精品解析：广东深圳市南山区丽湖学校2026-2027学年九年级上学期第一次质量监测数学试题

九年级上学期数学第一次数学阶段性检测 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5x+3=0 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵ 含两个未知数，∴ A不符合一元二次方程要求． B、∵ 是只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，∴ B符合要求． C、∵分母含未知数，∴ C不符合一元二次方程要求． D、∵未知数最高次数为1，∴ D不符合一元二次方程要求． 2. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，根据三角形外角的性质可知． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是的外角， ． 3. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∴． 4. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 5. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于掌握根的判别式的应用，即，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式与0的大小关系，即可得出方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴方程没有实数根， 故选：D． 6. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，当时函数值为负，时函数值为正，根据函数性质，所对应的方程的根在． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足，。 故选：C． 7. 为纪念抗美援朝战争胜利周年拍摄了《志愿军》三部曲．《志愿军：存亡之战》第一天全国票房为亿元，三天后票房收入累计达亿元，若把每天票房的平均增长率记作，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：若把每天票房的平均增长率记作， 由题意得，， 故选：． 8. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】先由矩形的对边得，结合折叠性质推得四边形四边相等，证得它是菱形，结论①正确；若平分，需满足直角三角形的特殊边长关系，该条件并非必然成立，结论②错误；当与重合时，设，用勾股定理列方程求得，再构造直角三角形计算得，结论③正确；最后分析临界位置：与重合时取最小值，与重合时取最大值，故，结论④正确． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故结论①正确； ②若平分，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 此时需满足，该条件并非必然成立，故不一定平分，结论②错误； ③当点与点重合时，设，则， 在中，由勾股定理得，即，解得， ∴，，即菱形的边长为． ∵， ∴，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，故结论③正确； ④当点与点重合时，取得最小值； 当点与点重合时，四边形是正方形， ∴，此时，即取得最大值， ∴线段的取值范围为，故结论④正确； 故选：C． 二、填空题 9. 已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一个根为，先将根代入方程得到关于的方程，再结合一元二次方程的定义舍去不符合条件的解，得到的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∵方程有一个根为，将代入原方程得， 提取公因式得， 解得，， ∵， ∴舍去，最终得． 10. 已知一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴ ． 11. 如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，则______． 【答案】 4 【解析】 【分析】根据中线定义得出为中点，结合为中点，利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵为斜边上的中线， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴. ∵， ∴． 12. 把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴， ∴. 13. 如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K， ∵正方形边长为4， ∴OK=2，KC=2， ∴KC=CE， ∴CH是△OKE的中位线 ∴， 作GM⊥CD，垂足为点M， ∵G点为EF中点， ∴GM是△FCE的中位线， ∴，， ∴， 在Rt△MHG中，， 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等． 三、解答题 14. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【解析】 【分析】（1）对左边因式分解后求解； （2） 用配方法变形后开方求解； （3）整理方程后直接开平方求解； （4）用一元二次方程求根公式求解． 【小问1详解】 解： 或， 解得； 【小问2详解】 解得； 【小问3详解】 解得； 【小问4详解】 其中 解得． 15. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】 （1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 16. 如图，在中，，点D是边的中点．过点A、D分别作与的平行线，并交于点E，连结． （1）求证：四边形是矩形． （2）当四边形是正方形，时，______． 【答案】（1） 证明：∵，点D是中点， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，进而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证； （2）根据正方形的性质和勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 17. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得，所以原方程的解为．，，请利用这种方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了换元法求解一元二次方程的方法，换元法就是把多项式看作一个整体把原式化简成一个一元二次方程，然后再求解看作整体的多项式即可解题． （1）阅读题干中给出方程的求解方法，我们可以把当作一个整体，设，则原方程可化简为，即可求得y的值，根据即可求得x的值，即可解题； （2）可以把当作一个整体，设，则，原方程可化简为，即可求得y的值，根据即可求得x的值，即可解题． 【小问1详解】 解：设，则原方程变形为： 所以 解得，， 当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以，． 【小问2详解】 解：设，则原方程变形为： 所以，解得，， 当时，即，不合题意，舍去， 当时，即，解得， 所以， 18. 某服装店销售一款T恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件T恤每降价1元，每天可多卖出2件． （1）若每件T恤降价5元，每天销售该T恤获得的利润为________元； （2）设每件T恤降价x元，则每天的销售量为________件（请用含x的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件T恤应降价多少元？ 【答案】（1） 450 （2） （3） 每件T恤应降价6元 【解析】 【分析】（1）利用总利润与单件利润、销售量的数量关系计算； （2）根据降价幅度与销售量的增长关系列代数式； （3）根据总利润的等量关系列方程，结合尽快减少库存的要求选取合适的解. 【小问1详解】 解： 单件利润为（元）， 销售量为（件）， 总利润为（元）； 【小问2详解】 解：降价元时，每天多销售件. 故每天的销售量为件.； 【小问3详解】 解：根据题意，得 ， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴需选择更大的降价幅度以提高销售量， ∴， 答：每件T恤应降价6元. 19. 综合与实践． （1）【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． （2）【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． （3）【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】（1）该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 【小问3详解】 解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 20. 已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． 【问题探究】 （1）如图1，当点E在线段上时，则与的数量关系为______； 【类比迁移】（2）如图2，当点E在线段上时，连接交于点H，当时，求的长； 【应用拓展】（3）当时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）连接，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得到，进而证明，利用全等三角形性质即可证明； （2）连接交于点，利用菱形的性质和等边三角形性质得到，利用勾股定理得到，证明，利用等腰三角形性质得到，最后根据求解，即可解题； （3）根据与射线交于点E，分以下两种情况讨论，①当在线段上时，作于点，作于点，②当在延长线上时，作于点，以上两种情况分别结合勾股定理和直角三角形性质，以及角平分线性质求解，即可解题． 【详解】解：（1）连接， 四边形是菱形，， ， 为等边三角形， ， ， ， 即， ， ． 解：（2）如图1，连接交于点G， ∵四边形是菱形， ∴于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）①如图2，当E在线段上时，作于点M，作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴AE平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图3，当E在CB延长线上时，作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 由①同理可知，，， ∴， ∴． 综上所述，当时，BE的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，勾股定理，直角三角形性质，角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学第一次数学阶段性检测 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5x+3=0 2. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 6. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 7. 为纪念抗美援朝战争胜利周年拍摄了《志愿军》三部曲．《志愿军：存亡之战》第一天全国票房为亿元，三天后票房收入累计达亿元，若把每天票房的平均增长率记作，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 二、填空题 9. 已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则______． 10. 已知一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 11. 如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，则______． 12. 把一元二次方程化为一般形式为______________________ 13. 如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________． 三、解答题 14. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 15. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 16. 如图，在中，，点D是边的中点．过点A、D分别作与的平行线，并交于点E，连结． （1）求证：四边形是矩形． （2）当四边形是正方形，时，______． 17. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得，所以原方程的解为．，，请利用这种方法解方程： （1）； （2）． 18. 某服装店销售一款T恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件T恤每降价1元，每天可多卖出2件． （1）若每件T恤降价5元，每天销售该T恤获得的利润为________元； （2）设每件T恤降价x元，则每天的销售量为________件（请用含x的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件T恤应降价多少元？ 19. 综合与实践． （1）【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． （2）【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． （3）【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 20. 已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． 【问题探究】 （1）如图1，当点E在线段上时，则与的数量关系为______； 【类比迁移】（2）如图2，当点E在线段上时，连接交于点H，当时，求的长； 【应用拓展】（3）当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $