精品解析：江苏连云港市赣榆第一中学2026-2027学年第一学期第一次学情检测高二年级数学试题

高二年级10月学情检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 下列叙述正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列的一个通项公式为 C. 数列是常数列 D. 数列与数列是相同的数列 3. 若是与4的等比中项，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 4. 已知数列与均为等差数列，且，，则（ ） A. 9 B. 18 C. 16 D. 27 5. 洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 6. 已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 7. 设等比数列前项和为，，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 各项为正数等比数列中，，则取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，则（    ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当时，的最大值为或 C. D. 当时， 11. 在数列中，已知，，，其前项和为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的倾斜角为，将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的倾斜角为______. 13. 已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比______. 14. 已知数列的前项和为，.若，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前37项和______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，点为平面直角坐标系上一点． （1）若点且三点共线，求实数的值； （2）若过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围． 16. （1）在等比数列中，若，，求和公比q． （2）在等差数列中，，，求． 17. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和. 18. 已知数列中，且，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 19. 已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级10月学情检测数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的倾斜角与斜率的关系求解． 【详解】直线的倾斜角为，则直线的斜率是：． 2. 下列叙述正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列的一个通项公式为 C. 数列是常数列 D. 数列与数列是相同的数列 【答案】A 【解析】 【分析】分别应用递增数列、数列的通项公式、常数列、数列的概念进行判断即可. 【详解】对于选项A，令，则，所以数列是递增数列.故选项A正确； 对于选项B，，所以不是数列的一个通项公式.故选项B错误； 对于选项C，常数列是每一项都是同一个常数的数列，显然数列不是常数列.故选项C错误； 对于选项D，数列是按照一定顺序排列的一列数，与顺序有关系， 数列与数列的数字相同，但是顺序不相同，所以是不同的数列，故选项D错误. 故选：A. 3. 若是与4的等比中项，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项的性质即可列方程求解. 【详解】由于是与4的等比中项，故，解得， 故选：D 4. 已知数列与均为等差数列，且，，则（ ） A. 9 B. 18 C. 16 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项的公式，令两式相加即可得出答案. 【详解】因为数列与均为等差数列，且，， 所以 所以， 则. 故选：. 5. 洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C 6. 已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 7. 设等比数列前项和为，，则“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出和为递增数列的充要条件，判断它们之间的关系，即得答案. 【详解】是等比数列，. 由，得，即， 所以，所以，所以或， 所以的充要条件为或. 又，所以数列为递增数列的充要条件为， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“为递增数列的必要不充分条件”. 故选：B. 8. 各项为正数等比数列中，，则取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用等比数列性质计算结合基本不等式计算求解. 【详解】正数等比数列中，， 则，当且仅当时取等号， 又因为，设公比为，所以， 则取最小值时，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，则（    ） A. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，可以求出数列的通项公式，代入选项计算可得答案. 【详解】A，由题意得，所以是常数列，故是首项为2，公差为0的等差数列，故A正确； B，由，所以是首项为1，公比为2的等比数列，故B错误； C，由， 所以数列是首项为0，公差为的等差数列，故C正确； D，由， 所以是首项为2，公比为4的等比数列，故D正确. 故选：ACD 10. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 当时，的最大值为或 C. D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由及前n项和公式可得，对于A，由即可判断；对于B，当时，数列单调递减，又，可知在或时取得最大值，即可判断，对于C，由即可判断，对于D，由，可得． 【详解】根据题意可得， 即． 对于A， ； 对于B，， ，，等差数列单调递减， 当时，的最大值为或，故B正确； 对于C，，且公差不为0， ，故C不正确； 对于D，， ，故D正确． 故选：ABD． 11. 在数列中，已知，，，其前项和为，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由得， 由得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故，，故AB正确； 因为，所以，故C错误； 因为时，时， 所以；， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的倾斜角为，将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的倾斜角为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线的倾斜角的定义求解． 【详解】已知直线的倾斜角为， 将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线， 则直线的倾斜角为． 13. 已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量运算与等比中项的定义计算即得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 因该数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则， 即，整理得，因， 则得，于是该等比数列的公比为. 14. 已知数列的前项和为，.若，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，则数列的前37项和______. 【答案】1460 【解析】 【详解】当时， 又符合上式，所以，则， 与之间插入个，与之间插入个，与之间插入个， 与之间插入个，与之间插入个， 故数列的前37项和 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，点为平面直角坐标系上一点． （1）若点且三点共线，求实数的值； （2）若过点的直线与线段相交，求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）三点共线问题可转化为任意两点连线的斜率相等，通过建立方程求解未知参数；（2）求过定点的直线与线段相交的倾斜角范围，可先计算定点到线段两端点的直线倾斜角，再结合倾斜角的变化规律确定取值区间. 【小问1详解】 由题意，斜率存在， 因为点，，三点共线，所以， 所以， 解得． 所以实数的值是． 【小问2详解】 设直线，，的倾斜角分别为，，，由图知． 可得，． 又， 所以，． 所以． 所以直线的倾斜角取值范围是． 16. （1）在等比数列中，若，，求和公比q． （2）在等差数列中，，，求． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式和前n项和公式列式求解； （2）利用等差数列的前n项和性质求解. 【详解】（1）由，，得，即，又， 于是，解得或. （2）∵数列为等差数列， ∴，，，…，也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为 ， 即（*）．又∵，代入（*）式，解得， ∴， ∴． 17. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前项和. 【答案】（1）（）. （2）（）. 【解析】 【分析】（1）求等差数列通项，可将题目条件转化为关于首项和公差d的方程组，解出基本量后代入通项公式即可；（2）含绝对值的等差数列求和，先确定通项正负的分界项，再分区间去掉绝对值，分别用等差数列求和公式计算分段结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意， 解得，， 所以（）. 【小问2详解】 设， 所以，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 再设（）. 当，时， ； 当，时， ． 所以 （）. 18. 已知数列中，且，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）由可得， 所以，即． 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义构造递推式即可得证； （2）利用等差数列的通项公式求出，进而代入求出的通项公式； （3）由题意，运用并项求和的方法计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以． 所以． 【小问3详解】 因， 取为奇数，可得． 则 ． 19. 已知数列的前项和为，，设． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） 由， ，得， 因为， 所以数列是等比数列； （2）； （3） ， . 【解析】 【分析】（1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可； （3）运用裂项相消法进行运算证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 因为， 所以， ， ，得， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $