学易金卷：八年级数学上学期期中模拟卷（四川成都专用，新教材北师大版八上1-3章：勾股定理+实数+位置与坐标）

@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 A卷（共100分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 2 3 4 6 8 D 马 ⊙ B A B B 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9.5 10.-211.212.2813.1或9 三、解答题（本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 14【详解】1解：i6+2--君+27 =4+1-6+-3 =4+1-6-3 =-4;.(6分) (2)解：-8+1-3+-4-只9 =-2+3-1+4-3 =-2-1+9V3+4-3 =3-2..（12分) 15.【详解】(1)如图所示：点A、B、C,△ABC即为所求： 1/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4 3 2 -5-4-32-1Q 23.4.5x A B -3 -- .（3分) (2)如图所示：△A1B1C1即为所求： A 5 B A1-3,1B1,1C11,-2 3∠2Q B2.3.45x …（6分) (3)解：△ABC的面积=号×4×3=6. .（8分) 16.【详解】(1)解：∠ABD=90°，AB=8,AD=17, BD=/AD-AB=17-8=15'.1分) .BC=9,CD=12, BC2+CD2=92+122=225=152=BD2' …(2分) ∴，∠BCD=90, △BCD的面积为：号BC-CD×9×12=54.…（3分) (2)解：如图，过B作BH⊥AD于H, 2/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 H D :∠ABD=90°， .BH=AB.BD, .AB=8,AD=17,BD=15, :BH=8×15-120 1717 120 ,△ABD中AD边上的高的长度为 17、…（8分) 17.【详解】(1)解：过点C作CD⊥AB于点D,如图. 北 A D B 由题意，得AC=80m,BC=60m,AB=100m. .80+60=1002, .AC2+BC2=AB…(2分) ∴.△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， ∴S6A=号ACBC=CDAB 2 CD=AC.BC=80X60=48(m.(5分) AB100 答：点C到铁路AB的距离为48m. (2)解：.52>48， 会对鸟类巢穴造成噪声污染.…(6分) 3/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 如图，以点C为圆心，以52m为半径画圆弧，分别交AB于点E、F,连接CE、CF,则CE=CF=52m. 北 .∵CD⊥AB A D FB ∴.DE=DF 在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE=VCE2-CD-522-48=20(m)' ∴.EF=2DE=2×20=40(m), .(8分) ∴.火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长 260+40=10(s. 30 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为10s.…(10分) 18【详解】(1)解：3-213+y2=3}-R2=3-2=1' .3-2的有理化因式是3+2：…(1分) 2 2V3-1 9V3+1V3+1V3-13-1 23-1=5-15（2分) (2)解：2024-V2023 V2024-V2023 1 RV2024-9V2023R2024+V2023 19V2024+V2023 19V20242-R20232 9V2024+V2023 2024-2023 /2024+9V2023 1 2024+2023,…(3分） 9/2025-9V2024 4/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 V2025-V2024 V/2025-V20242025+V2024 19V2025+V2024 R/2025-RV20242 9V2025+9V2024 2025-2024 9V2025+V2024 1 2025+V2024° …（4分) .V2025+V2024>2024+9/2023, 1 1 ·92025+9202492024+2023 .2024-2023>2025-/2024;…(6分) 1 1 1 1 (3)解：5+1+5+5+7+5++725+923 -15-3+7-5++25-23 2 2 =引3-1+5-3++2-23 =25- =2;…(8分) 4)解：a=373-73+7 2 23+V7 =3+7,…(9分) ÷a-32=7 a2-6a=-2 ∴.-2a2+12a-4 =-2×a2-6a-4 5/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =-2×-2-4 =0. .（12分） B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19.2 22 24 21.5 22.9/2+V1123.-2 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 24.【详解】(1) 证明：根据题意，设AE=BC=a,AD=EB=b,DE=EC=c, 根据题意，得∠DAB=∠B=90°，EC⊥DE,.(1分) 508n=a+b小-a+bl=0+ab+号b,Sax=5a-=克b, 1 2 SAECD =号c2.（3分） 根据题意，S形ABCD=S△EBC+SAEAD+SAECD, 36* d+ab+ 整理，得。+b2=C2.（4分) (2)解：AD是BC边上的高， ∴.∠ADC=∠ADB=90°， 六AD2=AB2-BD2,AD2=AC2-CD2:.（5分) .BC=14. 设BD=X,则CD=BC-BD=14-X, .AB=13,AC=15, "132-x2=152-14-x2 169-x2=225-196+28x-x2 解得X=5,…（7分) 6/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AD=AB-BD2=132-52=12 (8分) 25.【详解】(1)解：OA=2,AB=1,AB⊥OA, “0P=0B=V22+1=5 .数轴中p点表示的数是5.…(2分) 2)解：①AC=/P+T=2BC=2+2=22'AB=/T+3=103分) ②S△ABc=2×3- ×1×3-×2×2-2×1×1=2.4分》 (3)解：①AX,yBx,ya ACly轴·BC|x轴.AC⊥BC于点C AC=y1-y2)'BC=x1-x2 由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：AB=X,-x2+y,-y,P: …（5分) ②如图，作点N关于x轴对称的点N,连接MN,直线MN与x轴的交点即为所求的点P,PM+PN的 最小值就是线段MN的长度， M B P 0 N-6,1, N-6,-1 .M-3,4, 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 PM+PN=PM+MN=-3+6+4+1=/34 9…(7分) 即PM+PN的最小值为V34: ③(x+1P+(y-2乎+x-5}+(y+1, ∴原式表示点xy到-1,2和5，-1的距离之和， 由两点之间线段最短，点x,y在以-1,2和5，-1为端点的线段上时，原式值最小， 六原式-5+1+1+2=3V5.（10分） 26.【详解】(1)解：如图所示，过点A作AF⊥DE,交ED的延长线于点F,连接AE交BD于点C, ∴.AB=DF=2,BD=AF=8, .'EF=DE+DF=6. …（1分） .AC+CEAE, ·当A、C、E三点共线时AE最小，即X+4+8-X+16的最小值为 AE=VEF2+AF-6+82=10 …（3分) (2)解：如图所示，令BD=24,BC=a,CD=b,AB=3,DE=4, D AC=AB2+BC2-2+9 CE=CD2+DE2-b2+16'AF=BD=24'EF=DF+DE=7 .(4分) .AC+CE≥AE, 当A、C、E三点共线时AE最小，即e+9+V6+16的最小值为 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AE=EF2+AF=R72+242=25…(5分) (3)解：如图所示，记AF与EG交于点C, 】 G .EG⊥AF,EH⊥AD, ∴.∠ACG=90°=∠EHG, ∴.∠CAG+∠AGC=90°=∠GEH+∠EGH, ∴.∠CAG=∠GEH」 .∠EHG=∠D=90°，AD=EH, △ADF≌△EHG(ASA,.(7分) ∴.GH=DF=4, .AH+DG=AD-GH=9-4=5.…(8分) 设DG=x,则AH=5-x, 根据勾股定理，得AE=VA+E,FG=VDFP+DG, 则AE+FG=5-X+92+X+4.(9分) 如图所示，令IP=5,HI=4,PL=9,设IO=x,则OP=5-X, 则KP=HI=4,HK=IP=5, KL=13 .HO+LO≥HL, 当H、0、L三点共线时H最小，即+4+5-X+9的最小值为 9/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AE+FG原临=H=VKL2+HK2=V132+52=194 …（12分) 10/102026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] A卷第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共32分）》 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][CJ[D] 7.A][B][C][D] 8.[A][B][CJ[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共20分） 9 10. 11 12 13. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、解答题（本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 14.（12分) 6+(2-)°-()+27： 28+1-V+-4y2-vs. 15.(8分) 珠 双以 2 54-3-2.1q1.2.3.45六 3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(8分) A D 17.(10分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 18.(10分) B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 20. 21. 22. 23. 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤) 24.(8分) h D 图① 图② 图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) B VA 0122→ 0123→ 图1 图2 A(xy) 图3 图4 图5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) D E D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级上册第1~3章。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题：（本大题共8题，每题4分，共32分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在实数，，，（每两个之间依次增加一个），，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．线段a、b、c不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知点，关于x轴对称，则的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 4．（新情景）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里（1里），中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？其大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为7里，24里，25里，则这块沙田的面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C．2.6 D． 6．（新情景）选材新风向|剪纸  一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸如图所示，点A与点B对称，点C与点D对称，若将其放置在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．已知实数x，y满足，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 8．如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则(     ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 10．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，，，则的值为________． 11．若为正整数，且满足，则的值为______． 12．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，连接，若已知三个正方形的面积依次为，，，则第四个正方形的面积为______． 13．如图，长方形中，，，点是射线上一动点不与、重合，将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为_________． 3、 解答题（本大题共5题，第14题12分，第15、16题每题8分，第17题10分，第18题10分，共48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（本小题共12分）计算： (1)； (2)． 15．（本小题共8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中描出点A、B、C，并画出； (2)画出关于x轴对称的，并写出点、、的坐标； (3)求的面积． 16．（本小题共8分）如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 17．（本小题共10分）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 18．（本小题共12分）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．设的整数部分为，小数部分为，则的值为____________． 20．如图，中，．若M是直线上的一个动点的最小值为______ 21．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，连接，．是直线上的一个动点，当最短时，________． 22．如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 23．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．如图所示，数轴上表示和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，则________． 二、解答题（本大题共3 个小题，第 24题8分，第25 题10 分，第26 题12分，共30 分，解答过程写在答题卡上） 24．（本小题共8分）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 25．（本小题共10分）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有知识】由于，由此得到在数轴上表示对应的点的方法，如图1．结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【运用知识】 (1)如图2，点O、点A在数轴上，且，，于点A，以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数是________．（直接写出答案） (2)请在图3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）内． ①画出顶点在格点上的，其中，，； ②求出的面积． 【拓展探究】 (3)如图5，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中A、B两点的距离，显然是转化为求的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：，，所以，，所以由勾股定理可得，． ①在图4中，设，，轴，轴，于点，则________________，________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②图5中，平面直角坐标系中有两点，，P为x轴上任一点，则的最小值为________________；（直接写出答案） ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：________________．（直接写出答案） 26．（本小题共12分）我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导： (1)问题解析：如图1，作线段为线段上一动点，设，则，以为边作直角三角形，，再构造，求出得长度即可求出的最小值=__________； (2)类比迁移：已知均为正数，且，，求的最小值； (3)方法应用：如图2，在中，，已知．过点作垂足为，若，求的最小值． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级上册第1~3章。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题：（本大题共8题，每题4分，共32分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在实数，，，（每两个之间依次增加一个），，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．线段a、b、c不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知点，关于x轴对称，则的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 4．（新情景）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里（1里），中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？其大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为7里，24里，25里，则这块沙田的面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C．2.6 D． 6．（新情景）选材新风向|剪纸  一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸如图所示，点A与点B对称，点C与点D对称，若将其放置在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．已知实数x，y满足，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 8．如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则(     ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 10．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，，，则的值为________． 11．若为正整数，且满足，则的值为______． 12．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，连接，若已知三个正方形的面积依次为，，，则第四个正方形的面积为______． 13．如图，长方形中，，，点是射线上一动点不与、重合，将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为_________． 3、 解答题（本大题共5题，第14题12分，第15、16题每题8分，第17题10分，第18题10分，共48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（本小题共12分）计算： (1)； (2)． 15．（本小题共8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中描出点A、B、C，并画出； (2)画出关于x轴对称的，并写出点、、的坐标； (3)求的面积． 16．（本小题共8分）如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 17．（本小题共10分）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 18．（本小题共12分）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．设的整数部分为，小数部分为，则的值为____________． 20．如图，中，．若M是直线上的一个动点的最小值为______ 21．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，连接，．是直线上的一个动点，当最短时，________． 22．如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 23．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．如图所示，数轴上表示和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，则________． 二、解答题（本大题共3 个小题，第 24题8分，第25 题10 分，第26 题12分，共30 分，解答过程写在答题卡上） 24．（本小题共8分）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 25．（本小题共10分）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有知识】由于，由此得到在数轴上表示对应的点的方法，如图1．结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【运用知识】 (1)如图2，点O、点A在数轴上，且，，于点A，以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数是________．（直接写出答案） (2)请在图3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）内． ①画出顶点在格点上的，其中，，； ②求出的面积． 【拓展探究】 (3)如图5，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中A、B两点的距离，显然是转化为求的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：，，所以，，所以由勾股定理可得，． ①在图4中，设，，轴，轴，于点，则________________，________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②图5中，平面直角坐标系中有两点，，P为x轴上任一点，则的最小值为________________；（直接写出答案） ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：________________．（直接写出答案） 26．（本小题共12分）我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导： (1)问题解析：如图1，作线段为线段上一动点，设，则，以为边作直角三角形，，再构造，求出得长度即可求出的最小值=__________； (2)类比迁移：已知均为正数，且，，求的最小值； (3)方法应用：如图2，在中，，已知．过点作垂足为，若，求的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级上册第1~3章。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题：（本大题共8题，每题4分，共32分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在实数，，，（每两个之间依次增加一个），，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先把能化简的根式化简，再根据无理数是无限不循环小数这个定义，逐个判断，区分开有限小数、循环小数、分数这类有理数，最后统计无理数个数． 【详解】解：，， 有理数有，，，， 无理数有，（每两个之间依次增加一个），，共个． 2．线段a、b、c不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】先化简含乘方的边长，再验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，逐一判断是否为直角三角形． 【详解】解：A．，是直角三角形； B．，，，，不能构成三角形； C．，是直角三角形； D．，是直角三角形． 3．已知点，关于x轴对称，则的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列式求出m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：点，关于x轴对称， ，， 解得，， ． 4．（新情景）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里（1里），中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？其大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为7里，24里，25里，则这块沙田的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，再统一长度单位后计算面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，两条直角边长为7里，24里， ∵里， ∴里，里， ∴沙田面积为． 5．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C．2.6 D． 【答案】B 【分析】先求出，再由勾股定理可求得，再由，即可得点D表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点D表示的数是． 6．（新情景）选材新风向|剪纸  一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸如图所示，点A与点B对称，点C与点D对称，若将其放置在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点与点对称，可求得对称轴直线，再根据点与点对称，即可求解． 【详解】解： 与对称， 对称轴直线为：， 与点关于对称， 点的纵坐标， 可设点的坐标， 则可列方程为：， 解得， 点的坐标为． 7．已知实数x，y满足，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式有意义的条件求出x的值，再代入求y，最后化简待求式． 【详解】解：∵且， ∴， 将代入， 得， 将，代入， 得 ． 8．如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】解：设分别交、于点、点， ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， ∵在中，，即， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ，， 解得，， ． 10．在平面直角坐标系中，若点在第四象限，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先求出，，再根据点在第四象限，得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵点在第四象限， ∴，， ∴． 11．若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 12．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，连接，若已知三个正方形的面积依次为，，，则第四个正方形的面积为______． 【答案】 【分析】在和中分别利用勾股定理表示出，建立等量关系，结合正方形面积公式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 正方形的面积等于边长的平方， ，，， ， ，，， ， ． 13．如图，长方形中，，，点是射线上一动点不与、重合，将沿着所在的直线折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为_________． 【答案】1或9 【分析】根据折叠的性质得到对应边和对应角相等，再分情况讨论为直角三角形时的情况，利用勾股定理建立方程求解的长度. 【详解】解：①当点在线段上时， 如图所示：∵， ∴，，三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当点在的延长线上时， 如图2所示：∵，，， ∴，，，三点共线， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的值为1或9. 3、 解答题（本大题共5题，第14题12分，第15、16题每题8分，第17题10分，第18题10分，共48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（本小题共12分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，立方根和算术平方根，再计算加减法即可； 先计算立方根，绝对值和算术平方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（本小题共8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中描出点A、B、C，并画出； (2)画出关于x轴对称的，并写出点、、的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)如图所示：点A、B、C，即为所求； (2)如图所示：即为所求； ，， (3)6 【分析】（1）根据坐标描点，再顺次连接即可； （2）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得，根据图形分别写出各点坐标即可； （3）结合网格特点，根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：图略 由图可得，，，； （3）解：的面积． 16．（本小题共8分）如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解，再证明，进一步可得答案； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为：． （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴中边上的高的长度为． 17．（本小题共10分）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【答案】(1)点C到铁路的距离为 (2)会，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为 【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 18．（本小题共12分）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2； (4)0. 【分析】（1）因为，所以的有理化因式是；把的分子、分母同时乘以，可得结果为； （2）把转化为，把转化为，因为，根据分子相同的两个分数，分母越大分数越小，可得：，从而可知； （3）分别进行分母有理化，可得，再进行计算； （4）首先把进行分母有理化，可得：，得出，再整体代入代数式计算求值即可． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； （2）解： ， ； ， ； （3）解： ； （4）解：， ∴， ∴ ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．设的整数部分为，小数部分为，则的值为____________． 【答案】2 【分析】先估算的取值范围，得到的范围，进而求出整数部分和小数部分，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的整数部分， ∵ 小数部分等于原数减去整数部分， ∴ ， 将，代入得：． 20．如图，中，．若M是直线上的一个动点的最小值为______ 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知当时的值最小，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式即可求出的长． 【详解】，，， 由勾股定理得，． 点是直线上的一个动点， 当时，的值最小． ， ． ． ． 21．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，连接，．是直线上的一个动点，当最短时，________． 【答案】 【分析】过点A作，交的延长线于点J，利用求出，再用勾股定理求出，再用求出，结合垂线段最短即可求解． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点J， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵垂线段最短，， ∴最短时，． 22．如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【分析】根据四种不同情况，利用勾股定理分别计算顶点爬行到顶点的距离，比较大小，从而确定最短距离． 【详解】解：从顶点爬行到顶点共四种情况： 第一种情况：从剪掉一角露出来的截面上的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∵长方体， ∴， 又∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴（cm）， 第二种情况：从前面的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第三种情况：从前面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第四种情况：从底面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示， 连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 综上所述，从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm． 23．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．如图所示，数轴上表示和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，则________． 【答案】 【分析】根据点、分别表示和，点是的中点，可知，从而可知点表示的数是，根据符号表示的意义求出即可． 【详解】解：点、分别表示和， ， 点是的中点， ， 点表示的数是， ． 二、解答题（本大题共3 个小题，第 24题8分，第25 题10 分，第26 题12分，共30 分，解答过程写在答题卡上） 24．（本小题共8分）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 【答案】(1) 证明：根据题意，设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． (2)12 【分析】（1）利用直角三角形的面积，梯形的面积等于各个三角形的面积和，列式解答即可． （2）设，则，根据勾股定理，得，即，解方程即可． 本题考查了勾股定理的证明与应用，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴． 25．（本小题共10分）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有知识】由于，由此得到在数轴上表示对应的点的方法，如图1．结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【运用知识】 (1)如图2，点O、点A在数轴上，且，，于点A，以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点P，则点P表示的数是________．（直接写出答案） (2)请在图3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）内． ①画出顶点在格点上的，其中，，； ②求出的面积． 【拓展探究】 (3)如图5，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中A、B两点的距离，显然是转化为求的斜边长．下面以求为例来说明如何解决： 从坐标系中发现：，，所以，，所以由勾股定理可得，． ①在图4中，设，，轴，轴，于点，则________________，________________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②图5中，平面直角坐标系中有两点，，P为x轴上任一点，则的最小值为________________；（直接写出答案） ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值为：________________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)解：①如图，即为所求： ②2 (3)①； ② ③ 【分析】（1）利用勾股定理以及实数与数轴的关系即可求解； （2）利用勾股定理结合网格的特点作出，再利用割补法求解即可； （3）①根据图形直接写出即可； ②利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值； ③根据原式表示的几何意义是点到和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴数轴中P点表示的数是． （2）解：①，，； ②． （3）解：①∵，，轴，轴，于点， ∴，， 由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②如图，作点N关于x轴对称的点，连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段的长度， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； ③∵， ∴原式表示点到和的距离之和， 由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小， ∴原式． 26．（本小题共12分）我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导： (1)问题解析：如图1，作线段为线段上一动点，设，则，以为边作直角三角形，，再构造，求出得长度即可求出的最小值=__________； (2)类比迁移：已知均为正数，且，，求的最小值； (3)方法应用：如图2，在中，，已知．过点作垂足为，若，求的最小值． 【答案】(1)10 (2)25 (3) 【分析】（1）作，交的延长线于点F，连接交于点，再求出，，然后根据勾股定理求出答案； （2）仿照（1）解答即可； （3）先根据“角边角”证明，可求出．再设，则，根据勾股定理得，然后仿照（1）解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作，交的延长线于点F，连接交于点， ∴， ∴． ∵， ∴当三点共线时最小，即的最小值为； （2）解：如图所示，令，， 则，，，，． ∵， ∴当三点共线时最小，即的最小值为； （3）解：如图所示，记与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得， 则． 如图所示，令，设，则， 则， ∴． ∵， ∴当三点共线时最小，即的最小值为． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： A卷第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共20分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（12分） (1)； (2)． 15. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16. （8分） 17.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（10分） B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．_________________ 20．_________________ 21．________________ 22．_________ 23．________　 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $