广东深圳市南山区丽湖学校2026-2027学年九年级上学期第一次质量监测数学试题

九年级上学期数学第一次数学阶段性检测 一、单选题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5x+3=0 2. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 6. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 7. 为纪念抗美援朝战争胜利周年拍摄了《志愿军》三部曲．《志愿军：存亡之战》第一天全国票房为亿元，三天后票房收入累计达亿元，若把每天票房的平均增长率记作，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 二、填空题 9. 已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则______． 10. 已知一元二次方程的两个根为，，则的值为______． 11. 如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，则______． 12. 把一元二次方程化为一般形式为______________________ 13. 如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为________． 三、解答题 14. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4） 15. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 16. 如图，在中，，点D是边的中点．过点A、D分别作与的平行线，并交于点E，连结． （1）求证：四边形是矩形． （2）当四边形是正方形，时，______． 17. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得，当时，即，解得，所以原方程的解为．，，请利用这种方法解方程： （1）； （2）． 18. 某服装店销售一款T恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件T恤每降价1元，每天可多卖出2件． （1）若每件T恤降价5元，每天销售该T恤获得的利润为________元； （2）设每件T恤降价x元，则每天的销售量为________件（请用含x的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件T恤应降价多少元？ 19. 综合与实践． （1）【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． （2）【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． （3）【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 20. 已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． 【问题探究】 （1）如图1，当点E在线段上时，则与的数量关系为______； 【类比迁移】（2）如图2，当点E在线段上时，连接交于点H，当时，求的长； 【应用拓展】（3）当时，求的长． 九年级上学期数学第一次数学阶段性检测 一、单选题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、填空题 【9题答案】 【答案】2 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 4 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 三、解答题 【14题答案】 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【15题答案】 【答案】 （1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【16题答案】 【答案】（1） 证明：∵，点D是中点， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． （2） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】（1） 450 （2） （3） 每件T恤应降价6元 【19题答案】 【答案】（1）该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； （2）； （3）； 【20题答案】 【答案】（1）；（2）；（3）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $