，边与平行于轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于米； 2．与轴之间的距离为，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，， (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 6．如图，抛物线的顶点为，交轴于点，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴于点，与相交于点和点在轴左侧）． (1)求点，，的坐标（用含的式子表示）； (2)顺次连接，，，四点，当四边形的面积为时． ①求的值； ②将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为，图象L对应的函数为，当时，函数的最大值与最小值的差等于，求的值． 7．在平面直角坐标系中，是个互不相同的点，若这个点横坐标的不同取值有个，纵坐标的不同取值有个，则称为这个点的“跨度”，记为．已知抛物线的解析式为． (1)已知，，． ①___________，___________； ②若，，且在抛物线上存在三个不同的点，使得，，，直接写出___________； (2)点到点的距离为3或，，且这10个点构成一个中心对称图形．若抛物线恰好经过中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出的所有可能取值___________． 8．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 28.2 中心对称 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 成中心对称的判定 题型02 成中心对称的有关性质判定 题型03 中心对称的有关作图 题型04 中心对称图形的识别 题型05 关于原点对称的点的坐标 B组 能力进阶 题型01 根据中心对称的性质求解 题型02 中心对称图形性质的规律问题 题型03 已知两点关于原点对称求参数 C组 思维拔高 题型 中心对称·创新性问题 成中心对称的判定题型01 1．下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据成中心对称的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知， 中阴影部分两个三角形成中心对称， 故选：A． 【点睛】本题考查了成中心对称．解题的关键在于熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称． 2．如图所示，与关于O成中心对称，那么__， __， __，点A、O与__三点在同一直线上，__三点在同一直线上，____三点在同一直线上．    【答案】 【分析】根据成中心对称图形的性质：对应点到对称中心的距离相等，对应点与对称中心在同一条直线上，进行作答即可． 【详解】解：与关于O成中心对称，那么， 点A、O与三点在同一直线上； B、、O三点在同一直线上； C、、O三点在同一直线上； 故答案为：． 【点睛】本题考查成中心对称图形的性质．熟练掌握成中心对称图形的性质，是解题的关键． 3．（2025·一模）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，△EFD和△ABC关于点O成中心对称，连接BD，BE，AF，CF． (1)求证：四边形ABEF是平行四边形． (2)若AB＝AC，∠BAC＝∠DBC，求证：是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵△EFD和△ABC关于点O成中心对称， ∴△EFD≌△ABC． ∴EF＝AB，∠FED＝∠BAC， ∴EF∥AB． ∴四边形ABEF是平行四边形．    （2）解：连接BF． ∵△EFD和△ABC关于点O成中心对称， ∴B，O，F三点共线，OB＝OF，OC＝OD． ∴四边形BCFD是平行四边形． ∵∠BAC＝∠DBC， ∴∠BAC＋∠ABD＝∠DBC＋∠ABD 即∠BDC＝∠ABC． ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∴∠BDC＝∠ACB． ∴BD＝BC． ∴四边形BCFD是菱形． ∴ BF⊥CD． 又四边形ABEF是平行四边形； ∴□ABEF是菱形． 4．已知抛物线C2：的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式． 【答案】 【分析】先求出点P的坐标，再令y＝0，解方程求出点B的坐标，然后根据中心对称求出点M的坐标，然后根据对称性利用顶点式形式写出C3的解析式即可． 【详解】解：由题意可知，点P的坐标为（﹣2，﹣5）， 令y＝0，则（x+2）2﹣5＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣5， ∴点B的坐标为（1，0）， ∵点P、M关于点B对称， ∴点M的坐标为（4，5）， ∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，抛物线C2向右平移得到C3， ∴抛物线C3的k值为， ∴抛物线C3的解析式为y（x﹣4）2+5． 【点睛】本题考查二次函数图象的对称和平移问题，熟练掌握二次函数图象的性质和中心对称的概念是解决本题的关键． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知：直线、相交于点，且，点是内任意一点．点依次轮流沿直线、翻折，将点关于对称的点记为点，点关于对称的点记为点，点关于对称的点记为点，… (1)如图，点为图中所给的位置，当，时，________，________； (2)填空：由（1）可知，经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过一次________（选填“平移”、“旋转”、“翻折”、“中心对称”）得到； (3)填空：若点经过以上四次翻折后得到的点与点关于点成中心对称，则________； (4)如果按照这样的方式次翻折后，得到的点第一次落入内，问：当与满足什么关系时，对任意的点得到的点都刚好与点重合？（直接写出结果，不要求写出过程） 【答案】(1)， (2)旋转 (3) (4) 【分析】（1）根据翻折的性质求解即可； （2）观察图象，即可得出结果； （3）先得出翻折和旋转之间的联系，即可求出的值； （4）根据翻折与旋转之间的联系，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：观察图象可判断，经过两次翻折（对称轴不平行）后的图形可以看作是原图形经过一次旋转后得到； （3）解：观察（1）中的图形，得出以下规律， 第一次翻折后相当于顺时针旋转得到； 第二次翻折后相当于逆时针旋转得到； 第三次翻折后相当于顺时针旋转得到； 第四次翻折后相当于逆时针旋转得到； ∵与点中心对称， 即， ∴； （4）解：结合规律，得次翻折可视为第组两次翻折， 即相当于逆时针旋转， 要使与重合，绕点旋转的总角度必须是的整数倍． 又因为题目要求是第一次落入内且刚好重合，所以取最小的整数倍， 即：． 成中心对称的有关性质判定题型02 1．若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：∵两个图形成中心对称， ∴①对应点的连线必经过对称中心，正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同，正确； ③这两个图形的对应线段一定相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，正确． 综上所述：正确共4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，熟记中心对称的性质和概念是解题的关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2．如图，点为矩形的对角线的交点，点从点出发，沿向点运动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 B．正方形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 【答案】A 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形形状的变化情况，这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点与点重合时是矩形． 【详解】解：观察图形可知，四边形形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形， 故选：． 【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，解题的关键是确定与的位置关系． 3．若二次函数的图象关于点对称的曲线为，则曲线对应的解析式为 __________ ． 【答案】 【分析】先找出抛物线上三个点，再求出关于对称的点的坐标，然后代入所设新抛物线的方程即可解答． 本题考查了二次函数图象与几何变换，得到所求抛物线上的三个点，这三个点是原抛物线上的关于对称的点是解决本题的关键． 【详解】解：令，，， ，， 令，， ∴二次函数与轴交于，，与轴交于， ∴这三个点关于对称点为，，， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴曲线的解析式为． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，点在边上． (1)用直尺和圆规作，使与关于点对称（保留作图痕迹，不写作法），判断四边形的形状并说明理由； (2)若，，则当的长为______时，（1）中的四边形是矩形． 【答案】(1) 解：如图： 四边形为平行四边形，理由如下： ∵与关于点对称， ∴，， ∴四边形为平行四边形． (2) 【分析】本题考查了中心对称图形、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）以为对称中心画出对应的、、，顺次连接即可，根据对角线互相平分可以判断形状； （2）过点作交于点，设，根据勾股定理用两种方式表示的长，列出方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作交于点， ∵，， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， 当四边形为矩形时，， 在中，， ∴， 解得：， ∴时，四边形是矩形． 故答案为：． 5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，4），AB＝，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'． （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点． ①抛物线C'的解析式为　 　（用含m的关系式表示）； ②求m的取值范围； （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+4；（2）①y＝（x﹣2m）2﹣4；②2＜m＜2；（3）能，m＝﹣3或6． 【分析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2，0），再设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A（2，0）代入可得a＝﹣即可解答； （2）①由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），可得出抛物线C′的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣4； ②联立两抛物线的解析式，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则得到关于m的不等式组，解不等式组即可解决问题； （3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF＝FM，∠PFM＝90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2，0）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+4， 把A（﹣2，0）代入可得a＝﹣， ∴抛物线C的函数表达式为y＝﹣x2+4． （2）①∵将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'， ∴抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4）， ∴抛物线C′的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣4， 故答案为：y＝（x﹣2m）2﹣4． ②由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0， 由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点， 则有，解得2＜m＜2， ∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2． （3）结论：四边形PMP′N能成为正方形． 理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H． 由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时， 四边形PMP′N是正方形， ∴PF＝FM，∠PFM＝90°， ∴∠FPE＝∠MFH， ∴△PFE≌△FMH（AAS）， ∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m， ∴M（m+2，m﹣2）， ∵点M在y＝﹣x2+4上， ∴m﹣2＝﹣（m+2）2+4，解得m＝﹣3或﹣﹣3（舍弃）， ∴m＝﹣3时，四边形PMP′N是正方形． 情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m）， 把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣x2+4中，2﹣m＝﹣（m﹣2）2+4， 解得m＝6或0（舍弃）， ∴m＝6时，四边形PMP′N是正方形． 综上，四边形PMP′N能成为正方形，m＝﹣3或6． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，灵活运用所学知识和利用参数构建方程解决问题成为解答本题的关键． 中心对称的有关作图题型03 1．如图，与成中心对称，则对称中心是____． 【答案】中点（或中点） 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 2．如图，画出与关于点O成中心对称的图形． 【答案】 即为所求的三角形． 【分析】本题考查了中心对称作图的知识，根据中心对称的性质得到各顶点的对称点是解决问题的关键，再顺次连接即可． 【详解】解：①连接并延长到，使，于是得到点的对称点； ②同样画出点和点的对称点和； ③连接、、． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标，请解答下列问题：画出关于原点对称的，并求出的面积． 【答案】 如图所示： 【分析】本题考查对称作图及网格中求三角形面积，根据点的对称，作出三个顶点关于原点对称的点，连线即可得到，在网格中间接表示的面积即可得到答案，熟练掌握对称作图及网格中三角形面积的求法是解决问题的关键． 【详解】解：即为所求，． 4．一块方角形钢板如图所示，请你根据中心对称的性质用一条直线将它分为面积相等的两部分（不写画法，保留画图痕迹，在图中直接画出）．你还有其他的分割方法吗？请在备用图中把它画出来． 【答案】 如图所示． 【分析】此题主要考查了矩形的中心对称性，解决此题的关键是找到对称中心． 先将图形分割成两个矩形，找出各自的对称中心，过两个对称中心作直线即可． 【详解】略 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）在中，，，点P在边上． (1)如图①，当点P是的中点时，用直尺和圆规作出关于点P成中心对称的图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图②，作出点P关于的对称点，，连接，在图②中画出示意图（不要求尺规作图），并求出当时点与点之间的距离； (3)如图③，已知，将绕着点P按每秒的速度逆时针旋转一周．同时，射线绕着点P按每秒的速度顺时针旋转（随旋转停止而停止），旋转过程中射线的位置不变．设旋转时间为t秒，当t为 秒时，射线与中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线． 【答案】(1) 即为所求： (2) 如图所示，点，即为所求； 6 ， (3)或或或 【分析】（1）以点P为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接（其中点与点C重合，点与点B重合），则即为所求； （2）由轴对称的性质可得垂直平分，垂直平分，据此结合垂线的作图方法作图即可；由轴对称的性质可得，再证明三点共线即可得到答案； （3）分图④，图⑤，图⑥和图⑦这四种情况，根据角平分线的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由轴对称的性质可得，， ∵， ∴， ∴ ， ∴三点共线， ∴； （3）解：如图④所示，当平分时，则， 由题意得，此时， ∴， 解得； 如图⑤所示，当平分时，则， 由题意得，此时， ∴， 解得； 如图⑥所示，当平分时，则， 由题意得，此时， ∴， 解得； 如图⑦所示，当平分时，则， 由题意得，此时， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或或或． 中心对称图形的识别题型04 1．（25-26九年级上·重庆·期中）下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．熟记中心对称图形定义是解决问题的关键． 根据中心对称图形的概念逐项判定求解即可得到答案． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形这几个图形中，既是轴称图形又是中心对称图形的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】既是轴对称图形又是中心对称图形的是：线段、矩形、菱形、正方形，共4个， 故选B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3．如图，矩形被分割成4个直角三角形和1个小矩形后仍是中心对称图形．设上下两个直角三角形的面积都为，左右两个直角三角形的面积都为，中间小矩形的面积为，若对角线，则矩形的面积一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，矩形的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识．如图，延长交于点，连接．证明四边形是平行四边形，推出，推出，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点，连接． 由题意，， ， ∵，， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选：A． 4．函数的图像如图所示，下列对该函数性质的论断正确的是_____ （1）该函数的图像是中心对称图形； （2）当时，该函数在时取得最小值2； （3）在每个象限内，的值随值的增大而减小； （4）的值不可能为1． 【答案】（1）（2）（4） 【分析】本题主要考查了识别中心对称图形、函数图像等知识，根据中心对称图形的特征判断论断（1）；结合函数图像判断论断（2）（3）（4）． 【详解】解：（1）由图像可以看出函数图像上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确； （2）结合图像的2个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为，故正确； （3）在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误； （4）在第一象限y的最小值为2，在第三象限最大值为，故不可能为1，故正确． ∴正确的有（1）（2）（4）． 故答案为（1）（2）（4）． 5．已知函数（a，b，c为常数，且）的图像是中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图像（图①~④），观察并思考…… (1)函数的图像如图⑤所示，指出常数a，b，c的正负． (2)你同意“函数的图像的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由． (3)已知，直接写出关于x的不等式的解集（用含a，c的式子表示）． 【答案】(1)，， (2)不同意，理由： 把代入得：， 设点在函数图象上，且，． ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴函数的图像的对称中心的横坐标不是“1”． (3)当时，或；当时，或 【分析】（1）观察图①②③④，分析其增减性，可得当时，在图象两个拐弯处的两侧，y随x的增大而增大；观察其对称中心，当时，对称中心为原点，当时，对称中心在y轴左侧；即可判断a和b与图象的关系，再根据其图象与x轴有三个交点可得有两个异号的实数根，即可判断c的符号； （2）求出当时的函数值为1，设点在函数图象上，且，．求出，即可得出结论； （3）先求出，则函数于x轴有三个交点，根据（1）中的结论，结合图象和增减性，即可写出解集． 【详解】（1）解：观察图①②③④可知，当时，在图象两个拐弯处的两侧，y随x的增大而增大； ∵图⑤中，在两个拐弯处两侧，y随x的增大而减小， ∴， 观察图①②③④可知，当时，对称中心为原点，当时，对称中心在y轴左侧， ∵图⑤中，对称中心在y轴右侧， ∴， ∴， ∵与x轴有3个交点，且经过点， ∴方程有三个不相等是实数根， ∴或， 由图可知： 与x轴分别交于正半轴、原点、负半轴、 ∴的两个实数根， ∴ ∵， ∴， 综上：，，； （2） 略 （3）解：设函数 ， ∵， ∴， 则方程有两个不相等的实数根， ∵当时，， ∴函数于x轴有三个交点， 根据求根公式可得： 方程的两个根分别为：，， ∴函数于x轴的三个交点分别为：，，， ①当时， 或时，； ②当时， 或时，． 【点睛】本题主要考查了探究函数的性质，解题的关键是仔细观察题目所给函数图象，总结出其图象与系数之间的关系． 关于原点对称的点的坐标题型05 1．将平面直角坐标系中某个图形各个点的横坐标、纵坐标都乘，所得图形与原图形的位置关系是（     ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 【答案】C 【分析】通过探究图形上任意一点的坐标变换，推导出整体图形的对称关系即可． 【详解】解：设原图形上任意一点的坐标为， ∵将该点的横坐标、纵坐标都乘， ∴对应点的横、纵坐标均为原坐标的相反数，即坐标为， ∴与这两个点关于原点对称， ∴所得图形与原图形关于原点对称． 2．如图，在平面直角坐标系中，，点B到y轴的距离是4，将关于原点对称得到，再将向左平移5个单位长度得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查直角坐标系中关于原点对称的点的坐标性质，坐标与图形变换—平移，勾股定理，作轴于点C，根据勾股定理求出，然后得到点B的坐标为，然后根据关于原点对称的点的坐标性质得到点的坐标为，然后坐标系中点的平移规律求解即可．解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标性质（横纵坐标互为相反数）与点的平移的规律（左减右加）． 【详解】解：如图，作轴于点C， ∵点B到y轴的距离为4， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴点B关于原点对称的点的坐标为， ∴点B″的坐标为． 故选：D． 3．（1）和点关于____________对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第________象限． 【答案】 原点 二 【分析】（1）根据A、B两点的横纵坐标互为相反数，即可判断它们关于原点对称； （2）先根据A在第三象限即可确定，从而可以确定B所在的象限，再根据与原点对称的点的特点进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴A、B两点的横纵坐标互为相反数， ∴A、B两点关于原点对称； （2）∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴在第四象限， ∴点B关于原点对称的点在第二象限， 故答案为：原点，二． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 4．已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【分析】由坐标系内关于原点成中心对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解： 点与点关于原点对称， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内关于原点对称的两个点的坐标关系，中心对称，掌握以上知识是解题的关键． 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：与x轴交于和两点． (1)求抛物线W的解析式． (2)如图，将抛物线绕点N旋转后得到抛物线，抛物线与x轴交于另一点Q． ①直接写出点Q的坐标和抛物线的解析式． ②利用①中的结论，当时，求抛物线的最大值和最小值． (3)P为抛物线 W上的一个动点，点P的横坐标为，以点P为中心作正方形，，且轴． ①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围． ②正方形的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)①，；②抛物线的最大值为4，最小值为3 (3)①；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出抛物线W的顶点坐标，根据抛物线是将抛物线绕点N旋转后得到的，即得出点和抛物线的顶点坐标，从而可设抛物线的顶点式，再将点代入即可解答； ②根据抛物线的解析式和x的取值范围，结合图象即可解答； （3）①由抛物线W的解析式可知其对称轴为直线．根据题意可知点C和点D位于y轴上，且正方形在直线的左侧，即得出，求解即可； ②分类讨论：Ⅰ当正方形与抛物线的交点在边和上时、Ⅱ当正方形与抛物线的交点在边和上时和Ⅲ当正方形与抛物线的交点在边和上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：将和代入， 得：，解得：， ∴抛物线W的解析式为； （2）解：①∵， ∴抛物线W的顶点坐标为． ∵将抛物线绕点N旋转后得到抛物线，抛物线与x轴交于另一点Q， ∴点Q与点M关于点N对称，抛物线的顶点与抛物线W的顶点关于点N对称， ∴，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②∵抛物线的解析式为， 又∵， ∴，； （3）解：①∵抛物线W的解析式为， ∴其对称轴为直线． ∵四边形为正方形，且轴， ∴轴，轴，轴． ∵点P的横坐标为，且点P为正方形中心，， ∴点C和点D位于y轴上． ∵抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小， ∴正方形在直线的左侧， ∴， ∴； ②分类讨论：Ⅰ当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图1， ∴． ∵交点的纵坐标之差为， ∴， ∴； Ⅱ当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图2， ∴． ∵交点的纵坐标之差为， ∴， 解得：，（舍）； Ⅲ当正方形与抛物线的交点在边和上时，如图3， ∴． ∵交点的纵坐标之差为， ∴， 解得：，（舍）． 综上可知，m的值为或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，中心对称的性质，二次函数的性质，正方形的性质，坐标与图形等知识，正确求出二次函数解析式并利用数形结合的思想是解题关键． 根据中心对称的性质求解题型01 1．（2026·陕西西安·模拟）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由为的对称中心，则点三点共线，三点共线，，，所以，从而即可求出的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵为的对称中心， ∴点三点共线，三点共线，，， ∴， ∴的面积为． 2．（2026·河北张家口·一模）如图，已知的面积是12，，点D是上的动点，点E是的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接、、，由中心对称的定义得出，且点、、在同一直线上，从而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴，且点、、在同一直线上， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵的面积是12，，点D是上的动点， ∴由垂线段最短可得，当时，的长度最小，且此时， ∴， ∴的最小值为 【点睛】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 3．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，与关于点O成中心对称，若，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，成中心对称的两个图形的对应点与对称中心的连线的长度相等，据此可得答案． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， 故答案为：． 4．（2025·宁夏·模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线，，是常数，且）以原点为中心，旋转得到抛物线，则称是的“中心对称抛物线” ．已知抛物线，将抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．将抛物线的“中心对称抛物线”向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，．当时，的值为_________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与轴交点，平移后得到、坐标；再根据中心对称求出解析式，进而得到与轴交点，平移后得到、坐标；然后表示出、、的长度，最后根据列方程求解 ． 【详解】当时，，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向左平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，． ， 抛物线的顶点坐标为， 点关于原点的对称点为， 抛物线的“中心对称抛物线”的解析式为， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 抛物线向右平移个单位长度，与轴的交点从左到右依次为，， ，， ，，． ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移、中心对称变换，以及抛物线与轴交点问题，熟练掌握抛物线的平移规律、中心对称性质及利用交点求线段长度的方法是解题的关键． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·质检）如图，与关于点成中心对称，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质、勾股定理，熟记中心对称的性质是解题关键根据中心对称的性质可得，、、三点共线，再利用勾股定理即可得 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ∴，、、三点共线， ∵，，， 中心对称图形性质的规律问题题型02 1．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 2．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____． 【答案】（2，﹣1） 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标． 【详解】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1）， ∴点C的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题意列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 根据中心对称的性质找出部分的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时，；当为偶数时，依此规律即可得出结论． 【详解】解：，，是等腰直角三角形，且， ． 与关于点成中心对称， ． 同理可得，，，…． 设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时． 故点的坐标为． 故答案为：． 4．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为　　； (2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为　　、　　． 拓展延伸： (3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)、的坐标分别为，； (3)；或或或． 【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标； （2）根据题目所给公式求出，，的坐标，依此类推即可求出的坐标； （3）根据所求出的坐标可得的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，利用这个规律即可求出点的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， 同理可得：，，，， 即点、的坐标分别为，， 故答案为：，； （3）解：，，，，，，，； 的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环， ， 的坐标与的坐标相同，即； ∴， 设轴上与点、点构成等腰三角形的点为点D， 当时，点D坐标为或； 当时， ∵， ∴，点D坐标为； 当时，点D在的垂直平分线上， ∴点D与原点重合，点D坐标为； 综上，在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型—点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键． 5．在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：． 容易知道：若，则；若，则． 已知在平面直角坐标系中，点．    (1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称． (2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围； (3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①② (2)点的横坐标的取值范围为或 (3)或 【分析】（1）根据题意，分别求出点作变换后的点的坐标，再判断是否在的内部或边上，即可得到答案； （2）设点，则线段后点的坐标为，，分两种情况：当线段与轴有公共点时，当线段与轴有公共点时，分别求出的取值范围即可得到答案； （3）设点的坐标为，点，则，由可得，点作对称后的对应点，由点在轴上，可得，从而得出的取值范围，再根据求出的取值范围，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： 点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意； 点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意； 点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意； 点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意； 故点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是①②， 故答案为：①②； （2）解：点在直线上， 设点， 点， 线段后点的坐标为，， 线段与坐标轴有公共点， 当线段与轴有公共点时，，， 解得：， 当线段与轴有公共点时，， 解得：， 综上所述，点的横坐标的取值范围为或； （3）解：线段上存在点，， 设点的坐标为，点，则， ， ，即， 点作对称后的对应为点， ， 点在轴上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 或， 点的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、中心对称的性质、解不等式组、点的坐标的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 已知两点关于原点对称求参数题型03 1．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． 2．在平面直角坐标系中，直线为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据y轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 【详解】解：∵直线（为常数）与y轴交于点A， 当时，， ∴， 将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，得到， ∵将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，与y轴交于点， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故选：A． 3．（25-26九年级上·期末）若点与点关于坐标原点对称，则a的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键． 根据关于坐标原点对称的点的坐标关系，两个点的横坐标和纵坐标分别互为相反数 【详解】解：点与点关于坐标原点对称， ， ， 故答案为：． 4．已知点与点关于原点对称，则的值等于______． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横，纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征列出关于a，b，k的方程组，进而求出的值． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， 由，得， 将其代入，得， 整理得， ∴， 故答案为：． 5．（2025·河北沧州·模拟）如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． (1)求b，c的值； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①点P的坐标为，点Q的坐标为；②16 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与面积问题． （1）将点和点代入即可求解； （2）设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为，即可得到抛物线的解析式为； （3）①通过联立方程组，求点P和Q的坐标； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点，先求出直线的解析式为，设，，则，，求出当时，有最大值4，当时，有最大值4，再根据，得到当最大时，四边形面积的最大，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得； （2）解：由（1）可得抛物线， 设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为， ∵抛物线与关于原点O成中心对称， ∴抛物线的解析式为， 整理得； （3）解：①将抛物线向上平移2个单位长度得到，则抛物线的解析式为， 联立，解得或， ∵抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧）， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵点P的坐标为，点Q的坐标为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 则，， ∴，， ∵， ∴当时，有最大值4， 当时，有最大值4， ∵， ∴当最大时，四边形面积的最大值为． 中心对称·创新性问题题型 1．函数关于中心对称；，在函数图象上，，，，则______． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质．根据题意可得，再由函数图象关于中心对称，可得，再求出，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ……， ， ∴， ∴， ∵三次函数关于中心对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 2．（2026·山西阳泉·一模）阅读与思考 下面是博学小组对“双对称多边形”研究报告的一部分，请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． “双对称多边形”定义：在平面内，一个凸多边形同时满足两个条件：①存在一个点O，使多边形绕点O旋转后与自身重合；②存在一条直线l，使多边形沿直线l翻折后与自身重合，且直线l经过点O，则称这个多边形为双对称多边形，其中点O为其中心． 如图1，正方形就是一个双对称多边形． 性质：双对称多边形关于点O中心对称，则其具有中心对称图形的所有性质；双对称多边形关于直线l轴对称，则其具有轴对称图形的所有性质． …… 任务： (1)下列正多边形中，一定是双对称多边形的是______（填序号）； A．    B． C．    D． (2)如图2，已知：线段，直线为线段的垂直平分线，点O为直线l上一点． 尺规作图：以为一边，作出一个顶点均不在直线l上的凸四边形．使四边形是以点O为中心的双对称多边形，保留作图痕迹，不写作法． (3)如图3，四边形中，，，，请借助四边形构造一个双对称多边形，要求在图3中画出你构造的双对称多边形，并求出它的面积． 【答案】(1)D； (2)如图所示即为所求， (3) 如图，面积为． 【分析】（1）根据双对称多边形的定义逐项判断即可； （2）作射线，射线，以O为圆心，为半径画圆分别交射线于点C，射线于点D，连接，，则四边形即为所求； （3）作点B关于的对称点，点C关于的对称点，顺次连接，则多边形为双对称多边形；过点作于点，过点作于点，根据求解即可． 【详解】（1） 解：由双对称多边形的定义可知，选项D：为双对称多边形； （2）略 （3）解：如图， 过点作于点，过点作于点F， ， ． ， ． 在中，． 同理． 中，， ． ， 四边形为矩形． ， ． ． 3．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点P和图形G，若图形G上存在点M和点N，使得点M为线段中点，则称点P是图形G的“和谐美点”． 已知点，，，，． (1)在点，，，中， 是线段的“和谐美点”； (2)①在平面直角坐标系中画出正方形（含内部）的“和谐美点”组成的区域，并直接写出其面积； ②过P作平行于y轴的直线l，若l上存在正方形（含内部）的“和谐美点”，则t的取值范围为 ； (3)以线段为对角线作正方形，若该正方形（含内部）的“和谐美点”都不是正方形（含内部）的“和谐美点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)①如图： 面积为9； ② (3)或 【分析】（1）根据新定义求出D点的位置以及其横坐标取值范围，从而判断即可； （2）①根据对称的性质，画出原正方形中心不变，边长变为原来3倍的正方形即可，进而求其面积； ②根据直线平移的性质，判断t的取值即可； （3）根据（2）的方法，求出线段为对角线作正方形的“和谐美点”，在根据图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵图形G为线段， ∴D点应该在直线上， 当M与O重合，N与A重合，得到D点坐标为， 当M与A重合，N与O重合，得到D点坐标为， ∴D点需要满足：在x轴上，横坐标范围在到2之间， ∴，，满足题意； 故答案为：，； （2）①画出正方形每条边以其对边为对称轴所得直线，四条直线围起来的部分即为所求， 面积为：； ②直线l为：, ∵l上存在正方形（含内部）的“和谐美点”， ∴l与红色正方形有交点， ∴； 故答案为：； （3）设线段为对角线作正方形为， ∴，， 则该正方形（含内部）的“和谐美点”正方形， ∴，，，， ∵该正方形（含内部）的“和谐美点”都不是正方形（含内部）的“和谐美点”， ∴或， 即或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，中心对称的性质，坐标与图形的变化——轴对称，关于某点对称，熟练掌握坐标与图形的性质，轴对称和中心对称的坐标变化是本题解题的关键． 4．（24-25九年级下·辽宁葫芦岛·月考）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标三倍的点，则称该点为这个函数的“三倍点”．例如：点是函数的图像上的“三倍点”． (1)函数，的图像上是否存在“三倍点”？若存在，求出“三倍点”的坐标； (2)若抛物线上有两个“三倍点”，分别为，，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与点B重合） ．当的面积为18时，求抛物线的解析式； (3)若函数的图像记为，将其绕点旋转后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有3个“三倍点”时，请直接写出t的值． 【答案】(1)存在“三倍点”，“三倍点”为；不存在“三倍点” (2)抛物线的解析式为或 (3)t的值为或15或 【分析】本题主要考查了新定义问题、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、解一元二次方程等知识，正确理解新定义”三倍点”是解题关键． （1）根据 “三倍点”的定义分析计算即可； （2）首先确定抛物线的对称轴，根据”三倍点”的概念得到，进而可得，，结合，可解得或6，然后分情况确定点坐标，利用待定求解即可； （3）首先确定抛物线旋转后的抛物线解析式，再根据”三倍点”的定义解得图像上两个”三倍点”和；然后分图像上只有一个”三倍点”，图像上有两个”三倍点”且其中一个为的”三倍点” ，图像上有两个”三倍点”且其中一个为的”三倍点” ，分别求解即可． 【详解】（1）解：存在“三倍点”；不存在“三倍点”； 当时，，解得，所以，所以“三倍点”为； 当时，，此方程无解，所以不存在“三倍点”； （2）解：， 对称轴为， 又是“三倍点”， ， ， 过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C， 点A与点C关于抛物线的对称轴对称， ， ， 的面积为18， ，即， ，， ①当时，； 将，代入中， 得，解得：， 抛物线的解析式为； ②当时，， 将，代入中， 得，解得：， 抛物线的解析式为； （3）解：函数的图像绕点旋转后的图像记为， 图像与图像的开口大小不变，方向相反，对称轴不变为y轴， 设图像解析式为：， 的顶点坐标为， ∴点和关于点对称， ，解得：， 解析式为：， 联立，解得，， 图像上有两个“三倍点”和； ，两部分组成的图像上恰有3个“三倍点”， 图像上只有一个“三倍点”或者有两个“三倍点”且其中一个“三倍点”与图像上的两个“三倍点”中的一个重合． ①当图像上只有一个“三倍点”时，与只有一个交点， ，即， ，解得：； ②当上其中一个“三倍点”与图像上的重合时，时，； ③当上其中一个“三倍点”与图像上的重合时，时，； 综上所述：t的值为或15或． 5．（25-26下·陕西榆林·期中）某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台—安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点成中心对称，以点为原点，过点的水平直线为轴，过点且垂直于轴的竖直直线为轴建立平面直角坐标系．舞台平面与轴平行，交轴于点． 安装方式 矩形电子屏幕如图所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点处，左端从抛物线上的点处拉一条绳索固定，轴，交轴于点，点、在边上，边与平行于轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于米； 2．与轴之间的距离为，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，， (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算说明与舞台平面l之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 【答案】(1) (2)与舞台平面l之间的距离符合要求， 【分析】（1）由关于原点中心对称的点的坐标特征，可得抛物线的顶点坐标，根据待定系数法即可得抛物线的函数表达式； （2）由题意可得与舞台平面之间的距离，当时，，可得，结合已知即可得绳索的长度． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线关于点成中心对称，顶点的坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意可得与舞台平面之间的距离为， 当时，， ∴， 由题可得的长度为， ∴， ∴与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度为． 6．如图，抛物线的顶点为，交轴于点，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，交轴于点，与相交于点和点在轴左侧）． (1)求点，，的坐标（用含的式子表示）； (2)顺次连接，，，四点，当四边形的面积为时． ①求的值； ②将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为，图象L对应的函数为，当时，函数的最大值与最小值的差等于，求的值． 【答案】(1)，， (2)①；②的值为 【分析】（1）把解析式配方，化为顶点式，得出，把代入解析式，得出，根据关于原点中心对称的点的特征得出，即可． （2）①先求出的解析式为，联立两个抛物线的解析式，解方程组求出，，根据四边形的面积为列方程求出值即可； ②根据得出，根据二次函数当性质，分类讨论得出值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，， ∴， ∵将抛物线绕原点旋转得到抛物线， ∴，． （2）解：①∵， ∴抛物线的解析式为， 联立、的解析式得，， ∴， 整理得，， ∵， ∴， 解得：， 当时，，当时，， ∴，， ∵，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴，即， 解得：． ②∵， ∴的解析式为，的解析式为，，， ∵将抛物线，位于直线上方的图象（包含，两点）记为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 当，时，此时，，最小值为， 当时为最大值时， ∵函数的最大值与最小值的差等于， ∴， 解得：，（舍去）， 当时为最大值时， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴， ∴时，不符合题意， 当时，， ∴， 当时，， 此时函数的最大值与最小值的差不能等于，此种情况不存在， 当时，，， 同理可得，此时函数的最大值与最小值的差大于； 综上所述，的值为． 7．在平面直角坐标系中，是个互不相同的点，若这个点横坐标的不同取值有个，纵坐标的不同取值有个，则称为这个点的“跨度”，记为．已知抛物线的解析式为． (1)已知，，． ①___________，___________； ②若，，且在抛物线上存在三个不同的点，使得，，，直接写出___________； (2)点到点的距离为3或，，且这10个点构成一个中心对称图形．若抛物线恰好经过中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出的所有可能取值___________． 【答案】(1)①；； (2) 【分析】（1）①根据新定义即可求解； ②根据新定义，结合题意得出或，得出的横坐标为或，纵坐标为或，的横坐标与纵坐标不为的任意数，进而分类讨论， （2）根据新定义得出这10个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为，即，则分为，或，，分别画出图形，根据抛物线的对称性，找出符合题意的点，待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解：①∵ ，，． ∴， 故答案为：；． ②∵，， ∴ ∵，， ∴ ∴或 ∵，则的横坐标为或，纵坐标为或， ，则的横坐标与纵坐标不为的任意数， 将代入， ∴ 解得：， ∴解析式为 对称轴为直线，则和关于对称， 而的横坐标为或，纵坐标为或， ∴和点重合，则 故舍去， 将代入，得 解得： ∴抛物线解析式为 当时，，则可以为，为任意数， 则成立 ∴符合题意； 综上所述， 故答案为： （2）解：∵ ∴这10个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为，即 ∵点到点的距离为3或，则10个点在以3或的圆上， 又∵这10个点构成一个中心对称图形． ∴，或，， 当，时，如图所示，，，，， ，，，， 依题意，和作顶点时，能经过3个点，而和关于轴对称， 根据对称性，如图所示，只有一种情况， 当经过，，时， 设抛物线解析式为，将代入得， 解得： 当经过时，同理可得 当，时，如图所示，，，，， ，，，， 当以为顶点时，设抛物线解析式为，将代入得， 解得： 当以为顶点时，设抛物线解析式为，将代入得， 解得： 当以为顶点时，设抛物线解析式为，将代入得， 解得： 同理当为顶点时，或或 综上所述， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何新定义，坐标与图形，二次函数的性质，中心对称，熟练掌握各知识点是解题的关键. 8．如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． (1)试判断与是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； (2)如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：，，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】(1)解：与互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 的顶点为， 将代入中，得， 即经过． 故与互为“伴随对称抛物线”． (2)①，证明如下： ∵：与： ∴，， ∵若：与：互为“伴随对称抛物线”， ，， 两式相加得． ， ． ②的对称中心为线段的中点； ③ 【分析】（1）分别求出与的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （2）①先求出，，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出，，两式相加即可解答； ②根据为中心对称图形，可得的对称中心为线段的中点，即可解答； ③根据题意得出，则：．设与相交于点，根据四边形为正方形，得出为的对称中心，．过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为．证明，得出，．设，得出，．结合，点在上，可得，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵为中心对称图形， ∴的对称中心为线段的中点． ③：，， ∴，， ：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， 为的对称中心，， ． 过点作直线轴，垂足为，过点作，垂足为． 则， ∴， ∴，． 设， 则，，即，． 又， ，． ∵点在上， ，化简整理得， ． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $