奥数第24讲 比例的应用（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

奥数培优讲义 第24讲 比例的应用 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 比例的意义与基本性质 表示两个比相等的式子叫做比例。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 若 ，则 。利用这个性质可以解比例。 2. 正比例与反比例 正比例：两种相关联的量，比值（商）一定。 变化规律：同增同减。常见：速度一定，路程和时间；单价一定，总价和数量。 反比例：两种相关联的量，乘积一定。 变化规律：一增一减。常见：路程一定，速度和时间；总工作量一定，工作效率和工作时间。 解题关键：先判断题中不变量，确定是正比例还是反比例，再列比例式。 3. 按比例分配 把一个总量按照一定的比分成若干份。 步骤： (1) 求出总份数； (2) 求出每一份是多少； (3) 分别乘各部分对应的份数，求出各部分量。 4. 比例应用题常见类型 (1) 归一归总类（正反比例） (2) 按比例分配（和比、差比） (3) 不变量比例问题（单量不变、和不变、差不变） (4) 比例尺问题： (5) 行程、工程中的比例关系 1　 行程：时间相同，路程比 = 速度比；路程相同，速度比与时间比成反比 2　 工程：时间相同，工作量比 = 效率比；总量相同，效率比与时间比成反比 5. 解题通用步骤 (1) 审题，找不变量； (2) 判断正、反比例； (3) 设未知数，列出比例； (4) 根据比例基本性质解方程； (5) 检验，写答句。 例题讲解 【典型例题1】正比例应用 一辆汽车3小时行驶180千米，照这样速度，行驶420千米需要多少小时？ 【详解】 速度不变，路程和时间成正比例。 解：设行驶420千米需要 小时。 答：行驶420千米需要7小时。 【答案】7小时 【跟踪训练1】 一台织布机4小时织布280米，照这样计算，织630米布需要几小时？ 【详解】 每小时织布长度一定，织布总米数和时间成正比例。 解：设织630米布需要 小时。 答：织630米布需要9小时。 【答案】9小时 【典型例题2】反比例应用 一批货物，用载重6吨的卡车运，需要20辆才能一次运完；如果改用载重8吨的卡车，需要多少辆？ 【详解】 货物总重量不变，卡车载重和辆数成反比例。 解：设需要 辆。 答：需要15辆。 【答案】15辆 【跟踪训练2】 一间教室，用边长4分米的方砖铺地，需要450块；如果改用边长3分米的方砖铺地，需要多少块？ 【详解】 教室总面积不变，每块方砖面积和块数成反比例。每块方砖面积 = 边长 × 边长。 解：设需要 块。 答：需要800块。 【答案】800块 【典型例题3】按比例分配（和比） 甲、乙两个数的和是120，甲数与乙数的比是3:5，甲、乙两数分别是多少？ 【详解】 总份数： 每份： 甲数： 乙数： 答：甲数是45，乙数是75。 【答案】甲数45，乙数75 【跟踪训练3】 果园里桃树和梨树一共240棵，桃树与梨树棵数比是2:3，桃树、梨树各多少棵？ 【详解】 总份数： 每份： 桃树： 梨树： 答：桃树96棵，梨树144棵。 【答案】桃树96棵，梨树144棵 【典型例题4】差比问题 甲、乙两数的比是4:7，乙数比甲数多18，甲、乙两数各是多少？ 【详解】 份数差： 每份： 甲数： 乙数： 答：甲数24，乙数42。 【答案】甲数24，乙数42 【跟踪训练4】 红球和白球数量比5:9，白球比红球多24个，红球、白球各多少个？ 【详解】 份数差： 每份： 红球： 白球： 答：红球30个，白球54个。 【答案】红球30个，白球54个 【典型例题5】不变量（单一量不变） 甲仓库粮食与乙仓库粮食质量比是5:3，甲仓运出20吨给乙仓后，两仓粮食相等。原来甲、乙各有多少吨？ 【详解】 甲原来比乙多： 吨 份数差： 每份： 甲：（吨） 乙：（吨） 答：原来甲仓100吨，乙仓60吨。 【答案】甲仓100吨，乙仓60吨 【跟踪训练5】 哥哥和弟弟零花钱比7:4，哥哥给弟弟15元后两人钱一样多。哥哥、弟弟原来各有多少钱？ 【详解】 哥哥比弟弟多： 元 份数差： 每份： 哥哥：（元） 弟弟：（元） 答：哥哥原来70元，弟弟原来40元。 【答案】哥哥70元，弟弟40元 【典型例题6】行程比例（路程相同，速度和时间反比） 从A地到B地，甲车和乙车速度比是5:4，甲车走完全程要8小时，乙车走完全程需要几小时？ 【详解】 路程一定，速度比和时间比成反比。 甲速度 : 乙速度 = 5 : 4 甲时间 : 乙时间 = 4 : 5 解：设乙需要 小时。 答：乙车走完全程需要10小时。 【答案】10小时 【跟踪训练6】 走同一段路，快车和慢车速度比6:5，快车行完要10小时，慢车行完要多少小时？ 【详解】 路程一定，速度比与时间比反比。 快车速度 : 慢车速度 = 6 : 5 快车时间 : 慢车时间 = 5 : 6 解：设慢车需要 小时。 答：慢车行完要12小时。 【答案】12小时 提升练习 【第1题】 买4千克苹果要花20元，照这样计算，买7千克同样的苹果要花多少元？ 【详解】 苹果单价一定，总价和数量成正比例。 先求单价：（元） 再求总价：（元） 答：买7千克苹果要花35元。 【答案】35元 【第2题】 一辆汽车行驶150千米耗油12升，照这样计算，行驶375千米耗油多少升？ 【详解】 每千米耗油量一定，行驶路程和耗油量成正比例。 解：设行驶375千米耗油 升。 答：行驶375千米耗油30升。 【答案】30升 【第3题】 一个工程队修一条路，每天修40米，需要25天完成；如果每天修50米，需要几天完成？ 【详解】 路的总长度不变，每天修的长度和天数成反比例。 解：设每天修50米需要 天。 答：需要20天完成。 【答案】20天 【第4题】 一批零件，每天加工200个，需要15天完成；如果每天加工250个，需要几天完成？ 【详解】 零件总数不变，每天加工个数和天数成反比例。 解：设每天加工250个需要 天。 答：需要12天完成。 【答案】12天 【第5题】 三个数的比是2:3:5，它们的和是200，求这三个数分别是多少？ 【详解】 总份数： 每份： 第一个数： 第二个数： 第三个数： 答：三个数分别是40、60、100。 【答案】40、60、100 【第6题】 学校把540本图书按5:4分给五、六年级，六年级分到多少本图书？ 【详解】 总份数： 每份：（本） 六年级：（本） 答：六年级分到240本图书。 【答案】240本 【第7题】 甲、乙两个数的比是3:8，甲数比乙数少35，甲、乙两数各是多少？ 【详解】 份数差： 每份： 甲数： 乙数： 答：甲数是21，乙数是56。 【答案】甲数21，乙数56 【第8题】 甲、乙两堆煤的质量比是4:3，从甲堆运出9吨给乙堆后，两堆煤质量相等。原来甲、乙两堆煤各有多少吨？ 【详解】 甲原来比乙多：（吨） 份数差： 每份：（吨） 甲堆：（吨） 乙堆：（吨） 答：原来甲堆72吨，乙堆54吨。 【答案】甲堆72吨，乙堆54吨 【第9题】 一块长方形菜地，周长是160米，长与宽的比是5:3，这块菜地的面积是多少平方米？ 【详解】 长+宽：（米） 总份数： 每份：（米） 长：（米） 宽：（米） 面积：（平方米） 答：这块菜地的面积是1500平方米。 【答案】1500平方米 【第10题】 从学校回家，小明和小红的速度比是4:5，小明行完全程需要25分钟，小红行完全程需要多少分钟？ 【详解】 路程一定，速度比和时间比成反比。 小明速度 : 小红速度 = 4 : 5 小明时间 : 小红时间 = 5 : 4 每份：（分钟） 小红：（分钟） 答：小红行完全程需要20分钟。 【答案】20分钟 【第11题】 一台复印机5分钟复印120张纸，照这样的速度，复印360张纸需要多少分钟？ 【详解】 复印机效率一定，复印张数和时间成正比例。 每分钟复印：（张） 复印360张：（分钟） 答：复印360张纸需要15分钟。 【答案】15分钟 【第12题】 在一幅比例尺为1:4000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是5厘米。甲、乙两地的实际距离是多少千米？ 【详解】 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 （厘米） 厘米 千米 答：甲、乙两地的实际距离是200千米。 【答案】200千米 【第13题】 甲、乙两个数的比是5:2，它们的差是36，这两个数的和是多少？ 【详解】 份数差： 每份： 总份数： 两数和： 答：这两个数的和是84。 【答案】84 【第14题】 某班男生与女生的人数比是7:5，后来转来3名男生，男生与女生的人数比变为8:5。这个班原来有女生多少人？ 【详解】 女生人数不变。 原来男生:女生 = 7:5，后来男生:女生 = 8:5。 女生都是5份，男生由7份变为8份，增加了1份。 1份 = 3（人） 女生：（人） 答：这个班原来有女生15人。 【答案】15人 【第15题】 生产一批零件，原计划每天生产60个，12天完成。实际每天生产80个，可以提前几天完成？ 【详解】 零件总数：（个） 实际天数：（天） 提前天数：（天） 答：可以提前3天完成。 【答案】3天 【第16题】 甲、乙两个工程队人数的比是3:4，如果从甲队调出6人到乙队，那么两队人数相等。原来两队共有多少人？ 【详解】 甲队原来比乙队少：（人） 份数差： 每份：（人） 总份数： 总人数：（人） 答：原来两队共有84人。 【答案】84人 【第17题】 一辆汽车3小时行驶了全程的 ，照这样的速度，行完全程还需要几小时？ 【详解】 速度一定，路程和时间成正比例。 解：设行完全程需要 小时。 还需：（小时） 答：行完全程还需要4.5小时。 【答案】4.5小时 【第18题】 一间教室铺地砖，用每块0.5平方米的地砖，需要240块；如果改用每块0.8平方米的地砖，需要多少块？ 【详解】 教室地面总面积不变，每块地砖面积和块数成反比例。 解：设需要 块。 答：需要150块。 【答案】150块 【第19题】 甲、乙两地相距450千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，两车速度比是5:4，相遇时客车行了多少千米？ 【详解】 相遇时两车行驶时间相同，路程比 = 速度比 = 5 : 4。 总份数： 每份：（千米） 客车：（千米） 答：相遇时客车行了250千米。 【答案】250千米 【第20题】 甲、乙、丙三个数的比是2:3:4，丙数比甲数多14，这三个数的和是多少？ 【详解】 丙数比甲数多的份数： 每份： 总份数： 三个数的和： 答：这三个数的和是63。 【答案】63 模拟赛场 【奥数题1】甲、乙两个书架原有图书数量的比是3:5，从乙书架取出22本放入甲书架后，两个书架图书数量的比变为4:3。原来甲、乙两个书架各有多少本图书？ 【详解】 两个书架图书总数不变。 原来甲占总数的 ；后来甲占总数的 。 甲增加的份数： 总数：（本） 甲：（本） 乙：（本） 答：原来甲书架有42本，乙书架有70本。 【答案】甲书架42本，乙书架70本 【奥数题2】甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，速度比是3:2。相遇后，甲车速度提高到原来的2倍，乙车速度不变，当甲车到达B地时，乙车距A地还有28千米。A、B两地相距多少千米？ 【详解】 相遇时两车时间相同，路程比 = 速度比 = 3 : 2。 设A地到相遇点路程为 ，相遇点到B地路程为 ，全程为 。 甲车速度提高到原来的2倍后，从相遇点走到B地需时间 。 这段时间内乙车从相遇点向A地走：。 乙车距A地还剩：。 解得 ，全程 （千米）。 答：A、B两地相距60千米。 【答案】60千米 【奥数题3】某车间原来有若干男工和女工。如果男工增加10人，男工与女工人数比为2:1；如果女工增加10人，男工与女工人数比为3:2。原来男工、女工各有多少人？ 【详解】 设原来男工 人，女工 人。 男工增加10人后：，得 。 女工增加10人后：，得 。 代入： ， 答：原来男工有90人，女工有50人。 【答案】男工90人，女工50人 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $奥数培优讲义 第24讲 比例的应用 【考点梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 考点梳理 1. 比例的意义与基本性质 表示两个比相等的式子叫做比例。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 若 ，则 。利用这个性质可以解比例。 2. 正比例与反比例 正比例：两种相关联的量，比值（商）一定。 变化规律：同增同减。常见：速度一定，路程和时间；单价一定，总价和数量。 反比例：两种相关联的量，乘积一定。 变化规律：一增一减。常见：路程一定，速度和时间；总工作量一定，工作效率和工作时间。 解题关键：先判断题中不变量，确定是正比例还是反比例，再列比例式。 3. 按比例分配 把一个总量按照一定的比分成若干份。 步骤： (1) 求出总份数； (2) 求出每一份是多少； (3) 分别乘各部分对应的份数，求出各部分量。 4. 比例应用题常见类型 (1) 归一归总类（正反比例） (2) 按比例分配（和比、差比） (3) 不变量比例问题（单量不变、和不变、差不变） (4) 比例尺问题： (5) 行程、工程中的比例关系 1　 行程：时间相同，路程比 = 速度比；路程相同，速度比与时间比成反比 2　 工程：时间相同，工作量比 = 效率比；总量相同，效率比与时间比成反比 5. 解题通用步骤 (1) 审题，找不变量； (2) 判断正、反比例； (3) 设未知数，列出比例； (4) 根据比例基本性质解方程； (5) 检验，写答句。 例题讲解 【典型例题1】正比例应用 一辆汽车3小时行驶180千米，照这样速度，行驶420千米需要多少小时？ 【跟踪训练1】 一台织布机4小时织布280米，照这样计算，织630米布需要几小时？ 【典型例题2】反比例应用 一批货物，用载重6吨的卡车运，需要20辆才能一次运完；如果改用载重8吨的卡车，需要多少辆？ 【跟踪训练2】 一间教室，用边长4分米的方砖铺地，需要450块；如果改用边长3分米的方砖铺地，需要多少块？ 【典型例题3】按比例分配（和比） 甲、乙两个数的和是120，甲数与乙数的比是3:5，甲、乙两数分别是多少？ 【跟踪训练3】 果园里桃树和梨树一共240棵，桃树与梨树棵数比是2:3，桃树、梨树各多少棵？ 【典型例题4】差比问题 甲、乙两数的比是4:7，乙数比甲数多18，甲、乙两数各是多少？ 【跟踪训练4】 红球和白球数量比5:9，白球比红球多24个，红球、白球各多少个？ 【典型例题5】不变量（单一量不变） 甲仓库粮食与乙仓库粮食质量比是5:3，甲仓运出20吨给乙仓后，两仓粮食相等。原来甲、乙各有多少吨？ 【跟踪训练5】 哥哥和弟弟零花钱比7:4，哥哥给弟弟15元后两人钱一样多。哥哥、弟弟原来各有多少钱？ 【典型例题6】行程比例（路程相同，速度和时间反比） 从A地到B地，甲车和乙车速度比是5:4，甲车走完全程要8小时，乙车走完全程需要几小时？ 【跟踪训练6】 走同一段路，快车和慢车速度比6:5，快车行完要10小时，慢车行完要多少小时？ 提升练习 【第1题】 买4千克苹果要花20元，照这样计算，买7千克同样的苹果要花多少元？ 【第2题】 一辆汽车行驶150千米耗油12升，照这样计算，行驶375千米耗油多少升？ 【第3题】 一个工程队修一条路，每天修40米，需要25天完成；如果每天修50米，需要几天完成？ 【第4题】 一批零件，每天加工200个，需要15天完成；如果每天加工250个，需要几天完成？ 【第5题】 三个数的比是2:3:5，它们的和是200，求这三个数分别是多少？ 【第6题】 学校把540本图书按5:4分给五、六年级，六年级分到多少本图书？ 【第7题】 甲、乙两个数的比是3:8，甲数比乙数少35，甲、乙两数各是多少？ 【第8题】 甲、乙两堆煤的质量比是4:3，从甲堆运出9吨给乙堆后，两堆煤质量相等。原来甲、乙两堆煤各有多少吨？ 【第9题】 一块长方形菜地，周长是160米，长与宽的比是5:3，这块菜地的面积是多少平方米？ 【第10题】 从学校回家，小明和小红的速度比是4:5，小明行完全程需要25分钟，小红行完全程需要多少分钟？ 【第11题】 一台复印机5分钟复印120张纸，照这样的速度，复印360张纸需要多少分钟？ 【第12题】 在一幅比例尺为1:4000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是5厘米。甲、乙两地的实际距离是多少千米？ 【第13题】 甲、乙两个数的比是5:2，它们的差是36，这两个数的和是多少？ 【第14题】 某班男生与女生的人数比是7:5，后来转来3名男生，男生与女生的人数比变为8:5。这个班原来有女生多少人？ 【第15题】 生产一批零件，原计划每天生产60个，12天完成。实际每天生产80个，可以提前几天完成？ 【第16题】 甲、乙两个工程队人数的比是3:4，如果从甲队调出6人到乙队，那么两队人数相等。原来两队共有多少人？ 【第17题】 一辆汽车3小时行驶了全程的 ，照这样的速度，行完全程还需要几小时？ 【第18题】 一间教室铺地砖，用每块0.5平方米的地砖，需要240块；如果改用每块0.8平方米的地砖，需要多少块？ 【第19题】 甲、乙两地相距450千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，两车速度比是5:4，相遇时客车行了多少千米？ 【第20题】 甲、乙、丙三个数的比是2:3:4，丙数比甲数多14，这三个数的和是多少？ 模拟赛场 【奥数题1】甲、乙两个书架原有图书数量的比是3:5，从乙书架取出22本放入甲书架后，两个书架图书数量的比变为4:3。原来甲、乙两个书架各有多少本图书？ 【奥数题2】甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，速度比是3:2。相遇后，甲车速度提高到原来的2倍，乙车速度不变，当甲车到达B地时，乙车距A地还有28千米。A、B两地相距多少千米？ 【奥数题3】某车间原来有若干男工和女工。如果男工增加10人，男工与女工人数比为2:1；如果女工增加10人，男工与女工人数比为3:2。原来男工、女工各有多少人？ 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $