精品解析：北京市密云区第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025北京密云二中高二（上）期中 数 学 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 150° 2. 若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 3. 圆被轴截得的弦长为（　） A. B. C. D. 4. 在平行六面体中，，记向量，，，则向量（ ） A. B. C. D. 5. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 6. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 5 C. D. 1 7. 如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A. B. C. D. 10. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知直线l经过点，且斜率为2，则直线l的方程为___________. 12. 已知三个不同的平面，，和一条直线，给出五个论断：①；②；③；④；⑤．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________．（可以用序号表示） 13. 直线被椭圆截得的弦长为_______. 14. 若直线与圆有公共点，则的一个取值是_______. 15. 年月日，小米正式启用具备“超椭圆”数学之美的新（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：(,).当，，时，下列关于曲线的判断正确的有______. ①曲线关于轴和轴对称 ②曲线所围成的封闭图形的面积小于 ③曲线上的点到原点的距离的最大值为 ④设，直线交曲线于,两点，则的周长小于 三、解答题：本大题共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知向量，求： （1）； （2）； （3）求与的夹角． 17. 如图，在长方体中，，，，分别是，的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过原点，直线的方程为，直线. （1）求圆的标准方程； （2）若与圆相切，求的值； （3）若直线与圆相交于,两点，直接写出的取值范围 19. 如图，四棱锥中，平面，， ，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知：椭圆过点，且离心率是，过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，M是AB中点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点，．若与的面积相等，求直线的斜率. 21. 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合： ，． 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． 若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （1）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和． （2）对任何具有性质的集合，证明． （3）判断和的大小关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京密云二中高二（上）期中 数 学 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】判断出直线的斜率，进而求得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 2. 若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解． 【详解】椭圆的长轴长，由点P到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，得P到另一个焦点的距离为． 故选：C． 3. 圆被轴截得的弦长为（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令得，解得或. 所以被轴截得的弦长为. 4. 在平行六面体中，，记向量，，，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到是的中点，利用空间向量基本定理求出答案. 【详解】因为平行六面体钟，， 所以是的中点， 故. 故选：C 5. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，求得长短半轴长及半焦距、离心率，即可判断. 【详解】对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等. 故选：D 6. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 故选：B. 7. 如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量方法求角，先求向量与的夹角，再转化为线线角即可. 【详解】如图，由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 不妨设，则， 则， 则， 又由两直线所成角的范围为， 则直线与所成的角为. 故选：C. 8. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 9. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率. 详解：在中， 设，则， 又由椭圆定义可知 则离心率， 故选D. 点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 10. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”.已知直线，与圆的位置关系是“平行相交”，则实数的取值范围是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义先求出，与圆相切时的取值，再求出，与圆相离时的取值范围，结合定义即可得到答案. 【详解】由题意可得，圆的标准方程为，可知圆心为，半径， 由两直线平行可得，，解得或， 当时，直线：，直线：，直线和重合，舍去； 当时，直线：，直线：，符合题意； 由与圆相切，得， 由与圆相切，得， 当，与圆都相离时，， 所以当，与圆平行相交时，满足：， 所以实数的取值范围为. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知直线l经过点，且斜率为2，则直线l的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程的点斜式列出方程，整理即可． 【详解】因为直线经过点且斜率为2， 所以直线l的方程为：，整理得：. 所以直线l的方程为：. 故答案为：. 12. 已知三个不同的平面，，和一条直线，给出五个论断：①；②；③；④；⑤．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________．（可以用序号表示） 【答案】①②③（③⑤④；④⑤③） 【解析】 【分析】从5个论断看，三个论断需涉及平面，，和直线四个元素中的三个，才可形成一个可能正确的命题，因此有两组①②③和③④⑤，根据线面间的位置关系可得正确命题． 【详解】从已知5人论断看，任取3个组成一个命题，只有涉及平面，，和直线四个元素中的三个时才可能构成一个正确的命题，因此可组成两组①②③和③④⑤， 由①②③组成命题：①②③， ，只要过作一个平面与相交，交线为，则，由得，从而可得，是真命题， 但把③作为条件，①②中一个作为结论时，与或与的位置关系不确定，不能得出正确命题． 由③④⑤构成命题， ③⑤④；④⑤③，是真命题，③④⑤是假命题． 在已知，时，可能平行也可能相交，③④⑤是假命题． 而③⑤④；④⑤③，就是真命题：一个平面垂直两个平行平面中的一个，必垂直于另一个． 例如，，根据面面垂直的性质定理内必有直线与垂直（与交线垂直的直线），而，则这条直线也与垂直，从而有． 因此③⑤④；④⑤③是真命题． 故答案为：①②③（或③⑤④；④⑤③） 13. 直线被椭圆截得的弦长为_______. 【答案】 【解析】 【分析】联立，求出交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】由，得， 解得或，则或， 所以直线被椭圆截得的弦长为. 故答案为：. 14. 若直线与圆有公共点，则的一个取值是_______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由直线与圆有公共点，得直线和圆的位置关系为相切或相交，利用圆心到直线的距离公式及，建立的不等式求解即可. 【详解】直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 显然点在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离， 化简得，解得. 又，则或1或2. 即的一个取值是. 故答案为：（填或填也正确） 15. 年月日，小米正式启用具备“超椭圆”数学之美的新（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：(,).当，，时，下列关于曲线的判断正确的有______. ①曲线关于轴和轴对称 ②曲线所围成的封闭图形的面积小于 ③曲线上的点到原点的距离的最大值为 ④设，直线交曲线于,两点，则的周长小于 【答案】①② 【解析】 【分析】将参数代入得到曲线的方程，利用点对称规则验证可判断①正确；类比椭圆性质可知曲线在矩形内部，面积小于8，即②正确；将曲线上的点参数化并利用辅助角公式以及三角函数值域可判断③错误；结合椭圆与曲线的位置关系，利用椭圆定义以及性质可判断④错误. 【详解】易知当，，时，曲线：； 对于①，取曲线上任意一点， 则和也满足曲线的方程，即和也在曲线上； 因此曲线关于轴和轴对称，即①正确； 对于②，易知，即可得； 同理可得； 类比椭圆性质可知曲线在一个由四条直线和组成的封闭的矩形内部， 该矩形长为4，宽为2，矩形面积为，所以曲线所围成的封闭图形的面积小于，即②正确； 对于③，对于曲线上任意一点满足，可设, 点到原点的距离的平方为， 显然当时，，距离平方的最大值为， 所以曲线上的点到原点的距离的最大值为，即③错误； 对于④，对于曲线：和椭圆； 设点在上，点在上， 则， 即可得，所以； 设点在上，点在上， 所以, 即可得，所以; 故椭圆在曲线：的内部（除四个交点外）； 设直线交椭圆于两点，交轴于点， 因此即为椭圆的两个焦点， 由椭圆定义可知， 所以的周长为，结合图形可知的周长大于的周长， 因此的周长大于，即④错误. 三、解答题：本大题共5小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知向量，求： （1）； （2）； （3）求与的夹角． 【答案】（1） （2）, （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的数乘、加法坐标运算求解； （2）利用空间向量的模长的坐标表示，即得解； （3）利用，结合（2）中的结果，即得解. 【小问1详解】 因为向量，， 所以. 【小问2详解】 由题意，向量，， 【小问3详解】 因为， 所以， 由，可得. 17. 如图，在长方体中，，，，分别是，的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图以分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，，分别是，的中点， 所以， 所以， 所以， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，应用空间向量数量积为0证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再应用线面角的正弦公式计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 设平面的法向量为， ， 所以， 所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以； 18. 平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过原点，直线的方程为，直线. （1）求圆的标准方程； （2）若与圆相切，求的值； （3）若直线与圆相交于,两点，直接写出的取值范围 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）已知圆心，根据圆经过点求半径，即可得圆的标准方程. （2）利用几何法，根据圆心到直线的距离等于圆的半径可求的值. （3）根据直线与圆相交，所得弦长的最大值为直径，可直接得出答案. 【小问1详解】 因为圆心为，可设圆的标准方程为. 因为圆经过原点，所以. 所以圆的标准方程为：. 【小问2详解】 因为与圆相切， 所以， 所以或. 【小问3详解】 直线表示过定点，且斜率为的直线， 因为，所以点在圆的外边. 若直线与圆相交于,两点，则； 又直线过圆心，即时，为圆的直径，取得最大值，为. 综上，. 19. 如图，四棱锥中，平面，， ，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：如图所示，过点作直线平行于直线，且交于点，连接. 是的中点，且, 又且,与平行且相等. 四边形为平行四边形，. 又平面，平面. 平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）过点作直线平行于直线，且交于点，连接，结合题目已知条件即可证明. （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，用两平面的法向量去求其所成角的余弦值. （3）设，求出点坐标，利用点到平面的距离公式列出方程即可求出答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系； 由题知点、点、点的坐标分别为、、， ，. 设平面与平面的法向量分别为，. 由于平面在坐标平面上，令. ，令，，. 设平面与平面夹角为，. 平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知点、点的坐标分别为、，. 设点的坐标为，，， ，点的坐标为，. 设平面的法向量为，， 令. 由点到平面的距离公式可得， 或（舍去）. ，满足条件. 存在点，且. 20. 已知：椭圆过点，且离心率是，过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，M是AB中点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点，．若与的面积相等，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立关于的方程组，解方程组即可得解. （2）根据线段的垂直平分线求出点的坐标，即可求出的面积，再表示出的面积，由 与 的面积相等列式，即可解出直线的斜率． 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以，又，且， 解得，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由题意，得，直线， 设，，，， 联立，消去，得， 显然△，， 则点的横坐标， 点的纵坐标． 即， 所以线段的垂直平分线方程为：， 令，得；令，得， 所以的面积， 的面积． 因为与的面积相等， 所以，解得， 所以当与的面积相等时，直线的斜率． 21. 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合： ，． 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． 若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （1）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和． （2）对任何具有性质的集合，证明． （3）判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，，集合， （2）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个． 因为，所以； 又因为当时，时，，所以当时，． 从而，集合中元素的个数最多为， 即． （3），证明如下： （1）对于，根据定义，，，且，从而． 如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立． 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， （2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立， 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 由（1）（2）可知，． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $