期中真题重组卷（北京专用，人教B版必修第一册：集合+常用逻辑用语+不等式+函数概念与性质）高一数学上学期

2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（26-27高一上·北京石景山·阶段检测）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】阴影部分表示的集合为，也就是. 2．（26-27高一上·北京·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由命题的否定的定义即可得到结果. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的条件不变． ∴命题“，”的否定是“，”. 3．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用比较法，结合不等式的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，，所以， 因此由，所以本选项结论不正确； B：因为，所以由，所以本选项结论不正确； C：因为，所以由，所以本选项结论正确； D：， 因为，，且， 所以， 所以，所以本选项结论不正确. 4．（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数定义域、单调性及奇偶性逐项判断即可得. 【详解】对A：定义域为，故不为奇函数，故A错误； 对B：定义域为，有，故为偶函数，故B错误； 对C：定义域为，， 故为奇函数，又当时，单调递减，故C正确； 对D：由，，则， 故在上不为减函数，故D错误. 故选：C. 5．（26-27高一上·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点存在性定理判断即可. 【详解】已知， ，，， ，， ， 根据零点存在性定理可知，区间一定包含的零点. 6．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：集合是集合的真子集， 则，且等号不同时成立，解得， 当时，集合是集合的真子集； 当时，集合是集合的真子集. f故实数的取值范围是. 7．（26-27高一上·北京·期中）已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得关于的方程有解，然后对分类讨论去掉绝对值，得到的关系，即可得到的范围. 【详解】由题意可知关于的方程有解， 当时，，即， 当时，，， 当时，，即， 综上. 8．（26-27高一上·北京丰台·阶段检测）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【分析】应用基本不等式结合常值代换计算求解最值即可. 【详解】由可得， 因此， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值是. 9．（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）已知，若对于，，均有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数形结合，分析区间与抛物线对称轴的位置关系，列式可求的取值范围. 【详解】因为，所以. 则问题转化为函数在区间上的最小值不小于函数在区间上的最大值. 如图： 函数在区间一定单调递减，在区间上的最大值一定是， 所以. 故选：B 10．（23-24高一上·北京海淀·阶段检测）已知集合满足： （a）；     （b），若且，则； （c），若且，则． 给出下列四个结论： ①若集合中有最大数，则集合中没有最小数； ②若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数； ③，使得； ④，存在无理数，使得． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】依题意可判断集合中的元素都小于集合中的元素，据此可判断各结论正误，从而得出选项. 【详解】由所给条件，可知集合中的元素都小于集合中的元素， 若集合的元素有最大数，则必然存在一个有理数，使得，； ，，则没有最小数，故①正确； 若集合的元素没有最大数，则必然存在一个数，使得，； 如果是有理数，则，且，，则有最小数为； 如果是无理数，则，且，，则没有最小数，故②正确； 假设存在且，由，若且，则， 取，，则，但，与矛盾. 故对任意，都有， 故③错误； 由③知，，可得，而两个不等的有理数之间必存在无理数， 所以存在无理数，使得，故④正确. 故选：C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分，其中12、14题第一空2分，第二空3分． 11．（26-27高一上·北京朝阳·阶段检测）函数定义域是______. 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 12．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，则函数的解析式为______，______． 【答案】 8 【分析】利用换元法即可求解. 【详解】令则,故， 故， 进而， 故答案为：；8. 13．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为_____． 【答案】24 【分析】先化简根式，然后根据基本不等式的性质求解即可. 【详解】由题意，， 所以. 所以. 当且仅当即时等号成立，此时的最小值为24. 故答案为：24. 14．（25-26高一上·北京西城·期中）已知的图象经过点，则_____；若方程有两个不等实数根，满足，则实数的取值范围为_____． 【答案】 1 【分析】第一空，代入点的坐标即可求得；第二空，根据方程根满足条件列不等式组，即可解得结果. 【详解】由题知，当时，，解得， 所以，又方程有两个不等实数根， 则，又因为，所以，得到， 由，得到或，所以． 故答案为：1；． 15．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数给出下列四个结论： ①当时，； ②若存在最小值，则的取值范围为； ③若存在零点，则的取值范围为； ④若是减函数，则的取值范围为. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②④ 【分析】根据所给分段函数直接计算求解可判断①，根据分段函数的最小值的求法判断②，分段求函数的零点可判断③，根据分段函数的单调性结合二次函数、一次函数的单调性可求解判断④． 【详解】①当时，，，故①错误； ②当时， 若，则，在上有最小值0， 若，则，函数在上单调递减，且，无最小值， 故无最小值， 当时， 若，则，函数在上单调递减，无最小值， 若，则，函数在上单调递减，且，无最小值， 故无最小值， 当时， 若，则，函数在上单调递减，无最小值，且， 若，则，函数在上单调递增， 函数在上的最小值为，又， 故有最小值，所以，故②正确； ③令，若有解，则， 令，若有解，则，解得或， 综上若存在零点，则的取值范围为，故③错误； ④若是减函数，则需满足且且， 解得或，故④正确． 故答案为：②④． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）（24-25高一上·北京西城·阶段检测）已知集合. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将，代入集合，由补集、并集的定义求解即可； （2）若，分和两种情况求解的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又， ，. （2）若， 当时，则，解得， 当，则，解得， 综上：实数的取值范围为. 17．（14分）（25-26高一上·北京房山·期中）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)依据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数； (3)直接写出函数的值域． 【答案】(1) 是偶函数，证明如下： 的定义域为，，得证. (2) 任取，且， 则， 因为，则，则，即， 所以函数在上是减函数. (3) 【分析】（1）由偶函数的定义验证可得； （2）任取，且，作差验证可证； （3）直接由函数的单调性可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为的定义域为，且， 所以由函数的单调性可得函数的值域为. 18．（13分）（24-25高一上·北京·期中）已知函数. (1)若函数的单调减区间为，求实数的值； (2)当时，解关于的不等式； (3)关于的不等式仅包含一个整数解，写出一个的值（结论不要求证明）. 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. (3)（答案不唯一，）. 【分析】（1）根据给定条件，结合二次函数的单调性列式计算得答案. （2）根据题意按，，，分类讨论求解不等式. （3）利用（2）的信息，确定的取值情况及不等式对应的解集，即可判断得解. 【详解】（1）当时，函数的单调递减区间是，不满足题意； 当时，由函数的单调减区间为，得，解得， 所以. （2）不等式，， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 当时，不等式为，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）由（2）知，当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意； 当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意； 当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意； 当时，原不等式的解集为，中仅有一个整数， 则，解得，取， 所以的一个值为. 19．（15分）（24-25高一上·北京房山·期中）某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. (1)写出与的函数关系式，并注明函数定义域； (2)当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 【答案】(1) (2)当左､右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为14400元 【分析】（1）由题意可得屋子前面新建墙体长为米，进而可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题意可知，总造价为元，左､右两面墙的长度均为米， 则屋子前面新建墙体长为米. 则. 所以. （2）因为， 所以. 当且仅当，即时，等号成立， 所以当左､右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元. 20．（15分）（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数，且方程的一个根为． (1)求的值； (2)解关于的不等式； (3)已知，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 当时，解集为： ； 当时，解集为： ； 当时，解集为：； 当时， 解集为：； 当时，解集为： . (3) 【分析】（1）代入，解方程可得答案； （2）代入，利用含参一元二次不等式的解法可得答案； （3）把条件转化成两个函数值域的包含关系，分别求两个函数的值域即可. 【详解】（1）方程为：， 化简得：， 代入 ，得：， 故. （2）由（1）知 ，不等式化为： ， 因式分解得：， 分类讨论： 当 时：不等式等价于 ， 解为： 或 （因为 ）； 当 时：不等式化为 ， 解为：； 当 ：不等式等价于 ， 解为 ：（因为 ）； 当 时：不等式化为 ， 解集为； 当 时：不等式等价于 ， 解为 （因为 ）； 综上，当时，解集为： ； 当时，解集为： ； 当时，解集为：； 当时， 解集为：； 当时，解集为： . （3）条件：对任意 ，存在 使得 ， 等价于：对任意 ，存在 使得， 令，， 条件转化为：在上的值域是在上的值域的子集. 求 在 的值域： ，二次函数开口向上，顶点 ，在 单调递增， ，，的值域为 ； 求 在 的值域： 当 时： 在 单调递增， 的值域为 ， 由题意知：， 解得：； 当 时： 在 单调递减， 的值域为 ， 由题意知：， ，解得：； 当时，，不满足； 综上，. 21．（15分）（20-21高一上·北京·期中）对于定义域为的函数，若同时满足下列两个条件：①在上具有单调性；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为上的“精彩函数”，区间为函数的“精彩区间”． （1）判断是否为函数的“精彩区间”，并说明理由； （2）判断函数是否为“精彩函数”，并说明理由； （3）若函数是“精彩函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）是“精彩区间”，理由见解析；（2）不是“精彩函数”，理由见解析；（3） 【解析】（1）先判断函数是否满足“精彩函数”的条件，从而可判断是否为函数的“精彩区间”； （2）判断函数是否满足“精彩函数”的条件即可； （3）由是“精彩函数”，可知至少存在两个不等的实数解，可转化为有两个不等的实数根，两实根都不小于和，结合二次函数的性质，求出的取值范围. 【详解】（1）由题意，是上的增函数， 易知在上的值域为， 所以函数是“精彩区间”，是该函数的“精彩区间”. （2）不是精彩函数，证明如下： 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在定义域上不单调，不满足“精彩函数”的第一个条件， 所以函数不是“精彩函数”. （3）由题意，函数的定义域为，且在定义域上为单调递增函数， 因为函数是“精彩函数”，所以方程至少存在两个不等的实数解， 方程整理得， 所以该方程有两个不等的实数根，设为，不妨设，则，， 令， 由题意得，， 即，解得. 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查新定义，考查函数与方程的综合应用，考查了函数基本性质的运用，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C C C A C B B C 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分，其中12、14题第一空2分，第二空3分． 11 12 13 14 15 ； ； ②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分） 【解析】（1）当时，， 又，…………………………………………………………（3分） ，.…………………………………（6分） （2）若， 当时，则，解得，…………………………………（9分） 当，则，解得，……………………………（11分） 综上：实数的取值范围为.……………………………………………（13分） 17．（14分） 【解析】(1) 是偶函数，证明如下：……………………………………………………（2分） 的定义域为，，得证.………………（4分） (2) 任取，且， 则，……………………（8分） 因为，则，则，即， 所以函数在上是减函数.…………………………………………………………（11分） (3)……………………………………………………………………………………（14分） 18．（13分） 【解析】（1）当时，函数的单调递减区间是，不满足题意；…………（1分） 当时，由函数的单调减区间为，得，解得，……………………（2分） 所以.…………………………………………（3分） （2）不等式，， 当时，不等式为，解得；……………………………………（4分） 当时，不等式为，解得；…………………………（5分） 当时，不等式为，解得或；………………………………（6分） 当时，不等式为，解得或，………………………………（7分） 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.………………………………（8分） （3）由（2）知，当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意；……（9分） 当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意；…………（10分） 当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意；………………（11分） 当时，原不等式的解集为，中仅有一个整数，……………………（12分） 则，解得，取， 所以的一个值为.……………………………………（13分） 19．（15分） 【解析】（1）由题意可知，总造价为元，左､右两面墙的长度均为米， 则屋子前面新建墙体长为米. ……………………………………（3分） 则. 所以.…………………………（8分） （2）因为， 所以.…………………………（12分） 当且仅当，即时，等号成立， 所以当左､右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元.………………（15分） 20．（15分） 【解析】（1）方程为：， 化简得：， 代入 ，得：， 故.…………………………………………（3分） （2）由（1）知 ，不等式化为： ， 因式分解得：， 分类讨论： 当 时：不等式等价于 ， 解为： 或 （因为 ）；…………………………（4分） 当 时：不等式化为 ， 解为：；…………………………………………………………（5分） 当 ：不等式等价于 ， 解为 ：（因为 ）；……………………………………（6分） 当 时：不等式化为 ， 解集为；……………………………………………………（7分） 当 时：不等式等价于 ， 解为 （因为 ）；……………………………………（8分） 综上，当时，解集为： ； 当时，解集为： ； 当时，解集为：； 当时， 解集为：； 当时，解集为： .…………………………………………（10分） （3）条件：对任意 ，存在 使得 ， 等价于：对任意 ，存在 使得， 令，， 条件转化为：在上的值域是在上的值域的子集. 求 在 的值域： ，二次函数开口向上，顶点 ，在 单调递增， ，，的值域为 ； 求 在 的值域： 当 时： 在 单调递增， 的值域为 ， 由题意知：， 解得：；……………………（12分） 当 时： 在 单调递减， 的值域为 ， 由题意知：， ，解得：；…………………………（13分） 当时，，不满足； 综上，.…………………………………………（15分） 21．（15分） 【解析】（1）由题意，是上的增函数， 易知在上的值域为， 所以函数是“精彩区间”，是该函数的“精彩区间”.…………………………（3分） （2）不是精彩函数，证明如下：………………………………（5分） 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在定义域上不单调，不满足“精彩函数”的第一个条件， 所以函数不是“精彩函数”.…………………………（7分） （3）由题意，函数的定义域为，且在定义域上为单调递增函数， 因为函数是“精彩函数”，所以方程至少存在两个不等的实数解， 方程整理得， 所以该方程有两个不等的实数根，设为，不妨设，则，， 令， 由题意得，，………………………………（12分） 即，解得. 所以实数的取值范围是.…………………………（15分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版必修第一册第1~3章（集合与常用逻辑用语+等式与不等式+函数） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（26-27高一上·北京石景山·阶段检测）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·北京·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·北京·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·北京·期中）已知函数，若存在非零实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·北京丰台·阶段检测）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D．9 9．（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）已知，若对于，，均有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·北京海淀·阶段检测）已知集合满足： （a）；     （b），若且，则； （c），若且，则． 给出下列四个结论： ①若集合中有最大数，则集合中没有最小数； ②若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数； ③，使得； ④，存在无理数，使得． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分，其中12、14题第一空2分，第二空3分． 11．（26-27高一上·北京朝阳·阶段检测）函数定义域是______. 12．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，则函数的解析式为______，______． 13．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为_____． 14．（25-26高一上·北京西城·期中）已知的图象经过点，则_____；若方程有两个不等实数根，满足，则实数的取值范围为_____． 15．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数给出下列四个结论： ①当时，； ②若存在最小值，则的取值范围为； ③若存在零点，则的取值范围为； ④若是减函数，则的取值范围为. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）（24-25高一上·北京西城·阶段检测）已知集合. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 17．（14分）（25-26高一上·北京房山·期中）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)依据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数； (3)直接写出函数的值域． 18．（13分）（24-25高一上·北京·期中）已知函数. (1)若函数的单调减区间为，求实数的值； (2)当时，解关于的不等式； (3)关于的不等式仅包含一个整数解，写出一个的值（结论不要求证明）. 19．（15分）（24-25高一上·北京房山·期中）某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. (1)写出与的函数关系式，并注明函数定义域； (2)当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 20．（15分）（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数，且方程的一个根为． (1)求的值； (2)解关于的不等式； (3)已知，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 21．（15分）（20-21高一上·北京·期中）对于定义域为的函数，若同时满足下列两个条件：①在上具有单调性；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为上的“精彩函数”，区间为函数的“精彩区间”． （1）判断是否为函数的“精彩区间”，并说明理由； （2）判断函数是否为“精彩函数”，并说明理由； （3）若函数是“精彩函数”，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $