第1章 三角形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 初中数学三角形单元提升卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖三角形性质、全等判定等核心知识，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|三边关系、全等判定、特殊点性质|结合游戏公平性情境，考查抽象能力| |填空题|8/16|等腰三角形、稳定性、面积计算|通过折叠、动点问题，发展空间观念| |解答题|11/68|全等证明、性质应用、综合探究|设计模型构建（如26题）、综合探究（如27题），提升推理意识与创新意识|

第1章 三角形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．用长度分别为和的两根木棒与另一根木棒首尾相连围成一个三角形，则另一根木棒的长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设另一根木棒的长度为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 已知两边长分别为和， ∴， 化简得， 观察选项，只有满足． 2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 3．游戏时，3名同学在活动区内的同一点处同时出发，先跑出活动区者获胜．为使游戏公平，出发点最适当的位置应设置在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【详解】解：∵游戏公平要求三名同学从出发点到活动区边界（即三边）的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三条角平分线的交点到三边的距离都相等， ∴最适当的位置是三条角平分线的交点． 4．如图，在中，，点在边上，过点作，过点作，交的延长线于点，．若，，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】证明，得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 6．如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 7．如图，线段分别是的角平分线、中线和高线，则下列结论中错误的是（     ） A．点D到和的距离相等 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，三角形的中线平分面积，以及垂线段最短，进行判断即可. 【详解】解：∵线段分别是的角平分线、中线和高线， ∴点D到和的距离相等，，，， ∴错误的是选项D. 8．如图，在中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，利用全等三角形的判定和性质依次判断可求解． 【详解】解：，，， ，， 把折叠，使落在上，点与上的点重合， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 图中共有4对全等三角形，故①正确； ， ， ， ， 将沿折叠，则点一定落在上，故②错误；，， ， ，故③正确； 连接， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．如图，在中，，，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】由等角对等边得，根据等腰三角形三线合一得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．已知三角形的三边长分别为1，，4，则化简的结果为_____． 【答案】 【详解】解：∵三角形的三边长分别为1，，4， ∴，即， ∴， ∴． 11．如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 【答案】① 【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，只带①的一块碎片到商店去合适，①有完整的两角与夹边，由“”可以作出与原三角形全等的三角形； ②没有完整的边或角，③只有一个完整的角，由全等三角形的判定方法，②和③都不可以作出与原三角形全等的三角形． 12．如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】根据题意得和，过点作于点，过点作于点，根据角平分线得，则有，结合，解得，即可得． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∵的面积为8， ∴， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 13．如图，是的角平分线，过点作交的延长线于点，延长、交于点，点在上，连接．若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】证明，得到，即可解答． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．如图，在四边形纸片中，，将，分别对折，如果两条折痕恰好相交于上一点，点，都落在边上的处，若四边形的面积是，，则_____． 【答案】 【分析】先根据折叠的性质可得，，由此证明，结合，可得，进而求出． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴，即， ∵四边形的面积是， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．如图，在等边中，D为上一点，连接，在左侧作，且，连接，过点D作交延长线于点F．若，，则AF的长度为_______． 【答案】 【分析】如图：连接，易证是等边三角形可得，再证明可得，，进而得到、，最后根据含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接 ， ∵等边， ∴，， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 【答案】2或4 【分析】根据题意和这两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴运动时间为； 当时，则， ∴运动时间为； 综上所述，当运动或时，与全等． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．如图，，点在边上，与交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】利用全等三角形等角减去公共角得到两角相等，结合已知总角与中间角求出两角之和，平分后算出目标角度． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 由图可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 18．已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 【答案】(1) 等边三角形 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：∵， ，且， ， 为等边三角形． （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴：． 19．如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)，理由如下： ， ∴ ， ， ∴， 平分 ， ∴， ， ∴； (2)10 【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明，再由证明即可； （2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ， ∴， ， ∴的周长为． 20．如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，点是的中点， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得垂直平分，得出，再求出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质得出，再由点是的中点得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∵点是的中点， ． 21．如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由． 【答案】(1)证明：是的角平分线， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ． (2)， 理由：，D是中点， 是的垂直平分线， ， 由（1）得，， ， ． 【分析】（1）由是的角平分线，可得，由，，，可证即可； （2）先证得是的垂直平分线，再由（1）的结论即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)的周长； (2)证明：，垂直平分，垂直平分， ，， ， 平分． 【分析】（1）证明，，进一步求解即可； （2）证明，结合角平分线的判定可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵垂直平分， ， 同理：， 的周长． （2）略 23．如图，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，满足． (1)_____． (2)求证：； (3)求证：是等腰直角三角形； (4)若，四边形的面积为_____．（用含的代数式表示）（提示：由于，四边形的面积和的面积相等） 【答案】(1) (2)证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴． (3)证明：由（2）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (4) 【分析】（1）根据平角的定义即可得出答案； （2）利用角的和差关系得出，即可证明； （3）根据全等三角形的性质得出，根据，利用角的和差关系得出，即可证明是等腰直角三角形； （4）根据全等三角形的性质得出，结合（3）中结论，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在的延长线上， ∴． （2）证明：略 （3）证明：略 （4）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为． 24．解决以下问题 感知：如图①，平分，，，易知：． 探究： (1)如图②，平分，，，求证：． 应用： (2)如图③，四边形中，，，，求的值（用含a的代数式表示） 【答案】(1)证明：如图②中，作于，交的延长线于， ∵平分，，，则 ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接、作于，交的延长线于，证明即可； （2）连接、作于，交的延长线于，先证明，再证明，然后得到，再根据角直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图③，连接、作于，交的延长线于， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴ ∴， ∴． 25．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 和等高三角形的性质可求得； （3）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 ，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ， ∴； （2）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴； （3）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴． 26．【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在与中， ， ， (2)． 证明：和为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， ∴， (3) 【分析】（1）先证明，进而证明 （2）证明，根据全等三角形的性质即可得证 （3）以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，根据三角形的面积公式，求得，证明，得出则，证明，得出，即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：以为边向左上方作等边三角形，延长，交于点F，连接， 点M到的距离为1，的面积为3.6， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ，， 点M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴， ． 27．综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章三角形（高效培优单元自测提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 2 6 6 7 8 答案 C A B C B D C 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.6 10.4 11.① 12.3 13.1 14.6 15.3 16.2或4 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17. 【详解】解：：△ABC≌△DBE,, 、∠ABC=∠DBE .∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC,即∠ABD=∠CBE 由图可知，∠ABE=∠ABD+∠DBC+∠CBE=162°， .∠DBC=30° .∠ABD+∠CBE=162°-30°=132°， 又.∠ABD=∠CBE. .∠CBE=132°÷2=66°.3分 18 【详解】(1)解：a-+(b-c=0 ∴.a-b=0,且b-c=0, ..a=b=c, 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC为等边三角形.2分 (2)解：a,b,c是△ABC的三边长， .a-b-c<0,b+c-a>0,c-a-b<0, :a-b-d+b+c-a+le-a-b=-a+b+c+b+c-a-cta+b=-a+3b+c 5分 19.(1)△ACD≌△AED,理由如下： DE∥CB ∴.∠AED=∠B, :∠ACF=∠B, .∠ACF=∠AED AD平分LCAF, .∠CAD=∠BAD, AD=AD .△ACD≌△AED(AAS) 2分 (2)解：aACD≌aAED,AC=8, .AE=AC=8,CD=ED .AF=5. .EF=AE-AF=8-5=3, CF=7, △DEF的周长为FD+DE+EF=FD+DC+EF=CF+EF=7+3=10.5分 20. 【详解】(I)证明：BD⊥AC,点D是AC的中点， .AB=BC, EF⊥AB, .∠ABC+∠F=90°、 ∠F=30°， .∠ABC=60°， .△ABC是等边三角形；2分 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)得△ABC是等边三角形， ∴.∠A=60°，AB=AC, EF⊥AB, ∴∠ADE=90°-∠A=30°， AE=1, .AD=2AE=2, ,点D是AC的中点， .AB=AC=2AD=4.5分 21 【详解】(1)证明：~AF是∠BAD的角平分线， .·.∠BAF=∠GAF :AD⊥BC,FE⊥AB, .∠GDF=∠BEF=90° .·∠BFE=∠GFD ∴.∠B=90°-∠BFE,∠G=90°-∠GFD」 ∴∠B=∠G 在△ABF和△AGF中， [∠B=∠G ∠BAF=∠GAF AF=AF △ABF≌AAGF(AAS) .BF=GF.2分 (2)AG=5, 理由：AD⊥BC,D是BC中点， ∴.AD是BC的垂直平分线， :AB=AC=5, △ABF≌△AGF(AAS) 由(1)得， ..AB=AG .AG=AC=5.5分 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22. 【详解】(I)解：如图，连接PE,PF, -A R .OA垂直平分MP, :ME=PE, 同理：FN=PF, ∴△PEF的周长=EP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=12.3分 (2)证明：：PN=PM,OA垂直平分MP,OB垂直平分PN, QP=)PM,PR=Pw】 2 2 ..PO=PR .0P平分∠A0B.6分 23 【详解】(1)解：：点E在CD的延长线上， .∠ADC+∠ADE=180°.1分 (2)证明：，∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADE=180°， .∠ABC=∠ADE, 「∠ABC=∠ADE AB=AD 和 中， △ABC△ADE ∠BAC=∠DAE1 .△ABC≌aADE(ASA).3分 (3)i证明：由(2)可知，△ABC≌△ADE(ASA), .'AC=AE .∠BAC=∠DAE,∠BAD=90°， 4/11 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 .∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD=∠BAD=90°， .∠CAE=90°， .△ACE是等腰直角三角形.4分 (4)解：：△ABC≌△ADE, .S.A0C =SADE :S4c+S4w=Sae+S4m,即S BnS四边形ABCD=S。ACE ,AC=a,△ACE是等腰直角三角形， S.Ac-AC2=1 2 2 1 ·四边形ABCD的面积为2 .6分 24. 【详解】(I)证明：如图②中，作DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F, 图② :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,则∠F=∠DEB=90° :DE=DF, .∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， ∴.∠B=∠FCD 在△DFC和△DEB中， [∠F=∠DEB ∠FCD=∠B DF=DE △DFC≌ADEB(AAS) DC=DB.3分 (2)解：如图③，连接AD、作DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F, 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E 图③ .∠B+∠ACD=60°+120°=180°，∠ACD+∠FCD=180°， ∴.∠B=∠FCD」 在△DFC和△DEB中， ∠F=∠DEB ∠FCD=∠B DC=DB △DFC≌△DEB(AAS) .'DF=DE,CF=BE, 在Rt△ADF和Rt△ADE中， AD=AD DE=DF RtAADFS≌RtAADE(HL) .AF=AE, AB-AC-(AE+BE)-(AF-CF)=2BE 在Rt△DEB中， :∠DEB=90°，∠B=60°，DB=a, ∴.∠BDE=30° BE-18D-1a 1 2 2 .AB-AC=2BE=a.6分 25. 【详解】(1)解：如图，过点A作AE⊥BC, 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D EC 则5m号80AB,Sx -DC.AE AE=AE, .S.ABD S.ADC=BD:DC=3:4 2分 (2)解：：△BEC和△ABC是等高三角形， S.we:SM-BE:AB=1:2 1 ,1 2； ,△CDE和△BEC是等高三角形， .SACDE S.BEC =CD:BC=1:3 11_1 3Scme3ac326:…4分 (3)解：：△BEC和△ABC是等高三角形， S.wec :Swe-BE:AB=1:m 1 SBEC=SABC=x9=4 m m ,△CDE和△BEC是等高三角形， SACOE :Se=CD:BC=1:n _1、aa S.CDR =-S.REC=-X n nmmn、6分 26. 【详解】(I)证明：∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABD与△ACE中， (AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴△ABD≌△ACE(SAS) ,3分 (2)BD=CE 证明：，△ABC和△ADE为等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ACB=45°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, △ABD≌△ACE(SAS) .BD=CE6分 (3)解：以AB为边向左上方作等边三角形ABE,延长AM,EB交于点F,连接CE, 点M到 的距离为1， 的面积为3.6， AD △AMD 24Dx1=3.6, AD=7.2、 :△ABE和△BCD都是等边三角形， BE=BA,BC=BD,∠EBA=∠CBD=6O°， ∴∠EBC=∠ABD :△EBC≌△ABD .EC=AD. ∠ABE=∠BAC=60°， AC∥BF, 8/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACM=∠FBM,∠CAM=∠F, 点M为BC的中点， ∴.CM=BM, ∴.△ACM≌△FBM(AAS) .AM=FM,AC=BF, :.AM=IAF Γ2 .∠ABE=∠BAC=∠BAE=60° ∠EAC=∠FBA=120°， .EA=AB,AC=BF ∴.△EAC≌△ABF(SAS) ..CE=AF, .AF AD, AM=4F=)AD=3.6.l0分 2 2 27. 【详解】(I)解：延长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,如图1， .∠B=∠ADC=90°， .∠ADG=90°=∠B, AB=AD, ,△ABE≌△ADG(SAS) .∠BAE=∠DAG,AE=AG .EF BE FD=DG+FD=GF,AF=AF, :△1EF≌AAGF(SSS) .LEAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF;3分 (2)仍然成立，理由如下： 延长FD到点H,使得DH=BE,如图所示： 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H .∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=1I80°， .∠B=∠ADH, .AB=AD, 、△ABE≌△ADH(SAS) .∠BAE=∠DAH,AE=AH, EF BE+FD=DH+FD=HF,AF=AF, AEFHF(SSS) .∠EAF=∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF;7分 (3)解：在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,如图所示： .∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE, .AB=AD, ,△ADG≌△ABE(SAS) ,AG=AE,∠DAG=∠BAE. .EF =BE+FD =DG+FD=GF,AF=AF, △AEF≌△AGF(SSS) .∠FAE=∠FAG ,∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° ,2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360° 即2∠FAE+∠DAB=360 2<DAB ∠FAE=180°- :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC+∠DAB+∠BCD=360°，∠C=62°， .∠DAB=180°-∠C=118°， 2R45=180分×18=121P.dn分 11/11学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章三角形（高效培优单元自测提升卷） (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1.用长度分别为3cm和5cm的两根木棒与另一根木棒首尾相连围成一个三角形，则另一根木棒的长可能 为() A.1cm B.2cm C.4cm D.9cm 2.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.∠C=90°，AC=6 B.AB=2,BC=3,∠A=50 C.∠A=50°，∠B=60°，AB=2 D.AB=2,BC=3,AC=6 3.游戏时，3名同学在△ABC活动区内的同一点处同时出发，先跑出活动区者获胜.为使游戏公平，出发 点最适当的位置应设置在() A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三边中线的交点 D.三边上高的交点 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，过点D作DE⊥BC,过点E作EF⊥AB,交BC的 延长线于点F,AB=EF.若DE=4,BF=8,则CF的长是() A.3 B.4 C.5 D.6 5.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心， 大于2BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,连接MN交AB于点E,若AB=12,AC=5, 则△ADE的周长为() M E B D----2 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.20 B.18 C.17 D.16 6.如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE, 已知AD=6,则PB+PE最小值为() A.3 B.6 C.9 D.12 7.如图，线段AD,AE,AF分别是△ABC的角平分线、中线和高线，则下列结论中错误的是() B ED FC A.点D到AB和AC的距离相等 B.∠BAC=2∠BAD C S△ABc=2S△ACE D.AF>AD 8.如图，在Rt△ABC中，AB=CB,BO⊥AC,把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E 重合，展开后，折痕AD交BO于点F,连结DE、EF.下列结论：①图中有4对全等三角形：②若将 △DEF沿EF折叠，则点D不一定落在4C上；®BD=BF:00e=S。m,上述结论中正确的个数 是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.如图，在△ABC中，∠B=∠C,AD⊥BC,若BD=3,则BC的长为 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 10.己知三角形的三边长分别为1，a,4,则化 a-2+a-6 的结果为一。 11.如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块.若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具， 应带 (填序号①②③)· ② ⑦ ③ 12.如图，在△ABC中，BD是角平分线，AE是中线，AE交BD于点F.若AB=6,BC=4,△ABC的 面积为8，则△ABF的面积为 D 13.如图，AD是△ABC的角平分线，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E,延长AC、BE交于点F, 点G在BC上，连接EG.若HB=6:AC=4,BG=CF,则EG的长为 14.如图，在四边形纸片ABCD中，AD‖BC,将∠ABC,∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于 DC上一点E,点C,D都落在边AB上的F处，若四边形ABCD的面积是18，BE=3,则AE=一 318 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 15.如图，在等边△ABC中，D为AC上一点，连接BD,在BD左侧作∠BDE=∠C,且BD=DE,连接 AE,过点D作DF⊥EA交EA延长线于点R.若AB=10,AE=4,则AF的长度为一 16.如图，CA⊥AB,垂足为点A,AB=8cm,AC=4cm,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从B 点出发以2cms的速度沿射线BN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持 ED=CB,当点E离开点B后，运动S时，△DEB与△BCA全等. M E 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17.如图，△ABC≌△DBE,点D在边AC上，BC与DE交于点P.已知∠ABE=162°，∠DBC=30°，求 ∠CBE的度数， D 18.已知a,b,C是△ABC的三边长 (①若a-b+(b-c)=0 试判断△ABC的形状。 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)化简： a-b-c+b+c-a+c-a-b 19.如图，在△ABC中，点F在边AB上，且∠ACF=∠B,AD平分∠BAC交CF于点D,DE∥CB交AB 于点E, (1)△AED与△ACD全等吗？请说明理由： (2)若CF=7,，AC=8,AF=5,求△DEF的周长 0.如图，BD是△ABC的高，点D是AC的中点，过点D作AB的垂线交AB于点E,交BC的延长线于 点F,∠F=30° E B (I)求证：△ABC是等边三角形： (2)若AE=1,求AB的长， 21.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,AF是∠BAD的角平分线，点F在BC上，过F作 FE⊥AB,垂足为E,交AD的延长线于点G. ()求证：BF=GF; (2)若D是BC的中点，且AC=5,求线段AG的长度，并说明理由. 22.如图，已知△PMN,OA垂直平分MP,交MN于点E,交MP于点Q,OB垂直平分PN,交MN于 点F,交PN于点R,连接OP. 518 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N R B (I)连接PE,PF,若MN=12,求△PEF的周长： (2)若PM=PN,求证：OP平分∠AOB 23.如图，在四边形ABCD中，己知∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,∠BAD=90°，点E在CD的延长 线上，满足∠BAC=∠DAE, D C (①)∠ADC+∠ADE=°. (2)求证：△ABC≌△ADE: (3)求证：△ACE是等腰直角三角形： (4)若AC=a,四边形ABCD的面积为一· (用含a的代数式表示)（提示：由于△ABC≌△ADE,四 边形ABCD的面积和△ACE的面积相等) 24.解决以下问题 B 图① 图② 图③ 感知：如图①，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC. 探究： (I)如图②，AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC. 应用： (②)如图3，四边形ABDC中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=a,求AB-AC的值（用含a的代数式表 示) 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形. 例如：如图①.在△ABC和△A'B'C中，AD,AD'分别是BC和BC'边上的高线，且AD=AD',则 △ABC和△A'B'C是等高三角形 D C B'D' 图① 图② 图③ 【性质探究】 如图O.用5，Sc分别表示a8C和△BC 的面积. 则scA0,3eCD .AD=A'D .S.AC Sc=BC:B'C 【性质应用】 (如图②，D是△1BC的边BC上的一点.若BD=3DC=4,则5m:Sac (2)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S△ABC=1, 则 △BEc= SACDE= (3)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m,CD:BC=1:n, S。ABc=a SACDE 则 26.【模型构建】 如图①，两个等腰△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,点A为公共顶点，连接 BD,CE.可探究BD和CE的数量关系. 718 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 D 图① 图② 图③ (I)求证：△ABD≌△ACE 【深入探究】 (2)如图②，△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，判断BD、EC的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，点M为BC的中点，以BC为边在下方构造等边△BCD,连接AM、 AD、MD.已知点M到AD的距离为1，△AMD的面积为3.6，求AM的值. 27.综合探究 【初步探索】 图1 图2 图3 (I)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,探究图1中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.小颖同学探究此问题的方法是：延 长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,先说明△ABE≌△ADG,再说明△AEF≌△AGF,可得出结论， 他的结论应是」 【灵活运用】 (②)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由 【拓展延伸】 (3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延 长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若∠C=62°，求∠EAF的度数. 818