专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，北京专用）高一数学上学期

**基本信息** 北京多所重点中学期中试题汇编，聚焦一元二次函数、方程和不等式三大高频考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合实际应用与逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约30题|等式性质（比较大小、条件判断）、基本不等式（最值求法）、二次函数单调性|结合加油均价（育英中学）等生活情境，设置假命题反例（清华附中）| |填空|约20题|不等式取值范围、基本不等式应用|融入无字证明（三十五中）、实际问题最值（四中设备费用）| |解答|约25题|二次函数解析式、含参不等式解集、恒成立问题|设计隔热层费用（昌平二中）、海报设计（中关村中学）等综合应用，注重逻辑推理与分类讨论|

专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．C 2．D 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．B 9．C 10．C 11．C 12．A 13．C 14．B 15．D 16．D 17．B 18．【答案】①     ② 【分析】 由不等式的性质，若，则，可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可 【详解】 由不等式的性质，若，则， 故可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可， 比如：或者. 故答案为：①；②（不唯一）. 19．【答案】 【分析】 可通过比较两个实数的平方进行大小比较. 【详解】 因为，， 因为， 所以. 所以，所以. 故答案为：. 20．【答案】（答案不唯一） 【分析】 通过对不等式进行变形分析，然后尝试代入整数来找到反例. 【详解】 对不等式进行变形，得到， 要使，因为要满足，即，所以需要，也就是， 当时，成立， 此时， 因为，即，说明“若，则”是假命题. 故答案为：（答案不唯一） 考点02 基本不等式 1．C 2．D 3．C 4．A 5．A 6．D 7．【答案】 【分析】 由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】 因为，所以， 所以 ， 当且仅当 ，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 8．【答案】① 4    ② 32 【分析】 首先根据题目已知条件，不难得到此设备的年平均花费为；接下来根据上述分析，结合均值不等式可知，据此即可求解此题． 【详解】 由题意可知，此设备的年平均花费为 当且仅当，即时等号成立． 此时年平均最低花费为. 故答案为：4，32. 9．【答案】① 7    ② 【分析】 根据题意利用基本不等式求最值，并求等号成立的条件. 【详解】 因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值是7，此时. 故答案为：7；. 10．【答案】①     ② 【分析】 由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】 由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 11．【答案】（1）     （2）隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元      【分析】 （1）根据题意直接运算求解即可； （2）根据题意结合基本不等式运算求解. (1) 小问详解： 由题意可得：当x＝0时，则，解得k＝30， 所以，. (2) 小问详解： 因为， 当且仅当，即x＝5时，y2取得最小值，最小值为60， 所以隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元. 12．【答案】 【分析】 根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 13．【答案】 【详解】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 14．【答案】 【分析】 先将原式进行化简，然后利用基本不等式的性质求出值域即可. 【详解】 因为，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以. 故答案为：. 15．【答案】① 7    ② 5 【分析】 通过函数解析式的配凑，即可利用基本不等式可求解 【详解】 因为，当时等号成立，此时 故最小值为7, 当取得最小值时的值为5， 故答案为：7,5. 16．【答案】（1）每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为；     （2）每间禽舍的宽，长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为.      【分析】 （1）设每间长方形禽舍宽为，长为，由题意得，，每间禽舍面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值； （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. (1) 小问详解： 设每间长方形禽舍宽为，长为， 由题得，， 设每间禽舍面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为. (2) 小问详解： 由题意可得， 设钢筋网总长为，则， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以每间禽舍的宽,长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为. 17．【答案】① 2    ② 3 【分析】 由基本不等式可得答案. 【详解】 由题，. 当且仅当，即时取等号. 故答案为：2；3 18．【答案】 【分析】 根据给定条件借助“1”的妙用即可求出的最小值. 【详解】 因且，则， 当且仅当，即时取“=”，由 得， 所以当时，取得最小值是. 故答案为： 19．【答案】（1）1     （2）     （3）      【分析】 （1）由基本不等式即可求得结果； （2）利用基本不等式中巧用“1”即可求得结果； （3）由等式得到的关系式，然后代入，利用配方法即可求得最小值. (1) 小问详解： ∵，∴，∴， 当且仅当时取等号， ∴的最大值为1. (2) 小问详解： ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为. (3) 小问详解： ∵， ∴， 当且仅当时取等号， ∴的最小值为. 20．【答案】（1）海报面积为，     （2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少，最小面积是.      【分析】 （1）根据已知条件，先求出每个梯形的下底（较长的底边）边长，再分别求出，，即可求解； （2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． (1) 小问详解： 依题意，图中阴影部分的面积之和为，直角梯形的高为， 则其中每个梯形的下底（较长的底边）边长为， 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， ，， 故海报纸面积为． (2) 小问详解： 直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 则每个梯形的下底（较长的底边）边长为， 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， ， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即时等号成立， 故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少，最小面积是. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B 8．D 9．A 10．A 11．A 12．A 13．A 14．A 15．B 16．【答案】 【分析】 根据求出的取值范围，再由韦达定理计算可得. 【详解】 因为，是方程的两实根，且， 显然，则，解得或， 又 ，所以，即，解得. 故答案为： 17．【答案】1 【分析】 由一元二次不等式的解集与根的关系结合韦达定理可得. 【详解】 因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以的两个根为或2， 由韦达定理可得 ，解得， 所以. 故答案为：1. 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先解分式不等式化简，解绝对值不等式化简集合，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到 ，解得即可. (1) 小问详解： 由，等价于，解得， 所以，所以或； 由，解，解得， 所以， 当时， 所以. (2) 小问详解： 因为恒成立，所以， 因为，所以 ，解得， 即实数的取值范围为. 19．【答案】19 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方和公式进行求解即可. 【详解】 一元二次方程的两根为，，所以有， 因此， 故答案为： 20．【答案】 【分析】 由二次函数的图像的性质可得的取值范围. 【详解】 因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴. 故答案为： 21．【答案】（1）     （2）     （3） 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）因式分解，结合一元二次不等式解集的形式求解. （2）把分式不等式转化成整式不等式求解. （3）分情况讨论，求一元二次不等式的解集. (1) 小问详解： 由或. 所以所求不等式的解集为. (2) 小问详解： 由 . 所以所求不等式的解集为. (3) 小问详解： 由. 若，则； 若，则，不等式无解； 若，则. 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 22．【答案】（1）－4     （2）－5或4      【分析】 (1)设二次函数方程为两根式，用已知条件与y轴的交点为（0，－3）求得方程，结合给定区间求最值. (2)分两种情况讨论，由抛物线方程可得对称轴为x =－1，则根据区间与对称轴的关系找到最大值点即可求得. (1) 小问详解： 由已知设 ，则，得a = 1．         ∴ f(x)= x2 + 2x－3 =（x + 1）2－4，                                                           抛物线开口向上，对称轴x =－1∈[－2，2 ]，偏左边， 故f(x)在[－2，2 ]上的最小值为f(x)min = f（－1）=－4． (2) 小问详解： f(x)= a（x2 + 2x－3）= a（x + 1）2－4a， 抛物线的对称轴x =－1∈[－2，2 ]，偏左边． 当a＞0时，f(x)在[－2，－1 ]上单调递减，在[－1，2 ]上单调递增，                ∴ f(x)max = f(2) = 5a = 20 ,，解得a = 4．                                                        同理，当a＜0时，f(x)max = f（－1）=－4a = 20解得a =－5． 综上，a的值为－5或4． 23．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据二次函数的性质，结合题意，求得对称轴，由最值与已知点，可得答案； （2）根据二次函数的性质，由题意可得对称轴与给定区间的关系，建立不等式，可得答案； （3）整理不等式，构造函数，利用分类讨论思想，根据对称轴与区间的关系，可得答案. (1) 小问详解： 由，则二次函数的对称轴， 由二次函数的最小值为，则其顶点为， 可设二次函数，由，则， 所以. (2) 小问详解： 由题意可得，则 ，解得. (3) 小问详解： 由不等式，整理可得， 令，则其对称轴， ① 当，即时，在上单调递增， 则， 令，解得，可得； ② 当，即， 在上单调递减，在上单调递增， ， 令，解得，可得； ③ 当，时，在上单调递减， ， 令，解得，此时无解； 综上所述，. 24．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）结合二次函数与一元二次不等式的关系，根据解集可求得结果； （2）根据对称轴和区间的位置关系分情况讨论确定最小值. (1) 小问详解： 因为的解集为， 所以 ，解得， 所以实数的值为. (2) 小问详解： 因为，二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减， 所以； 当，即时，； 当时，在上单调递增， 所以， 所以的最小值 . 25．【答案】（1） 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；     （2）      【分析】 （1）依题意可得，再对分类讨论，分别求出不等式的解集； （2）分析函数的对称轴所在位置，即可求出函数的最小值，从而得到，再求出的最大值. (1) 小问详解： 不等式，即，即， 当时，即，解得； 当时，不等式可化为，解得或； 当时，不等式可化为， 若，即时，解得； 若 ，即时，解得； 若 ，即时，解得； 综上可得：当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； (2) 小问详解： 当时，开口向上，对称轴为， 当，即时； 当 ，即时在上单调递减，所以； 综上可得 ； 当时，当且仅当即时取等号； 所以. 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由“三个二次”之间的关系求得，再解二次不等式； （2）分离参数求最值求解. (1) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为，所以方程的两根是和， 所以 ，解得， 所以不等式即，解得， 所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 当时，对，都有， 即在恒成立， 所以在恒成立， 令，则， 又在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 27．【答案】（1）     （2）      （3） 当时，； 当时，； 当时，.      【分析】 （1）根据题意，得到，结合，即可求解； （2）根据题意，利用二次函数的性质，得到或，即可求解； （3）根据题意，利用二次函数性质，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解. (1) 小问详解： 当时，，令，可得， 因为是的两个根，可得， 则. (2) 小问详解： 由函数，可得其图象开口向上，对称轴为， 要使得函数在区间上是单调函数，则满足或， 所以实数的取值范围. (3) 小问详解： 由函数，可得其图象开口向上，对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，函数在区间上单调递减，所以. 28．【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解不等式，可求出集合，进而求出二者的交集即可； （2）结合（1），由，可得，进而可列出不等关系，求解即可. 【详解】 （1）由，得，等价于，解得， 所以集合， 由，解得或，所以或， 所以或. （2）因为，所以， 即， 所以 ，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】 本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，考查集合的交集，考查根据集合的包含关系求参数，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 29．【答案】（1），；     （2）或.      【分析】 （1）把代入后结合二次函数在区间上的单调性即可求解最值； （2）由已知结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论进而求解即可. (1) 小问详解： 时，，                                                     关于对称， 当时，单调递减，当时，单调递增． ，， ∴． (2) 小问详解： ， 对称轴为，函数图象开口向上，                                                        ① 当时，在上单调递增， 所以 ，即 ，∴； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 ，即 ，无解； ③ 当时，在上单调递减， 所以 ，即 ，∴， 综上，当时，或． 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）当时，得到函数并用配方法化简，由的值域，得到函数的值域； （2）整理函数解析式，并令换元后利用配方法整理函数解析式，分析二次函数的对称轴的位置，得到函数的最值，然后列方程解得的值. (1) 小问详解： 当时，， 因为，所以，故. 值域为. (2) 小问详解： ， 令，则， 当时，即当时，函数取最小值， ∴,即,解得，∴. 当时，函数没有最小值， ∴. 31．【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）解一元二次不等式求集合； （2）应用集合的交、补运算求集合； （3）根据题意有是的真子集，列不等式组求参数范围. (1) 小问详解： 由题意，即，解得或， 所以集合或. (2) 小问详解： 当，此时且，故. (3) 小问详解： 若“”是“”的充分不必要条件，且为非空集合，故是的真子集. 则 且后两个不等式不能同时取等号，解得，则的取值范围为. 32．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）依题意可得关于对称，设，代入即可求出的值，从而求出函数解析式； （2）先得出函数含未知数的解析式，讨论的取值范围，在对应范围内分析单调性，得出最小值； （3）依题意可得，由求出的范围，再列出韦达定理，由求出的范围，即可得解. (1) 小问详解： 因为满足，所以关于对称， 又最小值是，所以设， 又图象过点，所以，解得. 所以，即； (2) 小问详解： 因为，， 则的对称轴为，开口向上， 当时，函数在上单调递增，最小值为； 当时，函数的最小值为； 当时，函数在上单调递减，最小值为， 综上可得 ； (3) 小问详解： 方程，即， 因为的两根为，， 所以，解得或， 此时 ， 又，即，即，解得， 又或， 所以或， 所以的取值范围为. 33．【答案】（1）     （2）     （3） 当，不等式的解集为； 当且，即时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）把代入求解即可； （2）含参讨论解一元二次不等式，结合不等式解集中的整数解计算即可； （3）根据题意，分，，，讨论求解即可． (1) 小问详解： 因为，所以当时，. 将代入得，解得； (2) 小问详解： 由，因式分解得， 因为，所以，不等式的解集=， 因为集合A中有且仅有1个整数，这个整数只能是0， 所以， 解得； (3) 小问详解： 由，因式分解得， 当，不等式的解集为； 当且，即时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 34．【答案】（1）；或；     （2）.      【分析】 （1）先解分式不等式和一元二次不等式，再由集合的交并补运算可得； （2）先解绝对值不等式，再将集合的运算关系转化为包含关系可得. (1) 小问详解： 由，得到或，即或， 再由，得，解得，所以， 或，，如图： 或； (2) 小问详解： 由，且，得到， 又因为，且，所以 ，解得，如图： 所以实数的取值范围为. 35．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用韦达定理结合多项式展开求解. （2）通过分式变形结合韦达定理列方程求解并验证判别式. （3）根据正数根的条件，结合判别式、根的和与积的符号列不等式组求解. (1) 小问详解： 当时，方程为，由韦达定理得，. . (2) 小问详解： 由，根据韦达定理，，， 则，解得. 验证判别式，故. (3) 小问详解： 因为是不相等的正数，所以：判别式， 即，解得或； 两根之和，即； 两根之积，即. 综上，，故实数的取值范围是. 36．【答案】若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 【分析】 整理可得，分类讨论首项系数以及两根大小解不等式即可. 【详解】 对于不等式，可得， 1.若，可得，解得； 2.若，令，解得或， （1）若，则，解得或； （2）若，则有： ① 若，则，解得； ② 若，则，无解； ③ 若，则，解得； 综上所述：若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 37．【答案】（1）     （2）     （3） 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为.      【分析】 （1）由题意0和是方程的根，利用韦达定理列方程求解即可； （2）由题意不等式对于任意实数恒成立，然后按照和分类讨论，利用判别式法列不等式组求解即可； （3）不等式化为，按照、、、和分类讨论，解不等式即可得解. (1) 小问详解： 由题意知，0和是方程的根，且， 所以 ，即 ，解得. (2) 小问详解： 由题意知，不等式对于任意实数恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，要使不等式恒成立，则需 ， 即 ，解得； 综上，的取值范围为 (3) 小问详解： 由，则，即. 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式化为，所以， 则不等式的解集为； 当时， ① 当时，，不等式化为，所以，其解集为； ② 当时，，不等式的解为或， 其解集为或； ③ 当时，，不等式的解为或， 其解集为或. 综上所述，当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为. 38．【答案】（1）1     （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为.     （3）4      【分析】 （1）由题意可得2和4为方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法求解即可； （3）结合开口方向及对称轴讨论求解即可. (1) 小问详解： 由题意，不等式的解集为， 则2和4为方程的根，且， 所以 ，解得. (2) 小问详解： 由，则，， 则. 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为， 若，即时，解得或； 若，即时，不等式为，解得； 若，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. (3) 小问详解： 函数的对称轴为， 当时，函数开口向下，且对称轴为， 则函数在上单调递减， 所以，不满足题意； 当时，函数开口向上，且对称轴为， 若，即时，函数在上单调递减， 则，不满足题意； 若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 解得（舍去）或. 综上所述，. 39．【答案】 【分析】 由题意，可转化问题为对于恒成立，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】 由题意，不等式对于恒成立， 则对于恒成立， 当时，不等式为，不恒成立， 当时，由 ，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 40．【答案】（1）18     （2）6      【分析】 （1）令，解不等式即可求解； （2）由题意得每天的平均净利润为，进而根据基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意，令， 则，即，解得， 由于，则为保证累计总净利润不为负，最多销售18天. (2) 小问详解： 由题意，每天的平均净利润为， 而，当且仅当，即时等号成立， 则， 所以销售6天时，能使每天的平均净利润最大. 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据韦达定理，可求的值. （2）把问题转化成：，恒成立.再求函数，的最大值即可. (1) 小问详解： 若选择条件① ，则，， 因为，所以. 所以. 若选择条件② ，则是方程的两根，由韦达定理， 所以. 若选择条件③ ，设是函数的两个零点，则，， 由， 所以. 所以. (2) 小问详解： 问题转化为：当时，恒成立. 则，恒成立. 因为函数，在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以. 所以实数的取值范围是. 42．【答案】（1）     （2）      （3） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或.      【分析】 （1）将分式不等式化为，利用二次不等式的解法求解集即可； （2）将原不等式因式分解化为，然后解绝对值不等式即可得解. （3）应用分类讨论求含参一元二次不等式的解集. (1) 小问详解： 由，则， 故，即，可得， 所以不等式的解集为； (2) 小问详解： 由得，所以， 即，可得， 所以不等式的解集为； (3) 小问详解： 由， 当即时，原不等式的解为或； 当即时，原不等式的解为； 当即时，原不等式的解为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 43．【答案】或 【分析】 在方程组中消去，得出，由题意知该方程只有一解，按照和分类讨论，利用判别式法求解即可. 【详解】 将代入得， 当即时，方程为，解得，符合题意； 当即时，关于的一元二次方程只有一解， 所以，解得. 综上，或1. 故答案为：或. 44．【答案】（1） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.     （2）      【分析】 （1）分析可知，且关于的方程的两根分别为、，结合韦达定理得出，，将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）由题意得出，可得，则所求代数式可化为，结合基本不等式可求其最大值. (1) 小问详解： 已知一元二次函数，且的解集为， 则，且关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，，可得，， 则不等式即为， 即，即， 当时，即当时，解原不等式得或； 当时，即当时，原不等式即为，即，解得； 当时，即当时，解原不等式得或， 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. (2) 小问详解： 对任意，不等式恒成立，即恒成立， 因为，则 ，所以， 可得， 所以 ， 当且仅当 时，即当 时，上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 45．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用绝对值不等式以及一元二次不等式化简集合,即可根据并集定义求解， （2）根据交集的结果可得，即可分类讨论求解. (1) 小问详解： 由可得， 当时，， 故 (2) 小问详解： 由可得， 当时，，解得，符合题意， 当时，若 ，则， 故，解得， 若 ，则， 故，解得， 综上可得 46．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个不相等的负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则. (2) 小问详解： 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个不相等的负实数根， 则满足 ，解得且， 所以实数的取值范围为. 47．【答案】（1）12     （2）     （3）      【分析】 （1）根据函数单调性即可求解 （2）根据一元二次不等式在上能成立的条件即可求解； （3）分离参数转化为函数最值问题. (1) 小问详解： 当时，单调递增，所以. (2) 小问详解： 不等式即为， 若存在，使得不等式成立，则， 解得或，所以的取值范围为. (3) 小问详解： 即为，变形为， 当，不等式即为，满足题意， 当时，则， 设，若对于时， ，只需，， 当且仅当，即时等号成立，故， 所以的取值范围为. 48．【答案】（1），     （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.     （3）      【分析】 （1）分析可知的两根为和2，且，代入运算求解； （2）整理可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （3）分析可得，换元令，结合二次函数最值分析求解. (1) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为和2，且， 所以 ，解得： ． (2) 小问详解： 由（1）知可化为， 即， 又，则不等式可化为， 当，即时，解得，即的解集为； 当 ，即时，解得，即的解集为； 当 ，即时，解得，即的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： 若对任意的实数，恒成立， 由（1）可化为， 即，对任意恒成立， 令，则，可得对任意的恒成立， 令，， 因为，对称轴为，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 49．【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）     （2） 当时，的最大值，此时； 当时，的最大值，此时； 当时，的最大值，此时.      【分析】 （1）根据二次函数单调性以及函数值求相应的端点值，即可得定义域； （2）分、和三种情况讨论，结合二次函数单调性求最值即可. (1) 小问详解： 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，在内单调递减， 令，解得或； 令，解得； 例如，符合题意. (2) 小问详解： 因为在内单调递增，在内单调递减， 若，则有： 当，即时，在内单调递增， 则的最大值； 当，即时，在内单调递增，在内单调递减， 则的最大值； 当时，在内单调递减， 则的最大值； 综上所述：当时，的最大值，此时； 当时，的最大值，此时； 当时，的最大值，此时. 50．【答案】（1）     （2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为.     （3）      【分析】 （1）由题可知， ，求解可得的解析式； （2）由（1）求得函数的对称轴，从而得到函数的单调性，分类讨论，所给区间与对称轴的位置关系，可得函数在上的单调性，从而求得其最小值； （3）将“线段的长度恒大于2”转化为一元二次不等式恒成立问题，即可求得实数的取值范围． (1) 小问详解： 由题可知， ，解得 . 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，即时，在上单调递减，所以在处取得最小值，最小值为； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为； 当时，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为. 综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当 时，的最小值为. (3) 小问详解： 由题可得，则 则得① 或② ， 由① 得恒成立，故，解得； 由② 得，因，故此式不能恒成立. 综上，可得实数的取值范围是. 51．【答案】①     ② 【分析】 （1）由求根公式求得对应一元二次方程两根即可求解； （2），由在必须有相同零点，且在相同区间上同号，即可求解. 【详解】 （1）当时， 由，可得：， 所以的解集为； （2）由（1）知，当时，不符合题意； 当时，设， 令得， 令， 得， 因为，舍去， 若，不等式恒成立， 则在必须有相同零点，且在相同区间上同号， 则， 解得：， 当时， 在有， 在有， 当时，， 符合，不等式恒成立， 所以的取值集合为， 故答案为：； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知、、，且，则下列不等式成立的是 A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）若，，则一定有（       ） A.  B.  C.  D. 以上答案都不对 3．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知，，，且，，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）设为实数，且，则（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知，且，则下列不等式一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）以下命题正确的是 A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 7．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）如果，那么下列不等式成立的是（） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知，则下列不等式中成立的是（     ） A.  B. 2 C.  D.  10．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）设，则（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）若实数，满足，，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知实数满足，则下列不等式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）若，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）若非零实数，，满足，则下列不等式一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）若，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）下列命题中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 17．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价角度分析，则（     ） A. 甲更低 B. 乙更低 C. 甲和乙一样高 D. 不能判断谁更高 18．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）能说明命题：“若，则”是假命题的一组的取值为　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）比大小：　　　　　　　　（填“，或”） 20．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知，是非零实数，则可以证明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次是　　　　　　. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知正实数满足，则的最大值是 A.  B. 2 C.  D.  2．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知，则的最小值为（       ） A.  B. 3 C. 6 D. 10 4．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）若，，且，则有（     ） A. 最大值 B. 最大值3 C. 最小值 D. 最小值3 6．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知a，b为正实数且，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. 3 7．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知，，.则的最小值是　　　　　　. 8．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）某厂商更新设备，已知在未来（）年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低；则此设备的使用年限为　　　　　　，年平均最低花费为　　　　　　万元. 9．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知，则函数的最小值是　　　　　　，此时　　　　　　. 10．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）若，则函数的最小值为　　　　　　，此时　　　　　　. 11．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：（，k为常数）.若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用）. （1）求y2的表达式； （2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值. 12．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）当时，的最小值是　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知正实数、满足，则的最小值为　　　　　　. 14．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）对于，，代数式的取值范围是　　　　　　　　． 15．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）当时，则的最小值为　　　　　　，当取得最小值时的值为　　　　　　． 16．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）如图，动物园要围成2间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成．（接头处不计）    （1）现有可围18m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ （2）若使每间禽舍面积为12，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成2间禽舍的钢筋网总长最小？ 17．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知，，则当且仅当　　　　时，取得最小值　　　　． 18．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）若且，则的最小值是　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知． （1）求的最大值： （2）求的最小值； （3）求的最小值． 20．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.设直角梯形的高为x cm. （1）当x＝20时，求海报纸的面积； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)，最小面积是多少? 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知集合，，那么（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的的值之和是（       ） A. 13 B. 15 C. 21 D. 26 5．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（       ） A. a≤2或a≥3 B. 2≤a≤3 C. a≤-3或a≥2 D. -3≤a≤-2 7．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）函数在上单调递增，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 10．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知，则“”是“不等式的解集为”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知集合，，，则的真子集共有（     ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 13．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）设，则“”是“，恒成立”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）“”是“函数在区间上是增函数”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知二次函数，分别是函数在区间上的最大值和最小值，则的最小值 A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知，是方程的两实根，且，则实数　　　　　　. 17．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）关于的一元二次不等式的解集为，则　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 19．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知一元二次方程的两根为，则=　　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是　　　　　　. 21．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）求下列关于的不等式的解集： （1）： （2）； （3）． 22．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知最高次项系数为a的二次函数f(x)的两个零点为－3和1． （1）若f(x)与y轴的交点为（0，－3），求f(x)在[－2，2 ]上的最小值； （2）若f(x)在[－2，2 ]上的最大值为20，求a的值． 23．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 24．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知二次函数，若不等式的解集为 （1）求实数的值； （2）当时，求的最小值． 25．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数（）. （1）求关于的不等式的解集； （2）当时，设函数在区间上的最小值为，求的最大值. 26．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数（，）. （1）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）当时，对，都有，求实数的取值范围. 27．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知函数. （1）当时，设是的两个根，求的值； （2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围； （3）求在区间的最小值. 28．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知集合，，， （1）求； （2）若，求的取值范围. 29．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知函数，． （1）当时，求的最值； （2）若的最小值为，求实数的值． 30．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知函数. （1）当时，求的值域; （2）若的最小值为，求的值. 31．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知非空集合. （1）求集合； （2）时，求； （3）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 32．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知二次函数的图象过点，满足，且最小值是． （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的最小值（用含的式子表示）； （3）若的两根为，，且，求的取值范围． 33．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知关于的不等式的解集为. （1）若，求实数的取值范围； （2）当时，集合中有且仅有1个整数，求实数的取值范围； （3）当时，求不等式的解集. 34．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 35．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）设，是关于的方程的两个实数根. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围. 36．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）设，解关于的不等式：. 37．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对于任意实数都恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 38．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）若在区间上的最小值为，求实数的值. 39．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）若函数的图象恒在函数图象的上方，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 40．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）学校将举办第十二届“星光杯”班级合唱比赛.高一某班为了筹集合唱节采购的费用，决定开展爱心义卖，销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据以往爱心义卖的数据分析，预计累计总净利润）（单位：百元）与销售天数（）满足 （1）为保证累计总净利润不为负，求最多销售的天数； （2）销售多少天时，能使每天的平均净利润最大？（每天的平均净利润） 41．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知函数． （1）若函数满足___________（从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件），求函数的解析式； 条件①：方程的两根为，且． 条件②：不等式的解集为； 条件③：函数与轴交于两点，且． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．如果选择的条件不符合要求，第一问得0分． （2）在（1）的条件下，当时，函数的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围． 42．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）求解下列关于的不等式： （1）； （2）； （3） 43．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知关于的方程组 解集中只有一个元素，则实数　　　　　　. 44．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知一元二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 45．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知集合，． （1）若，求； （2）若，求a的取值范围． 46．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知函数，不等式的解集为，其中． （1）若，求的值； （2）若，求实数的取值范围． 47．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设函数. （1）当时，求的最小值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 48．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 49．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知函数. （1）给出的一个定义域，使得的值域为；（结论不要求写证明过程） （2）当（）时，求的最大值及对应的的值. 50．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知二次函数的一个零点为1，且满足． （1）求的解析式； （2）求函数在上的最小值； （3）设，垂直于轴的直线分别交函数与的图象于两点，若线段的长度恒大于2，求实数的取值范围． 51．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知函数 （1）当时，不等式的解集为　　　　　　　　． （2）若，不等式恒成立，则的取值集合为　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知、、，且，则下列不等式成立的是 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】利用特殊值法可判断A、B选项的正误，利用不等式的基本性质可判断C、D选项的正误. 【详解】取，，则，，A、B选项错误； ，，由不等式的基本性质可得，C选项正确； 当时，，则，D选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法、特殊值法、函数单调性以及中间值法来判断，考查推理能力，属于基础题. 2．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）若，，则一定有（       ） A.  B.  C.  D. 以上答案都不对 【答案】D 【分析】 对于ABC，举例判断， 【详解】 对于AB，若，则，所以AB错误， 对于C，若，则，所以C错误， 故选：D 3．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知，，，且，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 通过举反例即可判断ABD，对于C根据不等式的性质即可判断. 【详解】 对于A：令 ，，所以，故A错误； 对于B：令，故B错误； 对于C：因为，所以，所以，故C正确； 对于D：当时，显然不成立，令，故D错误 故选：C. 4．（25-26学年高一上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）设为实数，且，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 应用不等式的性质判断各项的正误. 【详解】 由，则，，，A、C错，B对， 当，则，D错. 故选：B 5．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知，且，则下列不等式一定正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】 对于A：令，，，满足，且，但是，故A错误； 对于B：当，，，满足，且，但是，故B错误； 对于C：当，，，满足，且， 但是，，所以，故C错误； 对于D：因为，且，所以，则，所以，故D正确. 故选：D 6．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）以下命题正确的是 A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 【答案】B 【详解】利用不等式的性质对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A,若,则,故A错误； 对B,由易得,所以,故B正确； 对C,取,满足,但是,故C错误； 对D,取,满足,但是,故D错误； 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，求解时注意要否定一个选项，需举出反例. 7．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由条件，结合不等式的性质求出的取值范围即可. 【详解】 因为，所以 又，所以， 所以的取值范围是， 故选：A. 8．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）如果，那么下列不等式成立的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 结合已知中，运用特殊值法可排除ACD，利用不等式的基本性质，可判断B． 【详解】 不妨设， 对于A，，，此时，故A错误； 对于C，，此时，故C错误； 对于D，，，此时，故D错误； 对于B，因为，所以，所以，故B正确. 故选：． 9．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知，则下列不等式中成立的是（     ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据不等式的性质，利用赋值法判断选项，运用作差法判断选项C． 【详解】 选项A：令，满足，此时，故A不一定成立； 选项B：令，满足，此时，故B不一定成立； 选项C：，， ， ，即，故C成立； 选项D：令，满足，此时，故D不一定成立． 故选：C． 10．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）设，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 举例说明判断ABD；作差与0比较大小判断C. 【详解】 对于ABD，取，则，， ，ABD错误； 对于C，，而，则， ，，因此，C正确. 故选：C 11．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）若实数，满足，，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 根据条件，利用不等式的性质和作差法，由充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】 因为，，若，则，所以， 由不等式的性质知，即可以推出， 若，则， 又，，则，所以，即， 所以可以推出，则“”是“”的充分必要条件， 故选：C. 12．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知实数满足，则下列不等式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由可知A正确；通过反例可知BCD错误. 【详解】 对于A，（当且仅当时取等号），，A正确； 对于B，当，时，，B错误； 对于C，当，时，，，则，C错误； 对于D，当，时，，，则，D错误. 故选：A. 13．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）若，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断. 【详解】 对于A，由，得，A错误； 对于C，由，得，，C正确； 对于B，由，，因此，B错误； 对于D，由，得，，D错误. 故选：C 14．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）若非零实数，，满足，则下列不等式一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据条件得且或且，即可判断A和C的正误；对于B和D，结合条件，利用作差法，即可求解. 【详解】 对于A，由，得到，则且或且，所以A错误， 对于B，因为恒成立，所以，所以B正确， 对于C，由已知得，所以C错误， 对于D，因为，所以， 当时，，即，所以D错误， 故选：B. 15．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）若，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用不等式的性质解决即可. 【详解】 因为，所以，故有. 故选：D. 16．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）下列命题中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 举例说明判断ABC；利用不等式的性质推理判断D． 【详解】 对于A，，当时，，A错误； 对于B，由于，而，B错误； 对于C，取，则 ，C错误； 对于D，由，得，而，于是，D正确． 故选：D． 17．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价角度分析，则（     ） A. 甲更低 B. 乙更低 C. 甲和乙一样高 D. 不能判断谁更高 【答案】B 【分析】 设甲每次的加油量为，乙每次得加油费为，先后两次油的单价分别为,依题意，计算甲与乙加油的均价，再作差比较，即可判断. 【详解】 设甲每次的加油量为，乙每次得加油费为，先后两次油的单价分别为， 则甲两次加油的均价为：；而乙两次加油的均价为：， 由，因且，故得， 即乙两次加油的均价更低. 故选：B. 18．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）能说明命题：“若，则”是假命题的一组的取值为　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 由不等式的性质，若，则，可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可 【详解】 由不等式的性质，若，则， 故可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可， 比如：或者. 故答案为：①；②（不唯一）. 19．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）比大小：　　　　　　　　（填“，或”） 【答案】 【分析】 可通过比较两个实数的平方进行大小比较. 【详解】 因为，， 因为， 所以. 所以，所以. 故答案为：. 20．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知，是非零实数，则可以证明“若，则”是假命题的一组整数，的值依次是　　　　　　. 【答案】（答案不唯一） 【分析】 通过对不等式进行变形分析，然后尝试代入整数来找到反例. 【详解】 对不等式进行变形，得到， 要使，因为要满足，即，所以需要，也就是， 当时，成立， 此时， 因为，即，说明“若，则”是假命题. 故答案为：（答案不唯一） 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知正实数满足，则的最大值是 A.  B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】因为正实数满足，所以，当且仅当，即、时等号成立，所以的最大值是. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属基础题. 2．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】 ，当且仅当时取等号，而已知条件为，所以等号取不到， 所以的取值范围是. 故选：D 3．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知，则的最小值为（       ） A.  B. 3 C. 6 D. 10 【答案】C 【分析】 根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】 因为，则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 从图中观察，显然图1的阴影部分面积不小于图2矩形的阴影面积，建立不等式即可. 【详解】 为等腰直角三角形,且，， ， ,四边形的面积. 观察图形，显然图1的阴影部分面积不小于图2的阴影面积， ，当且仅当，原式取“”. 故选：A. 5．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）若，，且，则有（     ） A. 最大值 B. 最大值3 C. 最小值 D. 最小值3 【答案】A 【分析】 由基本不等式可求得结果. 【详解】 由基本不等式可知， 即，∴，当且仅当时取等号. 故选：A. 6．（25-26学年高一上·北京首都师范大学附属中学·期中）已知a，b为正实数且，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】D 【分析】 将代入，利用基本不等式可求最小值. 【详解】 由题意，，又a，b为正实数， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 7．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知，，.则的最小值是　　　　　　. 【答案】 【分析】 由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】 因为，所以， 所以 ， 当且仅当 ，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 8．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）某厂商更新设备，已知在未来（）年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低；则此设备的使用年限为　　　　　　，年平均最低花费为　　　　　　万元. 【答案】① 4    ② 32 【分析】 首先根据题目已知条件，不难得到此设备的年平均花费为；接下来根据上述分析，结合均值不等式可知，据此即可求解此题． 【详解】 由题意可知，此设备的年平均花费为 当且仅当，即时等号成立． 此时年平均最低花费为. 故答案为：4，32. 9．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知，则函数的最小值是　　　　　　，此时　　　　　　. 【答案】① 7    ② 【分析】 根据题意利用基本不等式求最值，并求等号成立的条件. 【详解】 因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值是7，此时. 故答案为：7；. 10．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）若，则函数的最小值为　　　　　　，此时　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】 由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 11．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年.已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y1万元，隔热层的厚度为x厘米，两者满足关系式：（，k为常数）.若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y2为15年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用）. （1）求y2的表达式； （2）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y2最小，并求出最小值. 【答案】（1）     （2）隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元      【分析】 （1）根据题意直接运算求解即可； （2）根据题意结合基本不等式运算求解. (1) 小问详解： 由题意可得：当x＝0时，则，解得k＝30， 所以，. (2) 小问详解： 因为， 当且仅当，即x＝5时，y2取得最小值，最小值为60， 所以隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元. 12．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）当时，的最小值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 13．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知正实数、满足，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【详解】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 14．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）对于，，代数式的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先将原式进行化简，然后利用基本不等式的性质求出值域即可. 【详解】 因为，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以. 故答案为：. 15．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）当时，则的最小值为　　　　　　，当取得最小值时的值为　　　　　　． 【答案】① 7    ② 5 【分析】 通过函数解析式的配凑，即可利用基本不等式可求解 【详解】 因为，当时等号成立，此时 故最小值为7, 当取得最小值时的值为5， 故答案为：7,5. 16．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）如图，动物园要围成2间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成．（接头处不计）    （1）现有可围18m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ （2）若使每间禽舍面积为12，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成2间禽舍的钢筋网总长最小？ 【答案】（1）每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为；     （2）每间禽舍的宽，长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为.      【分析】 （1）设每间长方形禽舍宽为，长为，由题意得，，每间禽舍面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值； （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. (1) 小问详解： 设每间长方形禽舍宽为，长为， 由题得，， 设每间禽舍面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为. (2) 小问详解： 由题意可得， 设钢筋网总长为，则， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以每间禽舍的宽,长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为. 17．（25-26学年高一上·北京第一六一中学·期中）已知，，则当且仅当　　　　时，取得最小值　　　　． 【答案】① 2    ② 3 【分析】 由基本不等式可得答案. 【详解】 由题，. 当且仅当，即时取等号. 故答案为：2；3 18．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）若且，则的最小值是　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件借助“1”的妙用即可求出的最小值. 【详解】 因且，则， 当且仅当，即时取“=”，由 得， 所以当时，取得最小值是. 故答案为： 19．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知． （1）求的最大值： （2）求的最小值； （3）求的最小值． 【答案】（1）1     （2）     （3）      【分析】 （1）由基本不等式即可求得结果； （2）利用基本不等式中巧用“1”即可求得结果； （3）由等式得到的关系式，然后代入，利用配方法即可求得最小值. (1) 小问详解： ∵，∴，∴， 当且仅当时取等号， ∴的最大值为1. (2) 小问详解： ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为. (3) 小问详解： ∵， ∴， 当且仅当时取等号， ∴的最小值为. 20．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.设直角梯形的高为x cm. （1）当x＝20时，求海报纸的面积； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)，最小面积是多少? 【答案】（1）海报面积为，     （2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少，最小面积是.      【分析】 （1）根据已知条件，先求出每个梯形的下底（较长的底边）边长，再分别求出，，即可求解； （2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． (1) 小问详解： 依题意，图中阴影部分的面积之和为，直角梯形的高为， 则其中每个梯形的下底（较长的底边）边长为， 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， ，， 故海报纸面积为． (2) 小问详解： 直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， 则每个梯形的下底（较长的底边）边长为， 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， ， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即时等号成立， 故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少，最小面积是. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知集合，，那么（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 解不等式，直接求并集. 【详解】 由已知得， 所以， 故选：C. 2．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题可得，恒成立，由即可求出. 【详解】 因为命题“，使”是假命题， 所以，恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分和讨论，当时，利用二次函数单调性即可得到不等式组，解出即可. 【详解】 当时，，符合题意； 当时，因为其在上单调递增，则二次函数的开口只能向下， 根据二次函数单调性知 ，解得， 综上所述实数的取值范围是. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的的值之和是（       ） A. 13 B. 15 C. 21 D. 26 【答案】B 【分析】 令，结合二次函数的图象以及题意得到和 ，再根据，即可求解. 【详解】 解：设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线， 根据题意可得：， 解得：， 解集中有且仅有5个整数， 结合二次函数的对称性可得： ， 解得：， 又， ， 即符合题意的的值之和. 故选：B. 5．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可. 【详解】 解：∵“不等式在R上恒成立”， 显然不满足题意， ∴ ，解得， 对于A，是充要条件，故A错误； 对于B，因为推不出，故B错误； 对于C，因为，反之不能推出，故C正确； 对于D，因为推不出，故D错误． 故选：C． 6．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（       ） A. a≤2或a≥3 B. 2≤a≤3 C. a≤-3或a≥2 D. -3≤a≤-2 【答案】A 【分析】先确定二次函数f（x）=x2-2ax+1的单调区间，然后根据题目中提供的单调区间，分析参数的取值范围 【详解】根据题意：二次函数f（x）=x2-2ax+1，单调递增区间：;单调减区间    因此：（1）二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调增函数，则a≤2 （2）二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调减函数，则a≥3 故选：A 【点睛】考查根据二次函数的单调区间，求解析中的参数 7．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）已知集合，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 解不等式求得集合，进而求得. 【详解】 ，解得，所以， 所以. 故选：B 8．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）函数在上单调递增，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次函数的单调性可得答案. 【详解】 因为函数在上单调递增， 所以，解得 故选：D. 9．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】A 【分析】 利用基本不等式来求最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】 由于，所以有，当且仅当时取等号， 即， 解得， 故选：A. 10．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由二次函数的单调区间与对称轴的关系求解. 【详解】 函数的对称轴方程为， 因为函数在区间单调， 所以对称轴位于区间的一侧，所以或， 解得或， 所以实数的取值范围为， 故选：A. 11．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知，则“”是“不等式的解集为”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 先求出“不等式的解集为”的等价条件，再考查两个范围之间的包含关系即得结论. 【详解】 由题意，不等式的解集为，可分为两种情况： ① 当时，不等式为，显然符合题意； ② 当时，需使 ，解得. 综上，可得不等式的解集为 ， 因是的真子集，故“”是“不等式的解集为”的充分不必要条件. 故选：A. 12．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知集合，，，则的真子集共有（     ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【分析】 解不等式化简集合，进而求，根据元素个数求真子集的个数. 【详解】 因为集合， 且，则，即集合有2个元素， 所以集合的真子集共有个. 故选：A. 13．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）设，则“”是“，恒成立”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据一元二次不等式恒成立问题求得，再利用包含关系判断充分、必要条件. 【详解】 若，恒成立， 当时，则，符合题意； 当时，则 ，解得， 综上所述：，即“，恒成立”等价于“”， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“，恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 14．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）“”是“函数在区间上是增函数”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由函数的递增区间求得的范围，由集合关系即可判断. 【详解】 的单调递增区间是， 因函数在区间上是增函数， 则，即， 又是的真子集， 故“”是“函数在区间上是增函数”的充分不必要条件， 故选：A 15．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知二次函数，分别是函数在区间上的最大值和最小值，则的最小值 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】讨论二次函数的对称轴位置，分别判断二次函数的单调性，利用单调性求出最大值与最小值，分别求出的范围，综合四种情况可得结果. 【详解】当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 综上所述，最小值为1，故选B. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质以及分类讨论思想的应用，属于难题. （1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 16．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知，是方程的两实根，且，则实数　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据求出的取值范围，再由韦达定理计算可得. 【详解】 因为，是方程的两实根，且， 显然，则，解得或， 又 ，所以，即，解得. 故答案为： 17．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）关于的一元二次不等式的解集为，则　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 由一元二次不等式的解集与根的关系结合韦达定理可得. 【详解】 因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以的两个根为或2， 由韦达定理可得 ，解得， 所以. 故答案为：1. 18．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）首先解分式不等式化简，解绝对值不等式化简集合，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到 ，解得即可. (1) 小问详解： 由，等价于，解得， 所以，所以或； 由，解，解得， 所以， 当时， 所以. (2) 小问详解： 因为恒成立，所以， 因为，所以 ，解得， 即实数的取值范围为. 19．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知一元二次方程的两根为，则=　　　　　　　　　　　. 【答案】19 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方和公式进行求解即可. 【详解】 一元二次方程的两根为，，所以有， 因此， 故答案为： 20．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 由二次函数的图像的性质可得的取值范围. 【详解】 因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴. 故答案为： 21．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）求下列关于的不等式的解集： （1）： （2）； （3）． 【答案】（1）     （2）     （3） 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）因式分解，结合一元二次不等式解集的形式求解. （2）把分式不等式转化成整式不等式求解. （3）分情况讨论，求一元二次不等式的解集. (1) 小问详解： 由或. 所以所求不等式的解集为. (2) 小问详解： 由 . 所以所求不等式的解集为. (3) 小问详解： 由. 若，则； 若，则，不等式无解； 若，则. 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 22．（25-26学年高一上·北京八一学校·期中）已知最高次项系数为a的二次函数f(x)的两个零点为－3和1． （1）若f(x)与y轴的交点为（0，－3），求f(x)在[－2，2 ]上的最小值； （2）若f(x)在[－2，2 ]上的最大值为20，求a的值． 【答案】（1）－4     （2）－5或4      【分析】 (1)设二次函数方程为两根式，用已知条件与y轴的交点为（0，－3）求得方程，结合给定区间求最值. (2)分两种情况讨论，由抛物线方程可得对称轴为x =－1，则根据区间与对称轴的关系找到最大值点即可求得. (1) 小问详解： 由已知设 ，则，得a = 1．         ∴ f(x)= x2 + 2x－3 =（x + 1）2－4，                                                           抛物线开口向上，对称轴x =－1∈[－2，2 ]，偏左边， 故f(x)在[－2，2 ]上的最小值为f(x)min = f（－1）=－4． (2) 小问详解： f(x)= a（x2 + 2x－3）= a（x + 1）2－4a， 抛物线的对称轴x =－1∈[－2，2 ]，偏左边． 当a＞0时，f(x)在[－2，－1 ]上单调递减，在[－1，2 ]上单调递增，                ∴ f(x)max = f(2) = 5a = 20 ,，解得a = 4．                                                        同理，当a＜0时，f(x)max = f（－1）=－4a = 20解得a =－5． 综上，a的值为－5或4． 23．（25-26学年高一上·北京第五十中学·期中）已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据二次函数的性质，结合题意，求得对称轴，由最值与已知点，可得答案； （2）根据二次函数的性质，由题意可得对称轴与给定区间的关系，建立不等式，可得答案； （3）整理不等式，构造函数，利用分类讨论思想，根据对称轴与区间的关系，可得答案. (1) 小问详解： 由，则二次函数的对称轴， 由二次函数的最小值为，则其顶点为， 可设二次函数，由，则， 所以. (2) 小问详解： 由题意可得，则 ，解得. (3) 小问详解： 由不等式，整理可得， 令，则其对称轴， ① 当，即时，在上单调递增， 则， 令，解得，可得； ② 当，即， 在上单调递减，在上单调递增， ， 令，解得，可得； ③ 当，时，在上单调递减， ， 令，解得，此时无解； 综上所述，. 24．（25-26学年高一上·北京第十五中学·期中）已知二次函数，若不等式的解集为 （1）求实数的值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）结合二次函数与一元二次不等式的关系，根据解集可求得结果； （2）根据对称轴和区间的位置关系分情况讨论确定最小值. (1) 小问详解： 因为的解集为， 所以 ，解得， 所以实数的值为. (2) 小问详解： 因为，二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减， 所以； 当，即时，； 当时，在上单调递增， 所以， 所以的最小值 . 25．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数（）. （1）求关于的不等式的解集； （2）当时，设函数在区间上的最小值为，求的最大值. 【答案】（1） 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；     （2）      【分析】 （1）依题意可得，再对分类讨论，分别求出不等式的解集； （2）分析函数的对称轴所在位置，即可求出函数的最小值，从而得到，再求出的最大值. (1) 小问详解： 不等式，即，即， 当时，即，解得； 当时，不等式可化为，解得或； 当时，不等式可化为， 若，即时，解得； 若 ，即时，解得； 若 ，即时，解得； 综上可得：当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； (2) 小问详解： 当时，开口向上，对称轴为， 当，即时； 当 ，即时在上单调递减，所以； 综上可得 ； 当时，当且仅当即时取等号； 所以. 26．（25-26学年高一上·北京第八中学·期中）已知函数（，）. （1）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）当时，对，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由“三个二次”之间的关系求得，再解二次不等式； （2）分离参数求最值求解. (1) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为，所以方程的两根是和， 所以 ，解得， 所以不等式即，解得， 所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 当时，对，都有， 即在恒成立， 所以在恒成立， 令，则， 又在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 27．（25-26学年高一上·北京第十一中学顺义学校·期中）已知函数. （1）当时，设是的两个根，求的值； （2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围； （3）求在区间的最小值. 【答案】（1）     （2）      （3） 当时，； 当时，； 当时，.      【分析】 （1）根据题意，得到，结合，即可求解； （2）根据题意，利用二次函数的性质，得到或，即可求解； （3）根据题意，利用二次函数性质，分，和，三种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解. (1) 小问详解： 当时，，令，可得， 因为是的两个根，可得， 则. (2) 小问详解： 由函数，可得其图象开口向上，对称轴为， 要使得函数在区间上是单调函数，则满足或， 所以实数的取值范围. (3) 小问详解： 由函数，可得其图象开口向上，对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，函数在区间上单调递减，所以. 28．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知集合，，， （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解不等式，可求出集合，进而求出二者的交集即可； （2）结合（1），由，可得，进而可列出不等关系，求解即可. 【详解】 （1）由，得，等价于，解得， 所以集合， 由，解得或，所以或， 所以或. （2）因为，所以， 即， 所以 ，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】 本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，考查集合的交集，考查根据集合的包含关系求参数，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题. 29．（25-26学年高一上·北京东直门中学·期中）已知函数，． （1）当时，求的最值； （2）若的最小值为，求实数的值． 【答案】（1），；     （2）或.      【分析】 （1）把代入后结合二次函数在区间上的单调性即可求解最值； （2）由已知结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论进而求解即可. (1) 小问详解： 时，，                                                     关于对称， 当时，单调递减，当时，单调递增． ，， ∴． (2) 小问详解： ， 对称轴为，函数图象开口向上，                                                        ① 当时，在上单调递增， 所以 ，即 ，∴； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 ，即 ，无解； ③ 当时，在上单调递减， 所以 ，即 ，∴， 综上，当时，或． 30．（25-26学年高一上·北京汇文中学·期中）已知函数. （1）当时，求的值域; （2）若的最小值为，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）当时，得到函数并用配方法化简，由的值域，得到函数的值域； （2）整理函数解析式，并令换元后利用配方法整理函数解析式，分析二次函数的对称轴的位置，得到函数的最值，然后列方程解得的值. (1) 小问详解： 当时，， 因为，所以，故. 值域为. (2) 小问详解： ， 令，则， 当时，即当时，函数取最小值， ∴,即,解得，∴. 当时，函数没有最小值， ∴. 31．（25-26学年高一上·北京陈经纶中学·期中）已知非空集合. （1）求集合； （2）时，求； （3）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）解一元二次不等式求集合； （2）应用集合的交、补运算求集合； （3）根据题意有是的真子集，列不等式组求参数范围. (1) 小问详解： 由题意，即，解得或， 所以集合或. (2) 小问详解： 当，此时且，故. (3) 小问详解： 若“”是“”的充分不必要条件，且为非空集合，故是的真子集. 则 且后两个不等式不能同时取等号，解得，则的取值范围为. 32．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知二次函数的图象过点，满足，且最小值是． （1）求的解析式； （2）求函数在区间上的最小值（用含的式子表示）； （3）若的两根为，，且，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）依题意可得关于对称，设，代入即可求出的值，从而求出函数解析式； （2）先得出函数含未知数的解析式，讨论的取值范围，在对应范围内分析单调性，得出最小值； （3）依题意可得，由求出的范围，再列出韦达定理，由求出的范围，即可得解. (1) 小问详解： 因为满足，所以关于对称， 又最小值是，所以设， 又图象过点，所以，解得. 所以，即； (2) 小问详解： 因为，， 则的对称轴为，开口向上， 当时，函数在上单调递增，最小值为； 当时，函数的最小值为； 当时，函数在上单调递减，最小值为， 综上可得 ； (3) 小问详解： 方程，即， 因为的两根为，， 所以，解得或， 此时 ， 又，即，即，解得， 又或， 所以或， 所以的取值范围为. 33．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知关于的不等式的解集为. （1）若，求实数的取值范围； （2）当时，集合中有且仅有1个整数，求实数的取值范围； （3）当时，求不等式的解集. 【答案】（1）     （2）     （3） 当，不等式的解集为； 当且，即时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）把代入求解即可； （2）含参讨论解一元二次不等式，结合不等式解集中的整数解计算即可； （3）根据题意，分，，，讨论求解即可． (1) 小问详解： 因为，所以当时，. 将代入得，解得； (2) 小问详解： 由，因式分解得， 因为，所以，不等式的解集=， 因为集合A中有且仅有1个整数，这个整数只能是0， 所以， 解得； (3) 小问详解： 由，因式分解得， 当，不等式的解集为； 当且，即时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 34．（25-26学年高一上·北京第三十五中学·期中）已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或；     （2）.      【分析】 （1）先解分式不等式和一元二次不等式，再由集合的交并补运算可得； （2）先解绝对值不等式，再将集合的运算关系转化为包含关系可得. (1) 小问详解： 由，得到或，即或， 再由，得，解得，所以， 或，，如图： 或； (2) 小问详解： 由，且，得到， 又因为，且，所以 ，解得，如图： 所以实数的取值范围为. 35．（25-26学年高一上·北京第四中学·期中）设，是关于的方程的两个实数根. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若，是两个不相等的正数，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用韦达定理结合多项式展开求解. （2）通过分式变形结合韦达定理列方程求解并验证判别式. （3）根据正数根的条件，结合判别式、根的和与积的符号列不等式组求解. (1) 小问详解： 当时，方程为，由韦达定理得，. . (2) 小问详解： 由，根据韦达定理，，， 则，解得. 验证判别式，故. (3) 小问详解： 因为是不相等的正数，所以：判别式， 即，解得或； 两根之和，即； 两根之积，即. 综上，，故实数的取值范围是. 36．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）设，解关于的不等式：. 【答案】若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 【分析】 整理可得，分类讨论首项系数以及两根大小解不等式即可. 【详解】 对于不等式，可得， 1.若，可得，解得； 2.若，令，解得或， （1）若，则，解得或； （2）若，则有： ① 若，则，解得； ② 若，则，无解； ③ 若，则，解得； 综上所述：若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 37．（25-26学年高一上·北京昌平区第二中学·期中）设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对于任意实数都恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）     （2）     （3） 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为.      【分析】 （1）由题意0和是方程的根，利用韦达定理列方程求解即可； （2）由题意不等式对于任意实数恒成立，然后按照和分类讨论，利用判别式法列不等式组求解即可； （3）不等式化为，按照、、、和分类讨论，解不等式即可得解. (1) 小问详解： 由题意知，0和是方程的根，且， 所以 ，即 ，解得. (2) 小问详解： 由题意知，不等式对于任意实数恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，要使不等式恒成立，则需 ， 即 ，解得； 综上，的取值范围为 (3) 小问详解： 由，则，即. 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式化为，所以， 则不等式的解集为； 当时， ① 当时，，不等式化为，所以，其解集为； ② 当时，，不等式的解为或， 其解集为或； ③ 当时，，不等式的解为或， 其解集为或. 综上所述，当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为. 38．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）若在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）1     （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为.     （3）4      【分析】 （1）由题意可得2和4为方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法求解即可； （3）结合开口方向及对称轴讨论求解即可. (1) 小问详解： 由题意，不等式的解集为， 则2和4为方程的根，且， 所以 ，解得. (2) 小问详解： 由，则，， 则. 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为， 若，即时，解得或； 若，即时，不等式为，解得； 若，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. (3) 小问详解： 函数的对称轴为， 当时，函数开口向下，且对称轴为， 则函数在上单调递减， 所以，不满足题意； 当时，函数开口向上，且对称轴为， 若，即时，函数在上单调递减， 则，不满足题意； 若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 解得（舍去）或. 综上所述，. 39．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）若函数的图象恒在函数图象的上方，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意，可转化问题为对于恒成立，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】 由题意，不等式对于恒成立， 则对于恒成立， 当时，不等式为，不恒成立， 当时，由 ，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 40．（25-26学年高一上·北京广渠门中学·期中）学校将举办第十二届“星光杯”班级合唱比赛.高一某班为了筹集合唱节采购的费用，决定开展爱心义卖，销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据以往爱心义卖的数据分析，预计累计总净利润）（单位：百元）与销售天数（）满足 （1）为保证累计总净利润不为负，求最多销售的天数； （2）销售多少天时，能使每天的平均净利润最大？（每天的平均净利润） 【答案】（1）18     （2）6      【分析】 （1）令，解不等式即可求解； （2）由题意得每天的平均净利润为，进而根据基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 由题意，令， 则，即，解得， 由于，则为保证累计总净利润不为负，最多销售18天. (2) 小问详解： 由题意，每天的平均净利润为， 而，当且仅当，即时等号成立， 则， 所以销售6天时，能使每天的平均净利润最大. 41．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）已知函数． （1）若函数满足___________（从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件），求函数的解析式； 条件①：方程的两根为，且． 条件②：不等式的解集为； 条件③：函数与轴交于两点，且． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．如果选择的条件不符合要求，第一问得0分． （2）在（1）的条件下，当时，函数的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据韦达定理，可求的值. （2）把问题转化成：，恒成立.再求函数，的最大值即可. (1) 小问详解： 若选择条件① ，则，， 因为，所以. 所以. 若选择条件② ，则是方程的两根，由韦达定理， 所以. 若选择条件③ ，设是函数的两个零点，则，， 由， 所以. 所以. (2) 小问详解： 问题转化为：当时，恒成立. 则，恒成立. 因为函数，在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以. 所以实数的取值范围是. 42．（25-26学年高一上·北京中关村中学·期中）求解下列关于的不等式： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）     （2）      （3） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或.      【分析】 （1）将分式不等式化为，利用二次不等式的解法求解集即可； （2）将原不等式因式分解化为，然后解绝对值不等式即可得解. （3）应用分类讨论求含参一元二次不等式的解集. (1) 小问详解： 由，则， 故，即，可得， 所以不等式的解集为； (2) 小问详解： 由得，所以， 即，可得， 所以不等式的解集为； (3) 小问详解： 由， 当即时，原不等式的解为或； 当即时，原不等式的解为； 当即时，原不等式的解为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 43．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知关于的方程组 解集中只有一个元素，则实数　　　　　　. 【答案】或 【分析】 在方程组中消去，得出，由题意知该方程只有一解，按照和分类讨论，利用判别式法求解即可. 【详解】 将代入得， 当即时，方程为，解得，符合题意； 当即时，关于的一元二次方程只有一解， 所以，解得. 综上，或1. 故答案为：或. 44．（25-26学年高一上·北京理工大学附属中学·期中）已知一元二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】（1） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.     （2）      【分析】 （1）分析可知，且关于的方程的两根分别为、，结合韦达定理得出，，将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）由题意得出，可得，则所求代数式可化为，结合基本不等式可求其最大值. (1) 小问详解： 已知一元二次函数，且的解集为， 则，且关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，，可得，， 则不等式即为， 即，即， 当时，即当时，解原不等式得或； 当时，即当时，原不等式即为，即，解得； 当时，即当时，解原不等式得或， 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. (2) 小问详解： 对任意，不等式恒成立，即恒成立， 因为，则 ，所以， 可得， 所以 ， 当且仅当 时，即当 时，上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 45．（25-26学年高一上·北京育英中学·期中）已知集合，． （1）若，求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用绝对值不等式以及一元二次不等式化简集合,即可根据并集定义求解， （2）根据交集的结果可得，即可分类讨论求解. (1) 小问详解： 由可得， 当时，， 故 (2) 小问详解： 由可得， 当时，，解得，符合题意， 当时，若 ，则， 故，解得， 若 ，则， 故，解得， 综上可得 46．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知函数，不等式的解集为，其中． （1）若，求的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个不相等的负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则. (2) 小问详解： 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个不相等的负实数根， 则满足 ，解得且， 所以实数的取值范围为. 47．（25-26学年高一上·北京西城区北京师范大学附属中学·期中）设函数. （1）当时，求的最小值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）12     （2）     （3）      【分析】 （1）根据函数单调性即可求解 （2）根据一元二次不等式在上能成立的条件即可求解； （3）分离参数转化为函数最值问题. (1) 小问详解： 当时，单调递增，所以. (2) 小问详解： 不等式即为， 若存在，使得不等式成立，则， 解得或，所以的取值范围为. (3) 小问详解： 即为，变形为， 当，不等式即为，满足题意， 当时，则， 设，若对于时， ，只需，， 当且仅当，即时等号成立，故， 所以的取值范围为. 48．（25-26学年高一上·北京北京师范大学附属实验中学·期中）已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），     （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.     （3）      【分析】 （1）分析可知的两根为和2，且，代入运算求解； （2）整理可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （3）分析可得，换元令，结合二次函数最值分析求解. (1) 小问详解： 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为和2，且， 所以 ，解得： ． (2) 小问详解： 由（1）知可化为， 即， 又，则不等式可化为， 当，即时，解得，即的解集为； 当 ，即时，解得，即的解集为； 当 ，即时，解得，即的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 小问详解： 若对任意的实数，恒成立， 由（1）可化为， 即，对任意恒成立， 令，则，可得对任意的恒成立， 令，， 因为，对称轴为，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 49．（25-26学年高一上·北京铁路第二中学·期中）已知函数. （1）给出的一个定义域，使得的值域为；（结论不要求写证明过程） （2）当（）时，求的最大值及对应的的值. 【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）     （2） 当时，的最大值，此时； 当时，的最大值，此时； 当时，的最大值，此时.      【分析】 （1）根据二次函数单调性以及函数值求相应的端点值，即可得定义域； （2）分、和三种情况讨论，结合二次函数单调性求最值即可. (1) 小问详解： 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，在内单调递减， 令，解得或； 令，解得； 例如，符合题意. (2) 小问详解： 因为在内单调递增，在内单调递减， 若，则有： 当，即时，在内单调递增， 则的最大值； 当，即时，在内单调递增，在内单调递减， 则的最大值； 当时，在内单调递减， 则的最大值； 综上所述：当时，的最大值，此时； 当时，的最大值，此时； 当时，的最大值，此时. 50．（25-26学年高一上·北京清华大学附属中学·期中）已知二次函数的一个零点为1，且满足． （1）求的解析式； （2）求函数在上的最小值； （3）设，垂直于轴的直线分别交函数与的图象于两点，若线段的长度恒大于2，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为.     （3）      【分析】 （1）由题可知， ，求解可得的解析式； （2）由（1）求得函数的对称轴，从而得到函数的单调性，分类讨论，所给区间与对称轴的位置关系，可得函数在上的单调性，从而求得其最小值； （3）将“线段的长度恒大于2”转化为一元二次不等式恒成立问题，即可求得实数的取值范围． (1) 小问详解： 由题可知， ，解得 . 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，即时，在上单调递减，所以在处取得最小值，最小值为； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为； 当时，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为. 综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当 时，的最小值为. (3) 小问详解： 由题可得，则 则得① 或② ， 由① 得恒成立，故，解得； 由② 得，因，故此式不能恒成立. 综上，可得实数的取值范围是. 51．（25-26学年高一上·北京中国人民大学附属中学·期中）已知函数 （1）当时，不等式的解集为　　　　　　　　． （2）若，不等式恒成立，则的取值集合为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （1）由求根公式求得对应一元二次方程两根即可求解； （2），由在必须有相同零点，且在相同区间上同号，即可求解. 【详解】 （1）当时， 由，可得：， 所以的解集为； （2）由（1）知，当时，不符合题意； 当时，设， 令得， 令， 得， 因为，舍去， 若，不等式恒成立， 则在必须有相同零点，且在相同区间上同号， 则， 解得：， 当时， 在有， 在有， 当时，， 符合，不等式恒成立， 所以的取值集合为， 故答案为：； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $