期中真题重组卷（北京专用，人教B版选必一：空间向量与立体几何+平面解析几何）高二数学上学期模拟卷

2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高二上·北京西城·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可得。 【详解】因为直线方程为，所以斜率， 直线倾斜角满足，即， 在范围内，. 故选：B 2．（22-23高二上·北京怀柔·期中）在长方体中， （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加法和减法运算可得答案. 【详解】在长方体中， 故选: D 3．（25-26高二上·北京·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据两直线垂直时满足的条件列式计算即可. 【详解】直线，即直线. ∵直线与直线垂直， ∴，解得， 故选：D. 4．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆方程求得半焦距c，进而可求得焦点坐标. 【详解】因为，所以椭圆是焦点在轴上的椭圆， 且，所以，解得， 所以椭圆的焦点坐标是. 故选：B 5．（25-26高二上·北京西城·期中）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线方程公式直接求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 则， 所以渐近线方程为， 故选： 6．（23-24高二上·北京顺义·期中）已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（    ） A． B． C．与斜交 D． 【答案】C 【分析】探讨两个给定向量的关系，再借助空间位置关系的向量表示判断即可. 【详解】由与，得，即向量与不垂直， 因此不平行于平面，即直线，直线与平面也不平行，直线与平面相交，AD错误； 显然向量与不共线，即直线与平面不垂直，与斜交，B错误，C正确. 故选：C 7．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线，分及讨论即可得. 【详解】联立，消去得， 当时，有，解得， 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点； 当时，令， 化简得，即； 综上所述：当或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点E、F坐标，分析可得，可得点P在以为直径的圆上移动，求出圆心和半径，根据直线与圆的位置关系，分析即可得答案. 【详解】直线恒过，直线化为，恒过. 当时，，，此时， 当时，，斜率为m， 直线，变形为，斜率为， 所以， 所以点P在以为直径的圆上，圆心，半径， 所以点P到x轴距离的最大值为. 故选：B 9．（23-24高二上·北京西城·期中）已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定正方体内切球半径，根据空间向量的运算化简为，结合题意得的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意设正方体中心为O，即为正方体内切球球心， 则O为的中点，因为正方体的棱长是2，故， 则内切球半径为1； 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故， 即当P位于正方体顶点时取得最大值，位于内切球与正方体的切点处时取最小值， 则， 即的取值范围为， 故选：C 10．（25-26高二上·北京·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，下列结论正确的有（    ） A．与所成角的余弦值为 B．与平面所成角的正弦值为 C．过点的正方体的截面面积为 D．四面体的内切球的表面积为 【答案】D 【分析】根据正方体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线方向向量和平面的法向量，进而根据向量方法求出异面直线夹角余弦值，线面夹角正弦值，再根据截面性质，和四面体内切球的性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，则，所以A错误； 可知，设平面的法向量为， 则，即，令，解得， 所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为， 则，所以B错误； 如图所示，作中点，连接， 可知，所以梯形为过点的正方体的截面， 可知，所以梯形的高为， 则梯形的面积为，所以C错误； 四面体的体积， 因为四面体所有棱长都为，所以四面体的表面积为， 设四面体内切球的半径为，则，解得， 则四面体的内切球的表面积为，所以D正确； 故选：D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分，其中13题第一空2分，第二空3分． 11．（26-27高二上·北京·阶段检测）已知向量，单位向量满足，则，的夹角为_____． 【答案】/ 【分析】根据模长公式可求解数量积，再根据夹角公式求解. 【详解】由，可得， 故， 所以，由于，故. 12．（26-27高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两条不重合的直线：和：，，若，则的值为__________． 【答案】 【详解】由题意得，解得. 13．（25-26高二上·北京·期中）如图所示的是一个正方体的平面展开图，，则在原来的正方体中，直线与直线的位置关系是______；直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 异面 / 【分析】将展开图还原成正方体，通过建系利用空间向量的知识求解. 【详解】将展开图还原成正方体，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由图可知直线，又， 所以直线与直线异面，所以直线与直线的位置关系是异面； 因为，，，，， 则，，； 设平面的一个法向量为，由， 令，则，， 所以，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：异面； 14．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的焦点为，过原点的直线与该椭圆交于两点，若，的面积为1，的周长为___________. 【答案】 【分析】根据椭圆方程，求得椭圆的焦距，结合的面积为1，，求得点A的坐标，将点A坐标代入椭圆方程，可求得，进而得到的周长为. 【详解】椭圆的焦点在轴上，令半焦距为，则， 所以该椭圆的焦距为； 设点，而，则的面积， 解得，又直线过原点，且，由椭圆对称性知， 因此，解得，又，则， 整理得，而，于是，解得， 所以的周长为. 故答案为：. 15．（26-27高二上·北京朝阳·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，动点，在棱上且，动点，分别在棱，上（均不与点重合）．给出以下四个结论： ①直线与直线所成角的范围是； ②三棱锥体积的最大值为； ③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的取值范围是； ④当且，分别为，中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为10． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【分析】本题以正方体为载体，通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的线线角、体积、点到直线距离、轨迹最值问题全部转化为向量与坐标运算，结合二次函数最值、点面对称法等代数方法逐一验证结论. 【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为，则各顶点坐标为： ， 设（，保证）， （，不与重合）；（，不与重合）， ① ， ， 设直线与直线所成的角为，则， 由于，因此，即，无法取到和，故①错误； ② 均在平面内，且，两平行线与的距离为定值（即矩形的宽）， 因此的面积为定值，， 三棱锥体积，其中为点到平面的距离， 当与重合时，到平面的距离最大，所以的最大值为， 此时体积最大值为，故②正确； ③ 由得，为中点，故， 直线为轴，点到的距离为， 设线段上点满足，则， 点到的距离是， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴， 当时，，当（即点）时，， 因此距离范围为，故③正确； ④由条件得，； 设，则， 由，得， 化简得的轨迹平面方程为， 取中点，则，因此， 已知点，由平面的方程为，可得平面的法向量为， 设点关于平面的对称点为，根据空间点面对称的核心性质： 线段的中点在平面： 上，直线与平面垂直，即与法向量平行， 由，设（为实数），因为，因此， 故线段的中点坐标为， 由线段的中点在平面： 上，得，即， 将、、代入上式，得，得， 故，，，得对称点为， 根据对称性质，因此，， 得，故原式最小值为，故④正确. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）（25-26高二上·北京海淀·期中）已知平行四边形的三个顶点分别为． (1)直接写出直线的一个方向向量和法向量； (2)求线段的垂直平分线方程． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) 【分析】（1）由题知，求得及直线的方程即可求解； （2）线段的垂直平分线，求出中点坐标及斜率，再根据点斜式得到方程即可. 【详解】（1）是平行四边形，则, ，， ，即， 所以直线的一个方向向量为，一个法向量为； （2）线段的中点坐标为，， 所以线段的垂直平分线斜率为， 则方程为，即， 所以线段的垂直平分线方程为. 17．（14分）（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)若圆直线交于，两点，____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 【答案】(1) (2)选择①，或；选择②或③，或3. 【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可； （2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可. 【详解】（1）设圆心坐标为，半径为. 由圆的圆心在直线上，知：. 又圆与轴相切于点， ，，则. 圆圆心坐标为，则圆的方程为 （2）如果选择条件①：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或. 如果选择条件②：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或3. 如果选择条件③：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或3. 18．（13分）（25-26高二上·北京东城·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．    (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】建立空间直角坐标系（1）求出向量与坐标，由向量夹角余弦公式可得答案； （2）求出平面的法向量，由向量法求解即可； （3）由空间向量法，求点到直线距离公式可得答案. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则. 故，，则直线与所成角的余弦值为： ； （2）由（1）， 设平面法向量为，则， 则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为： ； （3）由（1），，又， 则到直线的距离为：.    19．（15分）（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆，其离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和； (3)过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3) 由直线过点，且交椭圆于两点，得直线的斜率存在， 当直线的斜率为0时，其方程为，不妨令点，由（2）知； 当直线的斜率不为0时，设其方程为，， 由消去并整理得， ，解得或，， 因此 ， 所以为定值. 【分析】（1）根据椭圆离心率及所过点列出方程组求解即得. （2）由（1）求出点坐标，再利用斜率坐标公式计算得解. （3）根据给定条件，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由（1）得，直线的斜率， 所以直线的斜率之和为. （3）略 20．（15分）（24-25高二上·北京·期中）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以， 又，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形， 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有 又平面，所以平面， 由题意，易知，所以四边形是平行四边形， 故，所以平面. (2) (3)存在，. 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形是菱形，，得到，证明出平面，再证明出四边形是平行四边形，故，所以平面； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面与平面夹角余弦值； （3）假设线段上存在点，使得平面，作出辅助线，得到四点共面，四边形为平行四边形，所以，所以是的中点，求出. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，则有， 由（1）知，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为； （3）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 21．（15分）（22-23高二上·北京·期中）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. (1)已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； (2)设，，求证： (3)在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 【答案】(1)①；；②的最小值为4，. (2)证明：, 因为， 所以,, 所以. (3)最小值为，. 【分析】（1）由的定义即可求解. （2）根据向量的新定义，,,且有，从而. （3）平面方程，可设法向量，根据新定义求出最小值. 【详解】（1）由题可知： ,，， ，. 在同一个坐标系中作出的图像如下图所示： 因为， 则函数的图像是图中加粗部分折线， 直线与交于点， 直线与直线交于点， 由图可知，当时，有最小值4. （2）略 （3）因为是以为球心，1为半径的球面上的动点，不妨设， 则， 点是内部的动点，不妨设， 即， 化简得，设面ABC的法向量为， ， 易知当平面且在球心和平面之间的时候，最小， 设， ， 设，则， 是内部的动点，， 此时， 综上，时最小. 【点睛】关键点点睛：第三问，说明平面是取最小值的必要条件，进而确定且共线且平面时取最小值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D B A C A B C D 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分，其中13题第一空2分，第二空3分． 11 12 13 14 15 / 异面； / ②③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分） 【解析】（1）是平行四边形，则, ，，……………………（3分） ，即， 所以直线的一个方向向量为，一个法向量为；…………………………（6分） （2）线段的中点坐标为，， 所以线段的垂直平分线斜率为， 则方程为，即， 所以线段的垂直平分线方程为.………………………………（13分） 17．（14分） 【解析】（1）设圆心坐标为，半径为.…………………………（2分） 由圆的圆心在直线上，知：. 又圆与轴相切于点， ，，则.……………………………………（4分） 圆圆心坐标为，则圆的方程为…………………………（6分） （2）如果选择条件①：，而， 圆心到直线的距离，…………………………（9分） 则，……………………………………（12分） 解得或.……………………………………（14分） 如果选择条件②：，而， 圆心到直线的距离，…………………………（9分） 则，……………………………………（12分） 解得或3.……………………………………（14分） 如果选择条件③：，而， 圆心到直线的距离，…………………………（9分） 则，………………………………（12分） 解得或3.……………………………………（14分） 18．（13分） 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系，则. 故，，则直线与所成角的余弦值为： ；…………………………（4分） （2）由（1）， 设平面法向量为，则，…………………………（6分） 则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为： ；……………………………………（8分） （3）由（1），，又， 则到直线的距离为：.……………………（13分）    19．（15分） 【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以椭圆C的标准方程为.………………………………（4分） （2）由（1）得，直线的斜率， 所以直线的斜率之和为.…………………………（7分） (3) 由直线过点，且交椭圆于两点，得直线的斜率存在，……………………（8分） 当直线的斜率为0时，其方程为，不妨令点，由（2）知；……（9分） 当直线的斜率不为0时，设其方程为，， 由消去并整理得， ，解得或，，………………（11分） 因此 ， 所以为定值.………………………………………………（15分） 20．（15分） 【解析】(1)证明：如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为E是BC的中点，所以， 又，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形，…………………………（2分） 因为，所以四边形是菱形，从而， 沿着AE翻折成后，有 又平面，所以平面， 由题意，易知，所以四边形是平行四边形， 故，所以平面.…………………………………………（4分） （2）因为平面，平面，则有， 由（1）知，故两两垂直，………………………………（5分） 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故，…………………………（7分） 又平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为；……………………………………（8分） （3）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面，…………………………（12分） 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且.…………………………（15分） 21．（15分） 【解析】（1）由题可知： ,，， ，. 在同一个坐标系中作出的图像如下图所示： 因为，………………………………（2分） 则函数的图像是图中加粗部分折线， 直线与交于点， 直线与直线交于点， 由图可知，当时，有最小值4.……………………………………（4分） (2)证明：, 因为， 所以,, 所以.……………………………………（8分） （3）因为是以为球心，1为半径的球面上的动点，不妨设， 则， 点是内部的动点，不妨设， 即， 化简得，设面ABC的法向量为， ，……………………………………（12分） 易知当平面且在球心和平面之间的时候，最小， 设， ， 设，则， 是内部的动点，， 此时， 综上，时最小.……………………………………………………（15分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版选修第一册第1~2章（空间向量与立体几何+平面解析几何） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高二上·北京西城·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·北京怀柔·期中）在长方体中， （   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·期中）已知直线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·北京西城·期中）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京顺义·期中）已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（    ） A． B． C．与斜交 D． 7．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线恒过定点E，直线恒过定点F，且直线与交于点P，则点P到x轴的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·北京西城·期中）已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·北京·期中）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，下列结论正确的有（    ） A．与所成角的余弦值为 B．与平面所成角的正弦值为 C．过点的正方体的截面面积为 D．四面体的内切球的表面积为 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分，其中13题第一空2分，第二空3分． 11．（26-27高二上·北京·阶段检测）已知向量，单位向量满足，则，的夹角为_____． 12．（26-27高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两条不重合的直线：和：，，若，则的值为__________． 13．（25-26高二上·北京·期中）如图所示的是一个正方体的平面展开图，，则在原来的正方体中，直线与直线的位置关系是______；直线与平面所成角的正弦值为______． 14．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的焦点为，过原点的直线与该椭圆交于两点，若，的面积为1，的周长为___________. 15．（26-27高二上·北京朝阳·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，动点，在棱上且，动点，分别在棱，上（均不与点重合）．给出以下四个结论： ①直线与直线所成角的范围是； ②三棱锥体积的最大值为； ③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的取值范围是； ④当且，分别为，中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为10． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）（25-26高二上·北京海淀·期中）已知平行四边形的三个顶点分别为． (1)直接写出直线的一个方向向量和法向量； (2)求线段的垂直平分线方程． 17．（14分）（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)若圆直线交于，两点，____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 18．（13分）（25-26高二上·北京东城·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．    (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 19．（15分）（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆，其离心率为，且过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A和B，求直线HA，HB的斜率之和； (3)过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值． 20．（15分）（24-25高二上·北京·期中）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 21．（15分）（22-23高二上·北京·期中）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. (1)已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； (2)设，，求证： (3)在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $