第1章 三角形 单元自测·培优卷 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

第1章 三角形·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：130分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷共27题：选择8题（24分）、填空8题（24分）、解答11题（82分），满分130分，限时120分钟。 题型及分值参照2026年苏州市中考数学，本卷内容仅限本章。请在本卷预留区域作答。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第3题）在中，，点在线段内部，且。仅依据三边分别相等，可以直接判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（选自2024·扬州邗江期中，公开重排版第7题）四边形中，，。可直接判定的依据是（　　） A． B． C． D． 3．（选自2024·南通通州期中，公开重排版第10题）中，。一个与它全等的三角形有一个内角为，则此角在中的对应角是（　　） A． B． C． D．或 4．（选自2024·扬州邗江期中，公开重排版第5题）一个等腰三角形底边上的高恰等于底边长的一半，则其顶角为（　　） A． B． C． D． 5．（选自2024·扬州仪征期中，公开重排版第8题）已知线段，要作，使，，边上的中线。假设这样的三角形可以作出，下列步骤的合理顺序是（　　） ①延长至，使；②连接；③先作，使，，。 A．③①② B．①②③ C．②③① D．③②① 6．（选自2024·扬州树人期中，公开重排版第2题）在中，。的垂直平分线与边交于，连接。若，则为（　　） A． B． C． D． 7．（选自2024·扬州仪征期中，公开重排版第1题）中，于，平分，为与的交点。若，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第2题）点位于直线两侧，，。必然成立的是（　　） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（编制）已知，，，。若，，则________。 10．（选自2024·扬州邗江期中，公开重排版第18题）一个等腰三角形的两条边长分别为和， 周长为________。 11．（选自2024·南通通州期中，公开重排版第12题）一个等腰三角形有一个内角为， 其顶角可能为________。 12．（选自2024·苏州振华期中，公开重排版第10题）在中，，为边上的中线，为的平分线。若，则________。 13．（选自2024·扬州树人期中，公开重排版第17题）在中，，于。若，，则周长为________。 14．（选自2024·扬州邗江期中，公开重排版第17题）一个等腰三角形两底角均为，腰长为， 则其面积为________。 15．（改编自2024·南通通州期中，公开重排版第11题）在中，平分，在上。若，，则________。 16．（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第12题）面积为。平分，且于，点在三角形内部，则面积为________。 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17．（5分）（选自2024·南通通州期中，公开重排版第20题）平分的，在上；在上，，过作交于。 （）证明：。 （）若，，求。 18．（5分）（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第21题）中，。点在其内部，，直线交于。 （）证明：。 （）证明：。 19．（6分）（改编自2025·镇江期末，公开重排版第20题）点依次位于同一直线上，。点位于该直线两侧，，。 （）证明：。 （）证明：。 20．（6分）（选自2024·南通通州期中，公开重排版第25题）中，，为中点，过作于、于。 （）证明：。 （）若，，求周长。 21．（6分）（改编自2024·扬州邗江期中，公开重排版第20题）在中，。点在射线上且在外侧，过作于，交线段于。 （）证明：。 （）若，求。 22．（8分）（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第21题）已知及内部两点。用无刻度直尺和圆规，在角内部作点，使，且到直线的距离相等。这两个条件确定的两条轨迹有唯一内部交点。 （）完成作图，保留痕迹。 （）说明作图理由。 23．（8分）（改编自2024·扬州仪征期中，公开重排版第23题）的两内角平分线、交于，过作，分别交、于、。以下两问的附加条件相互独立。 （）若，求。 （）若周长为，，求周长。 24．（8分）（改编自2024·扬州树人期中，公开重排版第26题）一条直线将图形分成两部分，若面积相等且周长也相等，称它为该图形的“等分积周线”。在中，考虑过顶点的这类直线。 （）当时是否存在？证明。 （）当时，作出一条并说明唯一性。 （）判断“小三角形面积相等就能推出周长相等”是否正确，并写出本题中的准确条件。 25．（10分）（改编自2024·南通通州期中，公开重排版第21题）在直线同侧作、，。从沿向以运动，同时从沿方向以运动，到时停止。 （）几分钟后？ （）若速度改为，在内两直角三角形能否全等（顺序不限）？说明理由。 26．（10分）（改编自2024·扬州仪征期中，公开重排版第7题）等边边长为，为其内部任意一点。过分别作交于，交于，交于。 （）猜想是否改变，写结果。 （）延长交于，点序为、、，证明猜想。 （）在内部时，能否等于？说明。 27．（10分）（改编自2024·扬州仪征期中，公开重排版第27题）等腰中，，在内部，与均为等腰三角形。 （）若，证明这样的存在。 （）求全部可能值，写对应。 （）为何不能从两个小三角形等腰直接写成？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $第1章三角形培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分) 1.(改编自2024扬州树人期中，公开重排版第3题)在△ABC中，AB=AC,点E在线段BC内部，且 BE=CE。仅依据三边分别相等，可以直接判定的是() B 的 A.△ABE≌ACAE B.△ABE≌△CEA C.△ABE≌△ACE D.△ABC≌ABCA 【答案】C 【详解】AB=AC,BE=CE,AE=AE,所以△ABE≌△ACE,依据为SSS。 【易错提醒】公共边也是一条已知相等的边。 2.(选自2024扬州邗江期中，公开重排版第7题)四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD。 可直接判定△ABC≌△ADC的依据是() D C A.ASA B.AAS C.SAS D. HL 【答案】D 【详解】AC为公共斜边，AB=AD,两个直角三角形满足HL。 【易错提醒】先确认公共边是斜边。 3.(选自2024·南通通州期中，公开重排版第10题)△ABC中，∠B=∠C。一个与它全等的三角形有一 个内角为92°，则此角在△ABC中的对应角是() A.<A B.∠B C.<C D.∠B或∠C 【答案】A 【详解】若底角为92，两个底角之和将超过180°。所以只能对应顶角∠A。 【易错提醒】等腰三角形的钝角必为项角。 2 4.(选自2024扬州邗江期中，公开重排版第5题)一个等腰三角形底边上的高恰等于底边长的一半，则 其顶角为() D A.30° B.45 c.90 D.120 【答案】C 【详解】高平分底边，所以每个小直角三角形的两直角边相等，其顶角各为45°，原顶角为90°。 【易错提醒】用高与半底边比较。 5.(选自2024扬州仪征期中，公开重排版第8题)已知线段a,b,m,要作△ABC,使BC=a,AC=b, 边BC上的中线AD=m。假设这样的三角形可以作出，下列步骤的合理顺序是() 体DC=C ①延长CD至B,使BD=CD:②连接AB;③先作△ADC,使2，AC=b,AD=m。 A.③①② B.①②③ C.②③① D.③②① 【答案】A 【详解】先作三边确定的△ADC,再以中点定义确定B,最后连AB,顺序为③①②。 【易错提醒】中线连接顶点和对边中点。 3 6.(选自2024扬州树人期中，公开重排版第2题)在RtAABC中，∠C=90°。AB的垂直平分线与边BC 交于D,连接AD。若∠CAD=20,则∠B为() C B D A.20° B.30 c.35 D.40 【答案】C 【详解】DA=DB,故∠DAB=∠B。又∠CAB=∠B+20,从而2∠B+20°=90，得∠B=35°。 【易错提醒】先由等距确定相等底角。 4 7.(选自2024扬州仪征期中，公开重排版第1题)△ABC中，CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,E为 BE与CD的交点。若BC=10,DE=3,则△BCE的面积为() D E B A.10 B.20 C.15 D.30 【答案】C 1 ×10×3=15 【详解】E到BA,BC的距离相等，故以BC为底的高为3，面积为2 【易错提醒】须先用性质将已知距离转到所选底边。 5 8.(改编自2024扬州邗江期中，公开重排版第2题)点C,D位于直线AB两侧，AC=AD,BC=BD。 必然成立的是() A.CD垂直平分AB B.AB垂直平分CD C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB 【答案】B 【详解】A,B均到C,D等距，所以直线AB是CD的垂直平分线：一般不平分AB。 【易错提醒】对称轴平分连接对称点的线段。 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9.(编制)己知△ABC≌aDEF,AB=5,BC=7,CA=9。若EF=x,FD=y,则x+y= 【答案】16 【详解】按全等式，BC对应EF,CA对应FD,所以x=7,y=9,得x+y=16。 【易错提醒】全等式顺序确定对应，不按字母相邻猜测。 10.(选自2024扬州邗江期中，公开重排版第18题)一个等腰三角形的两条边长分别为6cm和2cm, 周长为 cm。 【答案】14 【详解】若腰长为2，则2+2<6不成三角形。因此腰长为6、底边为2，周长为14。 【易错提醒】分类后仍须检验是否成三角形。 6 11.(选自2024南通通州期中，公开重排版第12题)一个等腰三角形有一个内角为80°， 其顶角可能为 【答案】80°或20 【详解】已知角若为顶角，顶角为80；若为底角，顶角为180°-2×80°=20°。 【易错提醒】未指明该角是哪一类角。 12.(选自2024苏州振华期中，公开重排版第10题)在△ABC中，AB=AC,AD为边BC上的中线， CE为∠ACB的平分线。若∠CAD=20,则∠ACE=。 ⊙ B 【答案】35 【详解】三线合一得∠BAC=40°，因此∠ACB=70°，∠ACE=35°。 【易错提醒】先还原完整顶角，再求底角的一半。 个 13.(选自2024扬州树人期中，公开重排版第17题)在△ABC中，∠B=∠C,AD1BC于D。若 AB=6,CD=4,则△ABC周长为 【答案】20 【详解】由等角对等边得AB=AC=6,由三线合一得BD=CD=4,周长为6+6+8=20。 【易错提醒】等腰前提须先建立。 14.(选自2024扬州邗江期中，公开重排版第17题)一个等腰三角形两底角均为15°，腰长为6， 则其面积为 C A 【答案】9 【详解】顶角为50°。过一腰的端点向另一腰所在直线作高，所得小直角三角形有30°角，这条高为3。面 ×6×3=9 积为2 H 【易错提醒】高可落在边的延长线上。 8 15.(改编自2024南通通州期中，公开重排版第11题)在△ABC中，BG平分∠ABC,G在AC上。若 AB=8,BC=12,S.4BG=18,S.c0G= G 【答案】27 【详解】点G到4B,BC的距离相等，以两边为底有SG:S,cG=8:2=2:3,所求为27。 【易错提醒】正确选两块面积的底。 16.（改编自2024扬州邗江期中，公开重排版第12题)△ABC面积为4。BP平分∠ABC,且AP⊥BP 于P,点P在三角形内部，则△PBC面积为 B 【答案】2 【详解】将A关于BP对称到A,则A在射线BC上，且P为A4中点。故P到BC距离是A到BC距离的 一半，同底得面积为2。 【易错提醒】不能把AP直接当作BC上的高。 9 三、解答题（本大题共11小题，满分82分） 17.(5分)（选自2024·南通通州期中，公开重排版第20题）BD平分△ABC的∠ABC,D在AC上；E 在BC上，DEI‖AB,过E作EFI‖AC交AB于F。 (1)证明：BE=AF。 (2)若∠ABC=56°，∠ADB=100°，求∠AFE。 F D E 【答案】(1)证明见解析：(2)128。 【详解】(I)∠DBE=∠ABD=∠BDE,故BE=DE。又AFI DE,FE∥AD,由公共边AE及两组内错角， 得△AFE≌△EDA(ASA),所以AF=DE=BE。 (2)∠ABD=28,∠BAD=52°。由EFI‖4C,得∠AFE=180-52°-128。 【易错提醒】全等顺序与夹角对应要一致。 【评分标准】(3分)证得BE=DE=AF。 (2分)求<A=52,∠AFE=128 10 18.(5分)（改编自2024扬州邗江期中，公开重排版第21题）△ABC中，AB=AC。点O在其内部， OB=OC,直线AO交BC于D。 (1)证明：∠BAO=∠CAO。 (2)证明：BD=CD。 D 【答案】证明见解析。 【详解】(1)AB=AC,OB=OC,A0=A0,所以△ABO2△4C0(SSS),得所求角相等。 (2)AB=AC,AD=AD,∠BAD=∠CAD,所以△ABD≌△ACD(SAS),得BD=CD。 【易错提醒】OB=OC不能直接说明O是中点。 【评分标准】(2分)以SSS证第一组全等与角等。 (3分)以SAS证BD=CD 11 19.(6分)（改编自2025镇江期末，公开重排版第20题）点A,B,C,D依次位于同一直线上，AB=CD。 点E,F位于该直线两侧，AEI‖DF,AE=DF。 (1)证明：AC=DB。 (2)证明：EC=FB。 E D y C F 【答案】证明见解析。 【详解】(I)AC=AB+BC=DC+CB=DB。 (2)由平行及两侧点位，∠EAC=∠FDB,又AE=DF,AC=DB,所以△EAC≌△FDB(SAS),得 EC=FB。 【易错提醒】需要核对平行线中的点位。 【评分标准】(2分)用公共段求4C=DB (2分)写对夹角并证明全等。 (2分)由对应边得EC=FB】 12 20.(6分)（选自2024南通通州期中，公开重排版第25题）△ABC中，AB=AC,D为BC中点，过D 作DE⊥AB于E、DF⊥AC于F。 (1)证明：DE=DF。 (2)若∠BAC=60°，BE=2,求△AEF周长。 D 【答案】(1)证明见解析：(2)18。 【详解】(1)三线合一得AD平分∠BAC,故角平分线上的点D到两边距离相等，即DE=DF。 13 (2)ABC为等边。在直角三角形BED中，∠BDE=30°，故BD=2BE=4,AB=BC=8,AE=6。同 理AF=6,且∠EAF=60°，所以小等边AEF周长为18。 E ⊙ D 【易错提醒】在BED中找到30度角后再求边。 【评分标准】(2分)证明AD为角平分线及DE=DF。 (2分)得BD=4AB=8AE=6 (2分)证MEF等边并算周长。· 14 21.(6分)（改编自2024扬州邗江期中，公开重排版第20题）在△ABC中，AB=AC。点D在射线CA 上且在A外侧，过D作DE⊥BC于E,DE交线段AB于F。 (1)证明：AD=AF。 (2)若AC=9,CD=12,求BF。 B E C 【答案】(1)证明见解析：(2)6。 【详解】(1)作AH⊥BC于H,三线合一得∠BAH=∠HAC。因DFI‖AH,∠ADF=∠HAC, ∠AFD=∠BAH,所以AD=AF。 15 (2)AD=CD-CA=3,故AF=3,BF=AB-AF=9-3=6。 D 【易错提醒】D在A外侧，要用CD减CA。 【评分标准】(2分)作高并说明顶角平分。 (2分)转角证明AD=AF。 (2分)得D=3BF=6 16 23.(8分)（改编自2024扬州仪征期中，公开重排版第23题）△ABC的两内角平分线B0、CO交于O, 过O作EF‖BC,分别交AB、AC于E、F。以下两问的附加条件相互独立。 (1)若∠B=40,∠C=60°，求∠B0E+∠C0F。 (2)若△AEF周长为8Cm,BC=4cm,求△ABC周长。 B 【答案】(1)50；(2)12cm。 【详解】(1)角平分线及平行线得∠B0E=20,∠C0F=30,角和为50。 (2)等角对等边得BE=EO,CF=FO。所以AB+AC=AE+BE+AF+CF=AE+AF+EF=8,原周长为 8+4=12cm。 【易错提醒】小三角形周长等于AB+AC。 【评分标准】(3分)求角和50。 BE=EO.CF=FO (3分)证明 (2分)线段和转化得12cm。 18 24.(8分)（改编自2024扬州树人期中，公开重排版第26题）一条直线将图形分成两部分，若面积相 等且周长也相等，称它为该图形的“等分积周线”。在△ABC中，考虑过顶点C的这类直线。 (1)当AC≠BC时是否存在？证明。 (2)当AC=BC时，作出一条并说明唯一性。 (3)判断“小三角形面积相等就能推出周长相等”是否正确，并写出本题中的准确条件。 【答案】(1)不存在；(2)C到AB中点的直线，唯一；(3)还须AC=BC。 【详解】设直线交AB于D。同高三角形面积相等当且仅当AD=DB。 两部分周长为AC+AD+CD、BC+BD+CD,在AD=DB时，周长相等当且仅当AC=BC,故(I)不 存在。 (2)等腰时取D为AB中点即可，面积平分已唯一确定D,故直线唯一。 (3)原说法不正确；本题除等面积外还须两邻边AC=BC。 D 【易错提醒】面积条件不自动平分周长。 【评分标准】(2分)等面积强制4D=DB (2分)比较周长并答不存在。 (2分)构造及唯一性。 (2分)纠错和准确条件。 19 25.(10分)（改编自2024南通通州期中，公开重排版第21题）在直线AB同侧作CA⊥AB、BQ⊥AB, AB=12m,CA=4m。P从B沿BA向A以lm/min运动，同时从B沿B0方向以2m/min运动，P到A时 停止。 (1)几分钟后aCAP≌aPBQ? (2)若Q速度改为lm/min,在0<t<l2内两直角三角形能否全等（顺序不限）？说明理由。 B 【答案】(1)4分钟：(2)不能。 【详解】(1)设时间为t,则BP=4,AP=12-4,B0=2t。按所给对应关系，CA=PB与AP=B0在t=4同 时满足，且夹角为直角，故由SAS全等。 20 (2)改速后BO=t。直角只能互相对应。若CA=PB,t为4，但AP=8≠B0=4:若CA=BO,仍t为 4,但AP=8≠BP=4。两种直角边对应均不成立。 C A P 【易错提醒】要同时核验两条直角边。 【评分标准】(2分)列出三条长度关系。 (3分)求=4并核验全等。 (3分)改速后枚举两种直角边对应。 (2分)分别给矛盾，结论不可能。 21 26.(10分)（改编自2024扬州仪征期中，公开重排版第7题）等边△ABC边长为9,0为其内部任意一 点。过O分别作ODI‖BC交AB于D,OEI‖AC交BC于E,OF‖AB交AC于F。 (1)猜想OD+OE+OF是否改变，写结果。 (2)延长FO交BC于G,点序为G、O、F,证明猜想。 (3)O在内部时，OD+OE能否等于9？说明。 O D 【答案】(1)不变，为9；(2)证明见解析；(3)不能。 【详解】(1)猜想OD+OE+OF=9。 (2)由平行线，△GOE、△GCF均等边，故G0=OE,GC=GF。连接DG,由BD‖G0,D0IBG及公共 边DG,证△BDG≌aOGD(ASA),得BG=OD。所以 BC=BG+GC=OD+GO+OF=OD+0E+OF=9 22 (3)内部点给OF>0,故OD+OE=9-OF<9,不能取等号。 DA B E C 【易错提醒】内部点对应截线为正长。 【评分标准】(2分)猜想定值9。 (3分)证明两个小等边。 (3分)证明BG=OD并完成和转化。 (2分)用0F>0说明不能等于9。 23 27.(10分)（改编自2024扬州仪征期中，公开重排版第27题）等腰△ABC中，AB=AC,D在BC内 部，△ABD与△ACD均为等腰三角形。 (1)若∠B=45°，证明这样的D存在。 (2)求∠B全部可能值，写对应∠BAD,∠DAC。 (3)为何不能从两个小三角形等腰直接写成AD=BD=CD? D 【答案】(1)D取BC中点：(2)底角45时两分角均45°，或底角36时分角36,72（顺序可换）；( 3)腰底身份未确定。 【详解】(1)取BC中点D,三线合一得两个等腰直角三角形。 (2)设底角为P,∠BAD=x,∠DAC=y,则x+y=180-2邓，且x,y>0。ABD等腰时，x可能为 B,180-2B,180-B 2:第二种迫使y,=0,舍去。对y同理。 180°-B x,y∈B, 于是配对 2 」。二者均为P,得B=45:一者为B另一者为后一值，得B=36,分角为 36,72:二者均为后一值只能得阝=0，舍去。两有效角配置均可作内部射线实现。 24 (3)例如36度的一种配置是AD=BD,AC=CD,并非三段AD、BD、CD全相等。 【易错提醒】各小等腰的腰底身份须分别讨论。 【评分标准】(2分)45度时构造D。 (2分)设角列三种等腰可能，排退化。 (4分)完整配对得36度、45度和分角。 (2分)指出腰底身份并举反例。 25