精品解析：广东省惠州市惠阳区华南师范大学附属惠阳学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

惠阳华附2026—2027年度高二上学期第一次月考 数 学 全卷满分150分，时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱锥中，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 5. 如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A. B. 5 C. D. 6. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 若过点的直线l与以，为端点的线段相交，则直线l的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不是定值 D. 若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 11. 设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若，则 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为___________． 13. 在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 14. 已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，则的三个顶点的横坐标之和为_____________． 四、解答题（本大题共5小题，第15题满分为13分，第16、17满分为15分，第18、19题满分17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为钝角，求实数的范围． 16. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点. （1）证明：； （2）若，求到平面的距离. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点. （1）证明：平面； （2）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 18. 记的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 19. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面，如图2，的中点为. （1）求证：； （2）若的中点为，线段上靠近点的三等分点为. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）设平面内一动点为，当线段与线段的长度之和最小时，求直线与平面成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳华附2026—2027年度高二上学期第一次月考 数 学 全卷满分150分，时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：A. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，故． 3. 如图，在三棱锥中，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得， 因为，则，即，解得． 5. 如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量运算得，利用数量积的运算律，根据即可求得的长. 【详解】因为，所以， 所以 ， 所以，即的长为． 6. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离的向量公式即可求解． 【详解】由题意可得与同向的单位向量 点到直线的距离． 故选：D 7. 若过点的直线l与以，为端点的线段相交，则直线l的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，计算的斜率，得到两者倾斜角，数形结合分析倾斜角的范围. 【详解】 设直线的倾斜角为，如图，若和线段相交，考虑两个端点和连线的斜率， 由题知，， 根据倾斜角和斜率的关系，则的倾斜角分别是， 结合图形可知，时，和线段相交. 8. 正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，设，求解的坐标，由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球，求解三棱锥的外接球的半径为，求解平面的法向量，再由求解即可. 【详解】设正方体棱长为1，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，， 因为点为中点，可得，又设，， 则得，解得，即， 由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球， 由，，，得长方体的体对角线长为， 所以三棱锥的外接球的半径为，即球心为该长方体体对角线的中点，所以， 设平面的法向量为，，， 由，故可取， 因为，所以与平面的法向量为垂直， 则，即，解得，所以. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】计算各选项中的向量是否与共线后可得正确的选项. 【详解】对于A，，故可为平面的法向量； 对于B，若，则，无解，故不为平面的法向量； 对于C，，故可为平面的法向量； 对于D，若，则，无解，故不为平面的法向量； 故选：AC. 10. 如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不是定值 D. 若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面，判断A，对于B：可证平面，即可得面面垂直；对于C：根据平行关系可知点P到平面的距离相等，结合锥体的体积公式分析判断；对于D：作辅助线，分析可知所求截面即为四边形，进而可得结果. 【详解】对于A，连接，如图， 由于平面，平面，故; 又在正方形中，平面， 故平面，平面，故； 同理可证，而平面， 故平面，由于点为线段上的动点， 当P与B重合时，即有平面，A正确； 对于选项B：结合图可知平面即为平面， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面，故B正确； 对于选项C：因为平面平面，且平面， 则点P到平面的距离等于正方体棱长2，即三棱锥的高为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故C错误； 对于选项D：连接并延长交BC于点M， 因为，则，可知M为BC的中点， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则，， 且，，可得，， 可知四边形为平行四边形，则， 同理可得，所以， 可知所求截面即为四边形，可得， 即四边形为菱形，且， 所以所求截面面积为，故D正确. 11. 设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用和事件的概率公式，及相互独立事件同时发生的概率公式即可求解；对于B，利用互斥事件的关系即可求解； 对于C，根据积事件的概率公式，及事件的关系即可求解； 对于D,根据和事件的概率公式求出再由相互独立事件的定义得到A与B相互独立再利用和事件的概率公式即可求解 【详解】若A与B相互独立，则， ∴，故A正确； 若A与B互斥，则，∴，故B错误； ∵，∴， ∴，故C正确； ∵，∴， ∴A与B相互独立.∴与B相互独立，A与相互独立. ∴ ，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间坐标平面中点的坐标定义易得. 【详解】设点在坐标平面内的射影为，则平面. 根据空间坐标平面中点的坐标定义，易得，故得. 故答案为：. 13. 在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【详解】连接，，交点为，连接，， ，或其补角为异面直线与所成的角， 结合题中条件，正四棱锥中，，则四边形为边长为1的正方形，每个侧面为边长为1的正三角形，则，， 在正三角形中，为的中点，则，， 则，所以， 则，故异面直线与所成角的余弦值为. 14. 已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，则的三个顶点的横坐标之和为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，则可得，，，不妨设，且直线的倾斜角为，可得，然后利用算出答案即可. 【详解】设点， 则，， 不妨设，且直线的倾斜角为 因为是等边三角形，所以 所以 故答案为： 【点睛】本题以抛物线为载体，考查了直线的斜率和三角函数的和差公式，属于较难题. 四、解答题（本大题共5小题，第15题满分为13分，第16、17满分为15分，第18、19题满分17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）若，求实数； （2）若向量与所成角为钝角，求实数的范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的坐标运算求解即可得到答案. （2）根据题意得到，再结合（1）的情况即可得到答案. 【小问1详解】 ，， 因为，所以，即， 所以. 【小问2详解】 ，， 因为向量与所成角为钝角， 所以，即，解得. 当与平行时，由（1）知：， 所以向量与所成角为钝角，实数的范围且. 16. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点. （1）证明：； （2）若，求到平面的距离. 【答案】（1） 因为为等边三角形，是棱的中点， 所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明⊥平面，再利用线面垂直的性质定理可得答案； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标和平面的法向量，由点到平面的距离公式得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，与相交于点，连接， 因为四边形为矩形，故为的中点， 又为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； 故到平面的距离即为到平面的距离， 取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得， 故， 所以到平面的距离， 故到平面的距离为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点. （1）证明：平面； （2）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）连接，交于点，连接， 因为底面为矩形，所以点是的中点， 又点是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，即可证明，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，设且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，或， 因为底面为矩形，底面， 所以以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 又， 设， 则， 设直线与平面的夹角为，且直线与平面所成角的余弦值为， 则， 整理得，所以，解得或， 又， 当时，，当时，，则的长为或. 18. 记的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和变形得到，从而求出； （2）（i）由的面积得到方程，求出，由余弦定理得，从而得到三角形周长； （ii）由为锐角三角形，得，在中，由正弦定理得到方程，求出，，变形得到，由，得到面积的取值范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 因为，所以，即， 可得， 因为，所以. 【小问2详解】 （i）由以及的面积为，得，则， 因为，由余弦定理得，得， 解得，所以的周长为； （ii）为锐角三角形，，故，且 解得. ，分别平分角，角，则，，. 在中，由正弦定理得， 即，. 又由，得， 所以 . 由，得，故， 因此面积的取值范围为. 19. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面，如图2，的中点为. （1）求证：； （2）若的中点为，线段上靠近点的三等分点为. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）设平面内一动点为，当线段与线段的长度之和最小时，求直线与平面成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）（i）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可；（ii）当线段PD与线段PC的长度之和最小时，要使最小，利用对称法，作D关于平面的对称点，连接，与平面的交点即为，再应用线面角正弦公式计算求解. 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 （i）取的中点为，连接，则且， 由直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直， 分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，， 依题意，， 则，， 设平面的法向量为， 由，得到，则可取， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. （ii）设平面内一动点为， 不妨设关于平面的对称点，设与平面的交点即为， 因为平面的法向量为， 设，则中点为在平面上，， 所以， 因与平面法向量平行， 则，设比值为，则得， 代入中，得， 解得，故， 又因为， 设直线与平面的交点为， 且，则， 则有， 又因为， 将代入得，解得，则， 故，易得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $